Journal de Th´
eorie des Nombres
de Bordeaux
17
(2005), 13–23
Binary quadratic forms and Eichler orders
par
Montserrat ALSINA
R´esum´e. Pour tout ordre d’Eichler O(D, N) de niveau N dans
une alg`ebre de quaternions ind´efinie de discriminantD, il existe un groupe Fuchsien Γ(D, N)⊆SL(2,R) et une courbe de Shimura X(D, N). Nous associons `aO(D, N) un ensembleH(O(D, N)) de formes quadratiques binaires ayant des coefficients semi-entiers quadratiques et developpons une classification des formes quadra-tiques primitives deH(O(D, N)) pour rapport `a Γ(D, N). En par-ticulier nous retrouvons la classification des formes quadratiques primitives et enti`eres de SL(2,Z). Un domaine fondamental ex-plicite pour Γ(D, N) permet de caract´eriser les Γ(D, N) formes r´eduites.
Abstract. For any Eichler orderO(D, N) of levelN in an in-definite quaternion algebra of discriminantD there is a Fuchsian group Γ(D, N) ⊆ SL(2,R) and a Shimura curve X(D, N). We associate toO(D, N) a setH(O(D, N)) of binary quadratic forms which have semi-integer quadratic coefficients, and we develop a classification theory, with respect to Γ(D, N), for primitive forms contained in H(O(D, N)). In particular, the classification the-ory of primitive integral binary quadratic forms by SL(2,Z) is recovered. Explicit fundamental domains for Γ(D, N) allow the characterization of the Γ(D, N)-reduced forms.
MontserratAlsina
Dept. Matem`atica Aplicada III EUPM
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