Eksponen Titik Dari Sebuah Kelas Digraph Dwiwarna Dengan Satu Loop

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang Penelitian

Studi mengenai eksponen dari sebuah digraph menjadi pembahasan yang lebih

seder-hana setelah Wielandt (Schneider, H. 2002) mengemukakan sebuah gagasan mengenai

eksponen dari suatu matrikstak negatif A. Matriks tak negatifAadalah sebuah

ma-triks orde n yang setiap entriaij = 0 atau entri aij >0. MatriksA disebut primitif

jika untuk sembarang bilangan bulat positif k, Ak _{adalah positif, yaitu semua entri}

dari matriksAk_{bernilai positif. Bilangan bulat positif terkecilkyang demikian adalah}

eksponen dari matriksA dan dinotasikan dengan exp(A).

Persoalan mengenai eksponen dari sebuah digraph D biasanya diselesaikan

menggunakan matriks D(A), yakni sebuah matriks tak negatif A yang bersesuaian

dengan digraphD. MatriksD(A) adalah sebuah matriks orde ndengan entriaij akan

bernilai 1 jika terdapat arc dari titik vi ke titikvj pada digraph D, dan entriaij akan

bernilai 0 jika tidak terdapat arc dari titikvike titikvj pada digraphD. Eksponendari digraph D sama dengan eksponen dari matrik tak negatif A yang bersesuaian

den-gan digraph tersebut. Matriks yang bersesuaian denden-gan digraph D kemudian disebut

dengan matriks adjacency.

Sebuah digraph D disebut primitif jika terdapat bilangan bulat positif k

se-hingga untuk setiap pasang titikudanvdiDterdapat walk dariukevdengan panjang

k, nilai terkecilk yang demikian disebut denganeksponendigraphD, dinotasikan oleh exp(D) (Brualdi dan Ryser, 1991). Wielandt kemudian menyatakan bahwa eksponen

(1958). Holladay dan Varga memperlihatkan jika D digraph primitif atas n titik dan

memuat q loop maka exp(D)≤2n−q−1.

Berdasarkan gagasan yang dikemukakan oleh wielandt mengenai eksponen

di-graph, Brualdi dan Liu (1990) kemudian mendefinisikan konsepeksponen lokaldigraph primitif sebagai berikut. Misalkan D adalah digraph primitif dan v adalah titik di

D. Eksponen dari sebuah titikv merupakan bilangan bulat positif terkecilt sehingga

terdapat walk dengan panjang t dari titikv ke semua titik yang ada diD. Eksponen

dari suatu titikv dinotasikan dengan expD(v). Misalkanv1, v2, ..., vnadalah titik di D

yang diurutkan sehingga expD(v1) ≤ expD(v2)≤ · · · ≤ expD(vn). Untuk 1 ≤ k ≤ n, exp_D(vk) adalah generalisasi eksponen titik ke-k dari digraph primitifD.

Pada tahun 1997 Fonarsini dan Valcher mendefinisikan suatu digraph dwiwarna

D(2) _{sebagai digraph yang setiap arcnya diwarnai dengan warna merah atau warna}

biru. Sebuah digraph dwiwarna D(2) _{disebut terhubung kuat jika untuk setiap pasang}

titik u dan v di D(2) _{terdapat walk dari u ke v dan walk dari v ke u. Sebuah}

di-graph dwiwarna terhubung kuat D(2) _{disebut primitif jika terdapat bilangan bulat} tak negatif g danh sehingga untuk setiap pasang titikudan v diD(2) _{terdapat suatu}

(g, h)-walk dariukev. Bilangan bulat positifg+hterkecil atas semua bilangan bulat

tak negatifg dan hyang demikian disebuteksponendariD(2) _{dan dinotasikan dengan} exp(D(2)_{) (Shader dan Suwilo, 2003).}

Konsep eksponen dari digraph dwiwarna primitifD(2) _{yang dikemukakan oleh}

Shader dan Suwilo (2003) didasari karena digraph dwiwarna D(2) _{atas n titik dapat}

dinyatakan dalam bentuk matriks adjacencyR dan matriks adjacency B orde n.

Ma-triks AdjacencyR adalah sebuah matriks yang setiap entririj bernilai 1 jika terdapat

arc merah dari titik vi ke titik vj pada D(2), dan bernilai 0 jika tidak terdapat arc

merah dari titik vi ke titik vj pada D(2). Hal yang demikian berlaku juga terhadap

matriks adjacency B, entri bij bernilai 1 jika terdapat arc biru dari titik vi ke titik

D(2)_{. Sehingga permasalahan mengenai eksponen dari sebuah digraph dwiwarna sama}

saja dengan permasalahan memangkatkan matriks tak negatif (R, B) orden sejumlah

(g, h) kali hingga matriks tersebut menjadi matriks positif. Memangkatkan matriks

(R, B) sejumlah (g, h) kali adalah permasalahan kombinatorial, dimana memilihg dan

h agar (R, B)(g,h) _{positif. Hal tersebut dapat dilakukan dengan operasi (g, h)-matriks}

Hurwitz P roduct RdanB yang dapat didefinisikan secara rekurensif seperti berikut.

(R, B)(g,h)_{=R(R, B)}(g−1,h)+B(R, B)(g,h−1)

bilangan positif terkecil dari g+h yang demikian sehingga entri-entri matriks (R, B)

positif, adalah eksponendari digraph dwiwarna D(2)_.

Gao and Shao (2009) mendefinisikan konsep eksponen lokal dari digraph dwi-warna primitifD(2) _{sebagai berikut. Untuk sembarang titikv}

k diD(2), k = 1,2, ..., n,

eksponen titikvk, dinotasikan dengan expD(2)(vk), adalah bilangan bulat positif

terke-cil p1 +p2 sehingga untuk setiap titik v di D(2) terdapat sebuah (p1, p2)-walk dari vk

ke v. Untuk kemudahan, titik v1,v2,...,vn dilabel sehingga expD2(v1) ≤ exp_D2(v2) ≤

· · · ≤expD2(vn). Untuk 1≤k≤n, expD2(vk) adalah generalisasi eksponen titik ke-k dari digraph dwiwarna D(2)_.

1.2 Masalah Penelitian

Andaikan S₂(2) adalah digraph dwiwarna primitif atas n ≥ 3 titik yang terdiri dari sebuah cycle dengan panjang n dan sebuah loop di titik v1. Untuk setiap titik vk,

k = 1,2, ..., n diS₂(2), berapakah besaran nilai dari exp_S(2) 2 (vk) ?

1.3 Tinjaun Pustaka

Penelitian tentang eksponen digraph dwiwarna pertama sekali dilakukan oleh Shader

dan Suwilo (2003). Shader dan Suwilo memperlihatkan bahwa eksponen terbesar

(3n3_{+ 2n}2_{−2n)/2]. Kemudian pada tahun 2009 Gao dan Shao mendiskusikan} ekspo-nen titik digraph dwiwarna tipe Wielandt, yakni suatu digraph Hamiltonian atas cycle

v1 →vn→ · · · →v2 →v1 dan arc v1 →vn−1 dengan panjang cyclen dan n−1. Gao

dan Shao memperlihatkan jika digraph dwiwarna Wielandt W(2) _{hanya memuat satu}

arc biru di va →va−1,a= 2,3, ..., n−1, maka expW(2)(vk) =n

Berdasarkan generalisasi eksponen digraph dwiwarna yang dikemukakan oleh

Shader dan Suwilo (2003) serta konsep eksponen lokal digraph dwiwarna yang dike-mukakan oleh Gao dan Shao (2009), banyak peneliti membicarakan eksponen titik

dari beberapa kelas digraph dwiwarna primitif yang memuat dua cycle. Seperti Suwilo

(2011) yang mendiskusikan eksponen titik digraph dwiwarna primitif ekstremal

min-istrong D(2) _{atas n titik dengan panjang cycle n−1 dan n−2. Jika D}(2) _memuat tepat satu arc biru, maka eksponen titik D(2) _{berada pada [n}2_{−5n+ 8, n}2_{−3n+ 1]} dan jika D(2) _{memuat tepat dua arc biru, maka eksponen titik D}(2) _{berada pada}

[n2_{−4n+ 4, n}2_{−n]. Suwilo dan Syafrianty (2012) mendiskusikan eksponen titik} di-graph dwiwarna primitifD(2) _{atasn = 2mtitik,m≥5 yang memuat dua cycle dengan} panjangn−1 dann−3 berada pada interval [(n3_−5n2_+4n+4)/4,(n3_−5n2_+10n+4)/4]. Syahmarani dan Suwilo (2012) juga mendiskusikan eksponen titik digraph dwiwarna

Hamiltonian L2

n yang terdiri dari cycle v1 → vn → · · · → v2 →v1 dan arc v1 → vn−2

atas n titik ganjil dengan panjang cycle n−2 dan n. Syahmarani dan Suwilo mem-perlihatkan jika exp(L(2)n ) = (n3−2n2 + 1)/2 maka eksponen titik digraph tersebut berada pada interval [(n3_−2n2_{−3n+ 4)/4,(n}3_−2n2_{+ 3n+ 6)/4] dan jika exp(L}(2)

n ) =

2n2_{−6n+ 2, maka eksponen titikL}(2)

n berada pada interval [n2−4n+ 5, n2−2n−1].

Semua hasil yang dikemukan oleh periset diatas adalah digraph dwiwarna

prim-itif dengan panjang cycle lebih besar dari satu. Dengan demikian penelitian ini akan

menentukan generalisasi eksponen titik dari sebuah digraph dwiwarna primitif S₂(2),

lain-nya dengan panjang satu atau dikenal dengan istilah loop.

1.4 Tujuan Penelitian

Penelitian ini bertujuan untuk memperoleh generalisasi eksponen titik dari sebuah

kelas digraph dwiwarna primitifS₂(2) atas n≥3 titik dengan satu loop di titik v1.

1.5 Manfaat Penelitian

Penelitian ini bermanfaat untuk memperkaya literatur dibidang eksponen titik