FzL = 2 F.,L atau

F2

= _{2F., (j)}

EA

EA

Sekarang dengan memasukkannya ke persamaan keseimbangan (Persamaan g), kita dapatkan

F. _

3

P

I -

5

F, _{= 6P}

- ₅ (k)

Batang 2, yang mempunyai gaya lebih besar, akan mencapai tegangan luluh terlebih dahulu. Pada saat itu, gaya di batang 2 adalah

F2

=

ay4.

Dengan memasukkan

harga ini ke dalam Persamaan (k) maka beban luluh PY adalah

_

5a

_,A

P,. -

_.

₆

(I) _•

Perpanjangan batang 2 (dari yang kedua dalam Persamaan i) adalah

82

=

apE

sehingga peralihan luluh di titik

B

adalah

_

382

_

3a>L

8

- - - -- (m) •

y

₆

_2E

PY dan

8

_{Y ditunjukkan dalam diagram beban-peralihan (Gambar} 2-7 1 b). (b)

Beban plastis dan peralihan plastis.

_{Pada saat beban plastis PP dicapai,}

kedua batang akan meregang pada taraf tegangan luluh dan gaya-gaya

F1

dan

F2

akan sama dengan

ay4.

Dari keseimbangan (Persamaan g), beban plastis adalah

PP =

ay4

(n) •

Pada taraf beban ini, batang kiri (batang 1 ) barn saja mencapai tegangan luluh sehingga perpanjangannya (dari yang pertama dalam Persamaan i) adalah

81

=

apE

dan peralihan plastis titik

B

adalah

3a L

8

=

381

= (o)

•

P

_E

Rasio beban plastis terhadap beban luluh (lihat Persamaan n dan 1) adalah

6/5,

dan rasio peralihan plastis terhadap peralihan luluh (lihat Persamaan o dan m) adalah

2. Harga-harga ini juga ditunjukkan dalam diagram beban-peralihan.

(c)

Diagram beban-peralihan.

Perilaku beban-peralihan struktur secara lengkap dip lot dalam Gambar 2-71 b. Perilaku ini elastis linier pada daerah dari 0 ke

A,

plastis sebagian dari

A

ke

B,

dan plastis penuh dari

B

ke

C.

Lembar PERUBAHAN PANJANG PADA

Ke

�

ia _{ELEMEN STRUKTUR VANG DIBEBANI}

SECARA AKSIAL

2.2-1 Sebuah kawat baja dan kawat tembaga mem­

punyai panjang sama dan memikul beban sama P (lihat gambar). Modulus elastisitas untuk baja dan tembaga

masing-masing adalah Es = 29 x 1 06 psi dan Ec = 1 8 x 106. (a) Jika kedua kawat mempunyai diameter sama, berapakah rasio perpanjangan kawat tembaga terhadap perpanjangan kawat baja? (b) Jika kawat memanjang sama besar. berapakah rasio diameter kawat tembaga terhadap diameter kawat baja?

Kawat baja

__--Kawat tembaga

....---

2.2-2 Sebuah benda berat sedang diangkat dari dasar

!aut dengan menggunakan kapal tarik (lihat gambar). Kabel baja mempunyai modulus elastisitas efektif sama dengan 140 GPa, dan bebannya menimbulkan tegangan di kabel sama dengan 290 MPa. Jika bagian kabel yang dibebani mempunyai panjang 90 m, berapakah perpanjangan kabel pada saat benda diangkat?

2.2-3 Sebuah kabel baja dengan diameter 1 ,0 in (lihat

Tabel 2- 1 ) digunakan dalam konstruksi untuk mengangkat potongan jembatan yang beratnya 12 ton, seperti terlihat dalam gambar. Kabel ini mempunyai modulus elastisitas efektif E = 20 x 106 psi. (a) Jika kabel mempunyai panjang 45 ft, berapakah kabel itu akan memanjang pada saat beban tersebut diangkat? (b) Jika kabel itu dicanangkan untuk beban maksimum 15

ton, berapakah faktor keamanan terhadap kegaga1an kabel?

2.2-4 Sebuah katup pengaman di bagian atas tangki

yang mengandung uap bertek.anan p mempunyai lubang

pembuangan dengan diameter d (lihat gambar). Katup

ini didesain untuk melepaskan uap pada saat tekanan mencapai harga PmaL· Jik.a panjang alami pegas L dan

kekakuannya adalah k. berapa seharusnya diameter katup?

(Nyatakan hasilnya sebaga.i rumus untuk

h).

2.2-5 Peralatan yang terlihat dalam gambar terdiri atas

penunjuk ARC yang dipikul oleh pegas yang berkekakuan

k.

Pegas ini terletak padajarak

b

dari ujung sendi. Peralat­ an ini disesua.ikan sedemikian hingga agar apabila tidak ada beban

P,

penunjuk menunjukkan angka no! pada skala sudut. Pada jarak x berapa beban harus diletakkan agar penunjuk akan menunjukkan 2° pada skala? Guna­ kan data berikut:

k

= 8,0 lb/in,

b

= 8 in, dan

P

=

3

lb.

22-6 Sebuah batang seragam

AB

yang beratnya

W

= :.5 '\ dipikul oleh dua pegas, seperti terlihat dalam Pegas di kiri mempunyai kekakuan k1 = 300 NI

m dan panjang alami L1 = 250 mm. Besaran untuk pegas

kanan adalah k2 = 400 N/m dan L2 = 200 mm. Jarak

antara pegas adalah

L

= 350 mm, dan pegas di kanan digantung pada tumpuan yang berjarak h = 80 mm di

bawah titik tumpuan untuk pegas kiri. Pada jarak x

berapakah dari pegas kiri beban

P

= 1 8 !\ harus di­

letakkan agar batang ini terletak horizontal·?

h

2.2-7 Sebuah baja mutu tinggi dengan diameter

d

= 0,5

in dan modulus elastisitas E = 30 x 1 06 psi harus

menyalurkan beban

P

= 6100 lb (lihat gambar). (a) Jika panjang L batang adalah 1 4,50 ft, berapakah panjang akhir? (b) Berapakah rasio panjang batang terhadap pertambahan panjang? (c) Jika pertambahan panjang dibatasi pada 0,15 in, berapakah be ban maksimum

P

_maks

yang diizinkan?

2.2-8 Sebuah kawat aluminium yang mempunyai di­

ameter

d

= 2 mm dan modulus elastisitas E = 75 GPa mengalami beban tarik

P

(lihat gambar). (a) Jika kawat ini memanjang 2,25 mm jika dibebani tarik 175 N, berapa panjang L kawat? (b) Jika perpanjangan izin maksimum adalah 3,0 mm, tegangan izin tarik adalah 60 MPa, dan panjang kawat adalah 3,8 m, berapa beban izin

P

_maks?

2.2-9 Sebuah batang panjang dari tembaga persegi

panjang yang mengalami beban tarik

P

digantung pada tumpuan sendi dengan tiang baja (lihat gambar). Batang tembaga mempunyai panjang 26 ft, luas penampang

6,5 in2, dan modulus elastisitas Ec = 1 5 x 1 06 psi. Masing­

masing tiang baja mempunyai tinggi 35 in, luas penam­ pang 8,4 in2, dan modulus elastisitas E, = 29 x 106 psi. (a) Tentukan peralihan ke bawah 8 di ujung bawah batang tembaga akibat beban

P

= 85 k. (b) Berapakah beban

izin maksimum

P

_maks jika peralihan 8 dibatasi pada

0,30 in.?

/ Tiang baja

Batang /� tembaga

2.2-10 Rangka batang

ABC

yang terlihat dalam gambar

mempunyai bentang L = 3 m dan terbuat dari pipa baja

: ang mempunyai luas penampang

A

= 3540 mm2 dan modulus elastisitas E = 200 GPa. Sebuah beban

P

bekerja

dalarn arah horizontal ke kanan di titik hubung

C.

(a) Jika

P

= 620 kN, berapa peralihan horizontal titik hubung

B?

(b i Berapa be ban izin maksimum

P

maks jika peralihan

titik hubung

B

dibatasi pada 1 ,0 mm?

2.2-1 1 Sebuah kolom Iingkaran berlubang dari baja (£

= 30.000 ksi) mengalami beban tekan

P,

seperti terlihat

dalam gambar. Kolom ini mempunyai panjang L = 8,2 ft

dan diameter

d

= 8,0 in. Beban

P

= l l 0 k. Jika tegangan

tekan izin adalah 8, 1 ksi dan perpendekan izin untuk kolom adalah 0.025 in, berapakah tebal dinding yang dibutuhkan?

2.2-12 Sebuah kolom lingkaran berlubang dari baja (E

= 210 GPa) mengalami beban tekan P, seperti terlihat

dalam gambar. Kolom ini mempunyai panjang L = 2,5 m dan diameter

d

= 200 mm. Beban P = 490 kN. Jika

tegangan tekan izin adalah 56 MPa dan perpendekan izin untuk kolom adalah 0,6 mm, berapakah tebal dinding

t yang dibutuhkan?

2.2-13 Balok kaku horizontal ABCD dipikul oleh batang

vertikal BE dan CF dan dibebani oleh gaya vertikal P1 = lOO k dan P2 = 90 k yang masing-masing bekerja di

titik A dan D (lihat gambar). Batang BE dan CF terbuat dari baja (E = 29,5 x 1 06 psi) dan luas penampang A8E

= 22,1 in2 dan AcF = 1 8,3 in2. Jarak antara titik-titik pada batang ditunjukkan dalam gambar. Tentukan per­ alihan vertikal 8A dan 8D masing-masing di titik A dan D.

2.2-1 4 Sebuah plat setengah 1ingkaran ACBD yang

beratnya W = 500 N dan jari-jarinya R = 1 ,0 m ditumpu

di titik A, B, dan D oleh tiga kawat identik (lihat gambar). Titik C ada di pusat busur lingkaran ADB dan jari-jari CD tegak lurus diameter AB. Setiap kawat mempunyai modulus elastisitas E = 210 GPa, diameter

d

= 2 mm, dan panjang L = 1 ,2 m. Asumsikan bahwa plat ini kaku.

Beban P = 3W diletakkan pada jari-jari CD di titik p

yang berjarak x dari titik C. Berapakah jarak x agar plat tersebut mempunyai kemiringan 0,1 ° ( di sepanjang garis CD) akibat aksi gabungan gaya P dan berat W?

1t

BA TANG TAK SERAGAM

2.3-1 Perhatikan balok dan batang yang terlihat dalam

Gambar 2-12a pada Contoh 2-3, dan memperhatikan bahwa beban P1 dan P: bekerja masing-masing di titik C dan E. Dengan menga'>umsikan bahwa kedua bagian batang vertikal ABC terbuat dari bahan yang sama, carilah

rumus untuk rasio P.; P 1 sedemikian hingga peralihan vertikal titik C akan no!. (�� atakan hasilnya di dalam

luas penampang A1 dan A:· sena dimensi Ll' L2, dan a, dan

b

seperti terlihat dalarn garnbar tersebut.)

2.3-2 Sebuah batang bajaA.D (}ihat garnbar) mempunyai

luas penampang 260 mm2 dan dibebani gaya P1 = 1 2 kN,

P2 = 8 kN, dan P3 = 6 kc�. Panjang masing-masing segmen batang adalah a = 1,5 m.

b

= 0.6 m, dan c = 0,9 m. (a) Dengan mengasumsikan bahwa modulus elastisitas E = 210 GPa, hitunglah perubahan panjang batang, Apakah batang ini memanjang atau memendek? (b) Berapakah P3 harus dibesarkan agar ujung D batang tidak bergerak apabila beban bekerja?

2.3-3 Sebuah pipa yang mempunyai modulus elastisitas

E = 30 x 106 psi dibebani gaya PI' P2, dan P3 (lihat gambar). Pipa ini mempunyai panjang 1 2 ft, dan jarak antara titik-titik beban ada1ah a =

b

= 3 ft, dan c = 6 ft.

Bebannya adalah P1 = 4 k, P2 = 3 k, dan P3 = 3 k, dan

luas penampang pipa adalah 2,8 in2. (a) Hitunglah peralihan 88, De, dan _8D di titik-titik beban. (b) Tentukan jarak x dari tumpuan kiri ke penampang di mana

peralihannya no!.

2.3-4 Sebuah gedung dua tingkat mempunyai kolom

baja AB di lantai pertama dan BC di kolom kedua (lihat gambar) (lihat gambar). Beban atap P1 sama dengan 400 kN dan be ban lantai bawahnya adalah P 2 = 720 kN.

��

a=

3,75 m

J

r

a=

3,75 m

J

Setiap kolom mempunyai panjang a = 3,75 m. Luas

penampang kolom Jantai pertama dan kedua masing­ masing adalah 1 1 .000 mm2 dan 3.900 mm2• (a) Dengan menganggap bahwa E = 206 GPa, tentukan peralihan ke bawah De titik C akibat beban

P1

dan

P2,

(b) Berapa be ban tambahan

P

0 yang dapat diletakkan di puncak kolom (titik C) jika peralihan ke bawah titik C tidak boleh melebihi 4,0 mm?

2.3-5 Sebuah batang prismatis AD mengalami beban

Pp P2,

dan

P3

yang bekerja di titik B, C. dan D. seperti

terlihat dalam gambar. Setiap segmen batang mempunyai panjang 20 in. Batang ini mempunyai luas penampang A = 1 ,40 in2 dan terbuat dari tembaga dengan E = 17.000 ksi. (a) Tentukan peralihan 60 di ujung bebas batang.

(b) Berapakah seharusnya beban

P3

jika peralihan di titik D dikehendaki menjadi setengah dari harga semu1a?

2.3-6 Batang ABC terdiri atas dua bahan dan mem­

punyai panjang total I m dan diameter 50 mm (lihat

gambar). Bagian AB adalah baja (E, = 210 GPa) dan bagian BC adalah aluminium (Ea = 70 GPa). Batang ini

mengalami gaya tarik 1 10 kN. (a) Tentukan panjang L1

dan L2 untuk masing-masing bagian agar kedua bagian mempunyai perpanjangan yang sama. (b) Berapakah perpanjangan total

o batang?

2.3-7 Sebuah batang yang panjangnya 8 ft mempunyai

diameter penampang d1 = 0,75 in di setengah panjangnya, dan

d2

= 0,50 in di setengah panjang Jainnya (lihat gambar). (a) Berapakah perpanjangan batang akibat beban tarik

P

= 5000 lb? (b) Jika volume bahan yang sama digunakan untuk membuat batang dengan diameter d dan panjang 8 ft, berapakah perpanjangan batang ini akibat beban

P

yang sama? (Asumsikan E = 30 x 106 psi.)

2.3-8 Sebuah batang ABC yang panjangnya L terdiri

atas dua bagian yang panjangnya sama tetapi diametemya berbeda (lihat gambar). Segmen AB mempunyai diam-

eter d1 = 100 mm dan segmen BC mempunyai diameter

d2

= 60 mm. Kedua segmen mempunyai panjang U2 =

0,6 m. Sebuah lubang longitudinal yang diameternya d

dibor menembus segmen AB hingga setengah dari panjangnya (jarak U4 = 0,3 m). Batang ini terbuat dari plastik yang mempunyai modulus elastisitas E = 4,0 GPa. Beban tekan

P

= 1 10 kN bekerja di ujung batang. Jika

perpendekan batang dibatasi pada 8,0 mm, berapakah diameter lubang maksimum

d

yang diizinkan?

2.3-9 Sebuah tiang baja, yang dipancang ke dalam

tanah, memikul beban

P

dengan cara gesekan di sepan­ jang sisi-sisinya (lihat gambar). Friksi gayafper panjang

satuan tiang dianggap mempunyai distribusi terbagi rata di seluruh permukaan tiang. Tiang ini mempunyai panjang L, luas penampang A, dan modulus elastisitas

E. (a) Turunkan rumus untuk perpendekan

0

dari tiang yang dinyatakan dalam

P,

L, E, dan A. (b) Gambarlah diagram yang menunjukkan bagaimana tegangan tekan ac bervariasi di seluruh panjang tiang.

f

2.3-1 0 Sebuah kabel baja panjang AB memiku1 beban

P

= 22,0 kN di ujung bawahnya (lihat gambar). Panjang