Barisan dan Deret
1. Barisan dan deret aritmetika
Pengertian, rumus suku ke-n dan rumus Jumlah suku pertama
Barisan aritmetika adalah barisan yang setiap dua suku berurutan memiliki selisih yang
konstan. adalah barisan aritmetika dengan suku pertama adalah
dan beda adalah .
Suku ke-n dirumuskan dengan:
Jumlah bilangan pertama dirumuskan dengan:
Suku tengah
Jika menyatakan suku tengah dari suatu barisan aritmetika, maka:
Dengan bilangan ganjil.
Sisipan
Jika setiap dua bilangan berurutan pada barisan aritmetika disisipi buah bilangan namun tetap
membentuk barisan aritmetika, maka beda barisan tersebut akan memiliki perubahan dengan suku
pertama tetap.
Misalkan beda barisan yang baru dan beda barisan yang lama, Berlaku:
barisan yang setiap dua suku berurutan memiliki perbandingan yang konstan. Misalkan
adalah barisan geometri dengan suku pertama dan rasio . Berlaku: Suku ke- dirumuskan dengan:
Jumlah bilangan pertama dirumuskan dengan:
Suku Tengah
Misalkan menyatakan suku tengah dari suatu barisan geometri. Berlaku:
Sisipan
Misalkan setiap dua bilangan berurutan pada barisan geometri disisipi buah bilangan
namun tetap membentuk barisan geometri. Rasio barisan tersebut akan memiliki perubahan
dengan suku pertama tetap.
Rumus tersebut merupakan rumus jumlah dari suatu barisan tak hingga dengan suatu syarat
tertentu.
3. Barisan dan deret lainnya
Suatu barisan tidak harus masuk ke dalam salah satu dari dua bentuk di atas. Sebagai contoh
adalah barisan yang berbentuk yang merupakan penjumlahan dari dua
bilangan sebelumnya. Untuk menyelesaikan persoalan yang ditanyakan memerlukan
pengetahuan terhadap pola dari barisan tersebut.
Prinsip teleskopik banyak digunakan untuk menyederhanakan suatu deret. Ada dua bentuk
umum yang dikenal, yaitu penjumlahan dan perkalian sebagai berikut:
∑
Berikut beberapa penjumlahan yang dapat digunakan untuk menyelesaikan soal deret
menggunakan teleskopik:
( )
( )
Latihan Soal
1. Diketahui barisan . Tentukan suku ke-10 dan jumlah 4 suku pertama.
2. Sebuah barisan jumlah buah suku pertama dirumuskan dengan maka
3. Nilai dari
∑
4. Pada sebuah barisan aritmatika, nilai suku ke-25 tiga kali nilai suku ke-5. Suku yang bernilai
5. Sisi-sisi sebuah segitiga siku-siku membentuk barisan aritmatika. Jika sisi hipotenusa sama
dengan 20, maka keliling segitiga tersebut adalah ...
6. Pada suatu deret aritmatika berlaku . Nilai
7. Hasil penjumlahan semua bilangan bulat di antara √ dan √ adalah ...
8. Pada setiap dua bilangan berurutan dari barisan disisipi sebanyak 4
bilangan. Tentukan suku ke-100 dari barisan yang baru.
9. Diketahui barisan . Tentukan rumus jumlah suku pertama dari barisan
10. Diketahui barisan . Tentukan suku ke-5 dan jumlah 4 suku pertama barisan
tersebut.
11. Pada barisan geometri diketahui dan Nilai
12. Tiga bilangan membentuk deret geometri dengan jumlah 65. Jika suku ke-3 dikurangi 20
terbentuklah deret aritmatika, maka rasio barisan tersebut adalah ...
13. Pada setiap dua bilangan berurutan dari barisan disisipi sebanyak 3
bilangan. Tentukan suku ke-7 dari barisan yang baru.
14. Jumlah suatu deret geometri tak hingga adalah 6 dan jumlah dari suku-suku yang bernomor
15. Hitunglah nilai dari √ √ √ √
16. Hitunglah nilai dari
17. Bilangan bulat positif terkecil sehingga merupakan kuadrat
sempurna adalah ...
18. Jika , dan adalah tiga suku pertama deret geometri tak hingga, maka
jumlah suku-sukunya adalah ...
19. Tiga buah bilangan merupakan barisan aritmatika. Bila suku tengahnya dikurangi 5, maka
terbentuk suatu barisan geometri dengan rasio sama dengan 2. Jumlah barisan aritmatika itu
20. Agar bilangan sedekat mungkin kepada , haruslah
21. Tentukan rumus jumlah suku pertama dari barisan adalah ...
22. Jika jumlah 2015 bilangan bulat positif berurutan adalah sebuah bilangan kuadrat sempurna.
Tentukan nilai minimum dari ke 2015 bilangan tersebut.
23. Bilangan bulat positif terkecil dengan sehingga
√
24. adalah bilangan bulat positif yang memenuhi adalah kuadrat dari
tiga bilangan yang membentuk barisan aritmatika. Tentukan nilai
25. Nilai dari
adalah ...
26. Nilai dari
adalah ...
27. Nilai dari
adalah ...
28. Diketahui
29. Nilai dari
√
√
√
√
adalah ...30. Nilai dari
adalah ...
31. Nilai dari
adalah ...
32. Nilai dari
adalah ...
33. Nilai dari
34. Nilai dari
adalah ...
35. Buktikan
36. Sebuah deret aritmatika terdiri dari suku (ganjil). Jumlah semua sukunya 260, besar suku
tengahnya 20, serta beda deret tersebut adalah 3. Nilai
38. Diketahui
∑
∑
Nilai dari
∑
39. Pada suatu deret aritmetika berlaku Nilai dari
40. Jika untuk dan maka
42. Barisan memenuhi untuk dan mempunyai
jumlah sama dengan 137. Tentukan nilai dari
43. Misalkan adalah suku ke- dari suatu barisan aritmatika. Jika dan maka
tentukan nilai dari suku ke- .
44. Pada suatu deret tak hingga, suku-suku yang bernomor ganjil berjumlah sedangkan suku-suku
yang bernomor genap berjumlah . Suku pertamanya adalah ...
45. Afkar memilih suku-suku barisan geometri tak hingga untuk membuat barisan
geometri tak hingga baru yang jumlahnya . Tiga suku pertama pilihan Afkar adalah ...
46. Tiga buah bilangan merupakan barisan aritmatika. Bila suku tengahnya dikurangi 5, maka
terbentuk suatu barisan geometri dengan rasio sama dengan 2. Jumlah barisan aritmatika itu
adalah ...
47. Tentukan rumus jumlah suku pertama dari barisan 4, 10, 20, 35, 56, ...
48. Tentukan jumlah 100 bilangan asli pertama yang bukan bilangan kuadrat sempurna.
49. Diketahui adalah bilangan bulat yang memenuhi membentuk
barisan aritmetika sedangkan membentuk barisan geometri. Jika maka
50. Barisan bilangan bulat memenuhi untuk . Jumlah 1492
bilangan pertama adalah 1985 dan jumlah 1985 bilangan pertama adalah 1492. Tentukan
jumlah 2001 bilangan pertama.
51. Nilai yang memenuhi persamaan
√ √ √ √ √ √
adalah ...
52. Hitunglah nilai dari
53. Barisan ⋅⋅⋅ terdiri dari semua bilangan asli yang bukan kuadrat atau pangkat
54. Barisan memiliki blok angka 1 yang berisi
buah angka 2 pada blok ke- . Tentukan jumlah 1234 bilangan pertama.
55. Misalkan adalah fungsi yang memenuhi
Jika
maka
56. Tentukan nilai dari
√ √ √ √
57. Barisan memenuhi
Jika terdapat bilangan berurutan sehingga
58. Hitunglah nilai dari
∑
59. Barisan memenuhi dan serta
Nilai dari
60. Tentukan nilai
