Contoh berikut ini menggambarkan metodologi untuk menganalisis struktur statis tak tentu yang terdiri atas elemen-elemen yang dibeban

secara aksial. Contoh kedua dan ketiga juga menggambarkan penggunaan

diagram peralihan dalam menyusun persamaan keserasian.

• Contoh 2-5

Sebuah silinder baja lingkaran solid S terletak di dalam tabung tembaga lingkaran

berlubang C (Gambar 2- 1 7a dan b). Silinder dan tabung tersebut ditekan di antara dua plat kaku dari sebuah mesin uji dengan gaya tekan P. Silinder baja tersebut mempunyai luas penampang As dan modulus elastisitas Es. Tabung tembaga mempunyai luas Ac dan modulus elastisitas Ec. Keduanya mempunyai panjang L.

Tentukanlah besaran-besaran berikut: (a) gaya tekan Ps di silinder baja dan

pc di tabung tembaga; (b) tegangan tekan as dan _ac; serta (c) perpendekan 8

keduanya.

Solusi

(a) Gaya tekan di silinder baja dan tabung ternbaga. Kita mulai dengan melepaskan plat atas dari struktur ini untuk mengekspos gaya Ps dan _Pc yang masing-masing bekerja di silinder baja dan tabung tembaga (Gambar 2-1 7c). Gaya P, adalah resultan dari tegangan terbagi rata yang bekerja di penampang silinder baja, dan gaya Pc adalah resultan dari tegangan terbagi rata yang bekerja di penampang tabung tembaga.

*Dari tinjauan sejarah, kelihatannya Euler pada tahun 1774 adalah orang pertama yang menganalisis sistem statis tak tentu; ia meninjau masalah meja kaku dengan empat kakinya ditumpu pada pondasi elastis (Ref. 2-3 dan 2-4). Analisis selanjutnya dilakukan oleh matematikawan dan insinyur Perancis L.M.H.Navier, yang pada tahun 1 825 menyatakan bahwa reaksi statis tak tentu dapat dicari hanya dengan memperhitungkan elastisitas struktur (Ref. 2-5). Navier juga menganalisis rangka batang statis tak tentu.

G a m b a r 2 - 1 7 Contoh

2-5.

Analisis struktur statis tak tentu

(a)

(c)

(b)

(d)

Persamaan keseimbangan. Diagram benda bebas plat atas ditunjukkan dalam Gambar 2-1 7d. Plat ini mengalami gaya P dan gaya-gaya tekan P,. dan P, yang

belum diketahui; jadi, persamaan keseimbangannya adalah

P, + Pc - P = 0 (f)

Persamaan ini, yang merupakan satu-satunya persamaan keseimbangan nontrivial yang tersedia, mengandung dua anu. Dengan demikian, dapat kita simpulkan bahwa struktur ini statis tak tentu.

Persamaan keserasian. Karena plat ujung adalah kaku, maka silinder baja dan tabung tembaga harus memendek sama besar. Dengan menuliskan perpendekan bagian-bagian baja dan tembaga masing-masing dengan 8, dan 8c, kita dapatkan persamaan keserasian sebagai berikut:

(g)

Hubungan gaya-peralihan. Perubahan panjang silinder dan tabung dapat diperoleh dari persamaan umum 8 = PUEA. Dengan demikian, di dalam contoh ini, hubungan

(h,i) Dengan memasukkan hubungan ini ke dalam persamaan keserasian Persamaan (g), maka

Persamaan ini memberikan kondisi keserasian yang dinyatakan dalam gaya-gaya yang belum diketahui.

Solusi persamaan. Sekarang kita selesaikan persamaan keseimbanga dan keserasian (Persamaan f dan j) dan mendapatkan gaya-gaya aksial di silinder baja dan tabung tembaga:

(2- l Oa,b) .. Persamaan di atas menunjukkan bahwa gaya tekan di bagian baja dan tembaga masing-masing berbanding langsung dengan kekakuan aksial dan berbanding terbalik dengan jumlah kekakuannya.

(b) Tegangan tekan di silinder baja dan tabung tembaga. Dengan mengetahui gaya-gaya aksial, maka kita dapat memperoleh tegangan tekan di kedua bahan:

(2-l l a,b) .. Perhatikan bahwa tegangan sebanding dengan modulus elastisitas masing-masing bahan. Dengan demikian, bahan yang "lebih kaku" mempunyai tegangan yang lebih besar.

(c) Perpendekan struktur. Perpendekan 8 keseluruhan struktur dapat diperoleh dari Persamaan (b) atau Persamaan (i). Jadi, dengan memasukkan gaya-gaya (dari Persamaan 2-1 Oa dan b), kita peroleh:

(2-1 2) .. Hasil ini menunjukkan bahwa perpendekan struktur sama dengan beban total dibagi dengan jumlah kekakuan kedua bagian (ingat dari Persamaan 2-4a bahwa kekakuan batang yang dibebani secara aksial adalah k = EA/L).

• Contoh 2-6

Sebuah batang kaku AB mempunyai sendi di ujung A dan ditumpu oleh dua kawat

(CD dan EF) di titik-titik D dan F (Gambar 2-1 8a). Sebuah beban vertikal P

bekerja di ujung B dari batang tersebut. Batang tersebut mempunyai panjang 3b dan kawat CD dan EF mempunyai panjang masing-masing L1 dan L2. Juga, kawat

CD mempunyai diameter d1 dan modulus elastisitas E1; kawat EF mempunyai

diameter d2 dan modulus elastisitas E2.

(a) Dapatkan rumus untuk beban izin P jika tegangan izin di kawat CD dan EF masing-masing adalah a1 dan a2. (abaikan berat sendiri batang.)

(b) Hitunglah beban izin P untuk kondisi berikut. Kawat CD terbuat dari aluminium dengan modulus elastisitas E1 = 72 GPa, diameter d1 = 4,0 mm, dan

panjang L1 = 0,40 m. Kawat EF terbuat dari magnesium dengan modulus elastisitas

E2 = 45 GPa, diameter d2 = 3,0 mm, dan panjang L2 = 0,30 m. Tegangan izin di kawat aluminium dan magnesium adalah masing-masing a1 = 200 MPa, dan a2

G a m b a r 2 - 1 8 Contoh

2-6

Analisis struktur statis tak tentu

Solusi

Persamaan keseimbangan. Kita mulai analisis dengan menggambar diagram benda bebas batang AB (Gambar 2-1 8b). Di dalam diagram ini T1 dan T2 adalah gaya

tarik yang belum diketahui pada kawat-kawat dan _RH dan Rv adalah komponen reaksi dalam arah masing-masing horizontal dan vertikal di tumpuan. Kita lihat dengan mudah bahwa struktur ini statis tak tentu karena ada empat gaya yang belum diketahui _{(T1, T2, RH,} dan Rv) tetapi hanya ada satu persamaan keseimbangan independen. Dengan mengambil momen terhadap titik A (dengan perjanjian tanda positif untuk momen yang searah jarum jam) maka

LMA = Q (k)

Dua persamaan lainnya, yang diperoleh dengan menjumlahkan gaya-gaya dalam arah horizontal dan menjumlahkan gaya-gaya dalam arah vertikal, tidak dapat digunakan untuk mencari T1 dan T2.

(a)

(b)

B'

(c)

Persamaan keserasian. Untuk mendapatkan persamaan yang berkaitan dengan peralihan, kita amati bahwa beban P tidak dapat berotasi terhadap tumpuan sendi di A, sehingga menyebabkan kawat memanjang. Peralihan yang diakibatkan ha!

ini ditunjukkan dalam diagram peralihan dalam Gambar 2-1 8c, di mana garis AB

menunjukkan posisi semula batang kaku dan garis AB ' menunjukkan posisi setelah

berotasi. Peralihan 81 dan 82 adalah perpanjangan kawat. Karena peralihan ini sangat kecil, maka batang tersebut berotasi dengan sudut yang sangat kecil pula (di dalam gambar ditunjukkan dengan sangat diperbesar) dan kita dapat melakukan perhitungan dengan asumsi bahwa titik D, F, dan B bergerak ke arah vertikal ke

bawah (bukan mengikuti alur lengkungan).

Karena jarak horizontal AD dan DF sama, maka kita mendapatkan hubungan geometris antara kedua perpanjangan sebagai berikut:

Hubungan gaya-peralihan. Karena kawat berperilaku elastis linier, maka perpanjangannya dapat dinyatakan dalam gaya yang belum diketahui T1 dan T2

dengan menggunakan rumus berikut

di mana A 1 _{dan A2 masing-masing adalah luas penampang kawat} CD dan EF; jadi

A -

7rd�

_A -

mli

� -

4 z - 4

Untuk memudahkan penulisan persamaan, kita gunakan notasi berikut untuk fleksibilitas kawat (lihat Persamaan 2-4b):

A I --

7rd�

₄ (m,n)

Dengan demikian, hubungan gaya-peralihan menjadi

Dengan memasukkan rumus ini ke dalam persamaan keserasian (Persamaan I)

m aka

(o) Sekarang kita telah mendapatkan rersamaan keserasian yang dinyatakan dalam gaya-gaya yang belum diketahui.

Solusi persamaan. Persamaan keseimbangan (Persamaan k) dan persamaan keserasian (Persamaan o) mengandung gaya-gaya T1 dan T2 sebagai besaran yang belum diketahui. Dengan memecahkan kedua persamaan tersebut secara simultan kita peroleh

1J =

4.iJ + _fz (p,q)

Dengan diketahuinya gaya-gaya T1 dan T2, maka kita dapat dengan mudah mencari perpanjangan kawat dari hubungan gaya-peralihan.

(a) Beban izin P. Karena analisis statis tak tentu telah diselesaikan dan gaya­ gaya di kawat telah diketahui maka kita dapat menentukan harga beban P yang diizinkan. Tegangan cr1 di kawat CD _{dan tegangan cr2 di kawat} EF dapat dihitung langsung dari gaya-gayanya (Persamaan p dan q):

Dari persamaan pertama di atas, kita hitung gaya izin P1 yang didasarkan atas tegangan izin cr1 untuk kawat aluminium:

p, _ <r1A1(4.fJ + /2) p, = <rJAJ(4.fJ + fz)

I - _3fz I 3fz (r) •

Dengan cara yang sama, persamaan kedua kita dapatkan gay a izin P 2 yang

didasarkan atas tegangan izin kawat magnesium: p _ <TzAz(4iJ + fz)

2 - _6fi (s) •

Yang terkecil di antara kedua harga ini merupakan beban izin maksimum _Pizin· (b) Perhitungan numerik untuk beban izin. Dengan menggunakan data yang ada dan persamaan-persamaan di atas, kita peroleh harga-harga numerik sebagai berikut:

n(4,0 mm)2

n(3,0 mm)z = 7,069 mmz 4 0•40 m _{= 0,4420} x 10-6 miN (72 GPa)(1 2,57 mm2 ) 0•30 m _{= 0,943 1 x 10-6} miN (45 GPa)(7,069 mm2 ) Juga, tegangan izinnya adalah

a1 = 200 MPa a2 = 175 MPa

Dengan memasukkan harga-harga di atas ke dalam Persamaan (r) dan (s) maka

PI = 2,41 kN P2 = 1 ,26 kN

Hasil pertama didasarkan atas tegangan izin a1 di kawat aluminium dan yang

kedua didasarkan atas tegangan izin a2 di kawat magnesium. Beban izin adalah yang terkecil di antara kedua harga tersebut:

Pizin = 1 ,26 kN

Pada taraf beban ini tegangan di magnesium adalah 175 MPa (yaitu tegangan izinnya) dan tegangan di aluminium adalah ( 1,26/2,41 )(200 MPa) = 105 MPa.

Sebagaimana diduga, tegangan ini lebih kecil daripada tegangan izin 200 MPa.

• Contoh 2-7

Sebuah batang kaku ADB yang panjangnya 2b mempunyai sendi untuk memikulnya

di A dan ditahan oleh dua kawat miring CD dan CB (Gambar 2-19a). Kawat­

kawat ini terpasang di tumpuan di titik C, yang terletak pada jarak vertikal b di atas titik A. Kedua kawat terbuat dari bahan yang sama dan mempunyai diameter

yang sama.

Tentukanlah gaya tarik T1 dan T2 di kawat CD dan CB akibat beban vertikal P yang bekerja di ujung batang.

Solusi

Persamaan keseimbangan. Diagram benda bebas batang AB (Gambar 2-19b)

menunjukkan bahwa ada empat gaya anu, yaitu gaya tarik T1 dan T2 di kawat­ kawat dan dua komponen reaksi _(RH dan Ry) di tumpuan sendi. Karena hanya ada tiga persamaan keseimbangan independen, maka struktur ini adalah statis tak tentu. Kita dapat memperoleh persamaan keseimbangan yang hanya mengandung

T1 dan T2 sebagai anu dengan menjumlahkan momen terhadap titik A:

LMA

= 0 bT1 sin a1 + 2bT2 sin U-z -2bP = 0

di mana al dan az adalah sudut antara kawat dan batang. Dari geometri struktur (Gambar 2-1 9a) kita lihat bahwa

. CA b 1 Sill at = CD = b{i =

{i

. CA b Sill a2 = CB = b.)S

.J5

Dengan memasukkan harga-harga ini ke dalam Persamaan (t) kita peroleh

_Il_

+ 2Tz = 2P

{i .J5

yang merupakan bentuk akhir dari persamaan keseimbangan.

(t)

(u)

(v)

Persamaan keserasian. Persamaan keserasian dapat diperoleh dengan meninjau peralihan titik-titik D dan B. Untuk itu, kita menggambarkan diagram

G a m b a r 2 - 1 9 Contoh 2-7. Analisis struktur statis tak tentu.

-,

b

1

----b ---b c (a) (b) (c) D B IY' B" D' (d) (e)

semula dari batang AB dan garis AB' menunjukkan posisi setelah berotasi. Karena sudut rotasi batang AB sangat kecil, maka peralihan 81 dan 82 di titik D dan B, dapat dipandang sebagai peralihan vertikal yang kecil. Karena jarak dari A ke B dua kali jarak dari A ke D, maka kita lihat bahwa

82 = 281 (w)

yang merupakan persamaan keserasian.

Hubungan gaya-peralihan. Sekarang kita membutuhkan hubungan antara gaya T1 dan T2 dan peralihan vertikal 81 dan 82 masing-masing di titik D dan B.

Kita mulai dengan meninjau kawat CD, yang berotasi dari posisi semula CD ke posisi akhir CD' (Gambar 2-19c). Kita gambarkan DD" yang tegak lurus dari titik D ke garis CD'. Karena peralihan dan sudut berubah sangat kecil, maka kita dapat mengasumsikan bahwa jarak CD" sama dengan jarak CD. (artinya, busur lingkaran DD" dengan titik C sebagai pusatnya tidak dapat dibedakan dengan garis DD'�) Segitiga peralihan DD'D" dalam Gambar 2-19c digambar ulang agar lebih jelas di Gambar 2-19d. Jarak DD' adalah peralihan vertikal 81 titik D dan jarak D'D" adalah perpanjangan 8cv kawat CD. Sudut a1 terlihat dalam segitiga sebagai sudut D'DD'� Untuk membuktikan ini, kita perhatikan bahwa garis DD' adalah tegak lurus garis AB, dan garis DD" tegak lurus garis CD (untuk sudut rotasi yang kecil). Dengan demikian, dari segitiga peralihan DD'D" kita peroleh

0 8I

=

Sin _(XI = ---;= -.J2

Persamaan ini memberikan hubungan geometri antara perpanjangan kawat CD dan peralihan ke bawah titik D.

Perpanjangan 8cv pada kawat CD dihubungkan dengan gay a di kawat tersebut dengan hubungan gaya-peralihan:

8 _{cv - � - �} - � Lcv - �b-fi

di mana _Lcv = b

.fi

adalah panjang kawat CD. Dengan menggabungkan dua

persamaan terakhir untuk 8cv kita dapatkan

8 _I

=

2_EA b� (x)

Dengan cara yang sama, kita dapat menghubungkan peralihan ₈₂ dengan perpanjangan 8c8 pada kawat CB (lihat Gambar 2- 19e) dan mendapatkan

8 _ 5bT2 _(y)

2

- EA

Persamaan (x) dan (y) adalah hubungan gaya-peralihan yang memberikan peralihan titik-titik D dan B yang dinyatakan dalam gaya anu di kawat.

Dengan memasukkan 81 dan ₈₂ dari hubungan gaya-peralihan ke dalam persamaan keserasian (Persamaan w) maka

(z) yang merupakan persamaan keserasian yang dinyatakan dalam gaya anu.

Solusi persamaan. Pada langkah terakhir dalam contoh ini kita memecahkan persamaan keseimbangan (Persamaan v) dan keserasian (Persamaan z) secara simultan. Hasilnya adalah

T, _

IO.JiOP

I -

g-fi

+ 5-/5 = 1,406? T2 = 4� 5

=

1 125P ' •

Jadi, kita mendapatkan gaya tarik di kawat dengan menganalisis struktur statis tak ten tu.

Dengan diketahuinya gaya tarik di kawat, maka kita dapat dengan mudah menentukan semua gaya dan peralihan. Sebagai contoh, reaksi di tumpuan A dapat diperoleh dari persamaan keseimbangan dan peralihan _8I dan 82 dapat diperoleh dari Persamaan (x) dan (y)

Catatan: Dalam contoh ini, solusi akhir untuk gaya-gaya tidak melibatkan rigiditas aksial EA dari kawat. (Fakta ini nyata di dalam solusi simbolik tetapi tidak terlihat nyata di dalam solusi numerik.) Sebabnya adalah bahwa kedua kawat mempunyai rigiditas aksial yang sama, sehingga besaran EA saling meniadakan di dalam solusi. Jika setiap kawat mempunyai rigiditas yang berbeda, maka masing­ masing rigiditas tersebut akan muncul di dalam rumus ekspresi akhir.

A B Gambar 2-20 Blok bahan yang mengalami peningkatan temperatur

EFEK TERMAL

Beban luar bukanlah satu-satunya sumber tegangan dan regangan di suatu struktur. Perubahan temperatur menyebabkan ekspansi atau kontraksi bahan, sehingga teljadi regangan termal dan tegangan termal. Ilustrasi sederhana tentang ekspansi termal ditunjukkan dalam Gambar 2-20, di mana suatu blok bahan tidak dikekang sehingga bebas berekspansi. Apabila bahan tersebut dipanaskan, setiap elemen di bahan tersebut mengalami regangan termal di segala arah, sehingga dimensi blok tersebut bertambah. Jika kita mengambil pojok A sebagai titik referensi yang tetap dan memisalkan sisi AB pada garis yang sama, maka blok tersebut akan mempunyai bentuk seperti garis yang putus.

Pada kebanyakan bahan, regangan termal _ET sebanding dengan perubahan temperatur !J.T; jadi,

(2-1 3) di mana a adalah besaran bahan yang disebut koefisien ekspansi termal.

Karena regangan merupakan besaran yang tak berdimensi, maka koefisien ekspansi termal mempunyai satuan yang sama dengan kebalikan perubahan temperatur. Dalam satuan SI, dimensi a dapat dinyatakan dalam 1/K (kebalikan kelvin) atau l/°C (kebalikan derajat Celcius). Harga a untuk

kedua kasus sama karena perubahan secara numerik sama untuk Kelvin dan derajat Celcius. Dalam satuan USCS, dimensi a adalah 1/°F (kebalikan derajat Fahrenheit).* Harga a yang khas dicantumkan dalam Tabel H-4 dalam Lampiran H.

Jika perjanjian tanda untuk regangan termal dibutuhkan, kita biasanya mengasumsikan bahwa ekspansi bertanda positif dan kontraksi bertanda negatif.

Untuk menunjukkan pentingnya regangan termal, kita akan meng­ hitung regangan termal dengan regangan yang diakibatkan beban dengan cara berikut. Misalkan kita mempunyai batang yang dibebani secara aksial dengan regangan longitudinal yang diberikan oleh persamaan E = CJIE, di mana CJ adalah tegangan dan E adalah modulus elastisitas. Kemudian misalkan kita mempunyai batang identik yang mengalami perubahan temperatur !J.T, yang berarti bahwa batang tersebut mempunyai regangan yang dihitung dengan Persamaan (2-1 3). Dengan menyamakan kedua regangan maka haruslah CJ = Ea(!J.T). Dari persamaan ini kita dapat

menghitung tegangan aksial cr yang menghasilkan regangan yang sama

dengan akibat perubahan temperatur !J.T. Sebagai contoh, tinjaulah suatu batang baja tahan karat dengan E = 30 X 106 psi dan a = 9,6 X 10-6/°F.

Perhitungan sederhana dari persamaan untuk cr menunjukkan bahwa

perubahan temperatur sebesar 1 00°F menghasilkan regangan yang sama dengan tegangan 29.000 psi. Tegangan ini masih di bawah tegangan izin bahan ini. Jadi, perubahan temperatur yang relatif wajar menghasilkan regangan yang sama besar dengan regangan yang diakibatkan oleh taraf beban biasa, yang menun'jukkan bahwa efek temperatur dapat merupakan hal penting di dalam desain.

G a m b a r 2-21 Pertambahan panjang suatu batang prismatis akibat peningkatan temperatur

seragam (Persamaan 2- 14)

Gambar 2-22 Rangka batang statis tertentu dengan peru bahan temperatur seragam di setiap batang

Bahan struktural biasa akan memuai jika ctipanaskan ctan menyusut jika ctictinginkan sehingga peningkatan temperatur akan menimbulkan regangan termal yang bertancta positif. Regangan termal biasanya ctapat balik, artinya elemen tersebut akan kembali ke bentuk semula jika tempe­ ratumya ctikembalikan ke temperatur semula. Namun, acta beberapa pactuan metal khusus yang belakangan ini ctikembangkan yang tictak berperilaku seperti biasa. Untuk selang temperatur tertentu pacta pactuan semacam ini akan menyusut jika ctipanaskan ctan memuai jika ctictinginkan. Air juga merupakan bahan yang tictak biasa ctari tinjauan termal-air memuai jika ctipanaskan ctari temperatur 4°C ctan juga memuai jika ctictinginkan cti bawah 4°C. Jacti, air mempunyai berat jenis maksimum pacta 4°C.

Sekarang kita kembali ke blok bahan yang terlihat ctalam Gambar 2- 20. Kita asumsikan bahwa bahan ini isotropis ctan homogen, ctan bahwa peningkatan temperatur f..T actalah seragam cti seluruh blok. Kita ctapat menghitung bertambahnya ctimensi manapun ctari blok ini ctengan mengalikan ctimensi semula ctengan regangan termal. Sebagai contoh, jika salah satu ctimensi actalah L, maka ctimensi tersebut·akan bertambah sebesar (2- 14) Persamaan (2-14) actalah hubungan temperatur-peralihan, yang analog ctengan hubungan gaya-peralihan yang telah ctibahas ctalam subbab sebelum ini. Hubungan ini ctapat ctigunakan untuk menghitung perubahan panjang elemen struktur yang mengalami perubahan temperatur seragam, seperti perpanjangan

_8T

pacta batang prismatis yang terlihat ctalam Gambar 2-21 . (Dimensi transversal pacta batang ini juga berubah, tetapi perubahan ini tictak ctitunjukkan ctalam gambar tersebut karena biasanya tictak menimbulkan pengaruh terhactap gaya aksial cti batang tersebut.)

AT

0

1--

T

Di ctalam pembahasan tentang regangan termal, kita berasumsi bahwa strukturnya tictak mempunyai kekangan ctan ctapat berekspansi atau berkontraksi ctengan bebas. Konctisi-konctisi ini acta kalau suatu bencta terletak pacta permukaan yang tak bergesekan atau tergantung pacta ruang terbuka. Pacta kasus seperti ini tictak acta tegangan yang ctihasilkan oleh perubahan temperatur seragam cti seluruh bencta, sectangkan perubahan temperatur yang tictak seragam ctapat menimbulkan regangan internal. Untuk struktur yang mempunyai tumpuan yang mencegah ekspansi ctan kontraksi, tegangan termal akan timbul meskipun perubahan temperatur cti seluruh struktur seragam.

Untuk menggambarkan icte-icte cti atas tentang efek termal, tinjaulah rangka batang ABC yang terctiri atas ctua batang ctalam Gambar 2-22 ctan asumsikan bahwa temperatur batang AB berubah f..T1, ctan temperatur batang BC berubah f..T2. Karena rangka batang ini statis tertentu, maka kectua batang tersebut bebas memanjang atau memenctek, yang menye­ babkan terjactinya peralihan cti B. Sekalipun ctemikian, tictak acta tegangan pacta kectua batang ctan tictak acta reaksi cti tumpuan. Kesimpulan ini berlaku

Gambar 2-23 Rangka batang statis tak tentu yang mengalami perubahan temperatur

secara umum pada struktur statis tertentu; jadi, perubahan temperatur di elemen struktur menimbulkan regangan termal (dan perubahan panjang) tanpa adanya tegangan.

Suatu struktur statis tak tentu mungkin saja menghasilkan tegangan temperatur, bergantung pada karakter struktur tersebut dan bagaimana perubahan temperatur itu terj adi. Untuk menggambarkan beberapa kemungkinan, tinjaulah rangka batang statis tak tentu yang terlihat dalam Gambar

2-23.

Karena tumpuan struktur ini memungkinkan titik hubung D bergerak dalam arah horizontal, maka tidak ada tegangan yang timbul apabila keseluruhan rangka batang ini dipanaskan secara seragam. Semua batang akan memanjang yang sebanding dengan panjang semula, dan rangka batang ini akan menjadi sedikit lebih besar. Namun, jika sebagian (tidak semua) batang dipanaskan, maka tegangan termal akan timbul karena adanya susunan statis tak tentu dari batang-batang ini mencegah perpanjangan bebas. Untuk menggambarkan kondisi ini, bayangkan bahwa . hanya satu batang yang dipanaskan. Karena batang ini menjadi panjang, maka batang ini akan menjumpai tahanan dari batang lain, dan akibatnya timbul tegangan pada setiap batang.

Analisis struktur statis tak tentu dengan perubahan temperatur didasarkan atas konsep-konsep yang dibahas dalam subbab sebelum ini, yaitu persamaan keseimbangan, persamaan keserasian, dan hubungan peralihan. Perbedaan utama adalah bahwa kita sekarang menggunakan hubungan temperatur-peralihan (Persamaan

2-14)

selain juga hubungan gaya-peralihan (seperti 8 = PUEA) dalam melakukan analisis. Contoh

berikut menggambarkan prosedurnya secara rinci.

• Contoh 2-8

Gambar 2-24 Contoh 2-8. Batang statis tak tentu dengan peningkatan temperatur tegangan l!.T

Sebuah batang prismatis AB yang panjangnya L ditahan oleh tumpuan yang tak dapat bergerak (Gambar 2-24a). Jika temperatur batang ini ditingkatkan secara seragam sebesar !lT, berapakah tegangan termal (Jr yang timbul di batang? (Asumsikan bahwa batang ini terbuat dari bahan yang elastis linier.)

ilT L

Solusi

Karena temperatur meningkat, maka batang akan berusaha untuk memanjang tetapi ditahan oleh tumpuan kaku di A dan B. Dengan demikian, reaksi _RA dan _RB akan timbul di kedua tumpuan, dan batang tersebut akan mengalami tegangan tekan seragam.

Persamaan keseimbangan.

Gaya-gaya yang bekerja di batang ini hanyalah reaksi di kedua ujung seperti terlihat dalam Gambar 2-24a. Dengan demikian, keseimbangan gaya dalam arah vertikal adalah

(a) Karena ini adalah satu-satunya persamaan keseimbangan nontrivial, dan karena persamaan ini mengandung dua anu, maka kita lihat bahwa struktur ini adalah statis tak tentu dan persamaan tambahan dibutuhkan.

Persamaan keserasian.

Persamaan keserasian menunjukkan fakta bahwa perubahan panjang batang adalah no! (karena tumpuannya tidak bergerak):

DAB = 0 (b)

Untuk menentukan perubahan panjang ini, kita membuang tumpuan atas dari batang tersebut dan mendapatkan batang yang terjepit di ujung bawah dan bebas di ujung atas (Gambar 2-24b dan c). Apabila hanya perubahan temperatur yang bekerja (Gambar 2-24b), maka perpanjangan batang adalah 87 dan jika hanya _RA yang bekerja, maka batang akan memendek sebesar 8R (Gambar 2-24c). Jadi, perubahan panjang neto adalah DAB =

Or

-8R, dan persamaan keserasian menjadi

DAB = 87 - 8R = 0 (c)

Hubungan peralihan.

Pertambahan panjang batang akibat perubahan temperatur ll.T ditentukan oleh hubungan temperatur-peralihan (Persamaan 2-14): (d) di mana a adalah koefisien ekspansi termal. Pengurangan panjang akibat gaya _RA dihitung dengan hubungan gaya-peralihan:

8 - RAL R - EA

(e) di mana E adalah modulus elastisitas dan A adalah luas penampang. Dengan