contoh proposal penelitian eksperimen (1)

PERBANDINGAN METODE CHIO DAN METODE MINOR-KOFAKTOR DALAM MENYELESAIKAN DETERMINAN MATRIKS BERORDO N ≥ 4 BAGI PESERTA DIDIK

KELAS XII IPA DI SMA NEGERI 3 JOMBANG

Proposal Penelitian

Program Studi Pendidikan Matematika

Oleh :

Laili Rizkiyah

NIM 105 777

SEKOLAH TINGGI KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

PERSATUAN GURU REPUBLIK INDONESIA

JOMBANG

PERBANDINGAN METODE CHIO DAN METODE MINOR-KOFAKTOR DALAM MENYELESAIKAN DETERMINAN MATRIKS BERORDO N ≥ 4 BAGI PESERTA DIDIK

KELAS XII IPA DI SMA NEGERI 3 JOMBANG.

Oleh :

Laili Rizkiyah

NIM 105 777

disetujui pada tanggal…………

Oleh

Pembimbing

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL

HALAMAN PERSETUJUAN... ii

DAFTAR ISI... iii

KATA PENGANTAR... iv

BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Masalah ... 1

B. Batasan Masalah ... 3

C. Rumusan Masalah ... 3

D. Tujuan Penelitian ... 3

E. Manfaat Penelitian... 3

G. Definisi Operasional... 4

F. Asumsi Penelitian ... 4

BAB II LANDASAN TEORI A. Pengertian Pendidikan ... 5

B. Hakikat Matematika... 5

C. Matriks... 6

D. Determinan Matriks... 11

E. Metode CHIO... 15

F. Metode MINOR-KOFAKTOR ... 17

BAB III METODE PENELITIAN A. Rancangan Penelitian ... 21

B. Populasi dan Sampel... 21

C. Instrumen Penelitian... 22

D. Prosedur Penelitian... 24

KATA PENGANTAR

Puji syukur kehadirat Allah SWT atas segala rahmat, taufiq serta hidayahnya sehingga penulisan proposal penelitian ini dapat terselesaikan. Penulisan proposal ini ditujukan untuk memenuhi tugas akhir perkuliahan.

Peneliti mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada Rifa Nurmila, S.Pd, M. Pd atas segala bimbingan dan arahan yang telah diberikan. Beserta semua pihak yang telah membantu dalam penyelesaian penyusunan proposal penelitian ini.

Peneliti merasa bahwa proposal penelitian ini belum sempurna, masih banyak kekurangan. Oleh karena itu, peneliti mengharapkan saran maupun kritikan untuk kesempurnaan proposal penelitian ini. Peneliti mengaharapkan proposal penelitian ini dapat membawa manfaat bagi semua pihak dan bagi pembaca khususnya. Atas segala saran dan kritiknya peneliti sampaikan terima kasih.

Jombang, 02 Juli 2012

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang Masalah

Penididkan menurut UU Sisdiknas Bab I pasal 1 adalah usaha sadar dan terencana untuk mewujutkan suasana belajar dan proses pembelajaran agar peserta didik seccara akatif mengenbangkan potensi dirinya untuk memiliki kekuatan spiritual keagamaan, pengendalian diri, kepribadian, kecerdasan, ahklak mulia serta ketrampilan yang diperlukan dirinya, masyarakat, bangsa dan Negara.

Pendidikan memiliki banyak cabang ilmu, salah satumya adalah matematika yang terbentuk dari pengalaman manusia dalam dunianya secara empiris. Kemudian pengalaman itu diproses di dalam dunia rasio diolah secara analisis dengan penalaran di dalam struktur kognitif sehingga sampai terbentuk konsep-konsep matematika. Dalam ilmu matematika di jenjang SMA kita mengenal adanya MATRIKS sebagai kumpulan bilangan-bilangan yang disusun secara khusus dalam bentuk baris dan kolom. Mempunyai banyak cara dalam menentukan determinannya untuk matriks bujur sangkar berordo banyak, khususnya n ≥ 4 yang konon sulit untuk dipecahkan.

Ada beberapa metode untuk menentukan determinan dari matriks bujur sangkar yaitu: Metode Sarrus, Metode Minor Kofaktor, Metode CHIO, Metode Eliminasi Gauss, Metode Dekomposisi Matriks. Kecuali metode sarrus yang bisa digunakan untuk menyelesaikan determinan matriks berordo n≥4.

Terkait dengan permasalahan diatas agar kita mengetahui cara / metode manakah antara metode CHIO dan metode MINOR-KOFAKTOR yang lebih mudah digunakan. Maka penelitian ini mengambil judul “PERBANDINGAN ANTARA METODE CHIO DAN METODE MINOR-KOFAKTOR DALAM MENYELESAIKAN DETERMINAN MATRIKS BERORDO N ≥ 4 BAGI PESERTA DIDIK KELAS XII IPA DI SMA NEGERI 3 JOMBANG.

B. Batasan Masalah

Agar permasalahan dibahas tidak terlalu meluas serta dapat mengarahkan jalannya penulis. Maka penulis memberikut :

1. Penelitian ini terbatas pada mata pelajaran matematika menentukan determinan matriks berordo n ≥ 4 dengan metode CHIO dan MINOR-KOFAKTOR. Pada peserta didik kelas XII IPA di SMA Negeri 3 Jombang.

2. Sasaran penelitian ini difokuskan pada peserta didik kelas XII IPA di SMA NEGERI 3 Jombang.

3. Penelitian difokuskan pada perbandingan metode CHIO dan MINOR-KOFAKTOR dalam menentukan determinan matriks bujur sangkar berordo n ≥ 4.

C. Rumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang yang telah peneliti sampaikan, maka rumusan masalah pada penelitian ini adalah :

Manakah yang lebih mudah digunakan dalam mencari determinan matriks berordo n ≥ 4 antara metode CHIO dan MINOR-KOFAKTOR pada peserta didik kelas XII di SMA Negeri 3 Jombang?

Tujuan Masalah

Sesuai dengan rumusan masalah. Maka tujuan penelitian ini adalah mengetahui manakah yang lebih mudah digunakan dalam mencari determinan matriks berordo n≥4 antara metode CHIO dan MINOR-KOFAKTOR pada peserta didik kelas XII di SMA Negeri 3 Jombang.

D. Manfaat penelitian

Suatu penelitian tentunya harus memiliki suatu kegunaan dari hasil penelitian, maka peneliti berharap penelitian ini bermanfaat antara lain :

1. Manfaat Teorittis

b. Untuk memperoleh informasi yang dapat digunakan untuk menentukan metode yang lebih mudah dalam mencari determinan matriks derordo banyak ( n ≥ 4 ).

2. Manfaat Praktis

a. Manfaat bagi guru yaitu mengetahui metode mana yang lebih mudah untuk digunakan dalam mencari determinan matrik berordo banyak (n ≥ 4).

b. Manfaat bagi peserta didik yaitu dengan mengetahui metode mana yang lebih mudah dalam mencari determinan matriks berordo banyak (n ≥ 4) diharapkan dapat membantu mengurangi kesulitan peserta didik dalam mengerjakan. c. Manfaat bagi peneliti yaitu diharapkan menambah wawasan pengetahuan

peneliti sebagai bahan untuk meneliti dalam mempersiapkan diri sebagai calon tenaga pendidik.

E. Definisi Operasional

Agar lebih mengarah dan memfokuskan pada permasalahan yang akan di bahas sekaligus menghindari persepsi yang lain mengenai istilah-istilah yang ada, perlu adanya penyelarasan mengenai definisi istilah atau definisi operasional. Adapun definisi istilah yang berkaitan dengan judul dalam penelitian untuk skripsi ini adalah sebagai berikut:

1. Matriks adalah kumpulan bilangan-bilangan yang disusun secara khusus dalam bentuk baris dan kolom sehingga membentuk empat persegi panjang atau bujur sangkar yang ditulis diantara dua tanda kurung yaitu ( ) atau [ ].

2. Matriks berordo (n ≥ 4). Matriks yang dimaksud dalam pemasalahan ini adalah matriks yang berjenis matriks kuadrat/matriks bujur sangkar (square matrix) dimana jumlah baris (m) sama dengan jumlah kolom (n) atau m = n. sehingga kita dapat menyebutnya matriks berordo n.

3. Determinan matriks adalah bilangan tunggal yang diperoleh dari semua permutasi n2_{elemen matriks bujur sangkar.}

4. Metode CHIO menghitung determinan matriks akan dicari menjadi sub-sub determinan berderajat dua (2 x 2) menggunakan elemen matriks baris ke-1 dan kolom ke-1 sebagai titik tolaknya.

5. Metode MINOR-KOFAKTOR menghitung determinan matriks dengan cara menentukan minor dan kofaktor pada salah satu baris atau kolom matriks.

F. Asumsi penelitian

Agar diperoleh hasil penelitian yang dapat dipertanggungjawabkan, maka peneliti mengemukakan beberapa asumsi selama penelitian berlangsung, antara lain sebagai berikut:

1. Guru dapat memilih metode yang lebih mudah dalam menyelesaikan kesulitan mencari determinan matriks berordo banyak (n ≥ 4).

2. Peserta didik dapat menyelesaikan dengan baik dalam mencari determinan matrik berordo banyak (n ≥ 4).

BAB II

KAJIAN PUSTAKA

A. Pengertian Pendidikan

Pendidikan adalah usaha sadar dan terencana untuk mewujudkan suasana belajar dan proses pembelajaran agar peserta didik secara aktif mengembangkan potensi dirinya untuk memiliki kekuatan spiritual keagamaan, pengendalian diri, kepribadian, kecerdasan, akhlak mulia, serta keterampilan yang diperlukan dirinya, masyarakat, bangsa dan negara. (UU No. 20 Tahun 2003 Tentang SISDIKNAS)

Menurut Prof. Dr. Prayitno, M.Sc., Ed. Pendidikan adalah upaya memuliakan kemanusiaan manusia, tujuan pendidikan sepenuhnya mengacu kepada seluruh komponen harkat dan martabat manusia (HMM), Sedangkan menurut John Dewey Pendidikan merupakan alat pelanjuta kehidupan sosial (social continuity of life).

Dan bagi W.O.I Smith, Pendidikan adalah suatu proses menyampaikan segala anasir-anasir kehidupan suatu masyarakat kepada generasi mudanya bagi melanjutkan warisan anasir-anasir itu agar dapat dipertinggikan dan disampaikan pula kepada generasi lain.

(http://carapedia.com/pengertian_definisi_pendidikan_info2029.html).

B. Hakikat Matematika

Hakikat matematika berasal dari perkataan latin yang mulanya diambil dari perkataan yunani mathematike yang berarti mempelajari. Perkataan itu mempunyai asal katanya mathema yang berarti pengetahuan atau ilmu (Knowledge, science). Kata mathematike berhubungan pula dengan kata lainnya yang hampir sama, yaitu mathein atau mathenein yang artinya belajar (berpikir). Jadi, berdasarkan asal katanya, maka perkataan matematika berarti ilmu pengetahuan yang didapat dengan berpikir (bernalar). Matematika lebih menekankan kegiatan dalam dunia rasio (penalaran), bukan menekankan dari hasil eksperimen atau hasil observasi. Matematika terbentuk karena pikiran-pikiran manusia, yang berhubungan dengan idea, proses, dan penalaran (Russeffendi ET, 1980 :148).

Menurut SCHWATZ & CLEMENTS (1996) definisi matematika adalah :

 Matematika bukan sekedar aritmatika

 Matematika merupakan problem posing dan problem solving

 Matematika merupakan studi tentang pola dan hubungan

 Matematika merupakan bahasa

 Matematika merupakan cara dan alat berfikir

 Matematika merupakan ilmu pengetahuan yang berkembang secara dinamik

 Matematika adalah aktivitas

(http://carapedia.com/pengertian_definisi_matematika_info2064.html)

C. Matriks

1. Pengertian Matriks

Matriks adalah kumpulan bilangan-bilangan yang disusun secara khusus dalam bentuk baris dan kolom sehingga membentuk empat persegi panjang atau bujur sangkar yang ditulis diantara dua tanda kurung, yaitu ( ) atau [ ].

Bentuk umumnya:

A =

[

a₁₁ a₁₂ a₁₃ ⋯ a_1n a21 a22 a23 ⋯ a2n

⋮ ⋮ ⋮ ⋮

⋮ ⋮ ⋮ ⋮

a_m1 a_m2 a_m3 ⋯ a_mn

]

A adalah notasi matriks sedang amn adalah elemen matriks. Deretan

horisontal elemen-elemen disebut baris dan deretan vertikal disebut kolom. Indeks m menunjukkan nomor baris elemen berada, indeks n menunjukkan nomor kolom elemen berada, misal a23 artinya elemen a berada pada baris 2

dan kolom 3. Matriks diatas memiliki m baris dan n kolom, dan disebut juga dimensi m kali n (mn). Matriks dengan dimensi baris m = 1, seperti:

B = [ b1 b2  bn],

disebut dengan vektor baris atau matriks baris. Sedang dengan dimensi kolom n = 1, seperti:

C =

[

c₁ c₂ c₃

⋮

c_m

]

Matriks yang semua unsurnya bernilai 0, seperti:

A =

[

0 0 0

0 0 0

(Anton Horwad, 2000)

2. Jenis-jenis Matriks

 Matriks bujur sangkar (MBS) adalah sebuah matriks dimana m = n, misal

matriks 33, adalah:

A =

[

a₁₁ a₁₂ a₁₃ a₂₁ a₂₂ a₂₃ a₃₁ a₃₂ a₃₃

]

Diagonal yang terdiri dari a11, a22, dan a33 adalah diagonal utama

matriks. MBS banyak digunakan pada penyelesaian sistem persamaan linier, dalam sistem ini jumlah persamaan (baris) dan jumlah bilangan tak diketahui (kolom) harus sama untuk mendapatkan penyelesaian tunggal.

 Matriks diagonal adalah matrik bujur sangkar dimana semua elemen kecuali diagonal utama adalah 0, dan berbentuk:

A =

[

a₁₁ 0 0 0

0 a₂₂ 0 0 0 0 a₃₃ 0 0 0 0 a₄₄

]

 Matriks saklar, adalah matriks diagonal yang unsur-unsurnya sama besar

tetapi bukan nol atau satu.

 Matriks identitas, adalah matriks diagonal yang semua elemen pada diagonal utama bernilai 1 atau dapat juga disebut matriks satuan, seperti bentuk berikut ini:

I =

[

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

]

 Matriks segitiga atas (MSA), adalah matriks yang semua elemen dibawah

diagonal bernilai 0, bentuknya sebagai berikut:

A =

[

a₁₁ a₁₂ a₁₃ a₁₄

0 a₂₂ a₂₃ a₂₄

0 0 a₃₃ a₃₄

0 0 0 a₄₄

]

 Matriks segitiga bawah (MSB), adalah matriks yang semua elemen diatas

A =

[

a₁₁ 0 0 0

a₂₁ a₂₂ 0 0

a₃₁ a₃₂ a₃₃ 0

a₄₁ a₄₂ a₄₃ a₄₄

]

 Matriks simetris, bila aij = aji, misalnya matriks simetris 33:

A =

[

5 1 2

1 3 7

2 7 8

]

 Matriks simetris diagonal nol, bila aij = -aji, misalnya matriks simetris 33

yang semua unsur diagonalnya aji = 0.

A =

[

0 1

−

2

−

1 0

−

7

2 7 0

]

 Matriks pita, adalah matriks yang mempunyai elemen sama dengan 0, kecuali pada satu jalur yang berpusat pada diagonal utama, bentuknya sebagai berikut:

A =

[

a₁₁ a₁₂ 0 0

a₂₁ a₂₂ a₂₃ 0

0 a₃₂ a₃₃ a₃₄

0 0 a₄₃ a₄₄

]

, disebut juga dengan matriks tridiagonal.

 Matriks transpose, adalah matriks yang terbentuk dengan mengganti baris

menjadi kolom dan kolom menjadi baris (notasinya AT_).

Untuk matriks: A =

[

a

₁₁

a

₁₂

a

₁₃

⋯

a

_1n

a

₂₁

a

₂₂

a

₂₃

⋯

a

_2n

⋮

⋮

⋮

⋮

⋮

⋮

⋮

⋮

a

_m1

a

_m2

a

_m3

⋯

a

_mn

]

,

maka transposenya (AT_{) adalah A}T ₌

[

a

₁₁

a

₂₁

a

₃₁

⋯

a

_m1

a

₁₂

a

₂₂

a

₃₂

⋯

a

_m2

⋮

⋮

⋮

⋮

⋮

⋮

⋮

⋮

a

_1n

a

_2n

a

_3n

⋯

a

_mn

]

 Matriks ortogonal adalah matrik bujur sangkar yang memenuhi aturan:

[A]T _{. [A] = [A] [A]}T _{= [I]}

Ada beberapa operasi matriks yang perlu diketahui, yaitu penjumlahan antara dua matriks, perkalian antar skalar dan matriks, perkalian antar matriks, dan operasi baris (operasi yang dikenakan pada unsur-unsur baris dalam suatu matriks). Berikut ini adalah penjelasan dari beberapa operasi yang telah disebutkan di atas

 Penjumlahan Matriks

Agar dua buah matriks dapat dijumlahkan, maka syarat yang harus dipenuhi oleh keduanya adalah ukuran kedua matriks tersebut harus sama. Penjumlahan dua buah matriks akan menghasilkan sebuah matriks dengan ukuran yang sama dengan kedua matriks yang dijumlahkan, dan setiap unsur didalamnya merupakan hasil penjumlahan dari unsur yang seletak pada kedua matriks tersebut.

Contoh :

Penjumlahan dua matriks berukuran 2 x 2 adalah sebagai berikut :

(

a

)

(

a b

c d

)

+

(

e f

g h

)

=

(

a

+

e b

+

f

c

+

g d

+

h

)

(

b

)

(

1 2

3 4

)

+

(

5 6

7 8

)

=

(

6

8

10 12

)

 Perkalian suatu matriks dengan skalar

Suatu matriks yang dikalikan dengan skalar akan menghasilkan matriks dengan ukuran yang sama tetapi setiap unsur pada matriks dikalikan dengan skalar tersebut.

Misalkan k ¿ Bilangan Riil dan

A

=

(

p q

r s

)

Maka :

kxA

=

k

(

p q

r s

)

=

(

kp kq

kr ks

)

 Perkalian suatu matriks dengan matriks lain

Misalkan matriks Amxn dan Bpxq, maka :

 A x B bisa dilakukan jika n = p dan hasilnya berukuran m x q

 B x A bisa dilakukan jika q = m dan hasilnya berukuran p x n

A=

(

a

d b

e c f

)

2x3

dan B=

(

Maka

¿

ap+bq+cr

dp+eq+fr ¿as+bt+cu

ds+et+fu 2x2

¿

AxB=¿ ¿

Perhatikan bahwa unsur baris ke-2 kolom ke-1 dari AB merupakan jumlah dari hasil kali unsur pada baris ke-2 matriks A dengan unsur-unsur pada kolom ke-1 matriks B.

Misalkan A, B, C adalah matriks berukuran sama dan α, β merupakan unsur bilangan Riil, maka operasi matriks memenuhi beberapa berikut :

1. A + B = B + A

2. A + ( B + C ) = ( A + B ) + C 3. α ( A + B ) = αA + αB 4. (α + β ) ( A ) = αA + βA

Khusus untuk perkalian antara dua matriks, jika A dan B merupakan matriks bujursangkar, maka belum tentu AB = BA (tidak berlaku sifat komutatif). Selain kedua operasi diatas, ada juga operasi pada matriks yang dikenakan pada setiap baris pada matriks tersebut. Operasi yang demikian dinamakan Operasi Baris Elementer (OBE).

 Operasi Baris Elementer

Operasi baris elementer (OBE) merupakan operasi aritmatika

(penjumlahan dan perkalian) yang dikenakan pada setiap unsur dalam suatu baris pada sebuah matriks.

Operasi baris elementer meliputi : 1. Pertukaran Baris

2. Perkalian suatu baris dengan konstanta tak nol

3. Penjumlahan hasil perkalian suatu baris dengan konstanta tak nol dengan baris yang lain.

(a)

A

=

(

−

3

−

2

−

1

1

2

3

0

2

4

)

b

₁

↔b

₂

(

−

1

3

−

2

2

−

3

1

0

2

4

)

Baris pertama (b1) ditukar

(b)

A=

(

1 −1 0−1 0 2 1 7 2 −1 1 3

)

−2b₁+b₃

(

1 −1 0−1 0 2 1 7 0 1 1 5

)

D. Determinan Matriks 1. Definisi Determinan

 Pengertian Determinan matriks adalah jumlah semua hasil perkalian elementer yang bertanda dari A dan dinyatakan dengan det(A). (Howard Anton, 1991 : hal 67) Yang diartikan dengan sebuah hasil elementer bertanda dari suatu matriks A adalah sebuah hasil perkalian elementer pada suatu kolom dengan +1 atau -1.

 Pengertian Determinan matriks adalah sekumpulan bilangan-bilangan yang disusun secara teratur dalam sebuah bujur sangkar, yang letaknya horisontal dan vertikal serta mempunyai satu harga tertentu.

 Perhitungan nilai determinan hanya berlaku untuk matriks berordo n, atau yang disebut matriks bujur sangkar (matriks kuadrat).

2. Notasi Determinan

Notasi determinan matriks A :

Jika diketahui matriks A :

Maka determinan dari matriks A :

atau                      nn ni n n n i n i n i a a a a a a a a a a a a a a a a A .. .. .. .. .. .. .. .. 2 1 2 2 22 21 2 2 22 21 1 1 12 11 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ nn ni n n n i n i n i a a a a a a a a a a a a a a a a .. .. .. .. .. .. .. .. A) ( det 2 1 2 2 22 21 2 2 22 21 1 1 12 11 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮  nn ni n n n i n i n i a a a a a a a a a a a a a a a a .. .. .. .. .. .. .. .. | A | A det 2 1 2 2 22 21 2 2 22 21 1 1 12 11 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮   

Perkalian (-2) dengan b1

lalu tambahkan pada b3

3. Sifat-sifat Determinan

Sebelum kita beranjak ke metode perhitungan determinan, sebaiknya kita mengetahui sifat-sifat determinan :

a) Apabila semua unsur dalam suatu baris atau suatu kolom sama dengan nol, maka harga determinan = 0

D =

|

2 4 1

−

2 3 5

0 0 0

|

= 0 D =

|

2 0 4

3 0 1

5 0 2

|

= 0 b) Harga determinan tidak berubah, bila semua baris diubah menjadi kolom

atau semua kolom diubah menjadi baris.

D =

|

1 1

2 3

|

_{= 1 D =}

|

1 2

1 3

|

_{= 1}

c) Pertukaran tempat diantara baris dengan baris atau kolom dengan kolom pada suatu determinan akan mengubah tanda determinan.

D =

|

1 1

2 3

|

_{= 1 → ditukar baris D =}

|

2 3

1 1

|

_{= –1}

→ ditukar kolom D =

|

1 1

3 2

|

_{= –1}

d) Bila suatu determinan terdapat dua baris atau kolom yang sama (identik), maka harga determinan itu = 0

D =

|

1 2 4

1 2 4

3 5 6

|

= 0 D =

|

1 1 3

2 2 5

4 4 6

|

= 0 Ada 2 baris yang sama Ada 2 kolom yang sama e) Bila semua unsur sembarang baris atau kolom dikalikan dengan sebuah

faktor tidak bernilai 0, maka harga determinan dikalikan dengan bilangan itu.

D =

|

1 1

2 3

|

_{= 1 ↔ baris 1 dikalikan 2 → D =}

|

2 2

2 3

|

_{= 6 – 4 = 2}

↔ kolom 1 dikalikan 2 → D =

|

2 1

f) Tanpa mengubah harga determinan, semua unsur sembarang baris atau kolom dapat dikalikan dengan sebuah faktor (≠ 0) dan menambahkannya pada atau mengurangi dari sembarang baris (kolom) yang lain.

D =

|

1 2

3 4

|

_{= –2 ↔ ekspansi baris H21 (-2) D =}

|

1 2

3 4

|

₌

D =

|

1 2

1 0

|

_{= –2}

↔ ekspansi kolom K21 (-1) D =

|

1 1

3 1

|

_{= –2}

4. Metode Perhitungan Determinan

Ada beberapa metode untuk menentukan determinan dari matriks bujur sangkar yaitu:

 Metode Sarrus

 Metode Minor Kofaktor

 Metode CHIO

 Metode Eliminasi Gauss

 Metode Dekomposisi Matriks

Dalam penjelasan diatas sudah dikemukakan banyaknya metode untuk mencari determinan matriks bujursangkar. Hanya saja tidak semua metode dapat digunakan secara efisien untuk mencari determinan matriks berordo banyak terutama matriks berordo n ≥4. Seperti metode SARRUS yang hanya bisa digunakan mencari determinan matriks berordo n≥3. Namun metode sarrus yang menjadi dasar untuk menggunakan metode-metode lain dalam mencari determinan matriks berordo banyak (n≥4). Maka peneliti akan membahas metode SARRUS ini sebagai pengantar.

5. Metode Sarrus (Spaghetti)

a. Determinan matriks ordo 2 :

untuk mencari determinan matrik A maka,

( - ) ( + )

det(A) = |A| = a11a22 _- a21a12

Contoh:

Tentukan determinan berikut menggunakan metode Sarrus

B

=

[

2

−

3

2 1

]

Solusi:

det

(

B

)=|

B

|=|

2

−

3

2 1

|

=

2

×

1

−(−

3

)×

2

=

2

−(−

6

)=

8

b. Determinan matriks ordo 3 :

untuk mencari determinan matrik A maka,

( - ) ( + ) det(A) = |A|

Contoh:

A =

a11 a12

a11 a12

¿

righ

¿ ¿ ¿

[¿]¿ ¿ ¿

det( A)=|A|=

a11 a12

a11 a12

¿

rli

¿ ¿

|¿|¿ ¿ ¿

A=

[

a₁₁ a₁₂ a₁₃ a₂₁ a₂₂ a₂₃ a₃₁ a₃₂ a₃₃

]

a₁₁ a₂₁ a₃₁

det(A)=|A|=|

a₁₁ a₁₂ a₁₃ a₂₁ a₂₂ a₂₃ a₃₁ a₃₂ a₃₃

|

a₁₂ a₂₂ a₃₂

= a₁₁a₂₂ a₃₃+a₁₂a₂₃ a₃₁+a₁₃a₂₁a₃₂-a₁₃a₂₂a₃₁

Tentukan determinan berikut menggunakan metode Sarrus,

C

=

[

4

−

1 2

1

2

0

−

3

−

2 4

]

Solusi:

Peniliti tertarik membandingkan dua metode barikutnya yaitu “Metode Minor Kofaktor” (atau yang disebut metode Ekspansi) dan ”Metode CHIO” (atau yang disebut metode Dekomposisi Derajat Dua) karena keduanya memliki tahap yang hampir sama yaitu mendekomposisikan matriks dalam derajat yang lebih rendah, dan metode ini lebih mudah digunakan untuk mencari determinan matriks berordo banyak (n≥4) dibanding dua metode lainnya yaitu metode Metode Eliminasi Gauss dan Metode Dekomposisi Matriks. Dimana kedua metode harus melalui tahap mendekomposisikan matriks kedalam matriks segitiga bawah atau atas terlebih dahulu dan baru memulai menghitung determinannya, sehingga cara ini membutuhkan proses lebih panjang.

E. Metode CHIO

Perhitungan determinana matriks dengan metode CHIO dapat diterapkan pada semua matriks bujur sangkar asalkan elemen pada a11 tidak sama dengan nol

(a11≠0). Metode CHIO menghitung determinan matriks dengan cara

mendekomposisi determinan yang akan dicari menjadi sub-sub determinan derajat dua (2x2) menggunakan elemen matriks baris ke-1 dan kolom ke-1 sebagai titik tolaknya.Dekomposisi tersebut dilakukan dengan menggunakan matriks berukuran 2x2 berikut:

det

C

=|

4

−

1

2

1

2

0

−

3

−

2

4

|

4

1

−

3

−

1

2

−

2

− − − + + +

det

C

=(

4

×

2

×

4

)+(

(

−

1

)

×

0

×

3

)+(

2

×

1

×

(

−

2

)

)−(

2

×

2

×

(

−

3

)

)

−(

4

×

0

×

(

−

2

)

)−(

(

−

1

)

×

1

×

4

)

|

a₁₁ a_1n

a_n1 a_nn

|

, untuk n=1,2,3……dst.

Jika A merupakan matriks bujur sangkar A berukuran nxn : Maka,

Sehingga setelah dekomposisi,derajat dari determinan awal turun satu, dekomposisi dapat dihentikan sampai determinan tersebut menjadi berderajat dua yang nilainya mudah dapat dihitung.

Contoh:

Tentukan determinan berikut menggunakan metode CHIO,

C

=

[

4

−

1 2

1

2

0

−

3

−

2 4

]

Solusi:

F. Metode MINOR-KOFAKTOR

                     nn ni n n n i n i n i a a a a a a a a a a a a a a a a A .. .. .. .. .. .. .. .. 2 1 2 2 22 21 2 2 22 21 1 1 12 11 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮

detA= |A| = 1 ( a11)n−2

|a11 a12

a21 a22

| |a11 a13

a21 a23

| ⋯ |a11 a1i

a21 a2i

| ⋯ |a11 a1n

a21 a2n

|

|a11 a12

a13 a32

| |a11 a13

a31 a33

| ⋯ |a11 a1i

a31 a3i

| ⋯ |a11 a1n

a31 a3n

|

⋮ ⋮ ⋮ ⋮

|a11 a12

ai1 ai2

| |a11 a13

ai1 ai3

| ⋯ |a11 a1i

ai1 aii

| ⋯ |a11 a1n

ai1 ain

|

⋮ ⋮ ⋮ ⋮

|a11 a12

an1 an2

| |a11 a13

an1 an2

| ⋯ |a11 a1i

an1 ani

| ⋯ |a11 a1n

an1 ann

Perhitungan determinan matriks dengan metode Minor dan Kofaktor dapat diterapkan pada semua ukuran matriks bujur sangkar. Determinan matriks dapat dihitung dari minor dan kofaktor pada salah satu baris atau kolom matriks.

Andaikan ada sebuah determinan dengan orde ke-n maka yang dimaksud dengan MINOR unsur a ij _{adalah determinan yang berasal dari determinan}

orde ke-n tadi dikurangi dengan baris ke-i dan kolom ke-j.

Maka minor unsur

a

33 adalah minor baris ke-3 kolom ke-2

M₃₂=

[

a₁₁ a₁₃ a₁₄ a₂₁ a₂₃ a₂₄ a₄₁ a₄₃ a₄₄

]

Sedangkan yang dimaksud dengan KOFAKTOR suatu unsur determinan a ij

adalah

C

ij =

(

−

1

)

i+j

M

ij

Maka KOFAKTOR unsure

a

32 =

C

32 =

(

−

1

)

3+2

M

32

Jadi untuk menentukan matrik A:

det(A)=

∑

j=1

n

a

ij. (-1)i+j

M

ij

det(A)=

∑

j=1

n

a

ij.

K

ij

j = indek kolom Atau

det(A)=

a

_i1

K

_i1+

a

_i2

K

_i2+

a

_i3

K

_i3+.. ..+

a

_ij

K

_ij

k = salah satu baris matriks

A=

[

a₁₁ a₁₂ a₁₃ a₁₄

a₂₁ a₂₂ a₂₃ a₂₄

a₃₁ a₃₂ a₃₃ a₃₄

Perhatikan bahwa kofaktor dan minor elemen a ij _{hanya berbeda tandanya}

yakni Cij=±Mij Cara cepat untuk menentukan apakah kofaktor pada ij adalah +

atau - maka kita bisa melihat matrik dibawah ini:

 Determinan dengan Ekspansi Kofaktor Pada Baris Pertama

Misalkan ada sebuah matriks A3x3

A =

maka determinan dari matriks tersebut dengan ekspansi kofaktor adalah,

det(A) = a11 - a12 + a13

= a11(a22a33 - a23a32) - a12(a21a33 - a23a31) + a13(a21a32 - a22a31)

= a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 - a13a22a31 - a12a21a33 - a11a23a32

Contoh:

Tentukan determinan berikut menggunakan metode Minor Kofaktor Ekspansi baris ke-2,

C

=

[

4

−

1 2

1

2

0

−

3

−

2 4

]

Solusi:

det C=(1).(−1)2+1

|

−1 2

−2 4

|

+ (2).(−1)

2+2

|

4 2

−3 4

|

= 0 + 44 + 0 = 44

 Determinan dengan Ekspansi Kofaktor Pada Kolom Pertama

Pada dasarnya ekspansi kolom hampir sama dengan ekspansi baris seperti di atas. Tetapi ada satu hal yang membedakan keduanya yaitu faktor pengali. Pada ekspansi baris, kita mengalikan minor dengan komponen baris pertama. Sedangkan dengan ekspansi pada kolom pertama, kita mengalikan minor dengan kompone kolom pertama.

Misalkan ada sebuah matriks A3x3

A =

maka determinan dari matriks tersebut dengan ekspansi kofaktor adalah,

det(A) = a11 - a21 + a31

= a11(a22a33 - a23a32) - a21(a21a33 - a23a31) + a31(a21a32 - a22a31)

= a11a22a33 + a21a23a31 + a31a21a32 - a22(a31)2 - (a21)2a33 - a11a23a32

Contoh:

Tentukan determinan berikut menggunakan metode Minor Kofaktor Ekspansi kolom ke-3,

C

=

[

4

−

1 2

1

2

0

−

3

−

2 4

]

Solusi:

BAB III

METODE PENELITIAN

A. Rancangan Penelitian

Rancangan merupakan perencanaan prosedur suatu kegiatan sebelum dilaksanakan. Menurut Lincoln dan Guba dalam Moleong, L( 2006: 385 ) bahwa,“rancangan penelitian adalah usaha merencanakan kemungkinan-kemungkinan tertentu secara luas tanpa menunjukkan secara pasti apa yang akan dikerjakan dalam hubungan dengan unsurnya masing-masing”. Sedangkan menurut Moleong, L (2006) menyatakan bahwa, rancangan penelitian diartikan sebagai usaha merencanakan dan menentukan segala kemungkinan dan perlengkapan yang diperlukan dalam suatu penelitian kuantitatif.

Jenis penelitian yang digunakan adalah Penelitian Komparatif. Definisi Penelitian Komparatif adalah penelitian yang bersifat membandingkan. Variabelnya masih sama dengan penelitian varabel mandiri tetapi untuk sample yang lebih dari satu, atau dalam waktu yang berbeda. Dimana komparatif merupakan salah satu jenis dari penelitian ekspost facto, jadi tata cara yang digunakan dalam merancang penelitian sama dengan ekspost facto.

Pelaksanaan penelitian eks-post facto Tidak adanya manipulasi perlakuan dan penempatan subjek secara acak menyebabkan validitas internal dalam penelitian ex post facto kurang dapat dikendalikan. Dengan kata lain hipotesis tandingan yang logis sulit dibatasi. Akan tetapi dengan perencanaan yang balk, hal ini dapat ditekan seminimal sehingga hasilnya akan mendekati penelitian eksperimenUntuk mendapatkan hasil yang demikian peneliti perlu melalui langkah-langkah berikut:

1. Perumusan masalah, masalah yang ditetapkan harus mengandung sebab atau kausa bagi munculnya variabel dependen, yang dapat diketahui berdasarkan hasil-hasil penelitian yang pernah dilakukan atau penafsiran peneliti terhadap hasil observasi fenomena yang sedang diteliti. Masalah penelitian ini dapat berbentuk pernyataan hipotesis atau tujuan. Rumusan hipotesis digunakan jika sifat dasar perbedaan dapat diprediksi oleh peneliti sebelum data dikumpulkan. Sedangkan rumusan pernyataan tujuan digunakan bila peneliti tidak dapat memprediksi perbedaan antar kelompok subjek yangdibandingkan dalam variabel tertentu.

3. Penentuan kelompok subjek yang akan dibandingkan. Pertama-tama, kelompok yang dipilih harus memiliki karakteristik yang menjadi konsen penelitian. Selanjutnya peneliti memilih kelompok yang tidak memiliki karakteristik tersebut atau berbeda tingkatannya.

4. Pengumpulan data. Hanya data yang diperlukan yang dikumpulkan, balk yang berkenan dengan variabel dependen maupun berkenaan dengan faktor yang dimungkinkan memunculkan hipotesis tandingan. Karena penelitian ini menyelidiki fenomena yang sudah terjadi, seringkali data yang diperlukan sudah tersedia sehingga peneliti tinggai memilih sumber yang sesuai. Disamping itu berbagai instrumen seperti Les, angket, interview, dapat digunakan untuk mengumpulkan data bagi peneliti.

5. Analisis data. Teknik analisis data yang digunakan serupa dengan yang digunakan dalam penelitian diferensial maupun eksperimen, dimana perbandingan nilai variabel dependen dilakukan antar kelompok subjek atas dasar faktor yang menjadi konsen. Hal ini dapat dilakukan dengan teknik analisis Uji-T, independen atau ANAVA, tergantung dari jumlah kelompok dari faktor tersebut. Apapun teknik analisis statistik inferensial yang digunakan, biasanya analisis tersebut diawali dengan penghitungan nilai rata-rata atau mean dan standar deviasi untuk mengetahui perbandingan antar kelompok secara deskriptif.

6. Penafsiran basil. Pernyataan sebab akibat dalam penelitian ini perlu dilakukan secara hati-hati. Kualitas hubungan antar variabel independen dan dependen sangat tergantung pada kemampuan peneliti untuk memilih kelompok perbandingan yang homogen dan keyakinan bahwa munculnya hipotesis tandingan dapat dicegah.

B. Populasi dan Sampel

Populasi adalah keseluruhan subjek penelitian (Arikunto,2006:130). Dengan demikian dapat diketahui bahwa populasi adalah keseluruhan atau semua objek yang sedang diteliti. Populasi dalam penelitian ini adalah seluruh peserta didik kelas XII IPA di SMA NEGERI 3 Jombang.

sebenarnya. Sampel yang peneliti gunakan adalah peserta didik kelas XII IPA 1 Jombang.

C. Instrumen Penelitian

Instrumen penelitian merupakan alat bantu dalam peneliti dalam mengumpulkan data. Kualitas instrumen menentukan kualitas data yang terkumpul, sehingga tepatlah jika hubungan antara instrumen dengan data ini dikemukakan dalam ungkapan: garbage tool garbage result. Itulah sebabnya menyusun instrumen bagi kegiatan penelitian merupakan langkah penting yang harus dipahami betul-betul oleh peneliti (Arikunto , 2010:134).

Instrumen penelitian yang digunakan dalam penelitian ini adalah tes dan yang digunakan untuk memperoleh data berupa nilai belajar peserta didik materi pokok menyelesaikan determinan matriks berordo banyak (n≥4). Tes yang digunakan untuk memperoleh data respon peserta didik dalam menyelesaikan determinan matriks dengan kedua metode. Metode manakah dari keduanya yang lebih mudah digunakan. Jadi tes yang digunakan ada dua macam :

 Soal pertama menggunakan metode CHIO

 Soal kedua menggunakan MINOR-KOFAKTOR

Tes adalah serentetan pertanyaan atau latihan serta alat lain yang digunakan untuk mengukur keterampilan, pengetahuan intelegensi, kemampuan atau bakat yang dimiliki oleh individu atau kelompok (Arikunto , 2010:193).

Di dalam penelitian, data mempunyai kedudukan yang paling tinggi, karena data merupakan penggambaran variabel yang diteliti, dan berfungsi sebagai alat pembuktian hipotesis. Oleh karena itu benar tidaknya data, sangat menentukan bermutu tidaknya hasil penelitian. Sedangkan benar tidaknya data, tergantung dari baik tidaknya instrumen pengumpulan data.

Instrumen yang baik harus memenuhi dua persyaratan penting yaitu valid dan reliabel.

1. Validitas

Validitas adalah suatu ukuran yang menunjukkan tingkat-tingkat kevalidan atau kesahihan sesuatu instrumen. Suatu instrument yang valid atau sahih mempunyai validitas tinggi. Sebaliknya, instrument yang kurang valid berati memiliki validitas rendah (Arikunto, 2010:211).

Adapun rumus Pearson dimaksud adalah sebagai berikut: rxy=

N ∑ XY−(∑ X)(∑Y)

√

{N ∑ X2

−(∑ X)2}{N ∑Y2

Keterangan:

r_xy = koefisien korelasi antara variabel X dengan variabel Y

X = skor butir (nilai hasil uji coba) Y = skor total (nilai rata-rata harian)

N = jumlah sampel (jumlah peserta didik yang mengikuti tes) Kriteria validitas dalam penelitian ini adalah:

0,00 ≤ r_xy ≤ 0,20 = sangat rendah 0,21 ≤ rxy ≤ 0,40 = rendah

0,41 ≤ r_xy ≤ 0,60 = sedang 0,61 ≤ r_xy ≤ 0,80 = tinggi 0,81 ≤ r_xy ≤ 1,00 = sangat tinggi (Arikunto,2010:171).

Hasil dari dua tes diatas manakah validitasnya lebih tinggi maka menunjukkan adanya tingkat kemudahan antara kedua metode tersebut.

2. Reabilitas

Reabilitas menunjuk pada satu pengertian bahwa sesuatu instrumen cukup dapat dipercaya untuk digunakan sebagai alat pengumpul data karena instrument tersebut sudah baik (Arikunto, 2010:221).

Dalam penelitian ini menggunakan rumus Alpha, rumus yang dimaksud adalah sebagai berikut:

r11=

(

k

(k−1)

)

(

1−

∑

σ_b2 σt2

)

r₁₁

= reliabilitas instrumen

k=¿

banyaknya soal

∑

σb2=¿

jumlah varians butir

σt

2

=¿

varians total

Kriteria reliabilitas pada penelitian ini adalah: 0,00 ≤ r_xy ≤ 0,20 = sangat rendah 0,21 ≤ r_xy ≤ 0,40 = rendah 0,41 ≤ r_xy ≤ 0,60 = sedang 0,61 ≤ r_xy ≤ 0,80 = tinggi 0,81 ≤ r_xy ≤ 1,00 = sangat tinggi

Hasil dari dua tes diatas manakah reabilitasnya lebih tinggi maka menunjukkan adanya tingkat kebenaran untuk mudah digunakan antara kedua metode tersebut.

D. Prosedur Penelitian 1. Studi Lapangan

studi kasus dimana peneliti berusaha mengidentifikasi variabel-variabel penting dan hubungan antar variabel tersebut dalam suatu situasi permasalahan tertentu. Studi lapangan umumnya digunakan sebagai sarana penelitian lebih lanjut dan mendalam.

Dalam penelitian ini peneliti melakukan study lapangan di SMA NEGERI 3 Jombang dan mencari literature panduan materi untuk membantu mengidentifikasian objek yang diteliti.

2. Survei

Desain survei tergantung pada penggunaan jenis kuesioner. Survei memerlukan populasi yang besar jika peneliti menginginkan hasilnya mencerminkan kondisi nyata. Semakin sampelnya besar, survei semakin memberikan hasil yang lebih akurat. Dengan survei seorang peneliti dapat mengungkap masalah yang banyak, meski hanya sebatas di permukaan. Sekalipun demikian, survei bermanfaat jika peneliti menginginkan informasi yang banyak dan beraneka ragam. Metode survei sangat populer karena banyak digunakan dalam penelitian bisnis. Keunggulan survei yang lain ialah mudah melaksanakan dan dapat dilakukan secara cepat.

3. Penentuan kelompok subjek

Penentuan kelompok subjek yang akan dibandingkan. Pertama-tama, kelompok yang dipilih harus memiliki karakteristik yang menjadi konsen penelitian. Selanjutnya peneliti memilih kelompok yang tidak memiliki karakteristik tersebut atau berbeda tingkatannya.

Karena ini penilitian komparatif, jadi peneliti membagi peserta didik menjadi dua kelompok dengan soal atau bentuk test yang sama namun intruksi penyelesaian menggunakan metode yang berbeda.

4. Pengumpulan data

Hanya data yang diperlukan yang dikumpulkan, balk yang berkenan dengan variabel dependen maupun berkenaan dengan faktor yang dimungkinkan memunculkan hipotesis tandingan. Karena penelitian ini menyelidiki fenomena yang sudah terjadi, seringkali data yang diperlukan sudah tersedia sehingga peneliti tinggai memilih sumber yang sesuai. Disamping itu berbagai instrumen seperti Les, angket, interview, dapat digunakan untuk mengumpulkan data bagi peneliti.

Peniliti menggunakan instrument test, jadi teknik pengumpulan data berupa hasil nilai test dari masing-masing kelompok, yang akan menggambarkan jawaban dari pertanyaan peneliti mengenai perbandingan kedua metode tersebut.

5. Analisis data

dependen dilakukan antar kelompok subjek atas dasar faktor yang menjadi konsen. Hal ini dapat dilakukan dengan teknik analisis Uji-T, independen atau ANAVA, tergantung dari jumlah kelompok dari faktor tersebut. Apapun teknik analisis statistik inferensial yang digunakan, biasanya analisis tersebut diawali dengan penghitungan nilai rata-rata atau mean dan standar deviasi untuk mengetahui perbandingan antar kelompok secara deskriptif.

.

E. Metode Pengumpulan Data

Metode yang akan peneliti gunakan untuk pengumpulan data adalah menggunakan metode observasi,tes,dan kuisoner.

Adapun penjelasan masing-masing metode yang dilakukan oleh peneliti adalah sebagai berikut:

1. Metode Observasi

Di dalam pengertian psikologi, observasi meliputi kegiatan pemuatan perhatian terhadap sesuatu objek dengan menggunakan seluruh alat indra(Arikunto.2006:156).

Adapun data yang ingin diperoleh peneliti adalah: a. Sekilas mengenai SMA NEGERI 3 Jombang

b. Pelaksanaan test pada peserta didik kelas XII IPA di SMA NEGERI 3 2. Metode Tes

Metode Tes ini dilakukan dengan tujuan mengetahui metode manakah yang lebih mudah digunakan dalam menyelesaikan determinan matriks berordo n≥4 bagi peserta didik.

Tes yang akan digunakan meliputi pre tes dan post tes. Pre tes di gunakan untuk mengetahui penguasaan konsep materi pelajaran sebelum pemberian tindakan dan juga akan dijadikan acuan tambahan dalam mengelompokkan peserta didik dalam kelompok-kelompok belajar. Post tes digunakan untuk mengetahui penguasaan konsep materi pelajaran sesudah pemberian tindakan dan sebagai pengukur peningkatan prestasi belajar siswa.

3. Metode Dokumentasi

Dalam metode dokumentasi peneliti mencari data mengenai hal-hal atau variabel yang berupa catatan, transkrip, buku, surat kabar, majalah, prasasti, notulen rapat, agenda dan sebagainya.

Metode ini digunakan untuk memperoleh data tentang: a. Sejarah singkat SMA NEGERI 3 Jombang

b. Data-data tentang keadaan peserta didik SMA NEGERI 3 Jombang Jombang

F. Teknik Analisis Data

Untuk memudahkan dalam pengolahan data, maka peneliti melakukan analisis yang terkumpul dengan mengklasifikasikan menurut sifatnya dan kategori jenis data. Analisis data digunakan dengan menggunakan teknik analisis kualitatif. Data kualitatif dianalisis dengan teknik deskriptif dan interpretative berdasarkan teori pembelajaran yang digunakan. Data dikumpulkan selama tindakan kelas. Hal ini dilakukan agar tidak terjadi penumpukan data dan peneliti segera memberikan refleksi terhadap data sehingga proses pemberian makna dan kesimpulan diambil bisa lebih cepat.

a. Analisis ketuntasan data hasil belajar

Untuk mengetahui pencapaian ketuntasan belajar peserta didik, maka data berupa nilai yang diperoleh dengan mengadakan kuis pada tiap siklus akan dianalisis batas ketuntasan peserta didik yang ditentukan dengan rumus ketuntasan belajar peserta didik secara klasikal, yaitu:

∑

siswa yang mendapat nilai ≥75

∑

seluruh siswa ×100

(Purwanto,N:2006) Peserta didik dikatakan tuntas belajar secara individu jika peserta didik tersebut memperoleh skor hasil tes paling sedikit 75. Sedangkan ketuntasan hasil belajar peserta didik secara klasikal paling sedikit 85% peserta didik tersebut tuntas belajar.

b. Menilai ulangan atau tes formatif

Peneliti melakukan penjumlahan nilai yang diperoleh peserta didik, yang selanjutnya dibegi dengan jumlah peserta didik yang ada dikelas tersebut sehingga diperoleh rata-rata tes formatif dapat dirumuskan:

´

X=

∑

X

∑

N

´

X = nilai rata-rata

∑

X = jumlah semua nilai peserta didik

∑

N = jumlah siswa

DAFTAR PUSTAKA

Arikunto, Suharsimi. 2006. Prosedur Penelitian Suatu Pendekatan Praktik. Jakarta: Rineka Cipta.

Arikunto, S. 2010. Prosedur Penelitian. Jakarta : PT Rineka Cipta

Lipschutz, Seymour, PhD. Dan Marc Lars Lipson PhD.Aljabar

Linear.2004.Erlangga:Surabaya

Anton, Howard.Dasar-dasar Aljabar Linear.2000.Interaksara:Batam UU No. 20 Tahun 2003 Tentang SISDIKNAS

http://id.wikipedia.org/wiki/Aljabar_linear

http://frdteknikelektro.wordpress.com?2009?11?06?teknik-komputasi-pt-8/