LANDASAN TEORETIS, KERANGKA BERPIKIR, DAN HIPOTESIS PENELITIAN
A. Landasan Teoretis
1. Kemampuan Penalaran Matematika
LANDASAN TEORETIS, KERANGKA BERPIKIR, DAN HIPOTESIS PENELITIAN
A. Landasan Teoretis
1. Kemampuan Penalaran Matematika
Dalam Standar Isi pelajaran Matematika untuk semua jenjang pendidikan dasar dan menengah dinyatakan bahwa tujuan mata pelajaran Matematika di sekolah adalah agar siswa mampu:
a. Memahami konsep Matematika, menjelaskan keterkaitan antara konsep dan mengaplikasikan konsep atau algoritma, secara luwes, akurat, efisien, dan tepatdalam pemecahan masalah.
b. Menggunakan penalaran pada pola dan sifat, melakukan manipulasi Matematika dalam membuat generalisasi, menyusun bukti, atau menjelaskan gagasan dan pernyatan Matematika.
c. Memecahkan masalah yang meliputi kemampuan memahami masalah, merancang model Matematika, menyelesaikan model, dan menafsirkan solusi yang diperoleh.
d. Mengomunikasikan gagasan dengan simbol, tabel, diagram, atau media lain untuk memperjelas keadaan atau masalah.
e. Memiliki sikap menghargai kegunaan Matematika dalam kehidupan, yaitu memiliki rasa ingin tahu, perhatian dan minat dalam dalam mempelajari Matematika, serta sikap ulet dan percaya diri dalam pemecahan masalah.1
1
Sri wardhani,Analsis SI dan SKL Mata pelajaran MatematikaSmp/Mts untuk Optimalisasi Tujuan Mata Pelajaran Matemtika. (Yogyakarta, 2008) hal. 8
Berdasarkan pemaparan dari kelima tujuan pembelajaran Matematika di atas, terdapat tujuan kedua dari pembelajaran Matematika yakni penalaran, penalaran merupakan salah satu komponen penting dalam Matematika. Penalaran merupakan salah satu tujuan dari pembelajaran Matematika. Artinya jika seseorang mengerjakan Matematika maka ia tidak terlepas dari aktivitas bernalar. Setiap penyelesaian persoalan dalam Matematika memerlukan penalaran.2 Karena dalam pengerjaan soal-soalMatematika terdapat berbagai macam proses berpikir. Dalam proses tersebut terjadi penarikan kesimpulan dari berbagai fakta-fakta yang diperoleh dari sumber yang relevan.
Menurut Sumarmo, terdapat beberapa indikator penalaran matematik dalam pembelajaran Matematika antara lain, siswa dapat:
a. Menarik kesimpulan logis;
b. Memberikan penjelasan dengan model, fakta, sifat-sifat, dan hubungan; c. Memperkirakan jawaban dan proses solusi;
d. Menggunakan pola dan hubungan untuk menganalisis situasi matematik; e. Menyusun dan menguji konjektur;
f. Merumuskan lawan contoh (counter example);
g. Mengikuti anturan inferensi; memeriksa validitas argumen; h. Menyusun argumen yang valid;
i. Menyusun pembuktian langsung, tak langsung, dan meggunakan induksi Matematika.3
Sementara dalam jurnalnya, Fajar Shadiq menjelaskan dalam dokumen Peraturan Dirjen Dikdasmen No. 506/C/PP/204, bahwa penalaran dan komunikasi merupakan kompetensi yang ditunjukan siswa dalam melakukan penalaran dan mengomunikasikan gagasan Matematika. Menurut dokumen tersebut, dan hal ini
2
Gelar Dwirahayu, Pengaruh Pendekatan Analogi terhadap Peningkatan Kemampuan Penalaran Matematika siswa SMP. (Algoritma, Vol.1 No.1 juni 2006), h.57
3
menunjukan penalaran dan komunikasi antara lain adalah:
a) Menyajikan pernyataan Matematika secara lisan, tertulis, gambar, dan diagram;
b) Mengajukan dugaan (conjectures); c) Melakukan manipulasi Matematika;
d) Menarik kesimpulan, menyusun bukti, memberikan alasan atau bukti terhadap beberapa solusi;
e) Menarik kesimpulan dari pernyataan; f) Memeriksa kesahihan suatu argumen;
g) Menemukan pola atau sifat gejala matematis untuk membuat generalisasi.4 Sumarmomengatakan, penalaran adalah terjemahan istilah reasoning yang didefinisikan sebagai proses pencapaian kesimpulan logis berdasarkan fakta dan sumber yang relevan. Penalaran dapat dikelompokkan atas penalaran induktif dan penalaran deduktif. Sumarmo mendefinisikan penalaran induktif sebagai penarikan kesimpulan yang bersifat umum atau khusus berdasarkan data yang teramati dan penalaran deduktif sebagai penarikan kesimpulan berdasarkan aturan yang disepakati.5 Maksud dari hal ini adalah pengelempokan penalaran itu sendiri dapat dikelompokkan dalam dua kategori yakni dalam kategori penalaran induktif adalah sebuah pemikiran menggeneralisasikan sebuah fakta umum untuk menjadikannya beberapa hal khusus yang lebih spesifik, serta dalam kategori deduktif adalah menggeneralisasikan beberapa fakta khusus yang ditemukan untuk menuju suatu kesimpulan umum.
4
Fadjar Shadiq, Kemahiran Matematika, Diklat Instruktur Pengembangan Matematika SMA Jenjang Lanjut. (Yogyakarta: DEPDIKNAS, 2009), h. 14
5
Ervin Azhar, Peningkatan Kemampuan Pemahaman, Penalaran, dan Komunikasi Matematis Siswa Madrasah Aliyah dengan Pendekatan RME, (Jatinangor,2012) h. 3
Menurut Utari Sumarmo terdapat 9 indikator dalam mengukur kemampuan penalaran Matematika, sedangkan menurut Fajar Shadiq terdapat 7 indikator dalam mengukur kemampuan penalaran Matematika. Dalam penelitian ini akan dikerucutkan dari dua sumber indikator kemampuan penalaran menjadi empat indikator dalam pelaksanaannya, yaitu tiga indikator yang berasal dari pendapat Utari Sumarmo dan sebuah indikator yang berasal dari Fajar Shadiq. Keempat indikator tersebut adalah mengikuti aturan inferensi; membuktikan kesahihan suatu argumen, melakukan manipulasi Matematika, menggunakan pola dan hubungan untuk menganalisis situasi Matematika, dan memperikarakan jawaban dan proses solusi.
Indikator yang pertama dalam penelitian ini adalah mengikuti aturan inferensi Matematika; membuktikan kesahihan suatu argumen. Maksud dari indikator tersebut adalah kemampuan penalaran Matematika yang ditujukan kepada siswa agar mereka dapat melakukan pembuktian terhadap sebuah argumen yang tersedia. Siswa dituntut untuk membuktikan kebenaran dari argumen yang tersedia. Dalam pembuktian tersebut tersajikan beberapa informasi awal yang diberikan agar siswa dapat memberikan inferensi atau komentar terhadap informasi-informasi awal yang disajikan untuk menuju langkah membuktikan kebenaran suatu argumen. Sementara, indikator kedua dalam penelitian ini yaitu melakukan manipulasi Matematika, dalam indikator melakukan manipulasi Matematika merupakan kemampuan penalaran yang diberikan kepada siswa agar dapat menyelesaikan masalah Matematika dengan cara memanipulasi masalah tersebut dengan segala cara untuk menuju jawaban yang dikehendaki. Dalam indikator melakukan manipulasi Matematika diberikan sebuah masalah yang rumit kepada siswa agar diselesaikan terlebih dahulu dengan mereka bernalar untuk memecahkan masalah dengan berbagai cara.
Indikator selanjutnya, menggunakan pola dan hubungan Matematika untuk menganalisis situasi Matematika.Indikator tersebut merupakan indikator ketiga yang dibahas dalam penelitian ini. Indikator tersebut merupakan indikator dalam penalaran yang bertujuan diberikan kepada siswa agar dapat menyelesaikan masalah Matematika yang disajikan. Cara yang digunakan adalah dengan menganalisis
dipahami dalam aturan-aturan Matematika,sehingga siswa dapat menyelesaikan masalah tersebut dengan bantuan pola dan hubungan Matematika yang telah mereka dapatkan. Untuk indikator yang terakhir dalam penelitian ini adalah memperkirakan jawaban dan proses solusi, pada indikator terakhir merupakan indikator penalaran yang mengukur kemampuan penalaran siswa agar mereka dapat menyimpulkan cara penyelesaian dari masalah yang disajikan. Dari penyimpulan cara menyelesaikan jawaban siswa dapat memperkirakan jawaban yang diberikan pada masalah yang disajikan pula.
Dalam buku karangan Sartono Wirodikromo terdapat soal yang didalamnya telah dikhususkan untuk mengukur penalaran Matematika dari siswa dalam materi turunan fungsi. Dalam soal tersebut diberikan masalah yang didalamnya terdapat kemampuan untuk mengukur penalaran siswa dalam hal megikuti aturan inferensi membuktikan kesahihan sebuah argumen dan memperkirakan jawaban dan proses solusi.
Pertanyaan
1) Diketahui fungsi trigonometri
Tunjukan bahwa f’(x) = -1{1+f2(x)}6
2) Tentukan batas-batas nilai a agar fungsi selalu turun untuk semua nilai x bilangan real.7
1) Dari f(x) diperoleh
6
Sartono Wirodikromo, Matematika Untuk SMA Kelas XI Semester 2, (Jakarta:Erlangga,2010) h. 131
7
Sehingga 2)
Syarat agar fungsi tersebut selalu adalah f’(x) < 0 Sehingga
Dalam fungsi kurva agar fungsi selalu turun maka D < 0 --- +++ --- -5 7 Untuk a = -6 (bernilai +) Untuk a = 0 (bernilai -) Untuk a = 8 (bernilai +)
Dari hasil garis bilangan yang diperoleh dapat disimpulakan bahwa interval untuk fungsi agar selalu turun berada pada .
untuk menarik sebuah kesimpulan. Telah disediakan fakta awal sebuah fungsi, dari fakta awal yang disediakan diharapkan siswa untuk melakukan kemampuan penalarannya menggunakan data awal tersebut menuju dalam pembuktian argumen yang dikehendaki. Sementara dalam penyelesaian soal kedua tersaji soal tentang penalaran untuk mengukur kemampuan memperkirakan proses penyelesaian dari soal untuk menuju jawaban yang dikehendaki. Dalam soal tersebut terdapat langkah untuk memperkirakan saat dimana fungsi turun dan terdapat langkah untuk mempergunakan cara yang tepat dalam penyelesaian masalah. Pada penyelesaian soal ini juga terdapat langkah untuk memperkirakan interval yang dikehendaki dengan cara mempermisalkan jawaban pada garis bilangan sehingga melatih kemampuan penalaran untuk memperkirakan jawaban yang tepat.
Soal dan jawaban yang dipaparkan diatas merupakan dua soal yang didalamnya mengandung kemampuan penalaran dalam penyelesaianya. Sementara untuk dua kemampuan lainnya terdapat contoh soal yang berasal dari buku lembar kerja siswa kelas XI-IPA Matematika yang didalamnya tersaji kemampuan penalaran dalam penyelesaiannya.
Pertanyaan:
1) Tentukan turunan pertama dari fungsi .
2) Diketahui jika persamaan garis singgung di titik (1,-5) adalah tentukan a dan b.
Jawaban 1) Maka 2)
Persamaan di titik (1, -5) adalah sehingga gradien yang dimiliki = 4
Maka
Diperoleh a = 2. Pada persamaan tersebut jika terletak pada x = 1 maka y = -5, sehingga
penyelesaianya. Pada soal pertama diberikan sebuah fungsi yang didalamnya terdapat perintah untuk mencari turunan fungsi, namun terdapat bagian “ ”, untuk
penyelesaian bentuk tersebut bisa diselesaikan dengan aturan pembagian. Tapi dapat dilakukan penurunan lebih mudah dengan memanipulasi fungsi untuk menjadi sederhana agar proses penurunannya menjadi lebih mudah. Pada akhir penyelesaian soal terdapat langkah manipulasi pula agar jawaban yang diperoleh menjadi bentuk jawaban yang sederhana. Untuk penyelesaian soal kedua disajikan masalah yang dalam penyelesaiannya diperlukan analisis terlebih dahulu. Dalam analisis pada soal terakhir diberikan keterangan awal sebagai fakta terdapat persamaan garis singgung pada titik (1,-5) adalah penyelesaian dalam hal ini merupakan kemampuan pada penalaran yang diharapkan untuk menghubungkan hal tersebut dalam analisis yang dilakukan untuk memperoleh hal yang dimaksud.
Berdasarkan uraian diatas, dari dua sumber indikator Matematikamaka telah dikerucutkan beberapa indikator kemampuan penalaran matematik yang akan digunakan dalam penelitian ini, meliputi:
a. Melakukan manipulasi Matematika;
b. Mengikuti aturan inferensi; memeriksa kesahihan suatu argumen;
c. Menggunakan pola dan hubungan untuk menganalisis situasi Matematika; d. Memperkirakan jawaban dan proses solusi.