9. TURUNAN FUNGSI
A. Rumus–Rumus Turunan Fungsi 1. f(x) = c, f’(x) = 0
2. f(x) = ax f’(x) = a
3. f(x) = axn f’(x) = a· n·xn – 1
4. Jika “u” adalah suatu fungsi dalam x, maka
f(x) = aun f’(x) = a·u’·n·un – 1, dimana u’ = turunan pertama dari u
SOAL PENYELESAIAN
1. UN 2012 IPS/B25
Turunan pertama dari
52. UN 2012 IPS/C37
Turunan pertama f(x) = (2x2 – 3x + 1)4 dari
3. UN 2012 IPS/D49
Turunan pertama dari y
x2 3x
3adalah4. UN 2012 IPS/E52
SOAL PENYELESAIAN Jawab : E
5. UN 2008 IPS PAKET A/B Turunan pertama dari
f(x) = 12x432x3 4x1adalah f’(x) = … a. x3 + x2 – 2
b. x3 + 2x2 – 4 c. 2x3 + 2x2 – 4 d. 2x3 + 2x2 – 4x e. 2x3 + 2x2 – 4x + 1 Jawab : c
f(x) = 12x432x3 4x1
f'(x) = 4 4 3 32 3 3 2 4 0
2
1 x x
= 2x3 + 2x2 – 4 ………(c)
6. UN 2010 IPS PAKET A
Diketahui f(x) = x6 + 12x4 + 2x2 – 6x + 8 dan f’(x) adalah turunan pertama dari f(x). Nilai f’(1) = …
a. 64 b. 60 c. 58 d. 56 e. 52 Jawab : e
f(x) = x6 + 12x4 + 2x2 – 6x + 8
f’(x) = 6x6 – 1 + 12·4x4 – 1 + 2·2x2 – 1 – 6 + 0 = 6x5 + 48x3 + 4x – 6
f’(1) = 6(1)5 + 48(1)3 + 4(1) – 6 = 6 + 48 + 4 – 6
= 52 ………(e) 7. UN 2010 IPS PAKET B
Diketahui f(x) = 6x4 – 2x3 + 3x2 – x – 3 dan f’(x) adalah turunan pertama dari f(x). Nilai f’(1) = …
a. 20 b. 21 c. 23 d. 24 e. 26 Jawab : c
f(x) = 6x4 – 2x3 + 3x2 – x – 3
f’(x) = 6·4x4 – 1 – 2·3x3 – 1 + 3·2x2 – 1 – 1 + 0 = 24x3 – 6x2 + 6x – 1
f’(1) = 24(1)3 – 6(1)2 + 6(1) – 1 = 24 – 6 + 6 – 1
= 23 ………(c)
8. UN 2009 IPS PAKET A/B
Turunan pertama dari f(x) = 2x3 + 3x2 – x + 2 adalah f’(x). Nilai f’(1) = …
a. 4
b. 6
c. 8
d. 11
e. 13
Jawab : d
f(x) = 2x3 + 3x2 – x + 2
f’(x) = 23x3 – 1 + 32x2 – 1 – 1 + 0 = 6x2 + 6x – 1
f’(1) = 6(1)2 + 6(1) – 1 = 6 + 6 – 1
= 11 ………..……(d)
SOAL PENYELESAIAN
9. UN 2011 IPS PAKET 12
Diketahui f(x) = (3x2 – 5)4. Jika f’(x) adalah
SOAL PENYELESAIAN turunan pertama dari f(x), maka f’(x) = …
a. 4x(3x2 – 5)3 b. 6x(3x2 – 5)3 c. 12x(3x2 – 5)3 d. 24x(3x2 – 5)3 e. 48x(3x2 – 5)3 Jawab : d
f’(x) = a·u’·n·un – 1 ………rumus A.4 = 1(6x)(4)(3x2 – 5)3
= 24x(3x2 – 5)3 ………..(d)
10. UN 2011 IPS PAKET 46
Turunan pertama dari f(x) = (3x2 – 7)4 adalag f’(x) = …
a. 6x(3x2 – 7)3 b. 12x(3x2 – 7)3 c. 24x(3x2 – 7)3 d. 36x(3x2 – 7)3 e. 48x(3x2 – 7)3 Jawab : c
f(x) = (3x2 – 7)4 : ……. Un
f’(x) = a·u’·n·un – 1 ………rumus A.4 = 1(6x)(4)(3x2 – 7)3
B. Tafsiran Geometris
Turunan suatu fungsi dapat digunakan dalam penafsiran geometris dari suatu fungsi, diantaranya: 1) Gradien garis singgung kurva f(x) di titik x = x1 , yaitu m = f’(x1)
Rumus persamaan garis singgung kurva yang melalui titik (x1, y1) dan bergradien m adalah: y – y1 = m(x – x1)
2) Fungsi f(x) naik, jika f’(x) > 0, dan turun, jika f’(x) < 0 3) Fungsi f(x) stasioner jika f’(x) = 0
4) Nilai stasioner f(x) maksimum jika f’’(x) < 0, dan minimum jika f’’(x) > 0
SOAL PENYELESAIAN
1. UN 2009 IPS PAKET A/B
Persamaan garis singgung pada kurva y = x3 + 4x2 + 5x + 8 di titik (–3, 2) adalah …
a. y = –8x – 26
b. y = –8x + 26
c. y = 8x + 22
d. y = 8x + 26
e. y = 8x – 26
Titik singgung (–3, 2) ……….(x1, y1) m = f’(x1) ………..…gradien
f(x) = x3 + 4x2 + 5x + 8 f’(x) = 3x2 + 8x + 5 f’(–3) = 3(–3)2 + 8(–3) + 5
= 27 – 24 + 5 = 8 ……….. m y – y1 = m(x – x1) …………persamaan garis
y – 2 = 8{x – (–3)} y – 2 = 8(x + 3)
y = 8x + 24 + 2
y = 8x + 26 ………..(d)
2. UN 2008 IPS PAKET A/B
Persamaan garis singgung pada kurva y = x2 + 4x + 1 di titik (2, 13) adalah …
a. y = 8x – 3 b. y = 8x + 13 c. y = 8x – 16 d. y = 2x + 9 e. y = 4x + 5
Titik singgung (2, 13) ……….( x1, y1) m = f’(x1) ………..…gradien
f(x) = x2 + 4x + 1 f’(x) = 2x + 4 f’(2) = 2(2)+ 4
= 8……… ……….. m y – y1 = m(x – x1) …………persamaan garis
y – 13 = 8(x – 2) y – 13 = 8x – 16
y = 8x – 16 + 13
SOAL PENYELESAIAN
grafik f(x) akan turun jika f’(x) < 0, maka: 3x2 + 12x – 36 < 0
x2 + 4x – 12 < 0 (x + 6)(x – 2) < 0 ujung interval x = {–6, 2}
tanda pertidaksamaan <, maka interval pada saat f(x) turun adalah di
–6 < x < 2 ……….(b)
tanda pertidaksamaan >, maka interval f(x) naik di : x < –5 atau x > 1 ……….(d)
Nilai fungsi pada saat stasioner x ={–2, 2} dan di ujung interval x = {–1, 3}
SOAL PENYELESAIAN
11. UN 2012 IPS/A13
Untuk memproduksi x unit barang perhari diperlukan biaya (x3 – 450x2 + 37.500x) rupiah. Biaya produksi akan menjadi minimal jika perhari produksi ….
A. 50 unit
Biaya produksi misal p(x). sehingga biaya akan minimum saat p’(x) = 0 dan p”(x) > 0 Jadi, biaya minimum saat x = 250 …………(D) 12. UN 2012 IPS/B25
Untuk memproduksi x unit barang per hari diperlukan biaya
2x3 2.100x2 600.000x
rupiah. Biayaproduksi akan menjadi minimum jika produksi maksimal perhari sebanyak …. A. 50 unit
B. 100 unit C. 150 unit D. 200 unit E. 500 unit
Biaya produksi misal p(x). sehingga biaya akan minimum saat p’(x) = 0 dan p”(x) < 0
Jadi, biaya minimum saat x = 500 …………(E) 13. UN 2012 IPS/C37
Untuk memproduksi x unit barang perhari diperlukan biaya (x3 – 5.000x2 + 3.000.000x) rupiah. Biaya produksi akan menjadi minimal jika produksi maksimal perhari sebanyak …. A. 3.000 unit
B. 1.500 unit C. 1.000 unit D. 500 unit E. 333 unit
SOAL PENYELESAIAN p”(3.000) = 6(3.000) – 10.000
= 18.000 – 10.000 > 0
Jadi, biaya minimum saat x = 3.000 …………(A)
14. UN 2012 IPS/D49
Suatu proyek dapat dikerjakan selama p hari dengan biaya setiap harinya
proyek minimum maka proyek tersebut harus diselesekan dalam waktu ….
A. 15 hari
Biaya proyek selama p hari misal B(x). sehingga biaya akan minimum saat B’(x) = 0 dan B”(x) < 0
Untuk memproduksi suatu barang diperlukan biaya produksi yang dinyatakan dengan fungsi B(x) = 2x2 – 180x + 2500 dalam ribuan rupiah. Agar biaya minimum maka harus diproduksi barang sabanyak …
a. 30 d. 90
b. 45 e. 135
c. 60 Jawab : b
B(x) = 2x2 – 180x + 2500
Biaya mencapai minimum saat B’(x) = 0 B’(x) = 4x – 180 = 0
4x = 180 x = 1804
= 45 ………..(b)
8. UN 2011 IPS PAKET 46
Suatu fungsi hubungan antara banyaknya pekerja dengan keuntungan perusahaan dinyatakan oleh f(x) = –2x2 + 240x + 900 dengan x banyaknya pekerja dan f(x) keuntungan perusahaan dalam satuan jutaan rupiah. Keuntungan maksimum perusahaan tercapai ketika banyaknya pekerja … orang
a. 120 d. 60
b. 100 e. 40
c. 80 Jawab : d
f(x) = –2x2 + 240x + 900
keuntungan mencapai maksimum saat f’(x) = 0 f’(x) = –4x + 240 = 0
4x = 240 x = 2404
= 60 ………..(d)
9. UN 2010 IPS PAKET A
Biaya produksi x barang dinyatakan dengan fungsi f(x) = (x2 – 100x + 4500) ribu rupiah. Biaya minimum untuk memproduksi barang tersebut adalah …
a. Rp1.000.000,00 b. Rp2.000.000,00 c. Rp3.500.000,00
f(x) = x2 – 100x + 4500
Biaya minimum pada saat f’(x) = 0, maka f'’(x) = 2x – 100 = 0
2x = 100 x = 1002
SOAL PENYELESAIAN
satuan dalam ribuan rupiah, sehingga biaya minimum adalah: 2.000 × Rp1.000,00
: Rp2.000.000,00………….(b)
10. UN 2010 IPS PAKET B
Hasil penjualan x unit barang dinyatakan oleh fungsi p(x) = 50.000 + 400x – 4x2 (dalam ratusan rupiah). Hasil penjualan maksimum yang diperoleh adalah …
a. Rp2.000.000,00
Penjualan maksimum saat p’(x) = 0, maka p'(x) = 400 – 8x = 0
satuan dalam ratusan rupiah, sehingga penjualan maksimum adalah: 60.000 × Rp100,00
: 6.000.000,00………..….(d) 11. UN 2009 IPS PAKET A/B
Sebuah home industry memproduksi x unit barang dengan biaya yang dinyatakan (x2 – 30x + 125) ribu rupiah, dan pendapatan setelah barang tersebut habis terjual adalah (60x) ribu rupiah. Keuntungan maksimal home industry tersebut adalah …
a. Rp 1.900.000,00
Misal fungsi keuntungan adalah f(x), maka: f(x) = pendapatan – biaya produksi
= 60x – (x2 – 30x + 125)
satuan dalam ribuan rupiah, sehingga keuntungan maksimum adalah: 1900 × Rp1.000,00
: Rp 1.900.000,00 ………(a)
12. UN 2008 IPS PAKET A/B
Suatu persegi panjang dengan panjang (2x + 4) cm dan lebar (4 – x) cm. Agar luas persegi panjang maksimum, ukuran panjang
Misal luas persegi panjang adalah L, maka: L = p × l
SOAL PENYELESAIAN adalah …
a. 4 cm b. 6 cm c. 8 cm d. 10 cm e. 12 cm Jawab : b
= – 2x2 + 4x + 16 L’ = –4x + 4
L akan mencapai maksimum saat L’ = 0, maka:
–4x + 4 = 0 4x = 4 x = 1
Ukuran panjang p pada saat x = 1 p = 2x + 4
