BAB X BAB X
LINGKARAN DAN SEGI EMPAT LINGKARAN DAN SEGI EMPAT A.
A. SEGSEGI EMI EMPAPAT TAT TALI LI BUSBUSUR UR
Definisi 10.1. Segi empat talibusur ialah segi empat yang
Definisi 10.1. Segi empat talibusur ialah segi empat yang keempat titik sudutnya terletak keempat titik sudutnya terletak pada ingkaran.
pada ingkaran. Teorema 10.1.
Teorema 10.1. Dalam segi empat Dalam segi empat tali busur , tali busur , sudut-sudut ang berhadapan berpelursudut-sudut ang berhadapan berpelurusus sesamanya. sesamanya. B B C C A A DD
Diketahui ABCD segi empat tali busur Diketahui ABCD segi empat tali busur Buktikan : Buktikan : ∠∠A +A + ∠∠C = 180C = 180oo Bukti : Bukti : ∠∠A =A = ∩∩ B C B C 22 11 ∠ ∠C =C = ∩∩ B AB A 22 11 ∠ ∠A +A +∠∠C =C =
((
∩∩ B C D B C D++ ∩∩ B A B A 22 11 )) Atau Atau ∠ ∠A +A + ∠∠C =C = 2211 Keliling lingkaran= 180Keliling lingkaran= 180oo
Akibat : Sudut luar sebuah sudut pada segiempat tali busur sama dengan sudut dalam Akibat : Sudut luar sebuah sudut pada segiempat tali busur sama dengan sudut dalam
berhadapan. berhadapan.
Teorema 10.2. Jika dua buah sudut yang berhadapan dalam sebuah segiempat berpelurus Teorema 10.2. Jika dua buah sudut yang berhadapan dalam sebuah segiempat berpelurus
sesamanya , maka segi empat itu ialah
sesamanya , maka segi empat itu ialah segi empat tali busur segi empat tali busur B B C C A A D D PP B B C C A A DD Diketahui Diketahui ∠∠B +B + ∠∠D = 180D = 180oo
Buktikan : A, B, C, dan D terletak pada satu Buktikan : A, B, C, dan D terletak pada satu lingkaran
lingkaran
Bukti : Melalui tiga titik A, B, dan C senantiasa Bukti : Melalui tiga titik A, B, dan C senantiasa dapat digambarkan sebuah lingkaran
dapat digambarkan sebuah lingkaran
Kita umpamakan titik D tidak terletak pada Kita umpamakan titik D tidak terletak pada lingkaran ini, maka lingkaran ini memotong lingkaran ini, maka lingkaran ini memotong garis AD di P
garis AD di P Tentu
Tentu ∠∠B +B + ∠∠P = 180P = 180oo. sedangkan. sedangkan diketahui bahwa
diketahui bahwa ∠∠B +B + ∠∠D = 180D = 180oo
Jadi
Jadi ini akan ini akan mengakibatkan mengakibatkan bahwabahwa ∠∠P=P=∠∠ D
D
Perandaian bahwa
Perandaian bahwa ∠∠D tidak terletak padaD tidak terletak pada lingkaran itu, terbukti salah . Jadi D harus lingkaran itu, terbukti salah . Jadi D harus terletak pada lingkaran . Dengan perkataan lain terletak pada lingkaran . Dengan perkataan lain
ABCD segiempat talibusur ABCD segiempat talibusur
Teorema 10.3. (Teorema Ptolemeus). Dalam segiempat talibusur perkalian Teorema 10.3. (Teorema Ptolemeus). Dalam segiempat talibusur perkalian
diagonal-diagonalnya
diagonalnya sama sama dengan jumldengan jumlah perkaliah perkalian sian sisi-sisi si-sisi yang yang berhadapan.berhadapan.
D D 1 1 2 2 33 A A E E C C B B
Diketahui ABCD segiempat talibusur Diketahui ABCD segiempat talibusur Buktikan
Buktikan AC x BD AC x BD = AB x DC = AB x DC + BC x + BC x ADAD Bukti : Kita lukiskan
Bukti : Kita lukiskan ∠∠CDE =CDE = ∠∠ADBADB Maka
Maka 1).
1). ∆∆DECDEC ∞∞ ∆∆DABDAB (krn
(krn ∠∠ABD=ABD= ∠∠ACD=ACD= 22 11 ∩∩ AD danAD dan ∠∠DD 1 1==∠∠ D D22)) Akibatnya : Akibatnya : EC : EC : AB =DC AB =DC :DB:DB Atau EC Atau EC x DB x DB = AB = AB x DC x DC ……… ……… (1)(1) 2). 2).∆∆ADEADE ∞∞ ∆∆BDCBDC (krn
(krn ∠∠ADE=ADE=∠∠BDC danBDC dan ∠∠DAE =DAE = ∠∠DBC=DBC= 22 11
∩ ∩ DC)DC)
Akibatnya :
Akibatnya : AE : AE : BC =AD BC =AD :BD:BD Atau AE
Atau AE xBD =BC xBD =BC x AD x AD ……… ……… (2)(2) Jika (1) dan (2) dijumlahkan maka d
Jika (1) dan (2) dijumlahkan maka diproleh :iproleh : (1)
(1) EC x EC x DB = DB = AB x DAB x DCC
(2)
(2)AE x BD =BC x ADAE x BD =BC x AD (AE +EC)
(AE +EC) x BD x BD = AB = AB x DC x DC + BC + BC x AD x AD atauatau AC x BD = AB x DC + BC x AD
AC x BD = AB x DC + BC x AD
PENGGUNAAN SEGIEMPAT TALIBUSUR PENGGUNAAN SEGIEMPAT TALIBUSUR Jika sisi
Jika sisi segiempat segiempat talibusur adalah a, talibusur adalah a, b, c, db, c, d
a.
a. Menentukan kepanjangan dua sisi yang berhadapan :Menentukan kepanjangan dua sisi yang berhadapan : D D c c CC d d b b xx Pd gbr
Pd gbr ∠∠E=E=∠∠E &E &∠∠DAE=DAE=∠∠BCEBCE (??)
(??) Jadi
Jadi ∆∆ADEADE ∞∞ ∆∆CBECBE Akibat : Akibat : BE BE DE DE CE CE AE AE CB CB A ADD = = = =
A
A a a B B y y EE
Atau
Atau d d bb == aa x x++ y y ==cc y++ y x x
Shg 1) Shg 1) x x y y a a b b d d ++ = = ⇔⇔ dx = ab +bydx = ab +by 2) 2) bd bd ==cc y y++ x x ⇔⇔ dy = bc + bxdy = bc + bx
Dari persamaan 1) dan 2) diperoleh : Dari persamaan 1) dan 2) diperoleh :
2 2 2 2 )) (( b b d d bc bc ad ad b b x x − − + + = = dandan 2 2 2 2 )) (( b b d d dc dc ab ab b b y y − − + + = =
Soal : Dari sebuah segiempat talibusur sisi-sisinya ialah AB=52, BC=25 , CD=39 Soal : Dari sebuah segiempat talibusur sisi-sisinya ialah AB=52, BC=25 , CD=39
dan AD =
dan AD = 60. Hitunglah 60. Hitunglah kepanjangan-kepanjangan kepanjangan-kepanjangan BE da CEBE da CE
b
b.. PePerbrbanandidingngan dan diaiagogonal nal :: Dari gambar
Dari gambar diatas diatas dapat ditunjukkan dapat ditunjukkan bahwabahwa ∆∆DBEDBE ∞∞ ∆∆ACE ACE mengapa mengapa ??
Jadi Jadi BE BE C CE E D DBB AC AC = = ⇔ ⇔ y y x x D DBB A AC C = = ⇔ ⇔ 2 2 2 2 2 2 2 2 )) (( )) (( b b d d dc dc ab ab b b b b d d bc bc ad ad b b DB DB AC AC − − + + − − + + = = ⇔ ⇔ dc dc ab ab bc bc ad ad DB DB A AC C + + + + = = c.
c. PPananjajang dng diaiagogonanall
dc dc ab ab bc bc ad ad DB DB A AC C + + + + =
= ……… ……… dari dari no no b b diatas diatas ………..…1)………..…1)
AC x DB = ac +
AC x DB = ac + bd …Teorema Ptolemeus bd …Teorema Ptolemeus …. DB =…. DB =
A AC C bd bd ac ac++ ……...2) ……...2) Persamaan
Persamaan 2) Substi2) Substitusikan ke 1) tusikan ke 1) diperolehdiperoleh
dc dc ab ab bc bc ad ad A AC C bd bd ac ac A AC C + + + + = = + + ⇔⇔ ACAC22== dc dc ab ab bc bc ad ad bd bd ac ac + + + + + + )()( )) ((
Soal : Hitunglah panjang diagonal sebuah segi
Soal : Hitunglah panjang diagonal sebuah segi-empat -empat talibusur ABCD jika AB= talibusur ABCD jika AB= 16,16, BC = 25 , CD = 33 dan AD = 60
d.
d. JaJari ri jajari ri lilingngkarkaran lan luar uar
Untuk menghitung jari-jari lingkaran luar segi empat tali busur, hitung dulu sebuah Untuk menghitung jari-jari lingkaran luar segi empat tali busur, hitung dulu sebuah diagonalnya, missal diagonal AC, selanjutnya hitunglah jari-jari lingkaran luar diagonalnya, missal diagonal AC, selanjutnya hitunglah jari-jari lingkaran luar segitiga ABC dengan pertolongan rumus R =
segitiga ABC dengan pertolongan rumus R =
L L a abbcc
4
4 . R ini juga jari jari lingkaran luar . R ini juga jari jari lingkaran luar
segi empat tali busur. segi empat tali busur. e.
e. Bila kiBila kita haruta harus membs membuktikuktikan suatu san suatu segi emegi empat adalpat adalah segi ah segi empat tempat tali busali busur ,ur , perhatikan
perhatikan gambar-gambar di gambar-gambar di bawah ini, bawah ini, segi empat segi empat ABCD adalah ABCD adalah segi empat segi empat talitali busur ,
busur , jika memenuhi jika memenuhi salah satu salah satu darI :darI : D D C C A A BB ∠ ∠A+A+∠∠C =180C =180oo D D C C 1 1 22 A A BB ∠ ∠A =A = ∠∠CC22 C C B B A A DD ∠
∠ABD=ABD=∠∠ACDACD B B A A CC D D ∠ ∠B=B=∠∠D = 90D = 90oo B B r r A A qq CC p p ss D D p x q = r x s p x q = r x s p p qq ss r r p x q = r x s p x q = r x s B.
B. SEGSEGI EMI EMPAPAT GAT GARIS RIS SISINGGNGGUNGUNG
Definisi 10.2. Sebuah segi empat yang sisi-sisinya menyinggung sebuah lingkaran yang Definisi 10.2. Sebuah segi empat yang sisi-sisinya menyinggung sebuah lingkaran yang
dapat dilukiskan di dalam segi empat
dapat dilukiskan di dalam segi empat itu, namanya segi empat garisitu, namanya segi empat garis singgung.
singgung.
Teorema 10.4. Jumlah dua sisi yang berhadapan sebuah segi empat garis singgung sama Teorema 10.4. Jumlah dua sisi yang berhadapan sebuah segi empat garis singgung sama
dengan jumlah kedua sisi yang lain. dengan jumlah kedua sisi yang lain.
B B F F CC E E A A GG H H D D
Diketahui : ABCD segi empat garis singgung Diketahui : ABCD segi empat garis singgung Buktikan : AB + CD = AD + BC
Buktikan : AB + CD = AD + BC Bukti :
Bukti : Karena
Karena AE= AE= AH; AH; BE=BF;BE=BF; CF=
CF= CG CG ; ; DG=DHDG=DH Maka :
Maka : AB + CD
AB + CD = (AE + = (AE + EB) + (CG EB) + (CG + DG)+ DG) = (AH + BF) +( CF + DH) = (AH + BF) +( CF + DH) = (AH + HD) + (BF + FC) = (AH + HD) + (BF + FC) = AD + BC = AD + BC
Teorema 10.5. Jika pada segi empat jumlah sisi yang berhadapan sepasang-sepasang Teorema 10.5. Jika pada segi empat jumlah sisi yang berhadapan sepasang-sepasang
sama , maka segi empat itu ialah segi empat garis singgung. sama , maka segi empat itu ialah segi empat garis singgung.
C C B B M M A A E E DD
Diketahui segi empat ABCD, Diketahui segi empat ABCD, AB + CD = AD + BC
AB + CD = AD + BC
Buktikan : ABCD segi empat garis singgung Buktikan : ABCD segi empat garis singgung Jika
Jika ∠∠A danA dan ∠∠B dibagi B dibagi dua dua sama besar sama besar , dan, dan garis baginya bertemu di M , maka
garis baginya bertemu di M , maka M erupakanM erupakan pusat lingkaran yang menyinggung sisi AB , BC pusat lingkaran yang menyinggung sisi AB , BC dandan
AD. AD.
Diandaikan CD tidak menyinggung lingkaran, maka Diandaikan CD tidak menyinggung lingkaran, maka dari C dapat ditarik garis singgung CE, sehingga dari C dapat ditarik garis singgung CE, sehingga AB + CE = AE + BC AB + CE = AE + BC Selanjutnya : Selanjutnya : AB AB + + CD= CD= AD AD + + BC BC (diket)(diket) AB
AB + CE + CE = = AE AE + + BC BC (T (T 10.4 & 10.4 & Pengandaian)Pengandaian) CD –
CD – CE = CE = AD – AD – AE AE atauatau CD – CE = ED
CD – CE = ED Jad pada
Jad pada ∆∆ECD : Selisih dua sisi = sisi yang lainECD : Selisih dua sisi = sisi yang lain Ini t
Ini tidak mungkin idak mungkin , maka , maka pengandaian :pengandaian : CD t
CD tidak mennyinggung idak mennyinggung lingkaran lingkaran adalah SALAH.adalah SALAH. Jadi haruslah CD menyinggung lingkaran
