Pertidaksamaan Rasional Dan Irasional

(1)

Pertidaksamaan Rasional dan Irasional

By Agus Haryadi On April 18, 2017

.

Pertidaksamaan Rasional merupakan pertidaksamaan yang penyebutnya memuat variabel, sedangkan Persamaan Irasional merupakan pertidaksamaan yang variabel ada di dalam tanda akar. Untuk menyelesaikan pertidaksamaan jenis ini harus memperhatikan syarat yang ada, penyebut tidak boleh sama dengan 0 dan yang di dalam tanda akar harus lebih dari atau sama dengan 0. Materi ini diajarkan pada tingkat 10 SMA.

Pertidaksamaan Rasional

Pertidaksamaan rasional adalah pertidaksamaan yang memuat pecahan yang penyebutnya memuat variabel. Untuk menyelesaikannya diperlukan persyaratan penyebut tidak sama dengan 0

Contoh 1: Tentukan semua nilai

x

yang memenuhi

x

2

−1x−3≤0

Penyelesaian

Langkah Pertama: Menentukan syaratnya

Penyebut dari ruas kiri tidak boleh sama dengan 0

x−3≠0

⇒x≠3

Langkah Kedua: Menentukan penyelesainnya

Karena ruas kanan sama dengan 0, langsung faktorkan ruas kiri menjadi faktor-faktor linier baik pembilang maupun penyebut

(x−1)(x+1)x−3≤0

Pembuat nol pertidaksamaan di atas adalah

x−1=0

,

x+1=0

dan

x−3=0

, tuliskan kedalam bentuk eksplisit dalam

x

diperoleh

x=1

,

x=−1

dan

x=3

. Selanjutnya buat garis bilangan dan uji titik selain

−1

,

1

dan

3

di pertidaksamaan

Pada interval

x≤−1

, pilih

x=−2

diperoleh nilai

(−2−1)(−2+1)−2−3=3−5)≤0

(Memenuhi) Pada interval

−1≤x≤1

, pilih

x=0

diperoleh nilai

(0−1)(0+1)0−3=13≤0

(Tidak

Memenuhi)

Pada interval

1≤x≤3

, pilih

x=2

diperoleh nilai

(2−1)(2+1)2−3=−3≤0

(Memenuhi) Pada interval

x≥3

, pilih

x=4

diperoleh nilai

(4−1)(4+1)4−3=15≤0

(Tidak Memenuhi)

(2)

Dengan ilustrasi pada gambar dapat diketahui penyelesaiannya adalah

x≤−1

atau

1≤x<0

***

x

yang memenuhi

x

2

−3x+1x

2

+2x≤−2x+2

Penyelesaian

Pertidaksamaan di atas memiliki penyebut

x

2

+2x

dan

x+2

, oleh karenanya

⇒⇒x

2

+2x≠0x(x+2)≠0x≠0 dan x+2≠0

dengan kata lain

x≠0

dan

x≠−2

Jangan lupakan penyebut yang satunya lagi

x+2≠0

atau

x≠−2

. Dari dua penyebut di atas diperoleh syarat

x≠0

dan

x≠−2

Dimulai dengan membuat ruas kanan = 0

x

2

−3x+1x

2

+2x−−2x+2≤0

Kemudian sederhanakan pecahan di ruas kiri menjadi satu pecahan saja dengan cara mengurangkannya. Perhatikan penyebut pada pecahan pertama dapat difaktorkan menjadi

x(x+2)

x

2

−3x+1x(x+2)−−2x+2≤0

Samakan penyebutnya dengan cara mengalikan penyebut dan pembilang pada pecahan kedua dengan

x

2

−3x+1x(x+2)−−2xx(x+2)≤0

Operasikan pembilangnya

⇒x

2

−3x+1−(−2x)x(x+2)≤0x

2

−x+1x(x+2)≤0

Pecahan sudah sederhana, berikutnya faktorkan ruas kiri menjadi faktor-faktor linier jika mungkin.

Pembilang pada pertidaksamaan di atas relatif sulit untuk difaktorkan, oleh karena itu gunakan rumus ABC. Setelah dihitung diskrminannya diperoleh diskriminan negatif

D=b

2

−4ac=1−4=−3

. Jika Diskriminan suatu fungsi kuadrat negatif berarti fungsi kuadrat tersebut definit. untuk soal ini, fungsi

x

2

+x+1

adalah definit positif atau nilainya selalu

positif sehingga pada pertidaksamaan di atas kedua ruasnya sah untuk dikalikan dengan

1x

2

+x+1

(3)

⇒⇒x

2

+x+1x(x+2)≤0x

2

−x+1x(x+2)⋅1x

2

−x+1≤0⋅1x

2

−x+11x(x+2)≤0

x

dan

x+2

adalah pembuat 0 dari pertidaksamaan di atas dengan kata lain

x=0

dan

x+2=0

⇒x=−2

.

Selanjutnya buat garis bilangan dan uji titik selain −2 dan 0 di pertidaksamaan

Pada interval

x≤−2

, pilih

x=−3

diperoleh nilai

1x(x+2)=1−3(−3+2)=13≤0

(Tidak

Memenuhi)

Pada interval

−2≤x≤0

, pilih

x=−1

diperoleh nilai

1x(x+2)=1−1(−1+2)=1−1≤0

(Memenuhi)

Pada interval

x≥0

, pilih

x=1

diperoleh nilai

1x(x+2)=11(1+2)=13≤0

(Tidak Memenuhi) Ilustrasi seperti pada gambar di bawah, titik

x=−2

dan

x=1

diberi tanda bulatan putih karena sesuai syarat pertidaksamaan yaitu

x≠0

dan

x≠−2

Dari garis bilangan di atas diperoleh penyelesaian

−2<x<0

Pertidaksamaan Irasional

Pertidaksamaan irasional merupakan pertidaksamaan yang memuat variabel di dalam tanda akar. Untuk menyelesaiakannya diperlukan persyaratan yang di dalam tanda akar harus lebih dari atau sama dengan 0. Selain itu diperlukan syarat yang lain-lain mengingat bentuk akar adalah suatu bilangan positif.

x

yang memenuhi

2x+4−−−−−√>−x+2−−−−−−√

Penyelesaian

Ada dua fungsi yang berada dalam tanda akar oleh karena itu keduanya harus lebih dari atau sama dengan 0

1.

2x+4≥0⇒x≥−2

(4)

2.

Dengan memperhatikan sifat bentuk akar yang selalu positif dan sifat pertidaksamaan maka sah untuk mengkuadratkan kedua ruas kemudian menyelesaikan pertidaksamaan yang terbentuk

⇒⇒⇒⇒2x+4−−−−−√>−x+2−−−−−−√(2x+4−−−−−√)

2

>(−x+2−−−−−−√)

2

2x+4>−x

+23x>−2x>−23

Sketsakan syarat-syarat dan penyelesaian di atas

Garis bilangan pertama adalah garis bilangan untuk

x≥−2

, garis bilangan kedua untuk

x≤2

dan garis bilangan ketiga untuk

x>−23

. Garis bilangan terakhir atau yang keempat dari atas merupakan tempat untuk mensketsa irisan dari syarat dan penyelesaian. Pada garis bilangan ke empat dapat diketahui dengan mudah penyelesaian dari pertidaksamaan di atas adalah

−23<x≤2

***

x

yang memenuhi

2x−1−−−−−√≤x−2

Penyelesaian

Pada ruas kiri terdapat bentuk akar, oleh karena itu syaratnya adalah

x−1≥0

⇒x≥1

Di ruas kiri terdapat bentuk akar yang diketahui selalu positif, karena ruas kanan lebih dari ruas kiri maka haruslah ruas kanan lebih dari atau sama dengan 0

(5)

Kuadratkan kedua ruas pertidaksamaan diperoleh

⇒⇒⇒⇒2x−1−−−−−√≤x−2(2x−1−−−−−√)

2

≤(x−2)

2

4x−4≤x

2

−4x+40≤x

2

−8x+8x

2

−8x

+8≥0

Dengan menggunakan rumus ABC diperoleh pembuat 0 pada persamaan di atas adalah

x=−4+22–√

dan

x=−4−22–√

. Dengan metode menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat diperoleh

x≤−4−22–√

atau

x≥−4+22–√

Sketsakan syarat-syarat dan penyelesaian di atas

Dari sketsa diperoleh penyelesaiannya adalah

x≥2

AljabarMatematika SMAMatematika SMKMateri Matematika

    

Next article Soal dan Pembahasan PMB STIS 2015: MATEMATIKA part 1

(6)

Related Post



Pembagian Suku Banyak dengan Metode Horner (bagian 2)



Pembagian Suku Banyak dengan Metode Horner (bagian 1)



Teorema Sisa dan Teorema Faktor

(7)

Perbandingan Trigonometri Sudut Istimewa



Operasi pada Suku Banyak



Perbandingan Trigonometri pada Segitiga Siku-Siku Click to comment

Populer

 Kumpulan Soal dan Pembahasan Matematika SBMPTN 2016 Lengkap

 SOAL DAN SOLUSI SBMPTN 2016 KODE 242: MATEMATIKA SAINTEK

 SOAL DAN SOLUSI SBMPTN 2016 KODE 244: MATEMATIKA SAINTEK

 2 cara menghitung determinan matriks 3x3

 Mengapa harus merasionalkan penyebut pecahan bentuk akar

 SOAL DAN SOLUSI SBMPTN 2016 KODE 322: MATEMATIKA DASAR

 3 cara menentukan akar persamaan kuadrat

 Pertidaksamaan Rasional dan Irasional

 Soal dan Solusi SBMPTN 2016 Kode 325 Matematika Dasar - Part 3