62
Sambungan
No Parameter Satuan Baku mutu Metode analisis
G149 69 46 42 44
G150 77 53 40 41
G151 37 26 41 33
G152 44 29 32 39
G153 40 24 48 33
G154 51 28 37 37
G155 62 37 30 43
G156 52 33 40 39
G157 47 26 34 33
G158 81 41 20 38
G159 71 36 35 33
G160 49 30 48 26
G161 60 37 46 46
G162 71 46 39 52
G163 61 42 49 48
G164 56 35 43 42
G165 80 40 19 37
G166 70 35 34 32
64
Soal Geometri
1. Pada Gambar dibawah, segi-4-nya adalah persegi dengan panjang sisi 1 satu-an dsatu-an garis lengkungnya masing-masing adalah busur seperempat lingkarsatu-an. Hitunglah luas daerah yang diarsir.
Gambar 4.2 Segi 4
2. Dalam ∆ABC, titik-titik P, Q, dan R berturut-turut terletak pada sisi AB, BC dan AC. AP : P B = BQ : QC = CR : RA = 1 : 3. Hitunglah perbandingan luas ∆P QR: luas ∆ABC.
Gambar 4.3 Segitiga siku-siku
Dalam ∆ABC, AB= 15, BC = 14 dan AC = 13, AD garis tinggi dan garis bagi sudut B memotong , AD di titikE, Hitunglah panjang, DE.
di-Pembahasan
1. Dicari lebih dahulu separo gambar yang dimaksud, sehingga diperoleh pada gambar dibawan. Luas yang diarsir adalah setengah dari luas seperempat lingkaran berjari-jari 1, dipotong luas setengah persegi, yaitu 1
4π×1
2. Luas seluruhnya yang diarsir =2× 1
Gambar 4.4 Segitiga siku-siku
Pengalamn menunjukkan bahwa alternatif 1 adalah yang paling sering di-gunakan. Namun ada penyelesaian unik yang pernah dikemukakan siswa tetapi jarang ditemukan yaitu menggunakan pendekatan komplementer se-bagai berikut:
Yang dicari pertama adalah separo daerah tak terasir, misal daerah tak terasirABCd pada gambar 4.5 yang diperoleh dari luas daerah persegi diku-rangi dengan luas seperempat lingkaran berpusatD. Hasilnya adalah 1−1
4π.
Berarti luas dua bagian yang tak terasir adalah 2× 1− 1 4π
= 2−1 2π
Luas daerah yang diasir adalah komplemenya, yaitu luas persegi dikurangi yang tidak diasir = 1− 2− 12π
= 12π−1
Altenatif 3
Seorang siswa yang tajam penglihatannya menemukan bahwa jika dihitung luas seperempat lingkarannya yaitu = 2× 1
2π
= 1
2π, bagian II terhitung
dua kali. Karena itu jika dikurangi dengan daerah tak terasir, harus dikuran-gi ladikuran-gi dengan daerah II (yang terasir) yang tadi dihitung dua kali. Hal itu sama saja dengan mengurangi dengan luas dua buah seperampat lingkaran
1 2π
66
Gambar 4.5 Setengah lingkaran
2. Tarik RD⊥BC dan AE⊥BC. Dengan demikian maka RDkAE.
(a) Untuk yang telah memahami bahwa:
Jika dua segitiga mempunyai sebuah sudut sama besar maka perbandin-gan luasnya sebanding denperbandin-gan perbandinperbandin-gan hasil kali panjang sisi-sisibyang mengampit sudut tersebut, maka pemecahan masalah di atas lebih dipermudah.
Misal: ∆AP R dan ∆ABC bersudut sama yaitu sudut A, karena itu maka Luas∆RQC
16. Hal yang sama dapat
(b) Akibat langsung dari hubungan diatas adalah jika dua buah segitiga se-bangun maka pewrbandingan luasnya sebanding dengan perbandingan kuadrat panjang sebuah sisi seletak.
(c) Perbandingan luas tersebut dapat diperluas untuk setiap dua poligon sebangun. Perbandingan luas dua poligon sebangun sebanding kuadrat sebuah sisi seletaknya.
3. Diketahui: ∆ABC;a= 14, b = 13, c= 15. AD⊥BC.
Besar∠ABE =∠DBE. Hitung: DE
Jawab: s= (14 + 13 + 15)/2 = 21 AD =ta =
2 a
p
s(s−a) (s−b) (s−c) = 2
14
p
21 (21−14) (21−13) (21−15) = 1
7 √
21×7×8×6 = 1
7×3×7×2
2
= 12
68
Pada ∆ABD, BE merupakan garis bagi sudut B, sehingga DE : EA = BD:BA= 9 : 15 = 3 : 5
Jika DE =x, makaEA = 12−x⇒x: (12−x) = 3 : 5
5x= 36−3x⇔8x= 36⇔x= 4,5 Jadi DE=4,5
4. Buktikanlah bahwa dalam setiap jajarangenjang jumlah kuadrat panjang diagonalnya sama dengan dua kali jumlah panjang sisi-sisinya.
Buktikan: (AC)2
+ (BD)2
= 2((AB)2
+ (AD)2
)
Gambar 4.7 Jajarangenjang
Bukti cara I
(Pemikiran awal: jumlah kuadrat panjang sisi terkait dengan teorema Py-thagoras. Karena itu maka masalahnya dipaksa dibawa ke segitiga siku-siku. Jadi perlu bantuan garis sehingga terjadi segitiga siku-siku).
TarikDE dan CF tegak lurusAB(lihat gambar). Misalkan AE−BF−X dan DE −CF −T. Dalam segitiga siku-siku BDE : (BD)2
, dan pada segitiga siku-sikuADEt2
+x2
− (AD)2
. Dari kedua hubungan diatas didapat (BD)2
− (AD)2
, melalui substitusi t2
+x2
Bukti: Cara II
Jajargenjang ABCD diletakkan dalam sistem koordinat Kartesius. Jika koordinatA, BdanD berturut-turut (0,0),(a,0), dan (b, c) maka koordinat C adalah (b+a, c)
Gambar 4.8 Jajarangenjang
Karena bentuk kuadrat ruas garis terkait dengan rumus jarak antara dua titik, maka hubungan yang diperoleh adalah:
(AC)2 = (xC−xA)
2
+ (yC −yA)
2
= (b+a−0)2+ (c−0)2 =b2+ 2ab+a2+c2 (BD)2 = (xD−xB)
2
+ (yD −yB)
2
= (b−a)2+ (c−0)2 =b2
−2ab+a2
+c2
(AC)2+ (BD)2 = 2 a2+b2+c2(∧) AB=a, sehingga (AB)2 =a2
(BD)2 = (xD−xB)
2
+ (yD −yB)
2
= (b+a−a)2+ (c−c)2 =b2+c2 Jika nilai (AB)2
dan (BD)2
