Karena perilaku nonlinier kabel, kita tidak dapat mencari gaya dan peralihan untuk harga beban Q lainnya dengan proporsi lain, sebagaimana

(b) Peralihan akibat beban P1 yang bekerja sendiri Tegangan di setengah bagian atas batang adalah PiA atau 8.000 psi, dan tidak ada tegangan di setengah

Catatan 2: Karena perilaku nonlinier kabel, kita tidak dapat mencari gaya dan peralihan untuk harga beban Q lainnya dengan proporsi lain, sebagaimana

biasa dilakukan pada struktur linier. Pada struktur nonlinier ini, kelima persamaan harus dipecahkan lagi, dengan Persamaan (a) diubah sesuai dengan harga beban yang barn.

Catatan

3: Contoh ini menggambarkan bagaimana gaya-gaya dan peralihan pada suatu struktur statis tak tentu dapat dihitung dari ketiga konsep dasar mekanika bahan, yaitu persamaan keseimbangan (yang didasarkan atas prinsip-prinsip statika), persamaan keserasian (berdasarkan atas prinsip-prinsip geometri), dan hubungan beban-peralihan (yang didasarkan atas besaran bahan).

*2"1 2

I

ANALISIS ELASTOPLASTIS

Gambar 2-69 Analisis elasto plastis suatu struktur statis tak tentu

Di dalam subbab sebelum ini kita telah membahas perilaku struktur apabila tegangan di bahan melebihi limit proporsional. Sekarang kita akan meninjau bahan yang sangat penting dalam desain teknik yaitu baja, yang merupakan metal struktural yang paling banyak digunakan. Baja lunak (atau baja struktural) dapat dimodelkan sebagai bahan elastoplastis (lihat diagram tegangan-regangan dalam Gambar 2-63c). Suatu bahan elastoplastis pada awalnya berperilaku secara elastis linier dengan modulus elastisit!LS

E.

Sesudah luluh plastis mulai, regangan akan meningkat pada taraf tegahgan yang kurang lebih konstan, yang disebut tegangan

luluh

cr_y. Regangan

pada saat dimulainya luluh dikenal dengan regangan

luluh

_£Y.

Di dalam subbab ini kita akan membahas analisis struktur statis tak tentu dengan bahan elastoplastis. Untuk menggambarkan perilaku struktur seperti ini, kita akan menggunakan susunan sederhana seperti terlihat dalam Gambar 2-69a. Struktur ini terdiri atas tiga batang baja yang memikul beban P yang bekerja melalui plat kaku. Kedua batang tepi mempunyai panjang Ll' dan batang tengah mempunyai panjang _L2,serta ketiga batang mempunyai luas penampang yang sama

A.

Diagram tegangan-regangan untuk baja diidealisasikan seperti terlihat dalam Gambar 2�69b, dan modu lus elastisitas di daerah elastis linier adalah

E

= cr

j

t:_y-•··

Plat kaku

(a) (b)

Seperti yang biasa dilakukan pada struktur statis tak tentu, kita akan memulai analisis dengan persamaan keseimbangan dan keserasian. Dari keseimbangan plat kaku di dalam arah vertikal kita peroleh

(a) di mana _F1dan _F2adalah gaya-gaya aksial di batang-batang tepi. Karena plat bergerak ke bawah sebagai benda tegar, pada saat beban diterapkan, maka persamaan keserasiannya adalah

(b) di mana ₈₁dan ₈₂masing-masing adalah perpanjangan batang tepi dan batang tengah. Karena hanya bergantung pada keseimbangan dan geometri, maka kedua persamaan di atas berlaku untuk semua taraf beban P, tidak

peduli apakah regangan ada di daerah elastis linier atau di daerah plastis. Apabila beban

P

kecil, maka tegangan di batang lebih kecil daripada tegangan luluh

av

dan bahan tersebut mengalami tegangan di dalarn daerah elastis linier. Dengan demikian, hubungan gaya-peralihan antara gaya batang dan perpanjangannya adalah

8 - Fi� _{1 - EA}

8- = Fz� _-

_EA

(c)

Dengan memasukkan ini ke dalam persarnaan keserasian (Persamaan b), maka

FILl = FzLz

(d)

Dengan memecahkan secara simultan Persarnaan (a) dan (d), maka

_{I - � +}-

p�

2� (2-7 1 a,b)

Jadi, kita sekarang mendapatkan gaya-gaya di batang pada daerah elastis linier. Tegangannya adalah

a] = Fi = _{A A(� +}

p� _{2� )} _{- _1._ -}

_-

F _{A A(� +}_-

_2�

l (2-72a,b)

Persamaan-persarnaan di atas untuk gaya dan tegangan berlaku asalkan tegangan di ketiga batang masih di bawah tegangan luluh

a,.

Dengan meningkatnya beban

P,

tegangan di batang menirigkat sarnpai tegangan luluh dicapai di salah satu batang. Sekarang asumsikan bahwa batang-batang tepi lebih daripada batang tengah, seperti terlihat dalarn Gambar 2-69a:

(e) Dengan demikian, batang tengah mengalarni tegangan yang lebih tinggi dibandingkan batang tepi (lihat Persarnaan 2-72a dan b) dan akan mencapai tegangan luluh terlebih dahulu. Apabila hal ini tetjadi, maka gaya di batang tengah adalah

F2

aYA.

Besarnya beban

P

pada saat tegangan

luluh pertarna kali dicapai di salah satu batang disebut beban luluh

PY.

Kita dapat menentukan

Pv

dengan menetapkan

F2

sarna dengan

ayA

di Persarnaan (2-7 1 b) dan menghitung be ban:

PY = aYA(l +

(2-73)

Selarna beban

P

lebih kecil daripada

Py,

struktur berperilaku secara elastis linier dan gaya-gaya di batang dapat dihitung dari Persarnaan (2-7 1 a dan b). Peralihan ke bawah pada batang kaku akibat beban luluh, yang disebut

c peralihan luluh

8y,

sarna dengan perpanjangan batang tengah pada saat

tegangan mencapai tegangan luluh

ay

pertarna kali:

Gambar 2·70 Diagram beban peralihan untuk struktur statis tak tentu yang ditunjukkan dalam gambar 2-69a.

_{y - EA - � - �}_{- F2Lz - a2Lz -}

aYLz

_(2-74)

Hubungan antara beban

P

dan peralihan ke bawah

8

batang kaku ditunjukkan dalarn diagram beban-peralihan dalam Garnbar 2-70. Perilaku struktur sarnpai beban luluh

PY

ditunjukkan dengan garis

OA.

Dengan bertambahnya beban, maka gaya

F1

di batang tepi luar bertarnbah, tetapi gaya

F2

di batang tengah tetap konstan sebesar

ayA

karena batang ini sekarang plastis sempuma (lihat Garnbar 2-69b ). Apabila

gaya _F1mencapai harga _<JvA,maka batang tepi juga luluh sehingga struktur tidak dapat memikul beban tambahan apapun. Ketiga batang akan memanjang secara plastis pada taraf beban konstan, yang disebut beban plastis

_PP.

Beban plastis yang ditunjukkan dengan titik

B

pada diagram beban-peralihan (Gambar 2-70), dan garis horizontal

BC

menunjukkan daerah deformasi plastis kontinu tanpa adanya penambahan beban.

Beban plastis

_PP

dapat dihitung dari keseimbangan statis (Persamaan a) dengan diketahuinya

Jadi, dari keseimbangan kita dapatkan

pp = 3<Jy4

(f)

(2-75)

Peralihan plastis

oP

tepat pada saat beban mencapai beban plastis

_PP

sama dengan perpanjangan batang tepi pada saat mencapai tegangan luluh. Dengan demikian,

(2-76)

Dengan membandingkan

_oP

dan _oy,kita lihat bahwa rasio peralihan plastis terhadap peralihan luluh adalah

op �

- = -

_oy

�

Juga, rasio beban plastis terhadap beban luluh adalah

- =

pv �

+

2�

(2-77)

(2-78)

Sebagai contoh, jika L1 = 1 ,5L2, maka rasionya adalah

O/OY =

1 ,5 dan

P /

Pv

= 917

=

1 ,29. Pada umumnya, rasio peralihan lebih besar daripada rasio bebannya, sehingga daerah yang plastis sebagian

AB

pada dengan beban peralihan (Gambar 2-70) selalu mempunyai kemiringan yang lebih kecil dibandingkan dengan di daerah elastis

OA.

Tentu saja, daerah plastis penuh

BC

mempunyai kemiringan terkecil (nol).

Untuk memahami mengapa grafik beban-peralihan adalah linier di daerah plastis parsial (garis

AB)

dan mempunyai kemiringan lebih kecil daripada di daerah elastis linier, tinjaulah hal berikut. Di daerah plastis parsial dari struktur, batang tepi masih berperilaku elastis linier. Dengan demikian, perpanjangannya merupakan fungsi linier dari beban. Karena perpanjangannya sama dengan peralihan ke bawah plat kaku, maka peralihan plat kaku juga harus merupakan fungsi linier dari beban. Akibat nya, kita mempunyai garis lurus antara titik

A

dan B. Namun, kemiringan dari diagram beban-peralihan di daerah ini lebih kecil daripada di daerah linier awal karena batang tengah mengalarni luluh secara plastis dan hanya batang tepi yang dapat memberikan tahanan tambahan terhadap peningkatan beban. Ini berarti kekakuan struktur telah berkurang.

Dari pembahasan yang berkaitan dengan Persamaan (2-75), kita lihat bahwa perhitungan beban plastis

_PP

membutuhkan hanya statika, karena semua elemen struktur telah luluh dan gaya aksialnya diketahui. Sebaliknya, perhitungan beban luluh

_PY

membutuhkan analisis statis tak tentu, yang berarti persamaan keseimbangan, keserasian, dan gaya-peralihan harus dipecahkan.

Sesudah beban plastis

PP

tercapai, struktur akan terus berdeformasi seperti terlihat dengan garis

BC

pacta diagram beban-peralihan dalarn Garnbar 2-70. Pacta akhimya strain hardening terjadi dan struktur akan marnpu memikul be ban tambahan.

T

etapi, adanya peralihan yang sangat besar biasanya berarti struktur sudah tidak lagi berguna, dan begitu pula beban plastis

PP

dipandang sebagai beban gaga!.

Diskusi di atas berkaitan dengan perilaku struktur apabila beban diterapkan untuk pertarna kali. Jika beban dihilangkan sebelum beban luluh dicapai, maka struktur akan berperilaku secara elastis dan kembali ke kondisi semula. Narnun, jika beban luluh telah dilampaui, sebagian dari struktur akan mempertahankan set yang permanen apabila beban dihilangkan, jadi menimbulkan kondisi tegangan awal. Akibatnya, struktur tersebut akan mempunyai tegangan residual ( sisa) meskipun belum ada beban yang bekerja. Jika beban diterapkan sekali lagi. maka struktur akan berperilaku secara berbeda.

• Contoh 2-21

Gambar 2-71 Contoh 2-2 1 . Analisis elastoplastis pada suatu struktur statis tak tentu.

Struktur yang terlihat dalam Gambar

2-7 1

a terdiri atas balok horizontal

AB

(diasumsikan kaku) yang dipikul oleh dua batang identik (batang 1 dan 2) yang terbuat dari bahan elastoplastis. Batang-batang ini mempunyai panjang L. dan Juas penampang

A,

dan bahannya mempunyai tegangan luluh ay, regangan luluh f.v,

dan modulus elastisitas

E

CJ/£Y.

Balok ini mempunyai panjang

3b

dan memikul beban

P

di ujung

B.

(a) Tentukanlah beban luluh

P,

dan peralihan luluhnya _8Ydi titik

B.

(b) Tentukan beban plastis

_PP

dan peralihan plastisnya _8Pdi titik

B. P

dan peralihan 88 di titik

B. tF1 tF:

p

PP=

S py

_{: n}

py

' ' B

p

(a) (b) Solusi

Persamaan keseimbangan.

Karena struktur ini statis tak tentu, maka kita mulai dengan persamaan keseimbangan dan keserasian. Dengan meninjau keseimbangan balok

AB,

kita mengambil momen terhadap titik

A

dan mendapatkan

I _MA= 0

Fl(b)

_{Fz(2b) - P(3b)}

= 0

di mana

F1

dan

F2

masing-masing adalah gaya-gaya aksial di batang

I

dan

2.

Persamaan ini dapat disederhanakan menjadi

(g)

Persamaan keserasian.

Persamaan keserasian didasarkan atas geometri struktur. Akibat bekerjanya beban

P,

balok kaku berotasi terhadap titik

A,

sehingga

SOAL-SOAL BAB 2

I

peralihan ke bawah di setiap titik di sepanjang balok sebanding dengan jaraknya dari titik

A.

Jadi, persamaan keserasian adalah

(h) dimana

82

adalah perpanjangan batang 2 dan

81

adalah perpanjangan batang l .

(a)

Beban luluh

dan

peralihan luluh.

Jika beban P kecil dan tegangan-tegangan pada bahan berada dalam daerah elastis linier, hubungan antara gaya-peralihan kedua batang adalah

8 - F.,L

_{I -}

EA

8 2

F2L EA

(i)

Dengan menggabungkan persamaan-persamaan di atas dengan kondisi keserasian (Persamaan h), maka

Dalam dokumen mekanika dan bahan dan 1 (Halaman 146-151)

Karena perilaku nonlinier kabel, kita tidak dapat mencari gaya dan peralihan untuk harga beban Q lainnya dengan proporsi lain, sebagaimana

(b) Peralihan akibat beban P1 yang bekerja sendiri Tegangan di setengah bagian atas batang adalah PiA atau 8.000 psi, dan tidak ada tegangan di setengah

Catatan 2: Karena perilaku nonlinier kabel, kita tidak dapat mencari gaya dan peralihan untuk harga beban Q lainnya dengan proporsi lain, sebagaimana

Catatan

I

E.

luluh

luluh

A.

E

j

P

av

8 - Fi� 1 - EA

8- = Fz� -

EA

FILl = FzLz

I - � + -

a] = Fi = A A(� +

-

F A A(� + -

2�

a,.

P,

F2

aYA.

P

PY.

Pv

F2

ayA

PY = aYA(l +

P

Py,

8y,

ay

y - EA - � - � - F2Lz - a2Lz -

aYLz

P

8

PY

OA.

F1

F2

ayA

PP.

B

BC

PP

oP

PP

oP

- = -

- =

+

O/OY =

P /

Pv

=

AB

OA.

BC

AB)

A

PP

PY

PP

BC

T

PP

2-7 1

AB

A,

E

CJ/£Y.

3b

P

B.

P,

B.

8 - Fi� _{1 - EA}

8- = Fz� _-

_EA

_{I - � +}-

a] = Fi = _{A A(� +}

_-

F _{A A(� +}_-

_2�

_{y - EA - � - �}_{- F2Lz - a2Lz -}

_PP.

_PP

_PP

_oP

_PP

_PY

_PP

_{: n}

_{Fz(2b) - P(3b)}