Diklat Adaptif Matematika Terapan

(1)

Disusun : Rahmat Hendrawan Tanggal : Mei 2011

Revisi : 0 Tanggal :

Halaman 1 dari 25

Diklat Adaptif Matematika Terapan

Oleh :

Rahmat Hendrawan

(2)

Halaman 2 dari 25

A. Tujuan Pembelajaran

B. Uraian Materi Pembelajaran

Relasi dan Fungsi

Setelah mempelajari modul ini diharapkan dapat membedakan relasi dan fungsi

1. Relasi

Simaklah permasalahan berikut:

Setelah Anda menemukan jawaban problem 1 di atas, bacalah uraian berikut kemudian bandingkan dengan jawaban Anda.

Untuk memahami apa yang disebut relasi perhatikan contoh berikut ini: Via : aku senang permen dan coklat

Andre : aku senang coklat dan es krim Ita : aku suka es krim

Kegiatan Pembelajaran 1

Problem Solving (Pemecahan masalah): Problem 1:

(3)

Halaman 3 dari 25 Dari contoh di atas dapat dibuat dua himpunan, yaitu :

- Himpunan A adalah himpunan nama orang A = { Via, Andre, Ita }

- Himpunan B adalah himpunan makanan kesukaan B = { es krim, coklat, permen }

Relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah "makanan kesukaan" dan dapat dinyatakan dengan :

a.Diagram panah

b.Himpunan pasangan berurutan

{ (Via,permen) , (Via,coklat) , (Andre,coklat) , (Andre,es krim) , (Ita,es krim)}

c.Diagram Cartesius

Berdasarkan uraian di atas maka dapat disimpulkan bahwa relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah pemasangan angggota himpunan A dengan

anggota-anggota himpunan B.

Relasi dapat dinyatakan dengan 3 cara, yaitu : 1. Diagaram panah

(4)

Halaman 4 dari 25

2. Fungsi

Simaklah permasalahan berikut:

Pada relasi di atas, adakah relasi yang menghubungkan setiap anggota himpunan A ke himpunan B di mana setiap anggota A mempunyai pasangan satu di anggota B? Relasi seperti ini disebut fungsi atau pemetaan. Jadi, suatu fungsi/pemetaan dari himpunan A ke himpunan B adalah : Suatu relasi khusus, sehingga setiap anggota himpunan A dipasangkan dengan tepat satu anggota himpunan B.

Problem Solving (Pemecahan masalah): Problem 2:

A. Lakukan wawancara sederhana terhadap 5 orang temanmu, kemudian tanyakan nomor sepatu mereka. Kemudian, jawablah pertanyaan berikut. a. Jika A himpunan nama teman-temanmu, tulislah anggota A!

b. Jika B himpunan nomor sepatu teman-temanmu, tulislah anggota B ! c. Nyatakan relasi himpunan A ke himpunan B dengan diagram panah, dengan

relasi nomor sepatu.

d. Adakah anak yang memiliki nomor sepatu lebih dari satu?

B. Lakukan wawancara sederhana terhadap 10 orang temanmu, kemudian tanyakan bulan kelahiran mereka. Kemudian, jawab pertanyaan berikut,

a. Jika P himpunan nama teman-temanmu, tulislah anggota P!

b. Jika Q himpunan nama-nama bulan kelahiran teman-temanmu, tulislah anggota Q!

c. Nyatakan relasi himpunan P ke Q dengan diagram panah, relasinya bulan kelahiran.

(5)

Disusun : Rahmat Hendrawan Fungsi muncul bilamana satu besaran tergantung pada yang lain. Tinjaulah empat situasi berikut ini.

A. Luas daerah A dari suatu lingkaran tergantung pada jari-jari r lingkaran tersebut. Aturan yang mengkaitkan r dan A diberikan oleh persamaan . Dengan setiap bilangan positif r terdapat satu nilai yang berhubungan dengan A, dan kita katakana bahwa A adalah fungsi dari r.

B. Populasi manusia P di dunia tergantung pada waktu t. Tabel berikut ini memberikan taksiran populasi dunia P(t) pada waktu t, untuk tahun tertentu. Sebagai contoh, P(1950) 2.520.000.000. Tetapi untuk setiap nilai waktu t terdapat nilai padanannya P, dan kita katakana bahwa P adalah fungsi dari t.

Tahun Populasi (Juta) 1900 aturan untuk menentuka C bilamana w diketahui.

(6)

Halaman 6 dari 25 Masing-masing contoh ini menguraikan aturan di mana, untuk bilangan yang diberikan (r, t, w, dan t) ditetapkan bilangan lain (A, P, C atau a). Dalam kasus ini kita katakan bahwa bilangan kedua merupakan fungsi bilangan pertama.

Fungsi f adalah aturan yang memadankan setiap elemen x dalam himpunan A secara

tepat satu elemen yang disebut f(x) dalam himpunan B. Biasanya kita meninjau fungsi di mana himpunan A dan B merupakan himpunan bilangan real. Himpunan A disebut daerah asal (domain) fungsi. Bilangan f(x) adalah nilai f pada x dan dibaca “ f dari x”. Darah hasil (range) f adalah himpunan semua nilai f(x) dimana x berubah sepanjang daerah A. Lambang yang menyatakan suatu bilangan sebarang di daerah asal fungsi f disebut variable bebas. Lambang yang menyatakan bilangan di daerah nilai f disebut variable tak bebas.

Akan bermanfaat untuk membayangkan fungsi sebagai sebuah mesin (lihat Gambar 2). Jika x adalah daerah asal fungsi f, maka pada waktu f memasuki mesin, dia diterima sebagai masukan dan mesin menghasilkan keluaran f(x) menurut aturan fungsi. Jadi, kita dapat memikirkan daerah definisi sebagai himpunan semua masukan yang mungkin dan daerah hasil sebagai himpunan semua keluaran yang mungkin.

Gambar 1.

(7)

Halaman 7 dari 25 Cara lain untuk menggambarkan fungsi adalah dengan diagram panah seperti dalam Gambar 3. Masing-masing panah mengaitkan suatu elemen dari A ke suatu elemen dari B. Panah menunjukkkan bahwa f(x) dipadankan dengan x, f(a) dipadankan dengan a, dan seterusnya.

Metode yang paling umum untuk memvisualisasikan fungsi adalah grafiknya. Jika f merupakan fungsi dengan daerah asal A, maka grafiknya merupakan himpunan pasangan terurut {(x, f(x)) | x }.

Sehingga berdasarkan uraian diatas dapat disimpulkan bahwa penyajian suatu fungsi dilakukan empat cara yaitu secara lisan (dengan uraian kata-kata), secara numeric (dengan table nilai), secara visual ( dengan grafik), dan secara aljabar (dengan rumus eksplisit).

Contoh fungsi/pemetaan:

x f f(x)

(masukan) (keluaran)

Gambar 2.

Diagram mesin untuk fungsi f

Gambar 3.

Diagram panah untuk fungsi f x

a

f(x) f(a)

(8)

Halaman 8 dari 25 Contoh bukan fungsi/pemetaan:

Perhatikan gambar di bawah ini

Himpunan A = { Nia, Tuti, Adi, Iman}, disebut daerah asal atau domain. Himpunan B = {37, 38, 39, 40}, di sebut daerah kawan atau kodomain. {37, 38, 39} disebut daerah hasil atau range, yaitu himpunan B yang mempunyai kawan di himpunan A.

Merumuskan Suatu Fungsi

Diketahui bahwa anggota himpunan P dipasangkan dengan anggota himpunan B sebagai berikut:

1. Tiga kurangnya dari 4 , ditulis 1 → 4 2. Tiga kurangnya dari 5, ditulis 2 → 5 3. Tiga kurangnya dari 6, ditulis 3→ 6 4. Tiga kurangnya dari 7, ditulis 4→ 7 Jika relasi di atas adalah f, maka :

f :1 →1 + 3 f : 2 → 2 + 3

(9)

Halaman 9 dari 25

CONTOH 1

1. Fungsi f memetakan setiap x anggota daerah asal ke 2 x + 1 dari daerah kawan.

a. Tulislah notasi fungsi f b. Tulislah rumus f

c. Tentukan nilai f(2) Jawab :

a. Notasi fungsi f adalah f : x → 2 x + 1 b. Rumus fungsi f adalah f ( x ) = 2 x + 1 c. Rumus fungsi f( x ) = 2 x + 1

f ( 2 ) = ( 2 x 2 ) + 1 f( 2 ) = 4 + 1

(10)

Halaman 10 dari 25

A. Tujuan Pembelajaran

B. Uraian Materi Pembelajaran

Penerapan Konsep Fungsi Linier

Setelah mempelajari modul ini diharapkan dapat menerapkan konsep fungsi linear

Pada waktu kita mengatakan bahwa y adalah fungsi linier x, kita maksudkan bahwa grafik fungsi berupa garis lurus, sehingga kita dapat menggunakan bentuk kemiringan-perpotongan dari persamaan garis untuk menuliskan rumus fungsi sebagai berikut: Dengan m adalah kemiringan garis dan b adalah perpotongan sumbu y.

Ciri khas fungsi linier adalah dia tumbuh pada laju tetap. Misalnya, Gambar 4 memperlihatkan grafik fungsi linier f(x) =3x – 2 di tabel nilai sampel. Perhatikan bahwa bilamana x bertambah sebesar 0,1 maka nilai f(x) bertambah sebesar 0,3. Sehingga f(x) bertambah tiga kali lebih cepat dari x. Jadi, kemiringan grafik y = 3x – 2, yakni 3 dapat ditafsirkan sebagai laju perubahan y terhadap x.

x f(x)=3x-2

(11)

Halaman 11 dari 25 Perhatikan contoh berikut ini sebagai bentuk penerapan fungsi linear.

a. Ketika udara kering bergerak ke atas, ia memuai dan mendingin. Jika suhu permukaan tanah adalah 200 C dan suhu pada ketinggian 1 km adalah 100 C, nyatakan suhu T (dalam 0C) sebagai fungsi tinggi h (dalam km), dengan anggapan bahwa suatu model linier sudah memadai

b. Gambarkan grafik fungsi di bagian (a). Apa yang dinyatakan oleh kemiringan? c. Berapa suhu pada ketinggian 2,5 km?

Jawaban:

a. Karena kita menganggap bahwa T merupakan fungsi linier h, kita dapat menuliskan

T = mh + b

Diketahui bahwa T = 20 pada waktu h = 0, sehingga 20 = m . 0 + b = b

Dengan kata lain perpotongan sumbu y adalah b = 20. Diketahui juga bahwa T = 10 pada waktu h = 1, sehingga

10 = m . 1 + 20 m = 10 – 20 = -10

Sehingga kemiringan garis m = -10 dan fungsi linear yang diperlukan adalah T = -10h + 20

b. Sketsa grafik pada Gambar 3. Kemiringan adalah m = -100 C/ km, dan ini menyatakan laju perubahan suhu terhadap tinggi.

(12)

Halaman 12 dari 25

B. Uraian Materi Pembelajaran

A. Tujuan Pembelajaran

Menggambar Grafik Fungsi Kuadrat

Setelah mempelajari modul ini diharapkan dapat menggambarkan fungsi kuadrat

Sebelum membahas cara-cara untuk menggambar grafik fungsi kuadrat, akan dibahas terlebih dahulu bentuk umum fungsi kuadrat. Untuk keperluan itu, simaklah beberapa fungsi berikut ini.

f(x) = x2 -1 f(x) = 2x2 – 6x f(x) = x2 – 4x + 3 f(x) = -3x3 + 4x -3

Perhatikan bahwa pangkat tertinggi bagi peubah x pada tiap fungsi di atas sama dengan dua. Fungsi yag mempunyai cirri seperti itu disebut fungsi kuadrat dalam peubah x. Dengan demikian, bentuk umum fungsi kuadrat dapat didefinisikan sebagai berikut.

Misalkan a, b, dan c bilangan real dan a 0, maka fungsi yang dirumuskan oleh f(x) =ax2 + bx + c

dinamakan fungsi kuadrat dalam peubah x.

Grafik fungsi kuadrat ditulis dengan notasi y = f(x) = ax2_{+ bx + c dan grafik kuadrat disebut} sebagai parabola. Sketsa grafik fungsi kuadrat yang sederhana dapat digambarkan dengan menggunakan langkah-angkah sebagai berikut.

(13)

Halaman 13 dari 25

CONTOH 1

Langkah 1:

Tentukan beberapa anggota fungsi f, yaitu koordinat titik-titik yang terletak pada grafik fungsi f. Titik-titik ini dapat ditentukan dengan memilih beberapa niai x bilangan bulat yang terletak dalam daerah asalnya kemudian dihitung nilai fungsi f. Titik-titik pada fungsi f itu biasanya lebih mudah disajikan dengan menggunakan daftar atau tabel.

Langkah 2:

Gambarkan kordinat titik-titik yang telah diperoleh pada Langkah 1 pada sebuah bidang koordinat atau bidang Cartesius.

Langkah 3:

Hubungkan titik-titik yang telah digambarkan pada bidang koordinat pada Langkah 2 dengan menggunakan kurva yang mulus.

Gambarkan grafik fungsi kuadrat yang ditentukan dengan persamaan f(x) = x2 – 2x, jika daerah asalnya adalah D = {x |-2 ≤ x ≤ 4 , x R }

Jawaban:

Grafik fungsi kuadrat f(x) = x2 -2x adalah sebuah parabola dengan persamaan y = x2 -2x Langkah 1:

Buat daftar untuk menentukan titik-titik yang terletak pada fungsi f.

x -2 -1 0 1 2 3 4

y 8 3 0 -1 0 3 8

Langkah 2:

Gambarkan titik-titik (-2, 8), (-1, 3), (0,0), (1, -1), (2, 0), (3, 3) dan (4, 8) pada bidang Cartesius seperti Gambar 5.

Langkah 3:

(14)

Halaman 14 dari 25 Gambar 5. Grafik f(x) = x2 -2x

Berdasarkan grafik fungsi pada Gambar 2-5b, dapat disimpulkan beberapa hal sebagai berikut: merupakan akar-akar persamaan f(x) = 0.

Perhatikan pula bahwa grafik fungsi f memotong sumbu x di A(0,0) dan di B(2,0), sehingga pembuat nol sebuah fungsi dapat ditafsirkan sebagai absis titik potong grafik fungsi dengan sumbu x.

4. Persamaan Sumbu Simetri

Parabola dengan persamaan y = x2 – 2x mempunyai sumbu simetri (sumbu setangkup) yang persamaannya x = 1

(15)

Halaman 15 dari 25

5. Koordinat Titik Puncak atau Titik Balik

Jika nilai x bertambah di dalam daerah asalnya dari -2 samapai dengan 4, maka nilai fungsi berkurang dari 8 menjadi -1 dan sesudah itu nilai fungsi bertambah dari -1 menjadi 8. Jadi, fungsi f(x) = x2 – 2x mengalami perubahan nilai dari turun menjadi naik. Tempat perubahan dari turun menjadi naik itu terjadi pada titik P(1,-1). Dalam hal demikian, titik P(1,-1) dinamakan titik balik atau titik puncak parabola. Pada titik P(1,-1), ordinat y = -1 merupakan nilai terkecil pada kurva, sehingga titik p(1,-1) diberi nama titik balik minimum. Perhatikan pula bahwa sumbu simetri melalui titik P(1,-1).

6. Nilai Maksimum atau Minimum Fungsi

Untuk x = 1 diperoleh f(1) = -1. Nilai f(1) = -1 ini disebut nilai minimum fungsi f, sebab nilai itu adalah nilai fungsi f yang terkecil.

Sketsa Grafik Fungsi Kuadrat Secara Umum

Sketsa grafik fungsi kuadrat secara umum dapat digambar dengan cara menentukan terlebih dahulu:

a. Titik potong dengan sumbu–x dan sumbu-y b. Titik puncak atau titik balik parabola c. Persamaan sumbu simetri

1. Titik Potong dengan Sumbu-x dan sumbu-y a. Titik potong dengan sumbu x

(16)

Halaman 16 dari 25 Nilai diskriminan persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0, yaitu D = b2 – 4ac, menentukan banyak titik potong dengan sumbu x.

Jika b2 – 4ac > 0, maka grafik fungsi f memotong sumbu x di dua titik yang berlainan. Perhatikan Gambar 6. (a) dan Gambar 6. (d).

Jika b2 – 4ac = 0, maka grafik fungsi f memotong sumbu x di dua titik yang berimpit. Dalam hal demikian, grafik fungsi f dikatakan menyinggung sumbu x. Perhatikan Gambar 6. (b) dan Gambar 6. (e).

Jika b2 – 4ac < 0, maka grafik fungsi f tidak memotong maupun menyinggung sumbu x. Perhatikan Gambar 6. (c) dan Gambar 6.(f).

b. Titik potong dengan sumbu y

Titik potong dengan sumbu y diperoleh jika absis x = 0; sehingga y = a(0)2 + b(0) + c = c. Jadi titik potong dengan sumbu y adalah (0,c).

Jika c > 0, maka grafik fungsi f memotong sumbu y di atas titik asal O. Perhatikan Gambar 7. (a) dan Gambar 7. (d).

Jika c = 0, maka grafik fungsi f memotong sumbu y tepat dititik asal O. Perhatikan Gambar 7. (b) dan Gambar 7. (e).

Jika c < 0,maka grafik fungsi f memotong sumbu y di bawah titik asal O. Perhatikan Gambar 7. (c) dan Gambar 7. (f).

(a) (b) (c)

(d) _(e) _(f)

(17)

Halaman 17 dari 25 2. Titik Puncak atau Titik Balik dan Persamaan Sumbu Simetri

Titik puncak atau titik balik sebuah parabola dapat dicari dengan mengubah bentuk kuadrat pada ruas kanan persamaan parabola menjadi bentuk kuadrat sempurna. Dari bentuk kuadrat sempurna itu selanjutnya data pula ditentukan persamaan sumbu simetrinya. Sehingga diperoleh,

a. Parabola y = ax2 +bx + c dengan a, b, c R dan a 0, mempunyai titik puncak atau titik balik

b. Jika a > 0, titik baliknya adalah titik balik minimum dan parabola terbuka ke atas

Jika a < 0, titik baliknya adalah titik balik maksimum dan parabola terbuka ke bawah

c. Persamaan sumbu simetri parabola y = ax2 +bx + c adalah

(a) (b) (c)

(d) _(e) _(f)

0

0 0 0

0 0

x x

x

x x

x

y y

y

y _y _y

(18)

Halaman 18 dari 25

A. Tujuan Pembelajaran

B. Uraian Materi Pembelajaran

Penerapan Konsep Fungsi Kuadrat,

Eksponen, Logaritma dan Trigonometri

Setelah mempelajari modul ini diharapkan dapat menerapkan konsep fungsi

kuadrat, fungsi eksponen, fungsi logaritma dan fungsi trigonometri.

A. Model Matematika

Model matematika adalah uraian secara matematika (seringkali menggunakan fungsi atau persamaan) dari fenomena dunia nyata seperti popuasi, permintaan untuk suatu barang, kecepatan benda jatuh, konsentrasi hasil suatu reaksi kimia, harapan hidup seseorang pada waktu lahir, atau biaya reduksi emisi. Tujuan model adalah memahami suatu fenomena dan mungkin membuat prakiraan tentang prilaku masa depan.

Berikut ini merupakan gambar proses pemodelan.

Kegiatan Belajar 4

Persoalan Dunia Nyata

Prakiraan Dunia Nyata

Model Matematika

Kesimpulan Matematika Rumuskan

Tafsirkan

Uji Pecahkan

(19)

Halaman 19 dari 25 Model matematika tidak pernah merupakan pernyataan akurat secara lengkap dari situasi fisik. Ia merupakan pengidealan. Model yang baik menyederhanakan kenyataan sekedar untuk memungkinkan kalkulasi matematika tetapi cukup akurat untuk memberikan kesimpulan yang berharga. Penting untuk menyadari keterbatasan model. Pada akhirnya, alamlah yang menentukan.

Terdapat banyak jenis fungsi berlainan yang dapat digunakan memodelkan hubungan yang diamati di dunia nyata. Selanjutnya, kita membahas kelakuan dan grafik fungsi-fungsi ini dan memberikan contoh tentang situasi yang sesuai dimodelkan oleh fungsi-fungsi yang demikian.

B. Penerapan Konsep Fungsi Kuadrat

Fungsi kuadrat banyak digunakan dalam perhitungan nilai optimum pada kegiatan pemupukan, pemanenan, biaya produksi, jumlah produksi, dan lain-lain. Berikut contoh soal penerapan konsep fungsi kuadrat.

CONTOH

Pertumbuhan jumlah kalus memenuhi persamaan : Y = - X2 + 6X +16, dimana : Y = Jumlah kalus

X = Dosis ZPT (ppm)

ZPT yang digunakan adalah Cytokinin Ditanyakan :

1) Gambar grafik pemupukan !

2) Berapa produksi maksimal yang dicapai dari luas lahan di atas ?

3) Berapa ppm cytokinin yang diperlukan untuk memproduksi kalus secara maksimal?

(20)

Halaman 20 dari 25 Penyelesaian:

1. Penyelesaian soal di atas kita membuat sketsa grafik fungsi dengan terlebih

dahulu menentkan titik potong sumbu-x dan sumbu-y.

Titik potong dengan sumbu-x,diperoleh jika y = 0

-x

2

+6x+16 = 0

↔ (

-x-2)(x-8)=0

↔ x

1

= -2 atau x

2

= 8

Jadi titik potong dengan sumbu x adalah (-2,0) atau (8,0)

Titik potong dengan sumbu-y, diperoleh jika x = 0

y = -(0)

2

+ 6(0) + 16

= 16

Jadi titik potongnya dengan sumbu y adalah (0,16)

Koordinat titik puncak atau titik balik.

P =

↔ P =

↔ P = (3, 25)

Karena a = -1 (negative) maka P merupakan titik balik maksimum dan

parabola terbuka ke bawah. Persamaan sumbu simetrinya adalah x = 3.

y

x 0

-2 2 4 6 8

5 10 15 20 25

P(3,25)

(21)

Halaman 21 dari 25 Produksi kalus maksimal yang diperoleh sebanyak 25 kalus ( y makimum = 25)

2. Banyaknya ppm cytokinin yang diperlukan untuk memproduksi kalus secara

maksimal adalah 3 ppm

3. Jika dosis cytokinin yang diberikan 5 ppm maka jumlah kalus yang diperoleh

f(5) = -(5)

2

+ 6(5) + 16 = -25+30+16 = 21 kalus

B. Penerapan Konsep Fungsi Eksponen

Fungsi eksponen berbentuk f(x) = ax, dengan bilangan dasar a adalah konstanta positif. Fungsi eksponen dimanfaatan untuk memodelkan banyak fenomena alamiah misalnya pertumbuhan populasi (jika a > 1) dan peluruhan radoaktif (jika a < 1), menentukan jumlah pembiayaan dengan menggunakan bunga bank.

Grafik fungsi eksponensial y = ax dapat dibedakan dalam tiga jenis. Jika 0 < a < 1, fungsi eksponensial tersebut turun; jika a = 1, fungsi tersebut konstan; dan jika a > 1, fungsi tersebut naik. Ketiga kasus ini diperlihatkan dalam Gambar 9. di bawah ini.

Gambar 9. Ketiga Jenis Grafik Fungsi Eksponen y

x 0

(0,1)

(a). Grafik fungsi y = ax , a>1 x

y

0 (0,1)

(a). Grafik fungsi y = ax , 0<a<1

y

x 0

1

(22)

Halaman 22 dari 25

Contoh – contoh penerapan fungsi eksponen.

1. Sebuah koloni bakteri dapat berkembang dengan kecepatan 20% per jam. Artinya dalam setiap jam bakteri itu akan bertambah sebanyak 1,2 kali jumlah semula. Misalkan koloni bakteri itu semula berjumlah 800, maka perkembangan bakteri dapat dilihat pada tabel berikut:

Waktu(jam) 0 1 2 3 t

Jumlah 800 960 1152 1382,4 800(1,2)t

Tampak bahwa harga satu koloni bakteri akan meningkat sesuai dengan fungsi eksponen

J = 800(1,2)t

Berdasarkan fungsi tersebut tentukan jumlah bakteri: a. 5 jam dari sekarang

b. 5 jam yang lalu Pembahasan:

a. J(5) = 800(1,2)5 1990,66

Jadi jumlah bakteri 5 jam yang akan datang sekitar 1991 b. J(-5) = 800(1,2)-5 771,35

Jadi jumlah bakteri 5 jam yang lalu sekitar 771

2. Sejumlah dana yang disimpan di Bank dengan bunga majemuk kontinyu akan tumbuh secara kontinyu sesuai fungsi Pt = P0 . eit, dengan pemisalan Pt = Jumlah

dana setelah t periode P0= Jumlah dana mula-mula i = Tingkat bunga

(pertumbuhan dana). Uang $1000 disimpan di bank dgn bunga 8% per tahun selama 25 tahun, dengan bunga diperhitungkan secara kontinyu. Berapa nilai uang pada akhir tahun ke 25 ?

Jawab :

P

t

= P

0

.e

it

= 1000.e

0,08x25

= 1000 x 7,389056 = $7.389,056 14

(23)

Halaman 23 dari 25

C. Penerapan Konsep Fungsi Logaritma

Jika a > 0 dan a≠1, fungsi eksponensial f(x) = ax_{merupakan fungsi turun atau naik,}

dan karenanya fungsi satu-satu. Jadi ia mempunyai fungsi invers f-1, yang disebut fungsi logaritma dengan bilangan pokok a dan dilambangkan dengan , sehingga diperoleh

Jadi, jika x > 0, merupakan eksponen yang bila diterapkan pada bilangan pokok a akan memberikan x.

Fungsi logaritma loga mempunyai daerah asal (0, ) dan daerah nilai R dan

kontinu karena merupakan invers dari suatu fungsi kontinu yakni fungsi eksponensial. Grafiknya merupakan pencerminan dari grafik y = ax terhadap garis y = x.

Gambar 10. memperlihatkan kasus a > 1. Fakta bahwa y = ax merupakan fungsi yang naik sangat cepat untuk x > 0 tercermin pada fakta bahwa y =

merupakan fungsi yang turun sangat lambat untuk x > 1.

x 0

y=x

Gambar 10. Grafik fungsi y = ax , a>1

y=ax, a>1 _y=log

(24)

Halaman 24 dari 25 Contoh penerapan konsep logaritma dapat dilihat pada soal di bawah ini.

Misalkan sebuah isotop radioaktif meluruh dengan kecepatan 15% per hari. Jika sekarang ada 40 kg, tentukan

a. Banyaknya radiaktif setelah 6 hari

b. Waktu yang diperrlukan agar jumlah radioaktif tinggal 20 kg Pembahasan:

Karena radioaktif itu meluruh maka jumlahnya akan berkurang dari jumlah semula. Setiap hari berkurang sebanyak 15% atau 0,15 kali jumlah sebelumnya. Maka yang tersisa adalah (1– 0,15) = 0,85 kali jumlah pada hari sebelumnya.

Perhatikan tabel berikut ini:

Waktu (hari) 0 1 2 4 t

Jumlah 40 …. ….. ….. 40(0,85)t

Tampak bahwa kecepatan sebuah isotop radioaktif meluruh sesuai dengan fungsi eksponen J = 40(0,85)t

a. Jika t = 6 hari maka J = 40(0,85)6 15,1 Dengan mengubah kedalam bentuk logaritma:

0,5 = (0,85)t t = 0,85log 0,5 t =

Jadi waktu yang diperlukan supaya tinggal 20 kg radioaktif kira-kira 4,265 hari.

D. Penerapan Konsep Fungsi Trigonometri

Grafik fungsi f(x) = sin x merupakan salah satu contoh dari fungsi trignometri dimana sin x bermakna sinus sudut yang ukuran radialnya x. Gambar 10. Berikut merupakan grafik sinus dan kosinus.

(25)

Halaman 25 dari 25 Perhatikan bahwa untuk fungsi sinus dan kosinus keduanya mempunyai daerah asal (- ) dan daerah nilai berupa selang tertutup [-1, 1]. Jadi untuk semua nilai x kita mempunyai

Juga, titik nol fungsi sinus terdapat pada keipatan bulat, yakni sin x = 0 bilamana x = n , n bilangan bulat.

Sifat penting fungsi sinus dan kosinus adalah berupa fungsi periodik dan mempunyai periode 2 . Ini bermakna bahwa untuk semua nilai x, sin(x+2 )= sin x dan cos(x+2 )=cos x. Fungsi periodik fungsi-fungsi ini cocok untuk memodelkan fenomena yang berulang seperti peristiwa pasang, kawat bergetar, gelombang suara, gelombang bunyi, ayunan bandul dan peristiwa-peristiwa yang terkait ilmu fisika.

-1

x y

0 1

-1

Gambar 11. Grafik fungsi f(x) = sin x dan f(x) = cos x x y

0 1