LEMBAR KERJA SISWA 1. Judul Materi Pokok

LEMBAR KERJA SISWA

1. Judul (Materi Pokok) : Penggunaan Integral Tentu Untuk Menghitung Volume

Benda Putar

2. Mata Pelajaran : Matematika

3. Kelas / Semester : XII / 1

4. Waktu : 4 x 45 menit

5. Standar Kompetensi : 1. Menggunakan konsep integral dalam pemecahan masalah.

6. Kompetensi Dasar : 1.3. Menggunakan integral untuk menghitung luas daerah di

bawah kurva dan volum benda putar

7. Indikator : 1.3.2. Menghitung volume benda putar mengelilingi

sumbu X.

1.3.3. Menghitung volume benda putar mengelilingi sumbu Y.

.

8. Petunjuk Belajar (bagi peserta didik)

a. Baca buku paket Matematika yang berkaitan dengan luas daerah y ang dibatasi oleh dua

kurva

b. Baca seksama LKS sebelum anda melakukan interaksi dengan program

c. Lakukan menurut langkah-langkah yang telah disajikan.

9. Informasi :

1. Perputaran mengelilingi sumbu X

Perhatikan gambar :

Jika pada waktu itu menentukan luas , bagian kecil yang dibuat berupa persegi panjang kecil, pada volume benda putar ini bagian kecil yang dibuat berupa silinder-silinder kecil.

X

Y

y=f(x)

y = 3x - x

2 x

y = f (x)

Volume silinder = p r2 t = p y2 x

Oleh karena benda pejal dibagi menjadi silinder -silinder kecil maka pada interval x = a

sampai dengan x = b.

V =

b x

a x

2

Äx y ð

Jika diambil x 0 (silinder semakin banyak)

V =

0 ÄxLim

b

a x

2

Äx y ð

Ditulis dalam notasi integral

V = p

b

a 2

dx

y atau V = p

b

a

2

dx } (x) f {

10.Langkah Kerja

Tugas --- 1. Salin dan lengkapilah

Daerah yang diarsir pada gambar diputar 3600 mengelilingi sumbu X. Tentukan volumenya.

Y

X 3 0

y = f (x)

Vol = p

b

a 2

dx

y = p

...

...

dx ... = p

... ... . ...

= p ... (...)

= ... p satuan volume.

Tugas --- 2. Salin dan lengkapilah

... = 0 ...(...) = 0

x = .... atau x = ... inilah batas-batas a dan b

Volume = p

...

... 2

dx

y = p

...

...

2

dx ) ... (...

= p

...

...

dx ...) ... (...

= p

... ... ... ... ...

= p ... (...)

= p (...)

= ... p. satuan volume Penilaian

Penilaian kognitif : tes tertulis

Bentuk instrumen : soal uraian

Instrumen :

Kerjakan soal-soal dibawah ini

1. Tentukan volume benda putar daerah yang diarsir berikut jika diputar 360 o mengelilingi

sumbu X a.

y = 2x

0

_X

Y

2

b.

x +y = 16

0

_X

Y

2 2

c.

y = -x + 1

0

_X

Y

2

d.

y = 8x

0

_X

Y

2

2

2. Hitung volume benda putar yang terjadi jika daerah yang batas -batasnya dibawah ini

diputar 360o mengelilingi sumbu X.

a. y = 3x + 1, sumbu X, x = 1 dan x = 2,

b. y = x2 --- 4 dan sumbu X

c. y = x3 , sumbu X dan x = 2.

2. Perputaran Mengelilingi sumbu Y

Analog dengan cara menentukan volume jika daerah diputar360 o mengelilingi sumbu X,

maka untuk perputaran sekeliling sumbu Y adalah :

X Y

y = f (x) x = g (y) b

a

Y

Volume =

o y

ÄLim

b

a 2

Äy x

ð .

Jika ditulis dalam notasi integral : V = p

b

a 2

dy

x atau V = p

b

a

2

dy } (y) f {

Contoh 1

Daerah diarsir diputar 360o mengelilingi sumbu Y, tentukan volumenya !

y = x2

0

_X

Y

5

Jawab : V = p

5

0 2

dy

x = p

5

0

dy ...

= p

5

0

... 2 1

= p ...

2 1 ... 5 . 2

1 2

= ... p satuan volume Contoh 2.

Daerah diarsir diputar 360o mengelilingi sumbu Y, tentukan volumenya !

y =

0

Y

2

y2 = x, jadi f (y) = y2

Latihan Uji Kompetensi

1. Tentukan volume daerah yang diarsir berikut jika diputar 360o mengelilingi sumbu Y.

a.

2. Hitung volume benda putar daerah yang batas -batasnya ditentukan berikut ini jika

diputar 360o mengelilingi sumbu Y

a. y = x --- 1, sumbu X, sumbu Y dan garis y = 2.

b. y = 2x2, sumbu Y dan garis y =8.

c. y = x2 --- 4, sumbu Y, garis y = 0 dan y = 2

d. y = 9 --- y2, y = ---3 dan y = 3

3. Volume Benda Putar dari Daerah Antara Dua Kurva Yang Diputar Terhadap Sumbu

X

Perhatikan gambar :

y = f(x)

mengelilingi sumbu X.

V = p

Tentukan volume daerah yang diarsir jika diputar 360o mengelilingi sumbu X.

Y

Tentukan volume daerah yang diarsir jika diputar 360o mengelilingi sumbu X.

Y

X 0

y = x

y = x2

Batas integrasi merupakan perpotongan kedua kurva.

Latihan Uji Kompetensi

1. Tentukan volume daerah yang diarsir berikut jk diputar 360o mengelilingi sumbu X.

a.

Y

X 0 y= -x +2

y = x2

2

b.

Y

X 0

x + y = 42 2

c.

Y

X 0

x + y = 252 2

x +y = 162 2

d.

Y

X 0

x + y2 2 4 9 = 1

2. Tentukan volume benda putar daerah yang batas -batasnya seperti berikut jk diputar 360o

mengelilingi sumbu X.

a. y = 2x, y = x + 1 dan sumbu Y

b. y = x2 dan y = 2x

c. y = 2 + x2 dan y = 10 --- x2 d. y = x2 dan y = 4x --- x2

4. Volume Benda Putar Dari Daerah Antara Dua Kurva Yang Diputar Terhadap Sumbu

Y.

Daerah yang dibatasi kurva x1 = f(y) dan x2 = g(y) garis y = a dan garis y = b yang diputar

360o mengelilingi sumbu Y.

Analog den gan mentukan volume benda putar daerah dua kurva yang diputar mengelilingi sumbu X, untuk yang mengelilingi sumbu Y.

Vol = p

b

a

2 2 2

1 x dy

x atau V = p

b

a

2 2

dy g(y) f(y)

Contoh 1

Tentukan volumenya, jika daerah yang diarsir diputar 360o mengelilingi sumbu Y

Y y = 2x

y = x2

X

Penyelesaian

Nyatakan dalam fungsi y untuk kedua fungsi tersebut

y = x2 x2 = y

y = 2x x = y

Batas integrasi potongkan kedua kurva

Latihan uji Kompetensi

1. Hitung volume benda putar yang terjadi jika daerah yang diarsir diputar 360o mengelilingi

sumbu Y.

2. Hitung volume benda putar daerah yang batas-batasnya seperti berikut jika diputar 360o

mengelilingi sumbu Y.

a. y = 2x , y = x + 1 , dan sumbu Y

b. y2 = 4x dan x = 1

c. y2 = x dan y = x2