PERMASALAHAN P-HUB MEDIAN DENGAN
LINTASAN TERPENDEK
SKRIPSI
RAJA DAVID PASARIBU
080803039
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
PERMASALAHAN P-HUB MEDIAN DENGAN
LINTASAN TERPENDEK
SKRIPSI
Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar sarjana sains
RAJA DAVID PASARIBU
080803039
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
PERSETUJUAN
Judul :PERMASALAHAN P-HUB MEDIAN DENGAN LINTASAN TERPENDEK
Kategori : SKRIPSI
Nama : RAJA DAVID PASARIBU Nomor Induk Mahasiswa : 080803039
Program Studi : SARJANA (S1) MATEMATIKA Departemen : MATEMATIKA
Fakultas : MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM (FMIPA) UNIVERSITAS SUMATERA
UTARA
Diluluskan di Medan, Juli 2012
Komisi Pembimbing :
Pembimbing 2 Pembimbing 1
Prof. Dr. Herman Mawengkang Prof. Drs. Tulus, Vordipl.Math, M.Si, Ph.D. NIP 19461128 1974031 001 NIP 196209011988031002
Diketahui/Disetujui oleh
Departemen Matematika FMIPA USU Ketua.
PERNYATAAN
PERMASALAHAN P-HUB MEDIAN DENGAN
LINTASAN TERPENDEK
SKRIPSI
Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.
Medan, Juli 2012
PENGHARGAAN
Puji dan syukur penulis hanturkan ke hadirat Tuhan Yang Maha Kuasa Atas
rahmat dan karuniaNya sehingga dengan kemampuan yang terbatas penulis dapat
menyelesaikan penulisan tugas akhir ini.
Tugas akhir ini dibuat dan diajukan sebagai salah satu syarat untuk menempuh
ujian sarjana matematika pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Sumatera Utara.
Penulis menyadari sepenuhnya keterbatasan ilmu pengetahuan dan
kemampuan penulis, sehingga tugas akhir ini masih jauh dari sempurna. Untuk itu,
segala saran dan kritik dari pembaca tugas akhir ini sangat penulis harapkan demi
kesempurnaan tugas akhir ini.
Dalam penulisan tugas akhir ini, penulis telah banyak dibantu oleh
berbagai pihak dan pada kesempatan ini penulis mengucapkan banyak terima
kasih kepada :
1. Bapak Prof. Drs. Tulus, Vordipl.Math., M.Si., Ph.D, selaku dosen pembimbing
I dan Bapak Prof. Dr. Herman Mawengkang, selaku dosen pembimbing II,
yang telah memberikan masukan dan pengarahan serta bimbingan kepada
penulis selama penulisan tugas akhir ini.
2. Bapak Drs. Sawaluddin, M.IT dan Bapak Syahril Efendi, S.Si., M.IT selaku
dosen penguji saya.
3. Bapak Prof. Drs. Tulus, Vordipl.Math., M.Si., Ph.D dan Ibu
Dra. Mardiningsih M.Si selaku ketua dan sekretaris jurusan Matematika
4. Bapak Dekan serta seluruh staf pengajar jurusan Matematika.
5. Rekan-rekan mahasiswa jurusan Matematika khususnya angkatan ’08 yang
telah memberi banyak masukan bagi penulis terkhusus untuk Hasoloan, Geta,
Eve dan Melda.
6. Teman teman KTB ”Fuzzy” : Sardes, Indra, Charles, Lukas, Anri, Wilser dan
Kak Tiur yang banyak memberi semangat dan dorongan bagi penulis selama
pengerjaan tulisan ini.
7. Ayahanda M. PASARIBU, ibunda G.HUTAGALUNG, kakak saya RINA
WATY PASARIBU, serta adik-adik saya RIFKA dan REYNOLD yang
memberi segala bantuan, dorongan dan semangat kepada saya.
Kiranya Tuhan Yang Maha Kuasa melimpahkan rahmat dan kasihnya atas
segala jerih payah, bantuan serta pengorbanan yang telah diberikan oleh semua pihak
dalam membantu penulisan selama ini.
Medan, Juli 2012
Penulis
ABSTRAK
Hub merupakan fasilitas yang bertugas melayani pengurutan (sorting), pemilihan (switching), pemindahan dari satu angkutan ke angkutan lainnya (transshipment) di dalam jaringan transportasi barang. Permasalahan p-hub median termasuk permasalahan lokasi-alokasi kasus diskrit dimana semua hub terhubung penuh. Di dalam tugas akhir ini akan diperkenalkan model formulasi biaya model Mixed Integrer Linear Programming (MILP) untuk persolan p-hub median alokasi tunggal tak berkapasitas (uncapacitaced single allocation p-hub median) disingkat USApHMP. Selanjutnya akan diperkenalkan algoritma lintasan terpendek Floyd-Warshall dalam menyelesaikan permasalahan p-hub median serta algoritma penentuan batas bawah untuk permasalahan p-hub median
Kata kunci: Hub, Simpul Spoke, Mixed Integrer Linear Programming (MILP),
P-HUB MEDIAN PROBLEMS BASED ON SHORTEST PATH
ABSTRACT
Hub are facilities that serve as sorting, switching, and transhipment in a transportation network. P-hub median problem is a discrete case location allocation problem which all hub is fully connected. In this paper will be intoduced Mixed Integrer Linear Programming (MILP) formulation models of cost for p-hub median problem allocation for uncapacitaced single allocation p-hub median(USApHMP). In this paper also introduced Floyd-Warshall shortest path algorithm to solve p-hub median problems and lower bounds algorithm for p-hub median problems.
Keywords: Hub, Spoke Nodes, Mixed Integrer Linear Programming (MILP),
2.2.1 Pencarian Lintasan Terpendek 15
2.2.2 Penggolongan Algoritma Shortest Finding Secara Umum 15
2.3 Program Linear 15
2.4 Program Integrer 17
2.5 Masalah Lokasi Hub 21
2.6 Ciri-Ciri Jaringan Hub dan Spoke 24
2.6.1 Keuntungan Hub 24
2.6.2 Kerugian Hub 26
2.7 Jenis Masalah Lokasi Hub 28
2.7.1 Alokasi Single vs. Multiple 28
2.7.2 Kapasitas (Capacitaced) 29
2.8 Formulasi Tata Nama Permasalahan Hub 29
Bab 3 Pembahasan
3.1 Permasalahan p-Hub Median 31 3.2 Masalah Alokasi Tunggal p-Hub Median (Single Allocation
p-hub Median Problem/USApHMP)
32
3.3 Masalah alokasi jamak p-hub median (Multiple Allocation p-hub Median Problem/UMApHMP)
34
3.4 Algoritma Lintasan Terpendek dalam p-Hub Median 36 3.5 Penerapan Lintasan Terpendek dalam Permasalahan p-Hub
DAFTAR TABEL
Tabel 3.12 Tabel Pasangan Lintasan Terpendek dari Pasangan Simpul Asal ke Simpul Tujuan Tertentu
DAFTAR GAMBAR
Gambar 1.1 Sistem Hub dan Spoke 1
Gambar 2.1 Graf Tak berarah 8
Gambar 2.2 Graf Berarah 9
Gambar 2.3 Graf Ketetanggaan 9
Gambar 2.4 Graf Berbobot 10
Gambar 2.5 Graf Ketetanggaan 11
Gambar 2.6 Graf Matriks Bersisian 11 Gambar 2.7 Graf Terbobot 7 Kota di Amerika 14 Gambar 2.8 Tipikal Masalah Jaringan Lokasi Hub 22 Gambar 2.9 Jaringan Transportasi Klasik 24 Gambar 2.10 Skema Penugasan dalam Permasalahan Lokasi Hub 29 Gambar 3.1 Gambar aliran biaya dari simpul i ke simpul tujuan j melalui
hub k dan l
35
ABSTRAK
Hub merupakan fasilitas yang bertugas melayani pengurutan (sorting), pemilihan (switching), pemindahan dari satu angkutan ke angkutan lainnya (transshipment) di dalam jaringan transportasi barang. Permasalahan p-hub median termasuk permasalahan lokasi-alokasi kasus diskrit dimana semua hub terhubung penuh. Di dalam tugas akhir ini akan diperkenalkan model formulasi biaya model Mixed Integrer Linear Programming (MILP) untuk persolan p-hub median alokasi tunggal tak berkapasitas (uncapacitaced single allocation p-hub median) disingkat USApHMP. Selanjutnya akan diperkenalkan algoritma lintasan terpendek Floyd-Warshall dalam menyelesaikan permasalahan p-hub median serta algoritma penentuan batas bawah untuk permasalahan p-hub median
Kata kunci: Hub, Simpul Spoke, Mixed Integrer Linear Programming (MILP),
P-HUB MEDIAN PROBLEMS BASED ON SHORTEST PATH
ABSTRACT
Hub are facilities that serve as sorting, switching, and transhipment in a transportation network. P-hub median problem is a discrete case location allocation problem which all hub is fully connected. In this paper will be intoduced Mixed Integrer Linear Programming (MILP) formulation models of cost for p-hub median problem allocation for uncapacitaced single allocation p-hub median(USApHMP). In this paper also introduced Floyd-Warshall shortest path algorithm to solve p-hub median problems and lower bounds algorithm for p-hub median problems.
Keywords: Hub, Spoke Nodes, Mixed Integrer Linear Programming (MILP),
LANDASAN TEORI
2.1Beberapa Konsep Dasar Graf
Menurut Rinaldi Munir (2007), “Suatu graf G didefinisikan sebagai pasangan himpunan (V,E), ditulis dengan notasi G = (V,E), dimana V adalah himpunan tidak
kosong dari simpul-simpul (vertices atau node) dan E adalah himpunan sisi (edges
atau arcs) yang menghubungkan sepasang simpul.
Sisi graf dapat mempunyai orientasi pada arah. Berdasarkan orientasi arah
pada sisi, maka secara umum graf dibedakan atas 2 jenis sebagai berikut:
1. Graf tak-berarah (undirected graph)
Graf tak-berarah ialah graf yang sisinya tidak mempunyai orientasi arah.
Pada graf tak-berarah, urutan pasangan simpul yang dihubungkan oleh sisi
tidak diperhatikan. Jadi, (u,v) = (v,u).
Gambar 2.1 Graf Tak berarah
2. Graf berarah (directed graph atau digraph)
Graf berarah ialah graf yang setiap sisinya diberikan orientasi arah. Pada graf
berarah, (u,v), dan (v,u) menyatakan dua buah unsur yang berbeda, dengan kata 1
2
3 4
2 5
4
lain , ≠ , . Untuk busur (u,v), simpul u dinamakan simpul asal
(initial vertex) dan simpul v dinamakan simpul terminal (terminal vertex).
Gambar 2.2 Graf berarah
2.1.1 Ketetanggaan
Dua buah vertex pada graf tak berarah G dikatakan bertetangga bila keduanya
terhubung langsung dengan sebuah sisi. Dengan kata lain, u bertetangga dengan v jika
(u,v) adalah sebuah sisi pada graf G.
Gambar 2.3 Graf Ketetanggaan
Pada gambar 2.3, simpul 1 bertetanggaan dengan simpul 2 dan 3, tetapi simpul 1 tidak
2.1.2 Graf Berbobot
Graf berbobot adalah graf yang setiap sisinya diberikan sebuah harga (bobot). Bobot
pada setiap sisi dapat menyatakan jarak antara dua buah kota, biaya perjalanan, waktu
tempuh, ongkos produksi, dan sebagainya.
Gambar 2.4 Graf Berbobot
2.1.3 Representasi Graf
Menurut Rinaldi Munir (2007), “Agar graf dapat diproses dalam program komputer, graf harus direpresentasikan ke dalam memori. Terdapat beberapa representasi untuk graf, antara lain matriks ketetanggaan, matriks bersisian dan senarai ketetanggaan”.
2.1.4 Matriks Ketetanggaan (Adjacency Matrix)
Misalkan G = (V, E) graf sederhana dimana |V| = n, n > 1. Maka, matriks
ketetanggaan A dari G adalah matriks n x n dimana A = , maka menjadi 1
bila simpul i dan j bertetangga dan menjadi 0 bila simpul i dan j tidak bertetangga
Keuntungan representasi dengan matriks ketetanggaan adalah kita dapat
mengakses elemen matriksnya langsung dari indeks. Selain itu, kita juga dapat
Pada graf berbobot, menyatakan bobot tiap sisi yang menghubungkan
simpul i dengan simpul j. Bila tidak ada sisi dari simpul i ke simpul j atau dari simpul
j ke simpul i, maka, diberi nilai tak berhingga.
Gambar 2.5 Graf ketetanggaan
Bentuk matriks ketetanggaan dari gambar 2.5 adalah:
1 2 3 4 1 0 0 1 0
2 0 0 1 1
3 1 1 0 1
4 0 1 1 0
2.1.5 Matriks Bersisian (Incidency Matrix)
Matriks bersisian menyatakan kebersisian simpul dengan sisi. Misalkan G = (V, E)
adalah graf dengan n simpul dan m sisi, maka matriks kebersisian A dari G adalah
matriks berukuran m x n dimana A = , maka menjadi 1 bila simpul i dan sisi
j bersisian menjadi 0 bila simpul i dan sisi j tidak bersisian.
Bentuk matriks bersisian dari graf pada gambar 2.6 adalah:
Matriks ketetanggaan memiliki kelemahan apabila graf memiliki jumlah sisi yang
relative sedikit sehingga graf sebagian besar berisi bilangan 0. Hal ini merupakan
pemborosan terhadap memori, karena banyak menyimpan bilangan 0 yang seharusnya
tidak perlu disimpan. Untuk kepentingan efisiensi ruang, maka tiap baris matriks
tersebut digantikan senarai yang hanya berisikan vertex-vertex dalam adjacency set Vx
dari setiap vertex x.
Bentuk senarai ketetanggan berdasarkan graf pada gambar 2.6 adalah
1: 3
2: 3,4
3: 1,2,4
4: 2,3
2.2 Masalah Lintasan Terpendek ( Shortest Path Problem)
Menurut Rinaldi Munir dalam bukunya matematika diskrit, persoalan mencari
lintasan terpendek di dalam graf merupakan salah satu persoalan optimasi. Graf yang
digunakan dalam pencarian lintasan terpendek adalah graf berbobot (weighted
graph), yaitu graf yang semua sisinya diberikan suatu nilai atau bobot. Bobot dalam
suatu graf dapat menyatakan nilai antar kota, waktu pengiriman pesan, ongkos
minimum, sebab kata “terpendek” berbeda-beda maknanya bergantung pada tipikal persoalan yang akan diselesaikan. Namun, secara umum “terpendek” berarti
minimisasi bobot pada suatu lintasan di dalam graf.
Contoh-contoh terapan lintasan terpendek misalnya:
1. Misalkan simpul pada graf dapat merupakan kota, sedangkan sisi menyatakan
jalan yang menghubungkan dua buah kota. Bobot sisi graf dapat menyatakan
jarak antara dua buah kota atau rata-rata waktu tempuh antara dua buah kota.
Apabila terdapat lebih dari satu lintasan dari kota A ke kota B, maka persoalan
lintasan terpendek di sini adalah menentukan jarak terpendek atau waktu
tersingkat dari kota A ke kota B.
2. Misalkan simpul pada graf dapat merupakan terminal komputer atau simpul
komunikasi dalam suatu jaringan, sedangkan sisi menyatakan saluran
komunikasi yang menghubungkan dua buah terminal. Bobot pada graf dapat
menyatakan biaya pemakaian saluran komunikasi antara dua terminal, atau
waktu pengiriman pesan (message) antara dua buah terminal. Peroalan lintasan
terpendek di sini adalah menentukan jalur komunikasi terpendek antara dua
buah terminal komputer. Lintasan terpendek akan menghemat waktu
pengiriman dan biaya komunikasi.
Banyak persoalan yang dapat dimodelkan dengan graf terbobot (weighted
graph). Sebagai contoh sistem transportasi udara dapat dimodelkan dengan graf
terbobot, dimana setiap kota yang dilalui sebagai vertex dan jalur penerbangan sebagai
edge dalam graf dan beaya penerbangan sebagai bobot. Untuk jalur penghubung 7
Gambar 2.7. Graf terbobot 7 kota di Amerika
Graf terbobot seperti dalam gambar 2.7. dapat mewakili banyak persoalan,
misalnya selain biaya penerbangan dapat diartikan biaya komunikasi untuk suatu
jaringan komputer , waktu respon oleh komunikasi komputer antar kota atau jarak
(km) antar dua komputer point-to point dan lain sebagainya.
Berbagai persoalan muncul dengan model graf terbobot. Jika antara dua titik
ada beberapa jalur yang mungkin manakah jalur yang paling murah? Jika suatu path
yang menghubungkan antara dua titik dalam graf dapat diwakili sebagai jumlah bobot
dalam setiap dua titik yang dilalui maka mencari jalur terpendek dalam suatu path
dapat diartikan mencari jalur sedemikian sehingga jumlah bobot yang dilalui adalah
minimal. Persoalan seperti memegang peran penting dalam penentuan route paketdata
dalam suatu jaringan komputer.
Pencarian rute atau path terpendek antara node-node yang ada pada graph.
Cost yang dihasilkan adalah yang paling minimum (Horowitz et al, 1998, p241).
Berdasarkan pengertian pada digraph dan weighted graph di atas, maka cost dari
shortest path dapat dihitung berdasarkan total nilai minimum yang ada pada edgenya.
Pencarian shortest path bukan berarti langsung menemukan jarak dari node
awal ke node tujuan tetapi ada kalanya usaha itu harus dilakukan dengan melewati
node-node tertentu sehingga tujuan akhir node dapat tercapai.
Ada beberapa macam persoalan lintasan terpendek, antara lain:
2. Lintasan terpendek antara semua pasangan simpul.
3. Lintasan terpendek dari simpul tertentu ke simpul yang lain.
4. Lintasan terpendek antara dua buah simpul yang melalui beberapa simpul
tertentu.
2.2.1 Pencarian Jalur Terpendek
Tujuan dari shortest pathfinding adalah untuk menemukan lintasan terpendek dan
termurah yang mungkin dari vertex awal ke vertex akhir. Jika edge tidak memilki
nilai, maka shortest path adalah path dengan jumlah edge yang paling sedikit. Jika
edge memiliki nilai, maka shortest path adalah path dengan nilai akumulasi minimum
dari semua edge pada path.
2.2.2 Penggolongan Algoritma Shortest Finding secara umum
A. Algoritma Uninformed Search.
Algoritma Uninformed Search adalah algoritma yang tidak memiliki keterangan
tentang jarak atau biaya dari path dan tidak memiliki pertimbangan akan path mana
yang lebih baik. Yang termasuk dalam algoritma ini antara lain Algoritma
Breadth-First Search.
B. Algoritma Informed Search.
Algoritma Informed Search adalah algoritma yang memiliki keterangan tentang jarak
atau biaya dari path dan memiliki pertimbangan berdasarkan pengetahuan akan path
mana yang lebih baik. Yang termasuk dalam algoritma ini antara lain Algoritma Ford.
2.3 Program Linier
Problema program linier melibatkan optimisasi dari fungsi objektif linier, dengan
subjeknya adalah persamaan linier dan kendala merupakan pertidaksamaan. Program
linier mencoba mendapatkan keluaran terbaik (contoh : memaksimumkan laba,
(contoh: hanya bekerja 30 jam/minggu, tidak melakukan hal yang illegal, dan
lain-lain), menggunakan model matematika linier.
Contoh lainnya ada pada polytope (contoh : polygon dan polyhedral) dan nilai
riil fungsi affine
( 1, 2,…, ) = 1 1+ 2 2+ 3 3+
didefinisikan pada polytope, tujuannya adalah menemukan simpul pada polytope
dimana fungsinya mempunyai nilai terkecil atau terbesar. Simpul mungkin tidak ada,
tapi jika dicari sepanjang vertex polytope maka digaransi menemukan paling sedikit
satu darinya.
Program linier adalah problema yang dapat diekspresikan dalam bentuk
kanonik :
max imize �
subject to Ax b
where x 0
x direpresentasikan vektor variabel, c dan b adalah koefisien vektor dan A
adalah koefisien matriks. Ekspresi untuk memaksimumkan atau meminimumkan
disebut fungsi objektif (cTx). Persamaan Ax b adalah fungsi kendala yang
khususnya polyhedral konvex yang fungsi objektifnya dioptimisasi.
Program linier dapat diaplikasikan untuk bermacam-macam field. Lebih
diperluas, program linier digunakan dalam situasi bisnis dan ekonomi, tetapi dapat
juga dimanfaatkan untuk beberapa masalah teknik. Beberapa industri menggunakan
model program linier dalam transportasi, energi, telekomunikasi dan manufaktur. Dan
2.4 Program Integer
Jika variabel tak diketahui diharuskan integer maka problema ini disebut program
integer atau program linier integer. Perbedaan dengan program linier adalah dapat
diselesaikan lebih efesien pada kasus yang buruk. Problema program integer banyak
terjadi pada situasi praktis (dengan variabel terbatas) NP hard . 0 − 1 program integer
adalah kasus yang khusus dari program integer dimana variabel diharuskan 0 atau 1.
Masalah ini juga diklasifikasikan sebagai masalah yang sulit non polynomial.
Program Integer adalah bentuk dari program linier dimana asumsi
divisibilitasnya melemah atau hilang sama sekali. Bentuk ini muncul karena
dalamkenyataaannya tidak semua variabel keputusan dapat berupa bilangan pecahan.
Asumsi divisibilitas melemah artinya sebagian dari nilai variabel keputusan harus
berupa bilangan bulat (integer) dan sebagian lainnya boleh berupa bilangan pecahan.
Persoalan program integer dimana hanya sebagian dari variabel keputusannya yang
harus integer disebut sebagai persoalan Mixed Integer Programming.
Tetapi jika seluruh variabel keputusan dari suatu persoalan program linier
harus berharga integer, maka persoalan tersebut disebut sebagai persoalan Pure
Integer Programming. Dalam hal ini asumsi divisibilitas dari program linier hilang
sama sekali.
Tampaknya cukup untuk mendapatkan solusi integer dari masalah program
linier dengan menggunakan metode simpleks biasa dan kemudian membulatkan
nilai pecahan solusi optimum. Hal ini bukan tugas mudah untuk membulatkan
nilai-nilai pecahan variabel basis yang menjamin tetap memenuhi semua kendala dan tidak
sistematis untuk mendapatkan solusi bulat optimum terhadap masalah itu. Ada
bebebrapa pendekatan solusi terhadap masalah program integer yaitu salah satu
diantaranya adalah pendekatan dengan cutting plane.
Dalam program linier, metode simpleks didasari oleh pengenalan bahwa
pemecahan optimum terjadi di simpul ekstrim dari ruang solusi. Hasil yang penting ini
pada intinya mengurangi usaha pencarian pemecahan optimum dari sejumlah
pemecahan yang tidak terbatas menjadi sejumlah yang terbatas. Sebaliknya Program
Linier Integer memulai dengan sejumlah simpul pemecahan yang terbatas. Tetapi sifat
variabel yang berbentuk bilangan bulat mempersulit perancangan sebuah algorimta
yang efektif untuk mencari secara langsung di antara simpul integer yang layak dari
ruang penyelesaian. Terdapat dua metode untuk menghasilkan batasan-batasan khusus
yang akan memaksa pemecahan optimum dari masalah program linier yang
dilonggarkan untuk bergerak kearah pemecahan integer yang diinginkan yaitu metode
Bidang Pemotong (Gomory Cutting Plane) dan metode Branch and Bound.
Algoritma lanjutan untuk menyelesaikan program linier integer adalah :
a. Metode Cutting Plane
b. Metode Branch and Bound
c. Metode Branch and Cut
d. Metode Branch and Price
Pendekatan Branch And Bound
Branch and Bound untuk memecahkan pemrograman liniar bilangan bulat (PLBB)
telah dikembangkan melalui Land et al (1960). Metode, yang secara langsung
dimodifikasi oleh Dakin (1965) dan telah dengan sukses menerapkan di dalam kitab
undang-undang hukum dagang banyak orang untuk memecahkan permasalahan
PLBB.
Prinsip metode itu sendiri sungguh sederhana, tetapi meskipun demikian alat
yang sangat bermanfaat untuk memecahkan permasalahan terpisah. Ketika
dipertimbangkan dalam konteks lebih luas, secara teoritis, Branch and Bound
mungkin digunakan untuk memecahkan masalah optimisasi manapun. Efisiensi
algoritma jenis ini sebagian besar tergantung pada detil itu, terutama pada kalkulasi
Bound bagian atas dan yang lebih rendah, pada separasi menetapkan dan, akhirnya,
pada aturan pilihan yang berbeda menggunakan untuk menentukan solusi yang
berikutnya mulai dipertimbangkan dan variabel yang berikutnya ke Branch terpasang.
Gagasan yang umum digunakan untuk metode untuk PLBB dapat diuraikan sebagai
berikut.
Pertimbangkan suatu masalah PLBB.
Max = � (2.1)
berlaku hanya jika :
Ax = b (2.2)
(2.3)
integer, ∈ ′⊂
Dimana A adalah matrik × , � adalah transpos dari c dan c adalah vektor × ,
dan J = (1, 2, . . . ,n). Proses dari metode awal dengan menyelesaikan (2.1) - (2.3)
program linier secara kontinu, abaikan syarat-syarat integral. Andaikan solusi ,
∈ ′, tidak semua integer.
= + , 0 1 (2.4)
dimana [xj] adalah komponen integer dari [xj ], solusi kontinu untuk program linier,
dan fj adalah komponen bagian yang kecil.
Gagasan untuk menghasilkan dua subproblem masing-masing dengan
penambahan pembuktian
(2.5)
dan
+1 (2.6)
Karena variabel tertentu ∈ . Proses menyelesaikan masalah disebut
Branching. Masing-Masing ini subproblema dipecahkan lagi sebagai PL kontinu.
Proses dari Branching dan pemecahan suatu sequance dari permasalahan kontinu
untuk variabel yang berbeda ∈ ′ dan bilangan bulat yang berbeda . Secepatnya,
disediakan daftar alternatif subproblema untuk diselidiki, dengan PL yang kontinu
yang pertama dimasukkan.
Struktur metode yang logis sering diwakili sebagai pohon. Masing-Masing
tangkai pohon menghadirkan suatu subproblem. Ketika subproblema manapun, atau
tangkai pohon, diselidiki subproblema manapun yang dihasilkan dihubungkan kepada
tangkai pohon dengan Branch.
Jika salah satu dari tiga ukuran-ukuran di bawah ini dicukupi, Branch dari tiap
tangkai pohon akan berakhir.
1. Subproblema tidak mempunyai solusi fisibel
2. Solusi subproblema tidak ada lebih baik daripada integer-fisibel solusi terbaik
yang dikenal sekarang.
3. Solusi adalah integer-fisibel, i.e., , ∈ ′ mempunyai nilai-nilai bilangan
bulat (menyediakan suatu integer-fisibel, solusi ada). Itu adalah jelas, bahwa
efektivitas dari prosedur seperti itu adalah sangat dependen.
4. Variabel yang mana harus bercabang, dan
2.5 Masalah Lokasi Hub
Shahih Geraleh dalam tulisannya menjelaskan secara umum permasalahan hub lokasi
dinyatakan sebagi berikut: Misalkan G adalah sebuah graph lengkap G = ( V, E )
dimana V = 1, 2,…, merupakan himpunan dari semua simpul. Elemen dari V
diasumsikan menggambarkan simpul asal dan tujuan pada saat yang bersamaan dan
merupakan simpul yang berpotensi untuk dijadikan menjadi hub. Aliran antara simpul
i dan j disimbolkan dengan dan jarak dari i ke j disimbolkan dengan , dimana
jarak memenuhi ketidaksamaan segitiga. Tujuannya ialah untuk mendesain beberapa
dari simpul sebagai hub dan meminimalkan biaya aliran total di dalam jaringan
transportasi. Setiap lintasan asal-tujuan terdiri dari tiga komponen yaitu:
pengumpulan dari simpul asal kepada hub pertama, transfer antara hub pertama dan
hub terahir dan distribusi dari hub terahir ke simpul tujuan. Lintasan yang hanya
memiliki satu simpul hub juga diijinkan. Parameter , , merupakan diskon faktor
yang berhubungan kepada tiap-tiap bagian dari parameter di atas secara berurutan.
Konsep Dasar Jaringan Hub
Hub didefinisikan sebagai titik pengumpulan yang melayani penggabungan dan
pengiriman barang selanjutnya kepada simpul tujuan dari pengiriman suatu barang
dalam suatu jaringan transportasi.. Pemusatan atau penggabungan dari aliran dapat
mengurangi biaya perpindahan melalui skala ekonomi. Hub biasanya ditemukan
dalam jaringan penerbangan, sistem pengiriman surat, dan pada telekomunikasi.
Di dalam jaringan hub terdapat beberapa komponen utama yaitu:
1. Simpul hub,
2. Simpul non hub (sering disebut juga simpul spoke),
3. Sisi hub, dan
4. Sisi non hub (sering disebut spoke arcs).
Di dalam suatu jaringan yang terdiri dari sejumlah simpul kemudian sebagian
lainnya disebut sebagai spoke node. Akibatnya, sebuah jaringan hub dibentuk dengan
menghubungkan pasangan hub dengan sebuah sisi hub (hub edge). Secepatnya, setiap
simpul spoke akan dialokasikan kepada simpul hub dengan link spoke node.
Sebuah hub secara bersamaan dapat memiliki tiga fungsi yang berbeda yang
disebut:
i.) Penggabungan (consolidation/concentration) dari aliran yang diterima, dengan
tujuan agar memiliki aliran yang lebih lebar dan dapat memanfaatkan skala
ekonomi.
ii.) Pemilihan (switching/ transfer) yang mengijinkan aliran dialihkan pada
simpul tersebut.
iii.)Distribusi (distribution/decomposition) dari aliran yang luas ke bentuk yang
lebih kecil.
Sebuah hub menerima aliran dari banyak simpul asal dan kemudian
menggabungkan (consolidates/accumulates) aliran tersebut. Penggabungan ini
membagi aliran ke dalam beberapa kelompok dari akumulasi aliran berdasarkan
tujuan ahir masing-masing. Tiap aliran kelompok mengandung banyak simpul simpul
tujuan yang akan dikirimkan melalui sisi hub (hub edge). Hal ini terjadi di dalam
setiap hub pada jaringan transportasi ini. Setiap bagian aliran pada simpul hub terahir
yang dikunjungi dalam lintasan di dalam jaringan tingkatan hub digabungkan ke
bagian yang berasal dari simpul hub yang berbeda dalam cara yang sama. Aliran
pemusatan ini kemudian akan dipisahkan kembali menuju permintaan dari hub
sekarang dan juga simpul Spoke yang ditugaskan kepadanya.
Typical jaringan HLP digambarkan seperti gambar 2.8 . Bagian persegi
panjang menggambarkan simpul hub dan lingkaran yang dicetak tebal
menggambarkan simpul spoke. Simpul hub bersama dengan sisi yang
menghubungkannya disebut dengan hub-level, jaringan spoke- level. Dalam beberapa
lintasan asal-tujuan ada sekurang-kurangnya satu elemen hub (simpul hub atau sisi).
Daripada menghubungkan langsung pasangan lokasi, semua lintasan ditangani oleh
jaringan hub-level.
Sebagai contoh dari aplikasi dari jaringan hub-spoke dalam
telekomunikasiadalah sebagai berikut: permohonan panggilan dikirim dari i (simpul
spoke) kepada pusat panggilan lokal yang berhubungan k untuk membuat hubungan
ke j; pusat panggilan (simpul hub) menerima banyak permintaan panggilan per detik,
memeriksa apakah itu diizinkan untuk permintaan penuh (sebagai contoh tujuan di
desain untuk itu) atau itu telah ditangani oleh pusat panggilan yang lain; jika ya, itu
membangun koneksi ini bersama dengan panggilan lain yang ditujukan ke j, yang lain
mengirim permintaan ini bersama dengan semua yang lain yang seharusnya ditangani
l kepadanya; l membangun sebuah koneksi ke j.
Pada jaringan ini, beberapa dari simpul dipilih untuk bertindak sebagai suatu
simpul yang disebut simpul hub. Simpul nonhub lain dikenal sebagai simpul spoke.
Sebagai akibatnya, sebuah jaringan hub-level dibentuk dengan menghubungkan
pasangan dari simpul hub oleh sebuah sisi hub. Selanjutnya, setiap simpul simpul
nonhub akan dialokasikan kepada simpul-simpul hub dan dengan link sisi spoke.
Jaringan yang dibangun dari simpul-simpul spoke dan sisi spoke pada daerah yang lain
disebut spoke-level.
Gambar 2.8 menggantikan aliran pengiriman arus perpindahan barang pada
topologi dari struktur awal pada gambar 2.9. Segiempat digunakan menggambarkan
simpul hub dan lingkaran yang bersimpul tebal untuk simpul jari-jari asal/tujuan.
Ketika dibandingkan dengan jaringan transportasi klasik dengan jumlah simpul yang
sama (seperti gambar 2.9), jumlah koneksinya lebih sedikit. Di dalam kasus terahir,
sangat kecil dan terkadang mengabaikan jumlah dari aliran mungkin terjadi di dalam
Gambar 2.9: Jaringan Transportasi Klasik.
2.6 Ciri-Ciri Jaringan Hub dan Spoke
2.6.1 Keuntungan Hub
1. Keuntungan ekonomi dari kepadatan lalu lintas
Skala ekonomi (yang mana dalam pengiriman barang digunakan untuk
kepadatan lalu lintas) terjadi ketika rata-rata biaya produksi per unit
berkurang sebgaia penumpukan dari peningkatan lalu lintas antara beberapa
titik yang akan dilayani yang diberikan. Pernyataan yang umum yakni itu
adalah sebuah jaringan H&S, melalui peningkatan kepadatan lalu lintas
pada link dalam hub, mengijinkan penggunaan yang lebih lagi dari kegiatan
penerbangan, penerbangan yang lebih efisien dan melebarkan biaya diantara
para pnumpang sehingga mengekploitasi skala ekonomi. Disamping dari
fakta-fakta empiris dari perbaikan pengembalian dari kepadatan lalu lintas,
studi empiris yang lain menekankan keuntungan dari penerapan sistem hub.
Lebih jauh lagi, dalam jaringan penerbangan diperkenalkan biaya
simpan pada rute tak langsung, yang memungkinkan keuntungan yang
terendah mungkin mengganti untuk waktu biaya perjalanan yang tidak
berguna dan ketidaknyamanan dalam pertukaran pesawat.
Biaya umumnya, yang mana didefinisikan sebagai keseluruhan biaya
yang menimbulkan perjalanan, termasuk semua biaya waktu, juga kan
menjelaskan jumlah dari biaya non-transportasi yang dipengaruhi oleh
kualitas dari penyedia transportasi. Sebagai contoh, frekunsi yang lebih dari
layanan udara dari sebuah bandara udara mengurangi kemungkinan bahwa
pejalan akan menanggung beban biaya lebih dan juga biaya penginapan pada
rute dengan frekuensi layanan servis yang rendah. Frekuensi layanan yang
tinggi juga berarti membuang waktu menunggu lebih sedikit.
2. kualitas layanan
Seperti contohnya dalam penerbangan sistem hub menawarkan frekuensi
penerbangan yang lebih tinggi dan juga kualitas layanan yang lebih baik dan
nilai peayanan, kualitas penting digunakan untuk mengukur memperpanjang
kepuasan pelanggan dan kecenderungan utnutk menggunakan produk dan
pelayanan. Keberadaan dari skala ekonomi menawarkan pelanggan
sekumpulan layanan yang banyak.
3. Rata-Rata Hasil yang Tinggi
Penggunaan hub memungkinkan rata-rata perolehan hasil yang tinggi
berdasarkan pelebaran pasar yang mana itu merupakan kemampuan dari
peserta pasar untuk mengontrol kecukupan fasilitas, untuk menghimpun
harga keuntungan di atas, atau mengurangi pasokan di bawah. Sistem hub
juga merupakan sebuah pilihan yang lebih baik dalam sistem penerbangan
atau pada struktur jaringan yanng berkembang pada sebuah skala yang pasti.
4. Alokasi Kapasitas yang Lebih baik
Sistem hub menambah keuntungan dari alokasi kapasitas yang lebih baik
dari permintaan acak. Seperti halnya dalam sistem penerbangan, sistem hub
dari pengumpulan penumpang dari beberapa pasar ke dalam pesawat yang
sama memungkinkan perusahaan untuk memambah alokasi sekali lagi
permintaan pada suatu pasar menurun, dengan demikian membuat kapasitas
berlebih, perusahaan dapat meningkatkan penjualan pada pasar lain. Lebih
lagi, jika pada pasar yanng lain permintaan meningkat tajam dengan
konsekuensi menimbulkan kendala kapasitas berkurang, terutama dalam
musim-musim padat, hub memungkinkan alokasi yang lebih menguntungkan
karena perusahaan dapat mengurangi pertama tempat dengan alokasi rendah
dan memusatkan alokasi pada tempat dengan permintaan tinggi.
5. Keuntungan Marketing
Jaringan hub untuk penerbangan butuh usaha lebih sedikit dalam marketing
karena penerbangan sudah dihubungkan dengan penerbangan dengan
penerbangan kepada dan dari negara-negara yang sesuai namanya
masing-masing seperti British Airways, Air France, Alitalia, Australian Airlines dan
Japan Airlines. Hal ini membuat hanya sedikit usaha marketing untuk
menginformasikan kepada penumpang potensial. Disamping peningkatan
efisinesi produk, penerbangan dengan kehadiran yang besar pada bandara
hub memperoleh keuntungan loyalty dari konsumen yang meningkat seperti
frekuensi penerbang yang meningkat, penolakan komisi dari agen
perjalanan. Keberadaan dari pasar, dikombinasikan dengan fakta bahwa nilai
perjalanan jaringan H&S mengijinkan sebuah penerbangan H&S untuk
melakukan kekuatan monopoly pada bandara yang menjadi hub.
2.6.2 Kerugian Hub
Beberapa kerugian dari struktur ini adalah sebagai berikut:
1. Terdapat biaya operasi tambahan
Seperti halnya dalam sistem penerbangan langsung dan nonstop sulit
menentukan rute yang ekononomis. Biaya tambanhan untuk pendaratan dan
perawatan pada sebuah titik lanjutan diabaikan dan yang lebih penting lagi,
itu tidak menambahkan waktu pesawat berada di daratan yang tidak
produktif. Pada promosi produk, di mana musim orang yang melakukan
perjalan lebih menyukai perjalanan langsung, tanpa berhenti jika mungkin,
tanpa pergantian pesawat dan penerbangan pada satisiun lanjutan. Operasi
negatif pada biaya operasi penerbangan (konsumsi bahan bakar tambahan,
waktu jelajah yang meningkat, biaya tetap yang bertambah yang
berhubungan dengan operasi take-off dan landing pada pesawat, dan
lain-lain).
2. Terdapat Penambahan Waktu Perjalanan
Dalam sistem hub tidak ditemukan jalur langsung kecuali barang yang akan
dikirim itu ditujukan kepada wilayah yang pertama sekali disinggahi. Oleh
karena itu hal ini akan berakibat adanya penambahan waktu perjalanan dalam
proses pengirimannya sebagai akibat dari transit pada daerah hub.
3. Kemacatan pada daerah yang menjadi Hub
Hal ini paling sering terjadi apabila daerah yang menjadi hub nya merupakan
sebuah bandara udara. Pada penerbangan ada batasan untuk perluasan
kemacatan pada bandara hub hal ini dikarenakan keterbatasan tempat yang
tersedia untuk pendaratan pesawat. Sehingga terjadi pengurangan kebebasan
dalam penjadwalan, yang akan meningkatkan kelemahan yang
mengakibatkan terjadinya penundaan dalam situasi-situasi tertentu.
4. Dampak biaya untuk lingkungan hidup dari jaringan hub
Telah dilakukan penelitian untuk menghitung keributan dan emisi di udara
pada industy trasnportasi. Dampak dari jaringan H&S pada lingkungan telah
menjadi perhatian untuk daerah-daerah yang menjadi hub terutama daerah di
sekitar pelabuhan dan bandar udara yang menjadi hub. Hal ini disebabkan
karena karakterisitk yang mengakibatkan jarak yang bertambah jauh apabila
melalui jaringan hub serta frekuensi dari aktifitas di daerah hub yang tinggi
2.7Jenis Masalah Lokasi Hub
Beberapa jenis dari masalah lokasi hub ialah:
1. Permasalahan p-hub median (pHMP): dengan karakteristik jumlah hub yang
diberikan sudah ditentukan terlebih dahulu sebanyak p buah, tujuannya untuk
mengalokasikan hub tersebut dan meminimalkan total biaya transportasi.
2. Permasalahan lokasi hub (HLP): dengan karakteristik tujaunnya yaitu untuk
meminimalkan total biaya. Biaya totalnya ialah biaya dari menetapkan fasilitas
hub ( simpul atau sisi ) ditambah dengan biaya transportasi.
3. Permasalahan p-hub center (pHCP): dengan karakteristik jumlah hub yang
diberikan sudah ditentukan terlebih dahulu sebanyak p buah, tujuannya
meminimalkan biaya total untuk setiap pasangan simpul asal-tujuan, pada
setiap link tunggal atau untuk perpindahan antara sebuah hub dan simpul
asal/tujuan.
4. Permasalahan hub covering (HCP): dengan karakteristik tujuannya yaitu untuk
meminimalkan biaya transportasi. Biaya transportasi tidak boleh melebihi
suatu batas tertentu (pada pasangan simpul asal/tujuan, tiap link atau antara
hub dan asal/tujuan).
5. Permasalahan lokasi hub arc (HALP): dengan karakteristik diberikan jumlah
dari arc (busur) sebanyak q, tujuannya yaitu untuk mengalokasikan hub arcs
dan meminimalkan total biaya transportasi. Jaringan hub tidak perlu sebuah
graph lengkap. Lebih lagi, tidak terlalu penting adanya potongan pada semua
sisi hub. Lokasi dari simpul hub diidentifikasi dari lokasi hub arcs.
2.7.1 Alokasi Single vs. Multiple
Sebuah masalah lokasi hub, secara umum, termasuk dua masalah secara bersamaan :
Sehubungan dengan rencana alokasi, masalah lokasi hub dikategorikan ke dalam dua
kelas. Kelas yang pertama yaitu alokasi tunggal yakni sebuah hub tunggal harus
menerima (dan mengirim) keseluruhan aliran transportasi dari simpul asal (atau
tujuan) yang ditugaskan. Kelas yang kedua yaitu multi alokasi (multiple allocation)
yakni aktifitas dari simpul pusat dapat diproses oleh lebih dari satu hub.
(a) Alokasi tunggal (b) Multi alokasi
Gambar 2.10 Skema penugasan dalam permasalahan lokasi hub.
2.7.2 Kapasitas (Capacitaced)
Jenis lain dari kapasitas juga diperhatikan untuk menentukan variasi yang berbeda.
Seperti contoh:
a. Kapasitas dari jumlah aliran transportasi yang tiba pada simpul hub dari
simpul-simpul nonhub,
b. Kapasitas dalam semua lalu lintas trasnportasi,
c. Kapasitas pada busur hub (hub arcs).
Bagaimanapun, kapasitas dalam bentuk umum dipertimbangkan pada simpul
hub atau pada sisi hub.
2.8 Formulasi Tata Nama Permasalahan Hub
Untuk memudahkan penamaan variasi dari permasalah lokasi hub digunakan aturan
dimana X mengindikasikan aturan kapasitas ( dengan batasan kapasitas (Capacitaced
(C)) ,tanpa batasan kapasitas(Uncapacitaced (C)) ), Y untuk model alokasi ( alokasi
tunggal (Single Allocation (SA)), alokasi majemuk (Multiple Allocation(MA)) dan Z
untuk tipe masalah seperti:
1. Masalah p-hub median (p-Hub Median Problem (pHMP)).
2. Masalah hub covering (Hub Covering Problem (HCP)).
3. Masalah p-hub center (p-Hub Center Problem (pHCP)).
Contohnya: permasalahan alokasi tunggal p-hub median tanpa batasan
kapasitas dinotasikan dengan USApHMP (Uncapacitaced Single Allocation p-Hub
Median Problem), dan bagaimanapun penamaan tanpa batasan kapasitas, atau kedua
skema penugasan juga diperbolahkan, kita dapat mengabaikan indikator dan
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Selama dua dekade terakhir, masalah alokasi hub menjadi sangat populer dengan
berbagai aplikasi yang sangat sukses di berbagai bidang di darat, transportasi udara,
jaringan telekomunikasi dan sistem logistik. Masalah alokasi hub biasanya meningkat
pada situasi di mana surat, kargo, penumpang pesawat terbang, paket telekomunikasi,
ataupun barang harus dikirimkan dari simpul asal ke simpul tujuannya, tetapi itu
merupakan hal yang sangat mahal atau tidak praktis untuk menerapkan transport link
kepada setiap pasangan simpul asal dan tujuan.
Dalam permasalahan ini, jaringan transportasi dimodifikasi sehingga p lokasi
(simpul/nodes) dipilih menjadi hub. Hub tersebut saling terhubung penuh satu sama
lain dengan link jaringan. Sistem hub ini membuat kumpulan aliran dalam proses
pengiriman dalam jaringan transportasi mengalami pemusatan pada suatu simpul yang
menjadi hub. Lokasi sisa (simpul nohub) ditugaskan kepada hub tersebut. Setiap hub
melayani lokasi nonhub yang ditugaskan kepadanya. Lalu lintas kemudian dialirkan
diantara pasangan dari tiap lokasi dengan menggunakan hub sebagai simpul tengah
pemilihan. Selanjutnya, penggunaan hub menggantikan aliran langsung dengan aliran
yang tidak langsung. Hasil dari stuktur jaringan tansportasi yang baru kemudian
digunakan sebagai sistem hub dan spoke ( lihat pada gambar 1.1).
Gambar 1.1 Sistem hub dan Spoke
Keterangan : simpul 1 dan 2 adalah lokasi hub serta simpul 3 dan 5 (4 dan6)
terhubung ke simpul lainnya melalui simpul 1 (2).
Permasalahan p-hub median merupakan permasalahan ketika mendesaian
sebuah jaringan transportasi, dimana jumlah tetap dari simpul p dialakoasikan menjadi
hub dan simpul yang tersisa akan dialokasikan kepada satu atau lebih hub yang
dipilih sehingga biaya operasi dari jaringan yang dihasilkan adalah minimal. Dengan
membuat biaya operasi yang minimal maka akan diperoleh keuntungan yang lebih
dari jaringan yang diperoleh sebagai akibat dari biaya pengeluaran yang semakin
berkurang.
Beberapa aplikasi permasalahan p-hub median dalam kehidupan nyata antara
lain seperti pada sistem penerbangan dimana yang menjadi hub ialah gabungan dari
bandar udara sementara yang menjadi simpul non hub ialah bandar udara yang
bertugas sebagai tempat transit ataupun tempat pengisian bahan bakar. Contoh lainnya
ialah perusahaan jasa pengiriman barang kilat FEDEX (Federal Express) yang
memulai menggunakan sistem hub pada tahun 1973. Contoh lainnya yang paling
banyak menggunakan sistem hub ialah proses pengiriman surat dan barang yang ada
di kantor pos dimana yang menjadi hub ialah kantor pos yang menjadi pusat
penyortiran dan yang menjadi nonhub ialah kantor pos regional.
Dengan menggunakan sistem p-hub median dalam jaringan transportasi maka
akan muncul suatu permasalahan dalam menentukan jarak pengiriman tersingkat yang
dapat mengefisienkan proses pengiriman barang sebagai akibat dari sistem pemusatan
yang terjadi pada hub. Salah satu penyelesaian yang dapat digunakan dalam
meyelesaikan masalah p-hub median untuk mempersingkat jarak pengiriman dalam
sistem transportasi adalah dengan menggunakan lintasan terpendek (shortest path).
Dengan metode ini, alokasi masalah dari pengumpulan dan pendistribusian aliran
dapat diselesaikan dengan menemukan lintasan terpendek antara setiap pasangan
simpul dalam graph berarah, mengijinkan pengumpulan dari simpul ke hub, transfer
antara hub dan setiap pasangan simpul dari graph berarah. Dengan menerapkan
lintasan terpendek maka waktu transport dalam jaringan akan semakin singkat dan
efisien.
1.2 Perumusan Masalah
Masalah yang akan dibahas dalam tugas akhir ini adalah persoalan pengalokasian p
-hub median yang tepat serta penentuan jarak terpendek sehingga total biaya yang
digunakan dalam transportasi menjadi minimum sehingga permasalahan p-hubmedian
dapat terselesaikan.
1.3 Batasan Masalah
Dalam tugas akhir ini masalah yang dibahas terbatas pada hub tanpa batasan
kapasitas, model asimetri, dengan lokasi tunggal, serta penelitian terbatas hanya
sampai dengan pembuatan model permasalahan p-hub median serta model lintsan
terpendek pada p-hub median.
1.4 Tinjauan Pustaka
Aplikasi jaringan hub digunakan pada sistem komunikasi, transportasi, dan sistem
pengiriman pos. Layanan tidak langsung diberikan dari setiap simpul awal ke
pasangan tujuan, Hub berfungsi sebagai simpul transit atau simpul pemilihan untuk
aliran antara simpul nonhub. Arus keberangkatan dari tempat tujuan dikumpulkan
pada suatu hub, dikirimkanan antar hub jika perlu, dan akhirnya didistribusikan ke
simpul tujuan dengan kombinasi dari simpul asal yang berbeda tetapi simpul
tujuannya sama. Fasilitas hub menggabungkan aliran dengan maksud untuk
memperoleh keuntungan ekonomi dalam transportasi antar hub.
Masalah lokasi hub berhubungan dengan pengalokasian fasilitas hub dan
penugasan dari simpul nonhub kepada simpul hub untuk menentukan lalu lintas rute
antara pasangan simpul asal dan tujuan. Setiap nonhub dapat dialokasikan ke sebuah
hub (alokasi tunggal) atau lebih (multi alokasi). Jika jumlah hub sebelumnya
ditentukan sebanyak p, maka hal ini disebut masalah alokasi p-hub (WANG dan
Program linear bilangan bulat campuran diperkenalkan untuk desain
berkelanjutan dari jaringan dan penyebaran armada dari sebuah penyedia layanan
kapal antar samudera untuk pengiriman laut. Permintaan dianggap elastis pada
penyedia jasa layanan yang dapat menerima fraksi permintaan dari asal ke tujuan serta
menggunakan metode dekomposisi primal untuk menyelesaikan masalah optimalitas
(Shahih Geraleh dan David Pissinger, 2010).
Masalah program bilangan bulat campuran dalam pemilihan lokasi hub telah
digunakan di pantai timur Amerika Selatan, diantara sekumpulan dari sebelas
pelabuhan yang ada yang melayani permintaan regional untuk transportasi kontainer.
Pelabuhan di Brasil, Argentina, Uruguay dipertimbangkan bersama dengan beberapa
simpul pelabuhan asal-tujuan di dunia. Model program bilangan bulat campuran ini
digunakan untuk meminimalkan biaya total sistem dari kedua biaya di pelabuhan
(biaya terminal) dan biaya pengiriman (bahan bakar dan transportasi) (Aversa et al.
2005).
Salah satu yang penting dalam masalah lokasi hub disebut dengan masalah
p-hub median. Dalam masalah ini tujuannya ialah untuk mengalokasikan p hub dalam
sebuah jaringan dan mengalokasikan simpul nonhub kepada simpul hub sehingga
jumlah dari biaya transportasi antara pasangan simpul asal dan simpul tujuan di dalam
jaringan menjadi minimal (Dongdong et al. 2007).
Shahin Gelareh, 2010, menjelaskan dalam masalah klasik p-hub median, perlu
mengalokasikan p simpul hub dari himpunan n simpul dalam sebuah graf, menetapkan
subgraph lengkap dari simpul hub, mengalokasikan setiap simpul nonhub ke simpul
hub dan arah aliran antara pasangan simpul asal-tujuan melalui jaringan hub. Biaya
transportasi pada garis dari tingkat kentungan jaringan hub dari sebuah potongan
oleh sebuah faktor (0 < < 1) sebagai hasil dari skala ekonomi berdasarkan
gabungan dari aliran transportasi. Pertama sekali akan didefinisikan beberapa
parameter, kemudian akan diperkenalkan variabel keputusan dalam model. Diberikan
N = himpunan simpul-simpul dalam jaringan, N={1,2,…,n}
p = banyaknya hub
= total aliran dari lokasi i ke lokasi j
= biaya aliran per unit dari simpul asal i ke simpul tujuan j melalui hub k
dan l dengan urutan tersebut
= jarak antara simpul i dan j
= fraksi dari aliran asal simpul i ke simpul tujuan j yang melalui hub k
dan l dalam urutan tersebut
= variabel biner yang bernilai 1 jika k adalah hub, 0 yang lain
Untuk variabel dan parameter , indeks k digunakan untuk inisial hub dan
indeks l digunakan untuk terminal hub dengan menganggap aliran berasal dari simpul
i dengan tujuan j. jika k = m maka lalu lintas rute melalui hub yang sama.
Biaya transportasi aliran per unit dapat dihitung dengan:
= + +
Secara implisit diasumsikan bahwa semua fasilitas hub memiliki karakteristik yang
sama dan hampir selalu diasumsikan memiliki memiliki diskon faktor yang sama ke
semua link.
Biaya digambarkan seperti gambar di bawah ini:
Sohn dan Park (1996) mempertimbangkan masalah lokasi dua hub. Kedua hub
dipilih dari sebuah himpunan simpul-simpul. Simpul yang tersisa dihubungkan kepada
salah satu dari dua hub yang ada sebagai tindakan pemilihan simpul untuk aliran antar
Simpul asal i Simpul
modal. Sebuah susunan yang meminimumkan total aliran biaya yang ingin diketahui.
Masalah ini dapat diselesaikan dalam bentuk polynomial ketika lokasi hub ditetapkan.
Sohn dan Park (1998) mempertimbangkan masalah lokasi p-hub tanpa
batasan kapasitas dengan mempertimbangkan kasus dengan alokasi tunggal dan ganda
dan juga dalam mereduksi ukuran formulasi serta formulasi program bilangan bulat
campuran untuk model dengan lokasi hub yang tetap, di mana juga
mempertimbangkan biaya tetap untuk link yang terbuka.
1.5 Tujuan Penelitian
Tujuan dari penelitian dalam tugas akhir ini ialah untuk menyelesaikan model masalah
alokasi p-hub median yang ditemukan dalam permasalahan di bidang transpotasi
barang dengan perbaikan model menggunakan lintasan terpendek.
1.6 Kontribusi Penelitian
Kontribusi yang diharapkan dari penelitian ini adalah:
1. Dapat menentukan jumlah dan lokasi hub yang tepat sehingga dapat
meminimumkan galat yang ditimbulkan dalam transportasi.
2. Dapat menentukan lintasan terpendek dari berbagai permasalahan transportasi
yang ada melalui alokasi hub yang tepat sehingga jarak dan waktu transportasi
menjadi lebih singkat.
3. Dapat menambah referensi dalam menyelesaikan berbagai masalah yang
1.7 Metodologi Penelitian
Penelitian ini adalah penelitian literatur yang disusun berdasarkan rujukan pustaka
dengan langkah-langkah sebagai berikut:
1. Menjelaskan Permasalahan Graf dalam Transportasi.
2. Menjelaskan masalah Hub.
3. Menjelaskan masalah p-hubmedian.
4. Menurunkan model matematika dari permasalahan p-hub median.
5. Menurunkan model lintasan terpendek dalam permasalahan p-hubmedian.
6. Menurunkan model dalam penentuan batas bawah untuk permasalahan lintasan
terpendek
PEMBAHASAN
3.1 Permasalahan p-Hub Median
Permasalahan p-hub median merupakan suatu permasalahan dalam suatu jaringan
transportasi yakni ketika membangun atau mendesain sebuah jaringan, dimana
sejumlah simpul tetap sebanyak p buah dipilih menjadi menjadi calon hub dan
simpul lain yang sisa akan dialokasikan kepada satu atau lebih hub yang dipilih
sedemikian hingga biaya operasi dari jaringan hub yang dihasilkan dapat
diminimalkan.
Dalam masalah klasik p-hub median, perlu mengalokasikan p simpul hub dari
himpunan n simpul dalam sebuah graf, menetapkan subgraph lengkap dari simpul
hub, mengalokasikan setiap simpul nonhub ke simpul hub dan arah aliran antara
pasangan simpul asal-tujuan melalui jaringan hub. Biaya transportasi pada garis dari
tingkat kentungan jaringan hub dari sebuah potongan oleh sebuah faktor (0 < <
1) sebagai hasil dari skala ekonomi berdasarkan gabungan dari aliran transportasi
Berdasarkan pada jenis alokasi hub yang akan digunakan ada dua tipe
permasalahan dari p-hub median antara lain:
1. Masalah alokasi tunggal p-hub median (Single Allocation p-hub Median
Problem/USApHMP). Untuk kasus alokasi tunggal setiap simpul bukan
hub dialokasikan secara tepat satu simpul hub. Semua aliran dikirim dan
diterima melalui hub ini.
2. Masalah alokasi jamak p-hub median (Multiple Allocation p-hub Median
Problem/UMApHMP). Untuk kasus alokasi ganda, aliran dari simpul i ke
setiap simpul j dapat dikirim oleh, atau diterima lewat, rute terminal bebas
3.2Masalah Alokasi Tunggal p-Hub Median (Single Allocation p-hub Median
Dimana , , adalah diskon dari faktor biaya yang terjadi selama proses pemindahan
barang pada sisi hub maupun non hub yang diperoleh dari hasil suatu penganmatan.
Objektif dari model adalah melokasikan p-hub dan membuat rute semua aliran lewat
hub sehingga harga total diminimumkan.
Selanjutnya, diformulasikan biaya model Mixed Integrer Linear Programming
(MILP) untuk persolan p-hub median alokasi tunggal tak berkapasitas (uncapacitaced
single allocation p-hub median) disingkat USApHMP. Lihat Ernst dan
Krishnamorthy (1998), Wang dan Ting (2009) dan Skorin-Kapov et al. (1996)
pemodelan p-hub median.
Notasi yang dipakai dalam model adalah sebagai berikut.
Parameter:
∶ biaya transportasi suatu unit aliran dari simpul i ke simpul j yang dirutekan dari melalui hub k dan hub l.
= + +
∈ 0,1 ∀ , , ∈ 8
Fungsi objektif ( Pers. 1 ) menyatakan biaya total transportasi aliran. Pers.(2)
memastikan secara tepat terpilihnya p-hub. Kendala (3) mengutarakan bahwa setiap
simpul dialokasikan secara tepat satu hub. Kepastian bahwa simpul i dapat
dialokasikan ke hub k apabila jika k terpilih sebagai hub dinyatakan pada Pers.(4).
Sedangkan kendala (5) memberi kepastian bahwa setiap tujuan j, total aliran dari asal
i ke tujuan j yang dirutekan lewat lintasan yang memakai jalur i-k akan tidak nol
Untuk kasus alokasi ganda, aliran dari simpul i ke setiap simpul j dapat dikirim oleh,
atau diterima lewat, rute terminal bebas dari aliran atau simpul lainnya. Pertama
sekali akan didefinisikan beberapa parameter, kemudian akan diperkenalkan variabel
keputusan dalam model. Diberikan sebuah jaringan yang terdiri dari n buah titik
Untuk variabel dan parameter , indeks k digunakan untuk inisial hub dan
indeks l digunakan untuk terminal hub dengan menganggap aliran berasal dari titik i
dengan tujuan j. jika k = m maka lalu lintas rute melalui hub yang sama.
Biaya transportasi aliran per unit dapat dihitung dengan:
= + +
Secara implisit diasumsikan bahwa semua fasilitas hub memiliki karakteristik yang
sama dan hampir selalu diasumsikan memiliki memiliki diskon faktor yang sama ke
semua link.
Biaya digambarkan seperti gambar di bawah ini:
Gambar 3.1 Gambar aliran biaya dari simpul i ke simpul tujuan j melalui hub k dan l
Formulasi Mixed Integrer Linear Programming (MILP) untuk model fungsi tujuan
masalah p-hub median dengan batasan model asymetris, tanpa batasan kapasitas,
dengan multi alokasi dengan model Campbells adalah sebagai berikut :
∈
satu. Kendala (7) menjamin bernilai positif.
3.4 Algoritma Lintasan Terpendek dalam p-Hub Median
Lintasan terpendek antara pasangan simpul (i,j) ∈ , ∈ dapat dipakai dengan
Minimum dari pernyataan di atas mencakup semua kemungkinan distribusi
langsung (tanpa transfer dari k ke j).
∗ = { + ∗
}
∈
End algorithm 1.
Seperti yang telah disampaikan pada sub seksi (2.6) tentang Branch and
Bounds, batas efektifitas dari metode Branch and Bounds sangat bergantung pada
penentuan batas bawah. Dengan memakai lintasan terpendek dapat dapat diperoleh
suatu batas bawah untuk persoalan permasalahan p-hub median.
Penentuan Batas Bawah
Untuk skenario yang diketahui, dihitung batas bawah dengan memakai jarak lintasan
terpendek ∗ antara pasangan i dan j dalam G. Algoritma berikut dipakai untuk
menentukan ∗.
Algoritma 2:
Ambil ∗,
=
∈+
Untuk semua ∈ dan ∈ \
∗
=
+
∈
Untuk semua ∈ dan ∈ .
End Algorithm 2.
Suatu batas bawah L(S) untuk skenario S dapat diperoleh sebagai jumlah berbobot
jarak lintasan terpendek :
� = ∗
, ∈
.
3.5 Penerapan Lintasan Terpendek dalam Permasalahan p-Hub Median
Diberikan matriks jarak pengiriman barang antar 10 kota seperti pada tabel di bawah
yang menjadi hub yaitu kota 4, kota 5 dan kota 7. Dan juga ditentukan diskon faktor
skala ekonomi = 0,7 , = 0,6 , dan = 0,5. Tentukan jarak terpendek pengiriman
barang antar kota melalui hub yang ditentukan.
Tabel 3.1 : Jarak Antar Kota (Dalam Km)
Untuk menyelesaikan permasalahan di atas kita dapat menerapkan algoritma
Floyd-Warshall seperti di bawah ini:
Ambil ∗ = ∈ { , + , }
Untuk semua ∈ dan ∈ \ .
Karena ∈ dan , = 0
Minimum dari pernyataan di atas mencakup semua kemungkinan distribusi
langsung (tanpa transfer dari k ke j).
∗ = {
, + ∗, }
∈
Pertama sekali kita akan menghitung jarak minimum perpindahan aliran yang
melibatkan semua hub yang kemudian dilanjutkan perhitungan perpindahan aliran
Perhitungan dalam tabel:
Perhitungan jarak minimum antar simpul nonhub melalui hub tertentu:
Untuk simpul nonhub i = 2, maka simpul hub k = 4, 5, 7:
2,1∗ = { 2,4+ 4,1∗ , 2,5 + 5,1∗ , 2,7+ 7,1∗ }
2,3∗ = { 2,4+ 4,3∗ , 2,5 + 5,3∗ , 2,7+ 7,3∗ }
2,6∗ = { 2,4+ 4,6∗ , 2,5 + 5,6∗ , 2,7+ 7,6∗ }
2,8∗ = { 2,4+ 4,8∗ , 2,5 + 5,8∗ , 2,7+ 7,8∗ }
2,9∗ = { 2,4+ 4,9∗ , 2,5+ 5,9∗ , 2,7+ 7,9∗ }
2,10∗ = { 2,4+ 4,10∗ , 2,5+ 5,10∗ , 2,7+ 7,10∗ }
Perhitungan dalam tabel:
Tabel 3.6 : Tabel penghitungan ∗ untuk nonhub i = 2, dan simpul hub k = 4, 5, 7
2, + ∗, 2, + ∗, 2, + ∗, ∗
2,1∗ 0,5 × 649 + 881,7 = 1206,2 0,5 × 636 + 945,4 = 1263,4 0,5 × 889 + 979 = 1423,5 1206,2 2,3∗ 0,5 × 649 + 870,3 = 1194,8 0,5 × 636 + 784,6 = 1102,6 0,5 × 889 + 967,6 = 1412,1 1102,6 2,6∗ 0,5 × 649 + 716,1 = 1040,6 0,5 × 636 + 938,8 = 1256,8 0,5 × 889 + 813,4 = 1257,9 1040,6 2,8∗ 0,5 × 649 + 939,9 = 1264,6 0,5 × 636 + 738,9 = 1056,9 0,5 × 889 + 1037,2 = 1481,7 1056,9 2,9∗ 0,5 × 649 + 1078,5 = 1403 0,5 × 636 + 817,6 = 1135,6 0,5 × 889 + 1175,8 = 1620,3 1135,6 2,10∗ 0,5 × 649 + 1013,7 = 1338,2 0,5 × 636 + 917,2 = 1235,2 0,5 × 889 + 1111 = 1555,5 1235,2
Untuk simpul nonhub i = 3, maka simpul hub k = 4, 5, 7:
3,1∗ = { 3,4+ 4,1∗ , 3,5 + 5,1∗ , 3,7+ 7,1∗ }
3,2∗ = { 3,4+ 4,2∗ , 3,5 + 5,2∗ , 3,7+ 7,2∗ }
3,6∗ = { 3,4+ 4,6∗ , 3,5 + 5,6∗ , 3,7+ 7,6∗ }
3,8∗ = { 3,4+ 4,8∗ , 3,5 + 5,8∗ , 3,7+ 7,8∗ }
3,9∗ = { 3,4+ 4,9∗ , 3,5+ 5,9∗ , 3,7+ 7,9∗ }
10,1∗ = { 10,4+ 4,1∗ , 10,5+ 5,1∗ , 10,7+ 7,1∗ }
Dari perhitungan di atas untuk setiap pasangan simpul asal-tujuan diperoleh lintasan
terpendek yang menghubungkan kedua pasangan simpul asal-tujuan yang dialirkan
melalui hub tertentu seperti pada tabel di bawah ini:
Tabel 3.12 Tabel Pasangan Lintasan Terpendek dari Pasangan Simpul Asal ke Simpul
Tujuan Tertentu
Simpul Asal-Tujuan Lintasan Terpendek Jarak (Cost)
10,2∗ 10−7−5−2 1247,9
10,3∗ 10−5−7−3 1200,6
10,6∗ 10−7−5−6 1067,9
10,8∗ 10−5−4−8 1154,9
10,9∗ 10−5−7−9 1233,6
Total Aliran 46811,3
Dari perhitungan di atas diperoleh jarak (cost) total minimumnya adalah sebesar
46811,3.
Gambar jaringan Hub yang diperoleh dari perhitungan di atas ialah:
Gambar 3.2 Jaringan p-hub median yang menghubungkan 10 kota.
10 3 1
9
2 8
6
5
