BILANAGN RASIONAL DAN IRASIONAL

(1)

BILANAGN RASIONAL DAN IRASIONAL

A. Bilangan Rasional

Bilangan rasional Q = semua bilangan yang dapat ditulis dalam bentuk b a

dengan

0

,  

B b Bdanb a

Jadi bilangan rasional Q terdiri atas : bulat positif B+_{, bulat negatif B}-_{, pecahan}

positif, paecahan negative dan nol

Bilangan rasional terdiri atas :

1. Bilangan bulat, misalnya: -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, …

2. Bilangan pecahan, misalnya

4 1 , 2 1 , 4 1 , 2 1

 

Bilangan rasional dapat dinyatakan dalam bentuk desimal terbatas, atau dalam bentuk desimal berulang terbatas.

Contoh :

1. 0,5 = 2 1

4. 3 1

= 0,33333…

2. 4 3

= 0,75 5.

11 8

= 0,727272…

3. 2 5

= 2,5 6.

33 7

= 0,212121… Cara mengubah bentuk desimal berulang ke bentuk pecahan biasa ! Contoh :

a. 0,323232… atau 0,32

Misal : x = 0,323232… 100x = 32,323232… x = 0,323232…

99x = 32

x = 99 32

(2)

b. 2,6666… atau 2,6

Missal : x = 2,6666… 10x = 26,6666..

x = 2,6666..

9x = 24

x = 9 24

= 3 8

Jadi 2,6666… = 3 8

B. Bilangan Irasional

Bahwa bilangan irrasional adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan sebagai

bentuk b a

dengan a dan b bilangan bulat, b  0

Pada umumnya bilangan bentuk akar merupakan bilangan irasional, akan tetapi perlu diketahui bahwa tidak semua bilangan

yang menggunakan tanda akar pasti bentuk akar. Bentuk akar adalah akar suatu bilangan yang hasilnya bukan bilangan rasional.

Contoh bilangan irasional : 2, 3, 5, , log 2, log 3.

Perhatikan contoh di bawah ini ! Contoh :

1) 5 = bentuk akar

2) 9 = 3 (rasional) jadi bukan bentuk akar

3) 20= bentuk akar

4) 100 = 10 ( rasional) jadi bukan bentuk akar

5) 3 7= bentuk akar

6) 4 ₈₁_{= 3 (rasional) jadi bukan bentuk akar.}

Menyederhanakan Bentuk Akar

Bilangan bentuk akar disebut sederhana jika :

(3)

2. Tidak ada factor dari radikan (bilangan di bawah tanda akar) yang berpangkat sama besar dengan atau lebih dari indeks.

Jika salah satu atau kedua – duanya tak memenuhi , maka bilangan bentuk akar itu dapat disederhanakan. Dapat juga dengan cara lain yaitu dengan memfaktorkan bilangan di bawah tanda akar menjadi dua bilangan bulat, dengan salah satu bilangan berupa bilangan kuadrat murni.

Contoh :

Sederhanakan bentuk akar di bawah ini.

a. 32 b. 18 c. 24 d. 80 e. 80

Jawab :

a. 32 = 16.2  16. 2 4 2

b. 18 = 9.2  9. 2 3 2

c. 24 = 4.6 2 6

d. 80 = 16.5  16. 5 4 5

e. 80 = 49.3 7 3

Operasi Bilangan Pada Bentuk Akar

1. Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk Akar

Bentuk akar dapat dijumlahkan atau dikurangkan jika bentuk akarnya sejenis.

Contoh :

a. 32 3 d. 32 8 50 98

b. 3 6 64 6 5 6 e. 20 28 125 63 80

c. 52 3 4 55 3

Jawab :

a. 32 3 (12) 3

b. 3 6 64 6 5 6(314 5) 6

c. 52 3 4 55 3(1 4) 5(25) 53 57 3

d. 32 8 50 98 16.2 4.2 25.2 49.2

2 4 2 7 2 5 2 2 2

4    

(4)

e. 20 28 125 63 80 2 52 7 5 53 7  4 5

2. Perkalian Bentuk Akar Dengan Bentuk Akar

 ax b  axb

 a cxb d axbx cxd

 ax a a

Contoh :

Selesaikanlah dan sederhanakanlah. a. 5x 7

Merasionalkan Penyebut

Dengan menggunakan bentuk akar yang hasil kalinya rasional Yaitu : 1. a a a

2.



a  b



a  b



a b

pecahan yang penyebutnya bentuk akar dapat dirasionalkan dengan cara sebagai berikut:

Contoh :

Rasionalkan penyebut dari

(5)

b.

C. BILANGAN BERPANGKAT RASIONAL

Sebelum ini telah dikenalkan perpangkatan bilangan real dengan bilangan bulat. Pertanyaan selanjutnya adalah “apakah diperbolehkan bilangan real berpangkat dengan rasional ?”. Pada subbab ini akan dibahas bilangan real dipangkatkan dengan bilangan rasional.

DEFINISI

Akar pangkat tiga dari suatu bilangan a adalah bilangan b yang apabila dipangkatkan 3 menjadi bilangan a, ditulis dengan :

b a 

3 _jika_b3 __a

Untuk lebih jelasnya, kita lihat contoh numerik berikut ini.

(6)

0 , jika a

a

0

,  

 a jika a

Akar pangkat n dari suatu bilangan a adalah bilangan b yang apabila dipangkatkan n menjadi bilangan a, ditulis dengan :

b

n a  jika bn a Jika n genap, maka nilai a harus non negatif.

Dalam keadaan khusus:

1.

Jika n genap maka

n n_a

=

{

2.

Jika n ganjil maka a

n n_a _

, untuk sembarang nilai a.

DEFINISI

Untuk n bilangan asli, arti dari _an

1

adalah n a

n a

an _

1

n

a

1

akan mempunyai nilai apabila:

 Untuk n genap, nilai a harus positif.

 Untuk n ganjil.

Pangkat bilangan rasional secara umum didefinisikan berikut ini.

Untuk bilangan bulat non negatif m dan bilangan asli n, arti dari n m

a adalah



_n



m m

n n m

a a

a _        

1

atau

 

m _n n m n

m

a a

a  

(7)