1
INTEGRAL
Makalah Ini Disusun Guna Memenuhi Tugas Mata Kuliah Matematika Ekonomi Dosen Pengampu : Muhamad Irpan Nurhab, S.Si.,M.Si
Disusun Oleh: Kelompok 2 Nama NPM Anjas Sari 1602040005 Devi Monicha 1602040078 Feri Permadi 1602040190 Ferly Oktavianti 1602040091 Muhammad Ansori 1602040117
Siti Nur Aminah 1602040152
KELAS C
PROGRAM STUDI EKONOMI SYARIAH
FAKULTAS EKONOMI DAN BISNIS ISLAM
INSTITUT AGAMA ISLAM NEGERI (IAIN)
JURAI SIWO METRO
2017
ii
KATA PENGANTAR
Puji syukur kehadirat Tuhan Yang Maha Esa atas segala rahmat-Nya sehingga makalah ini dapat tersusun hingga selesai. Tidak lupa kami juga mengucapkan banyak terima kasih atas bantuan dari pihak yang telah berkontribusi dengan memberikan sumbangan baik materi maupun pikirannya.
Dan harapan kami semoga makalah ini dapat menambah pengetahuan dan pengalaman bagi para pembaca. Untuk kedepannya dapat memperbaiki bentuk maupun manambah isi makalah agar menjadi lebih baik.
Karena keterbatasan pengetahuan maupun pengalaman kami.Kami yakin masih banyak kekurangan dalam makalah ini. Oleh karena itu kami sangat mengharapkan saran dan kritik yang membangun dari pembaca demi kesempurnaan makalah ini.
Metro, 14 April 2018
iii DAFTAR ISI
HALAMAN DEPAN ... i
KATA PENGANTAR ... ii
DAFTAR ISI ... iii
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang ... 1
BAB II PEMBAHASAN 2.1 INTEGRAL ... 2
1. INTEGRAL TAK TENTU ... 3
A.Kaidah-Kaidah Integrasi Tak Tentu ... 4
B.Penerapan Ekonomi ... 7
2. INTEGRAL TERTENTU ... 9
A.Kaidah-Kaidah Integral Tertentu ... 12
B.Penerapan Integral Dalam Ekonomi ... 13
1) Surplus produsen ... 17
2) Nilai sekarang arus kas ... 21
3) Pembentukan kapital ... 23
4) Model domar tentang pertumbuhan kapital ... 24
5) Model dommar tentang utang ... 27
6) Probabilitas suatu interval ... 29
BAB III PENUTUP 3.1Kesimpulan ... 30 DAFTAR PUSTAKA
1 BAB I PENDAHULUAN
2 BAB II PEMBAHASAN
2.1 INTEGRAL
Dalam kalkulus integral dikenal 2 macam cara pengertian integral, yaitu integral tak tentu (indefinite integral) dan integral tertentu (definite integral). Integral taktentu adalah kebalikan dari diferensial, yakni suatu konsep yang berhubungan dengan proses penentuan suatu fungsi asal apabila turunan atau derivatif dari fungsinya diketahui. Sedangkan itegral tetentu merupaka suatu konsep yang berhubungan dengan proses pencarian luas suatu area yang batas atau limit dari area tersebu sudah tertentu.1
Integral juga bermakna penjumlahan. Karena itu, integrasi dapat digunakan untuk maksud yang berbalikan dengan derivasi. Yaitu menemukan fungsi total jika diketahui fungsi marginalnya.2
Contoh:
1) Carilah TC(Q) jika MC(Q) = 3 + 8Q + l5Q2 dan FC = 100
TC(Q) = IMC(Q)dQ = I3 + 8Q +l5Q2dQ = 3Q + 4Q2 + 5Q 3 + c FC = TC(0) = 0 + 0 + 0 + c = 100
c = 100. sehingga TC(Q) = 100 + 3Q + 4Q2 + 52)
2) Carilah TC(Q) jika MC(Q) = 2e2 dan FC = 10 TC(Q) = 2eQdQ = 2eQ + c
FC = TC(0) = 2eQ+c = 10
1 Dumairy, Matematika Terapan Untuk Bisnis dan Ekonomi,(Yogyakarta:BPFE,2012), hal.267
3 c = 10 - 2 = 3, sehingga
TC(Q) = 2eQ + 8
Dari dua contoh diatas dapat disimpulkan bahwa konstanta selalu sama dengan initial condition. pada contoh terakhir c = 8 tetapi TC(0) = FC = 10. Dengan penalaran sama, fungsi produk total, penerimaan total dan konsumsi/agregat dapat dicari jika berturut turut diketahui fungsi marginal product, marginal fevenue dan marginal propensity to consume.
1. INTEGRAL TAK TENTU
Mengintegralkan suatu fungsi turunan 𝑓(𝑥) berarti adalah mencari integral atau turunan-antinya, yaitu 𝐹(𝑥).
Bentuk umum integral dari 𝑓(𝑥) adalah: 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐹 𝑥 + 𝑘
Dimana k adalah sembarang konstanta yang nilainya tidak tertentu. Dalam rumusan diatas tanda adalah tanda integral, 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 adalah diferensial :dari 𝑓(𝑥) sendirian disebut diferensial, 𝐹(𝑥) adalah integral partikular: k adalah konstanta pengintegralan, dan 𝐹 𝑥 + 𝑘 merupakan fungsi atau asal. Proses mengintegralkan disebut juga integrasi.
Dalam diferensial kita menemukan, bahwajika misalnya suatu fungsi asal dilambangkan dengan 𝐹(𝑥) dan fungsi turunannya dilambangkan dengan 𝑓(𝑥), maka :
Untuk fungsi : 𝐹 𝑥 = 𝑥2+ 5
4
Jika prosesnya dibalik, yakni fungsi turunan 𝑓(𝑥) diintegralkan, maka
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐹 𝑥 + 𝑘 = 𝑥2 + 𝑘
Karena derifatif dari setiap konstanta adalah nol, maka dalam mengintegralkan setiap fungsi turunan konstanta k tetap dalam bentuk k. Artinya nilai konstanta tersebut tidak dengan sendirinya bisa diisi dengan bilangan tertentu (misalnya dalam contoh tadi), kecuali jika dalam soal memang sudah ditentukan nilai konstantanya. Karena ketidaktentuan nilai konstanta itulah maka bentuk integral yang merupakan kebalikan dari diferensial dinamaka integral taktentu
A. Kaidah-Kaidah Integrasi Tak Tentu
Karena integrasi taktentu pada dasarnya merupakan kebalikan dari diferensiasi, maka kaidah-kaidahn integrasi taktentu akan dpat dipahami berdasarkan pengetahuan tentang kaidah-kaidah diferensial. a. Kaidah 1 𝑛 ≠ −1 Contoh: 1 𝑥4𝑑𝑥 = 𝑥𝑛−1 𝑛 + 1+ 𝑘 = 𝑥5 5 + 𝑘 = 0,2 𝑥2+ 𝑘 Bukti : 𝑑𝑥𝑑 0,2 𝑥5 + 𝑘 = 𝑥4 𝑥𝑛𝑑𝑥 = 𝑥𝑛−1 𝑛 + 1+ 𝑘
5 b. Kaidah 2 formula logaritmis
1 𝑥𝑑𝑥 = in 𝑥 + 𝑘 Contoh: 𝑓3 𝑥𝑑𝑥 = 3 In 𝑥 + 𝑘 Bukti: 𝑑𝑥𝑑 3 In 𝑥 + 𝑘 =𝑥3 c. Kaidah 3 formula eksonensial
𝑒𝑥𝑑𝑥 = 𝑒𝑥+ 𝑘
𝑒𝑥 𝑑𝑢 = 𝑒𝑥 + 𝑘 𝑢 = 𝑓(𝑥)
Contoh :
𝑒𝑥+2𝑑𝑥 = 𝑒𝑥+2𝑑 𝑥 + 2 = 𝑒𝑥+2+ 𝑘
Bukti: 𝑑𝑥𝑑 𝑒𝑥+2 + 𝑘 = 𝑒𝑥+2 d. Kaidah 4 Formula penjumlahan
𝑥 + 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐹 𝑥 + 𝐺 𝑥 + 𝑘 Contoh:
𝑥4+ 3𝑥2 𝑑𝑥 = 𝑥4𝑑𝑥 + 3𝑥2𝑑𝑥 = 0,2𝑥5 + 𝑥3 + 𝑘
Bukti: 𝑑𝑥𝑑 (0,2𝑥5+ 𝑥3+ 𝑘 = 𝑥4+ 3𝑥2 e. Kaidah 5 formula perkalian
𝑛𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑛 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 Contoh:
6
3𝑥3𝑑𝑥 = 3 𝑥2𝑑𝑥 = 3 𝑥2+1
2 + 1+ 𝑘 = 𝑥3 + 𝑘 Bukti : 𝑑𝑥𝑑 𝑥3+ 𝑘 = 3𝑥2
f. Kaidah 6 formula substitusi 𝑓 𝑢 𝑑𝑢
𝑑𝑥𝑑𝑥 = 𝑓 𝑢 𝑑𝑢 = 𝐹 𝑢 + 𝑘
Dimana : 𝑢 = 𝑔(𝑥), dan 𝑑𝑢merupakan substitusi bagi 𝑑𝑥. Contoh:
Selesaikanlah 6𝑥 3𝑥2− 10 𝑑𝑥
Dengan cara penyelesaian biasa atau langsung:
6𝑥 3𝑥2 − 10 𝑑𝑥 = 18𝑥3− 10𝑥 𝑑𝑥 = 4,5𝑥4− 30𝑥2+ 𝑘
Dengan cara substitusi, misalnya 𝑢 = 3𝑥2 − 10: 𝑚𝑎𝑘𝑎𝑑𝑢𝑑𝑥 = 6𝑥, 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑑𝑥 =𝑑𝑢6𝑥 Sehingga: 6𝑥 3𝑥2− 10 𝑑𝑥 = 6𝑥𝑢𝑑𝑢 6𝑥 = 𝑢 𝑑𝑢 = 𝑢2 2 + 𝑘𝑖 = (3𝑥2− 10)2 2 + 𝑘𝑖 =1 2 9𝑥4 − 60𝑥2 + 100 + 𝑘𝑖 = 4,5 𝑥4− 30𝑥2+ 50 + 𝑘 = 4,5 𝑥4− 30𝑥2+ 𝑘 𝑑𝑖𝑚𝑎𝑛𝑎 𝑘 = 50 + 𝑘
7
B. Penerapan Ekonomi
Pendekatan integral taktentu diterapkan untuk mencari persamaan fungsi total variabel apabila persamaan fungsi marjinalnya diketahui. Kerena fungsi marjinal pada dasarnya merupakan turunan dari fungsi total maka dengan proses sebaliknya – yakni integrasi- dapatlah dicari fungsi dari turunan tersebut atau fungsi totalnya.
a. Fungsi biaya
Biaya total 𝐶 = 𝑓(𝑄)
Biaya marjinal 𝑀𝐶 = 𝐶′ = 𝑑𝑄𝑑𝐶 = 𝑓′(𝑄)
Biaya total tak lain adalah integral dari biaya marjinal:𝐶 = 𝑓(𝑄))𝑑𝑄
b. Fungsi penerimaan
Penerimaan total 𝑅 = 𝑓(𝑄)
Penerimaan marjinal : 𝑀𝑅 = 𝑅′ = 𝑑𝑅
𝑑𝑄 = 𝑓(𝑄)
Penerimaan total tak lain adalah integral dari penerimaan marginal : 𝑅 = 𝑀𝑅𝑑𝑄 = 𝑓 𝑄 𝑑𝑄 c. Fungsi utilitas Utilitas total : 𝑈 = 𝑓(𝑄) Utilitas marjinal : 𝑀𝑈 = 𝑈′ = 𝑑𝑈 𝑑𝑄 = 𝑓(𝑄)
8
Utilitas total tak lain adalah integral dari utilitas marjinal : 𝑈 = 𝑀𝑈 𝑑𝑄 = 𝑓′ 𝑄 𝑑𝑄
d. Fungsi produksi
Produk total : 𝑃 = 𝑓 𝑋 dimana, 𝑃 = 𝑘𝑒𝑙𝑢𝑎𝑟𝑎𝑛: 𝑋 = 𝑚𝑎𝑠𝑢𝑘𝑎𝑛
Produk marjinal : 𝑀𝑃 = 𝑃′ =𝑑𝑃𝑑𝑋 = 𝑓′(𝑋)
Produk total tak lain adalah integral dari produksi marjinal 𝑃 = 𝑀𝑃 𝑑𝑥 = 𝑓′ 𝑋 𝑑𝑋
e. Fungsi konsumsi dan fungsi tabungan
Dalam ekonomi makro, konsumsi (C’) dan tabungan (S) dinyatakan fungsional terhadap pendapatan nasional (Y).
𝐶 = 𝑓 𝑌 = 𝑎 + 𝑏𝑌 𝑀𝑃𝐶 = 𝑑𝐶 𝑑𝑌 = 𝑓′ 𝑌 = 𝑏 Karena 𝑌 = 𝐶 + 𝑆, maka 𝐼𝑆 = 𝑔 𝑌 = −𝑎 + 1 − 𝑏 𝑌 𝑀𝑃𝑆 = 𝑆′ = 𝑑𝑆 𝑑𝑌 = 𝑔′ 𝑌 = 1 − 𝑏
Berdasarkan kaidah integrsi, konsumsi dan tabungan masing-masing adalah integral dari marjinal propensity to consume dan marjinal propensity to save.
𝐶 = 𝑀𝑃𝐶 𝑑𝑌 = 𝐹 𝑌 + 𝑘 𝑘 ≡ 𝑎 𝑆 = 𝑀𝑃𝑆 𝑑𝑌 = 𝐺 𝑌 + 𝑘 𝑘 ≡ 𝑎
Konstanta k pada fungsi konsumsi dan fungsi tabungan masing-masing adalah autonomous consumption dan autonomouse saving.
9 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐹 𝑥 + 𝑘 𝐹 b + 𝑘 − 𝐹 − 1 a + 𝑘 = 𝐹 𝑏 − 𝐹 (𝑎) 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑓 𝑥 ba = f b − F(a) 𝑏 𝑎 2. INTEGRAL TERTENTU
Integral tertentu adalah integral dari suatu fungsi yang nilai-nilai variabel bebasnya (memiliki batas-batas) tertentu. Integral tertentu digunakan untuk menghitung luas area yang terletak di antara kurva y = f(x) dan sumbu horizontal –x, dalam suatu rentangan wilayah yang dibatasi oleh
x = a dan x = b. Dalam integral tak tentu kita temukan bahwa:
Jika kita ingin mengetahui hasil integral tersebut untuk suatu rentangan wilayah tertentu, katakanlah antara x = a dan x = b di mana a < b , maka x dapat disubtitusi dengan nilai-nilai a dan b sehingga ruas kanan persamaan di atas menjadi:
F (b) – F (a) adalah hasil integral tertentu dari f(x) antara a dan b. Secara lengkap persamaan pertama tadi dapat di tuliskan menjadi:
Notasi 𝑓 𝑥 𝑑𝑥a𝑏 dibaca integral f(x) untuk rentang wilayah x dari a ke b. Selanjutnya – mengingat a < b –a dinamakan batas-bawah integrasi, sedangkan disebut batas-atas integrasi.3
3 Dumairy, Matematika Terapan Untuk Bisnis dan Ekonomi,(Yogyakarta:BPFE,2012), hal.277
10
Pemahaman tentang integral tertentu ini akan lebih gamblang dengan bantuan penjelasan grafis. Andaikan kita memiliki Y = f(x), dan hendak dihitung luas area diantara kurva y = f(x) dan sumbu horizontal x untuk rentangan dari x =a ke x=b. Langkah pertama yang harus dilakukan ialah menetapkan a dan b pada sumbu horizontal x, sehingga diperoleh suatu rentangan atau interval wilayah a dan b. Kemudian rentangan ini dibagi-bagi menjadi sebanyak n sub-rentangan Δxi. Yang sama lebar. Nilai masing-masing
sub-rentangan tak lain adalah Δxi., Δ(b − 𝑎)/𝑛: dan karena masing-masing
sub-rentangan sama lebarnya, maka Δxi = Δx2 = Δx3 = ...=Δ xn. Langkah
berikut nya ialah menetapkan sebarang nama untuk titik-titik yang membatasi tiap-tiap sub rentangan, katakanlah xi .
Nilai atau harga masing-masing titik yang membatasi tiap subrentangan adalah : 0 𝑥0 a 𝑥1 𝑥2 𝑥𝑖 𝑥𝑖 𝑥𝑖 𝑥𝑖 b 𝑥11 x y=f(x) ∆𝑥𝑛 ∆𝑥3 ∆𝑥1 ∆𝑥2 y
11 x0 = a x1 = a + (∆ x) x2 = a + 2(∆ x) x3 = a + 3(∆ x) ... xn = a + n((∆ x) = b
luas seluruh area di bawah kurva untuk rentangan dari a ke b, dengan perkataan lain dari x0 ke xn adalah:
f(x1) ∆ 𝑥1 + f(x2) ∆ 𝑥2 + ... + ∆ 𝑥n = 𝑛𝑖=1𝑓(𝑥i) ∆ 𝑥i
Dalam hal ini ∆𝑥 sedemikian kecil-kecilnya atau mendekati nol, sementara n sedemikian banyaknya atau mendekati tak terhingga, maka berlaku
𝑛→ ~𝑙𝑖𝑚 𝑛𝑖=1𝑓(𝑥i) ∆𝑥i = ∆𝑥→0 𝑙𝑖𝑚 𝑛𝑖=1𝑓 (𝑥i) ∆xi = 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑏 𝑎
Selain untuk menghitung luas suatu area antara sebuah kurva dan salah satu sumbu, integral tertentu dapat pula digunakan untuk menghitung luas suatu area yang terletak di antara dua kurva.
Andaikan kita memiliki dua buah kurva y1 = f(x) dan y2 = g(x), di mana
f(x) < g(x). Maka luas area antara kedua kurva ini untuk rentang wilayah dan a ke b (a < b) adalah: 𝑔 𝑥 − 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑏 𝑎 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 − 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 𝑏 𝑎 𝑏 𝑎
12
C. Kaidah-Kaidah Integral Tertentu
Untuk a < c < b, berlaku: 1. 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 𝑎𝑏 = [F(x)]𝑎𝑏= F(b) – F(a) Contoh : 𝑥𝑎𝑏 4 dx = [𝑥5 5] 5 = 1 5 [x 5] 2 5 = 1 5(3125 – 32) = 618,6 2. 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 𝑎𝑏 = 0 Contoh: 𝑥22 4 dx = 𝑥 2 5 2 2 = 1 5 𝑥 5 2 = 1 5 32 − 32 = 0 3. 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = − 𝑓 (𝑥)𝑎𝑏 𝑎𝑏 Contoh: 𝑥25 4 𝑑𝑥 = 618,6 − 𝑥2 4 5 𝑑𝑥 = − 𝑥5 5 5 2 = −1 5 𝑥 5 5 2 = −15 32 − 3125 = 618,6 4. 𝑘𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑘 𝑓 𝑥 𝑑𝑥𝑎𝑏 𝑎𝑏 0 a b x 𝑦𝑖= 𝑓(𝑥) 𝑦2=g(x) ∆𝑥 y
13 Contoh: 5𝑥25 4 𝑑𝑥 = 𝑥5 = 3125 − 32 = 3093 25 5 𝑥5 4 2 𝑑𝑥 = 5 618,6 = 3093 5. 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑓 𝑥 𝑑𝑥𝑎𝑏 𝑎𝑏 + 𝑔 𝑥 𝑑𝑥𝑎𝑏 Contoh: (𝑥25 4+ 5𝑥4)𝑑𝑥 = 𝑥25 4 𝑑𝑥 + 5𝑥25 4 𝑑𝑥 = 618,6 + 3093 = 3711,6 6. 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑓 𝑥 𝑑𝑥𝑎𝑐 𝑐𝑐 = 𝑓 𝑥 𝑑𝑥𝑎𝑏 Contoh: 𝑥23 4 𝑑𝑥 = 5𝑥35 4 𝑑𝑥 = 𝑥55 + 𝑥55 35 2 3 =15 243 − 32 +15 3125 − 243 = 618,6. 4
D.Penerapan Integral Dalam Ekonomi
1) Surplus Konsumen
Surplus Konsumen (consumers’ surplus) menceminkan suatu keuntungan lebih atau surplus yang dinikmati oleh konsumen tertentu berkenaan dengan tingkat harga pasar suatu barang.5
Fungsi permintaan P = f(Q) menunjukkan jumlah suatu barang yang akan dibeli oleh konsumen pada tingkat harga tertentu. Jika tingkat harga pasar adalah P, maka bagi konsumen tertentu yang sebetulnya mampu dan bersedia membayar dengan harga yang lebih tinggi dari Pe
hal ini akan merupakan keuntungan baginya, sebab ia cukup membayar barang tadi dengan harga pe. Keuntungan seperti inlah yang oleh Afred
4
Dumairy, Matematika Terapan Untuk Bisnis dan Ekonomi,(Yogyakarta:BPFE,2012), hal. 280
5 Dumairy. Matematika Terapan Untuk Bisnis dan Ekonomi. Edisi Kedua. (Yogyakarta: BPFE.2012). hal.283
14
Marshall disebut surplus konsumen. Secara geometri, besarnya surplus konsumen ditunjukkan oleh luas area dibawah kurva permintaan tetapi diatas tingkat harga pasar. Ga barang naik surplus konsumen akan terkikis. Disamping itu, surplus konsumen juga dipengaruhi oleh kemiringan atau elastisitas permintaan, semakin alastis permintaanya, surplus konsumen semakin kecil.
p D(0.Ṕ) Surplus konsumen (CS) Pe E = (Qe, Pe) P= f(Q) F(Q.0) Q 0 Qe Gambar 1.1
Surplus konsumen atau CS (singkatan dari Consumers’ Surplus) tak
lain adalah segitiga PeDEe, dengan rentang wilayah yang dibatasi oleh
Q = 0 sebagai batas-bawah dan Q = Qe sebagai batas-atas.
Besarnya surplus konsumen adalah : Cs = 𝑓 𝑄 𝑑𝑄 − 𝑄𝑒𝑃𝑒
𝑄𝑒 0
Dalam hal fungsi permintaan berbentuk P = f(Q) atau CS =
𝑓(𝑃)𝑃𝑃
15
Dalam hal fungsi permintaan berbentuk Q = f(Q): Ṕ adalah nilai P untuk Q = 0 atau penggal kurva permintaan pada sumbu harga.
Dengan demikian CS = 𝑓 𝑄 𝑑𝑄 − 𝑄𝑒
𝑄𝑒
0 𝑃𝑒= 𝑓 𝑃 𝑑𝑃Ṕ
𝑝𝑒
Dalam hal fungsi permintaan berbentuk P = f(Q) Atau
Cs = 𝑓 𝑃 𝑑𝑃
𝑝
𝑝𝑒
Dalam hal fungsi permintaan berbentuk 𝒬 = 𝑓 𝑃 : 𝑃 adalah nilai P untuk 𝒬 = 0 atau pangkal kurva permintaan pada sumbu harga.6
𝐶𝑠 = 𝑓 𝑄 𝑑𝑄 − 𝑄𝑒𝑃𝑒 = 𝑝
𝑝𝑒
𝑄𝑒 0
𝑓 𝑃 𝑑𝑃 Kasusunya barang ditunjukan oleh persamaan
Fungsi peermintaan akan suatu 𝒬 = 48 − 0,003 𝑃2.nhitunglah surplus konsumen jika tingkat harga pasar adalah 30.
P 40 Cs 30 E Q 0 21 48 Gambar 1.2
6 Dumairy. Matematika Terapan Untuk Bisnis dan Ekonomi. Edisi Kedua. (Yogyakarta: BPFE.2012). hal 283
16 Q = 48-0,03 𝑃2 Jika P = 0, Q = 48 Jika Q +=0, P=40≡𝑃 Jika P ≡ 𝑃𝑒= 30, Q ≡ 𝑄𝑒= 21 CS = 𝑓 𝑃 𝑑𝑃 𝑝̂ 𝑃𝑒 = 48 − 0,03 𝑃2 𝑑𝑃 40 30 = [48P – 0,01P3 ]4030 = {48(40) – 0,01(40)3} – {48(30) – 0,01(30)3} = (1920 – 640) – (1440 – 270) = 110 Kasus 1
Hitunglah surplus konsumen dengan dua macam cara untuk fungsi permintaan Q
= 40 – 2 P yang tingkat harga pasarnya 10.
Q = 40 – 2 P → p̂ = 20 – 0,50 Q Jika P = 0. Q = 40 Jika Q = 0, P = 20 ≡ p̂ Jika P = 10, Q = 20 P 40 Cs 20 E 0 10 20 Q Gambar 1.3
17 Cara Pertama : CS = 𝑓 𝑄 𝑑𝑄 − 𝑄 𝑄𝑒 0 𝑒 . 𝑃𝑒 = 20 − 0,20 𝑄 𝑑𝑄 − (20)(10) 20 0 = [20 Q – 0,25 Q 2 ]200– 200 = {20(20) – 0,25(20)2} – {20(0) – 0,25(0)2} – 200 = 400 – 100 – 200 = 100 Cara kedua: Cs = 0𝑄𝑒 f(p) dp = 1020 ( 40- 2 p) dP = [ 40 P – P2] 20 10 = {40(20) – (20)2 } – { 40 (10) – (10)2 }= 400- 300 = 100 2) SURPLUS PRODUSEN
Surplus produsen ( producers’ surplus) mencerminkan suatu keuntungan lebih atau surplus yang dinikmati oleh produsen tertentu berkenaan dengan tingkat harga pasar dari barang yang ditawarkannya.
Fungsi penawaran P = f (Q) menunjukan jumlah sesuatu barang yang akan dijual oleh produsen pada tingkat tertentu.7 Jika tingkat harga pasar adalah Pe’ maka bagi produsen tertentu yang sebetulnya bersedia
menjual dengan harga yang lebih rendah dari Pe hal ini akan merupakan
keuntungan baginya, sebab ia kini dapat menjual barangnya dengan harga Pe (lebih tinggi dari harga jual semula yang direncanakan).
Keuntungan lebih semacam ini disebut surplus produsen.
7 Dumairy. Matematika Terapan Untuk Bisnis dan Ekonomi. Edisi Kedua. (Yogyakarta: BPFE.2012). hal. 285
18 P P = t(Q) Pe E (Qe” Pe’) Surplus produsen (Ps) D (0.𝑃 ) 0 Q1 Q GAMBAR 1.4
Surplus produsen atau Pe (singkatan dari producers’ surplus) tak
lain adalah segitiga P,DE, dengan rentang wilayah yang dibatasi oleh Q = 0 sebagai batas bawah dan Q = Q sebagai batas-batas.
Besarnya surplus produsen adalah :
𝑃𝑠 = 𝑄𝑒𝑃𝑒 − 𝑓 𝑄 𝑑𝑄 𝑄𝑒
0
Dalam hal fungsi penawaran berbentuk 𝑃 = 𝑓 𝑄 Atau
𝑃𝑠 = 𝑓 𝑃 𝑑𝑃.
𝑃𝑒
𝑃
Dalam hal fungsi penawaran berbentuk 𝑄 = 𝑓 𝑃 : 𝑃 adalah nilai Puntuk Q = 0, atau penggal kurva penawaran pada sumbu harga.
Dengan demikian : 𝑃𝑠 = 𝑄𝑒𝑃𝑒 − 𝑓 𝑄 𝑑𝑄 = 𝑄𝑒 0 𝑓 𝑃 𝑑𝑃𝑃𝑒 𝑃
19 Kasus 1
Seorang produsen mempunyai fungsi penawaran 𝑃 = 0,50 𝑄 + 3. Berapa surplus produsen itu bila tingkat harga keseimbangan di pasar adalah 10 ? Lakukan perhitungan dengan dua cara.
𝑃 = 0,50 𝑄 + 3 → 𝑄 = −6 + 2𝑃 𝑃 = 0 → 𝑄 = −6 𝑄 = 0 → 𝑃 = 3 = 𝑃 𝑃𝑒 = 10 → 𝑄𝑒 = 14 P 10 Pe 3 Pe 0 14 Q Gambar 1.5 Cara pertama : Ps = Qe Pe - 𝑄𝑒 𝑒 f (Q) d Q = (14) (10) - 14 0 (0,15 Q + 3) dQ = 140 – [0,25 Q2 + 3 Q ]140 = 140 – { 0,25 (14)2 + 3 (14 )} – {0,25 (0)2 + 3(0) } = 140 – 9 – 0 = 49
20 Cara kedua: Ps = 𝑝 𝑃𝑒 f (p) dp = 310 (-6 + 2 P ) dp = [ -6 P + P2 ]103 = { -6 (10) + 102 } – {-6(3) + 32} = 40 – (-90) = 49 Kasus 2
Penawaran dan permintaan akan suatu barang di pasar masing- masing ditunjukan oleh Q = - 30 + 5 P dan Q = 60 – 4P. Hitunglah masing-masingsurplus yang diperoleh konsumen dan produsen.
Penawaran: Q = - 30 + 5 P P = 6 + 0,20 Q Permintaan: Q = 60- 4 P P = 15 – 0,25 Q Keseimbangan Pasar: Q = Qd - 30 + 5 P = 6 + 0,20 Q 9 P = 90 P = 10 ≡ Pe Q = 60 – 4P = 60 – 4 (10) = 20 ≡ Qe
21 p 15 Cs Qs 10 E (20, 10) 6 Ps Qd 0 20 60 Q Gambar 1.6 Surplus Konsumen : C1 = fQf0 f(Q) – Q, P, =f 020 (15 -0,25 Q) Dq – (20)(10) ={15Q – 0,125 Q2}200 – 200 = 250 – 200 =50 Surplus Produsen : Ps = Q0PS – f Qf0 f(Q) dQ = (20)(10) – fQf0 (6 + 0,20 Q) dQ =200 –{ 6Q + 0,10 Q2 }200 = 200 – 160 = 40
3) NILAI SEKARANG ARUS KAS
pada diskusi discounting ditunjukkan bahwa nilai sekarang M0, dari sejumlah tertentu uang yang telah digandakan secara kontinu, M, selama selang waktu tertentu, t, pada tingkat bunga tertentu, r, atau ringkasnya
22
suatu fungsi kontinu untuk nilai sekarang dari sejumlah uang yang diterima di masa depan adalah:8
M0 = M e-rt
Dengan demikian nilai sekarang arus kas, P, mulai periode 0 dan berakhir pada periode t, di mana M= f(t) dapat dicari dengan integral, yaitu:
P = f t e − ndt 01
jika penerimaan merupakan fungsi konstan, nilai sekarang arus kas menjadi : P = 01 M(t)e-rtdt = M 01 e-rtdt = M.-1 𝑟e -rt |01 = M(−1𝑟 e-rt) - M (−1𝑟) = −M𝑟(e-rt-1 =M𝑟 (l-e-rt)
jika arus kas itu berlangsung tanpa henti (perpetual), berarti t→ ∞ maka: p=M𝑟
Modifikasi penentuan nilai sekarang arus kas dapat dipakai untuk beragam
maksud, salah satu contohnya adalah seperti berikut. Misalkan seseorang
membeli tamh seharga C yang dibayar saat ini. Misalkan harga jual tanah tahun t
di masa depan Idahh V dan ia berhubungan dengan waktu, V : V(t), sehingga
nilai sekarangnya “ialah V(t) e'“. Selama menunggu hari penjualan pemilik harus
membayar pajak bumi, T, misalkan besarnya pajak bumi merupakan fungsi
konstan, sehingga nilai “karang arus pajak selama menunggu penjualan adalah:
P = 01 e-rtdt = 𝑀𝑟(1-e-rt )
8
23
jadi nilai sekarang netto, N(t), yang akan dimaksimumkan adalah: N(t) = V(t)e-rt−𝑇 𝑟 (l-e -rt )-C = V(t)+ 𝑇 𝑡 e -rt−𝑇 𝑡 −C
Ini merupakan fungsi tujuan dengan variabel pilihan tunggal, yaitu t. Agar nilai sekarang neto maksimum, harus dicari t sehingga N(t) = 0.
N'(t) = V'(t)e-rt -r V(t) + 𝑇𝑡 e-rt...(aplikasi aturan perkalian derivasi) : =[V'(t) - r V(t) - T] e-rt
N(t) akan sama dengan nol jika dan hanya jika V'(t) = r V(t) + T. Jadi tanah akan dijual ketika pertumbuhan nilai tanah sama dengan opportunity costnya yang terdiri biaya bunga dan pengeluaran pajak bumi.
4) Pembentukan Kapital
Pembentukan kapital adalah proses penambahan terhadap kapital yang ada melalui penanaman modal atau investasi. Tidak semua yang diinvestasikan akan menambah kapital. karena ada bagian investaai yang digunakan untuk mengganti kapital m rusak Inka seluruh nilai yang diinvestasikan dinamakan gross investment. mlh tambahan kapital hanya sebesar net investment. di mana:
Net Investment = Tambahan Kapital = gross Investment-Depresiasi Misalkan besarnya kapital berhubungan dengan waktu, K(t), begitu juga net investment, I(t), maka hubungan keduanya adalah :
d K(t)
𝑑𝑡 = I(t) → I(t)dt = K(t) + c
Ini berarti nilai kapital yang terbentuk selama selang waktu 1969 sampai 1994 W dicari jika fungsi investasinya diketahui. yaitu:
24
1994
1969 I(t) =K(t) = K(l994)-K(1969) |19691994
Contoh:
Mislakan I(t) = 40 t3/5 dan K (0) =75 Maka (t) = 40t3/5dt = 25t8/5 + C K(0) = 25.0 + C =75
C =75 Sehingga K(t) =75 + 25t8/5
5) Model Domar Tentang Pertumbuhan Kapital
Pada diskusi pembentukan kapital sebelumnya sasarannya adalah menemukan time path kapital jika diketahui tingkat perubahannya. Sementara model Domar(1946i bertujuan mencari lime path investasi yang diperlukan agar perekonomian selalu ber-ada dalam keseimbangan.
Dasar pemikiran model Domar ini dapat dijelaskan seperti berikut. Kegiatan investasi dapat dilihat dari dua sisi. di satu pihak mendorong permintaan agregat. di lain pihak turut memperluas kapasitas produksi. Perubahan investasi, melalui proses multiplier. dapat melipatkan perubahan pendapatan nasional sebanyak l/s kali di mana | adalah marginal propersity to save atau
d Y (t)/𝑑𝑡 d I(t)/dt =
1
𝑡 dimana Y(t) adalah pendapat nasional.
Misalkan lagi. k adalah rasio antara kapasitas perekonomian (pendapatan nasional) potensial, Yp(t). dengan kapital, K(t). maka:
dY p(t) 𝑑𝑡 = k
dY p(t)
25
Perekonomian dikatakan seimbang jika pendapatan nasional potensial sama dengan pendapatan nasional. iika perekonomian berawal dari keseimbangan.… tingkat perubahan keduanya merupakan syarat terpeliharanya keseimbangan. atau d Y(t) 𝑑𝑡 d Yp(t) 𝑑𝑡
Melalui substitusi dua persamaan sebelumnya ke dalam persamaan terakhir diperoleh: d l(t)1 𝑑𝑡 − 1 𝑠 = k I(t) l dI t I t dI(t) 𝑑𝑡 = ks
jika kedua sisi persamaan terakhir diintegrasikan, didapat:
1 d I(t)
I t 𝑑𝑡 dt = 𝑘𝑠 𝑑𝑡
In I 9t) + c1 = kst + c2
In I(t) = kst + c
Jika diambil antilog In I (t), diperoleh I(t) = ekst + sC = a ekst
Jadi time path investasi yang diperlukan adalah :
I(t) -= I(10)ekst dimana I(0) adalah investasi pada keseimbangan awal, ini berarti untuk menjaga keseimbangan investasi harus tumbuh pada tingkat kas.
Bagaimana jika investasi tumbuh pada tingkat r, dimna r ≠ ks sehingga : I(t) 1 (0) ert dan d I(t) dt = r I(0)ert.karena itu
26 d Y (t) dt = 1 d I(t) s dt = r s I(0) e rt D Yp (t) 𝑑𝑡 =k I(t) = k I(0) e rt
Rasio dari kedua derevatif adalah
d Y t /dt d Y p(t)/dt =
𝑟 𝑘𝑠
Jika r >ks maka d Y(t)/dt > d Yp(t)/dt artinya jika tingkat pertumbuhan
investasinya melebihi ks maka pertumbuhan permintaan akan melebihi perrtumbuhan kapasitas perekonomian potensial sehingga menyebabkan kelangkaan kapasitas. Sebaliknya jika r<ks akan terjadi surplus kapasitas.
Kelangkaan kapasitas dapat memicu tingkat investasi sehingga r melebihi ks begitu juga dnegan surplus kapasitas yang dapat mengendorkan minat investsi sehingga r semakin tetinggal dibandingan ks. Ini artina jika perbedaan antara r dan ks, perbedaannya justru akan semakin besar karena itu untuk meghindari kelangkaan maupun surplus kapasitas satu satuny acara adalah mengarahkan pertumbuhan investasi pada tingkat kas.
Kesimpulan model Domar seperti itu adalah karena pada model ini kapital merupakan penentu tunggal atas pendapatan nasional (output). Dengan mengendorkan asumsi itu, RM Solow (1956) dapat memberikan kesimpulan yang lebih fleksibeL Solow memperkenalkan variabel lain yang memengaruhi output. yaitu tenaga kerja. Analisis matematik dan grafik model ini membutuhkan peralatan yang belum dibicarakan, yaitu dig'erential equation dan phase diagram. Karena itu silahkan simak saja
27
kesimpulannya seperti berikut. Apa pun keadaan awalnya, perekonomian akan menuju keseimbangan. Ketika keseimbangan tercapai kapital akan tumbuh pada tingkat yang sama dengan pertumbuhan tenaga kerja Pada saat itu output juga tumbuh pada tingkat yang sarna. Keadaan di mana semua variabel yang sedang diamati tumbuh pada tingkat yang sama dinamakan steady state atau steady growth yang merupakan bentuk umum dari stationary state, yaitu ketika semua variabel tidak berubah atau tingkat pertumbuhannya nol.
Menurut model Solow keseimbangan yang telah dicapai dapat berubah, misalnya karena perbaikan teknologi. jika ini terjadi. rasio kapital dengan tenaga kerja pada keseimbangan baru akan bertambah, yang berarti kenaikan produktivitas.
Dengan membandingkan model Domar dan Solow ditunjukkan bahwa perbedaan asumsi menyebabkan perbedaan kesimpulan. Ingat bahwa kebaikan suatu model bukan ditentukan oleh realistik atau tidaknya asumsi, melainkan oleh kemampuannya menjelaskan kenyataan.
6) Model Dommar Tentang Utang
Dalam model ini Domar (1944) ingin menunjukkan rasio antara utang total. D(t). dengan pendapatan nasional. Y(t), dalam jangka panjang. Misalkan pendapatan nasional tumbuh secara kontinu pada tingkat yang konstan, yaitu r, sehingga Y(t) : aert Untuk mencapai tingkat pertumbuhan itu diperlukan utang, Hm, yang merupakan porsi tertentu yang tetap dari
28
pendapatan nasional, katakan H(t) = hY(t). Sehingga utang total pada tahun t adalah:
D(t) = 01 hY(t)dt + D(0) di mana D(0) utang total saat awal
= ha 1 tert dt + D(0) =ha.𝑒
𝑟𝑡
𝑟 │0
𝑡+ D(0)
= ha𝑟 (ert-1) + D(0)
jika kedua sisi dibagi dengan Y(t). diperoleh:
D(t) Y(t) = ha (ert−1) r,Y(t) + D(0) Y(t) = h r (1-e -rt ) + D(0)aert Dalam jangka panjang dimana t → ∞ lim→∞D(t)Y(t)+ hr + 0 =hr
Jadi dalam jangka panjang rasio utang dengan pendapatan nasional akan mendekati h/r. Ingat bahwa model ini belummemperhitungkan bunga pijaman dan cicilan.
7) Probabilitas Suatu Interval
Pada variabel kontinu. probabilitas terjadinya suatu interval nilai variabel itu dapat dicari dengan menghitung luas wilayah di bawah kurva frekuensi probabilitasnya path interval itu. Fungsi frelmensi probabilitas atau dikenal sebagai density function, seperti diperagakan Gambar 8.3, adalah suatu fungsi kontinu f(x) yang berciri:
1) f(x) ≥ 0 atau probabilitas tidak dapat bernilai negatif.
2) 𝑓(𝑥)−∞∞ dx=l atau probabilitas terjadinya seluruh nilai variabel (seluruh perish) adalah l.
29
3) P(a < x < b) = 𝑎𝑏f(x) dx atau probabilitas terjadinya nilai variabel pada interval a sampai b adalah nilai definite inteqralnya dengan batas bawah a dan batas atas b ini berarti P (x = a) = 𝑎𝑏f(x) dx=0 atau probabilitas terjadinya suatu nilai variabel adalah nol.
F(x)
a b x
Diketahui suatu density function f(x) = 2e-2x
Berapa probabilitas terjadinya nilai x antara 0 sampai 0,25? P(O < x < 0.25) = 00,25 2e-2e dx= -e2x│0,250
= 0,607 + 1 = 0.393.
Dalam ilmu ekonomi distribusi probabilitas suatu variabel sering diasumsikan mengikuti pola normal. Jika ini kasusnya, usaha menemukan probabilitas suatu variabel pada interval tertentu dapat dibantu dengan memanfaatkan kurva normal yang telah distandarisasi.
30 BAB III PENUTUP
1.1KESIMPULAN
integral dikenal 2 macam cara pengertian integral, yaitu integral tak tentu (indefinite integral) dan integral tertentu (definite integral). Integral taktentu adalah kebalikan dari diferensial, yakni suatu konsep yang berhubungan dengan proses penentuan suatu fungsi asal apabila turunan atau derivatif dari fungsinya diketahui. Sedangkan itegral tetentu merupaka suatu konsep yang berhubungan dengan proses pncarian luas suatu area yang batas atau limit dari area tersebu sudah tertentu.
Integral juga bermakna penjumlahan. Karena itu, integrasi dapat digunakan untuk maksud yang berbalikan dengan derivasi. Yaitu menemukan fungsi total jika diketahui fungsi marginalnya.
31
DAFTAR PUSTAKA
Dumairy. Matematika Terapan Untuk Bisnis dan Ekonomi. Edisi Kedua. Yogyakarta: BPFE.2012.
Mulyono, Sri. Matematika Ekonomi Dan Bisni. Jakarta: Mitra Wacana Media. 2017.l