SUKU BANYAK dan teorema (3)

SUKU BANYAK ( POLINOMIAL )

a. Pengertian sukubanyak:

anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + ...+ a1x + a0 adalah suku banyak dalam x berderajat n, dengan n

bilangan cacah dan an ≠ 0 . Bilangan ak dinamakan koefesien suku yang memuat xk.

Contoh :

7x5 _{– 3x}4 _+2x3 _{– 5x + 6 adalah suku banyak berderajat 5 ( dengan cara melihat pangkat}

tertinggi dari persamaan tersebut ) koefesien x5 _{adalah 7, koefesien x}4 _{adalah – 3.}

b. Nilai Suku banyak

b. Cara Skemetik (koefesien ditulis secara berurutan dari derajat tertinggi )

Contoh :

Tentukan nilai suku banyak berikut : f(x) = 3x4 _{– 2x}3 _{+ 5x}2 _{+ x – 6 untuk x = 2}

2 3 -2 5 1 -6

6 8 26 54 +

3 4 13 27 48

3x3 _{+ 4x}2 _{+ 9x + 23}

3 3 4 -1 +

3 3 4 -1 6 ⇾ S1

2 6 1 44 +

3 9 22 43 ⇾ S2

Sisa p = P1.S2 + S1 = (x-1).43 + 6 = 43x – 37

b. pembagian tidak dapat difaktorkan

tentukan sisa pembagian : (3x3 _{+4x – 8) : (3x}2 _{+x +2)}

Jawab :

Diselesaikan dengan cara identik : f(x) = pembagi x hasil bagi + sisa

Karena pembagi berderajat 2, maka sisa berderajat 1 dan misalkan dengan (px +q) (3x3 _{+ 4x – 8) = (3x}2 _{+ x + 2) H(x) + (px + q)}

a. Pembagian Sukubanyak f(x) oleh ax + b

Jika f(x) dibagi ax + b bersisa S, maka f(x) dapat dinyatakan sebagai: f(x) = (ax + b)H(x) + S

Dengan mengambil x = – b/a , maka kita peroleh: f ( -b/a ) = 0 · H(x) + S

f ( -b/a ) = S

Ini berarti bahwa sisa pembagian sukubanyak f(x) oleh ax + b adalah S = f ( -b/a ) . b. Pembagian Sukubanyak f(x) oleh (ax + b)(cx + d)

Jika f(x) dibagi (ax + b)(cx + d) bersisa S(x) = px + q, maka f(x) dapat dinyatakan sebagai:

f(x) = (ax + b)(cx + d)H(x) + S(x)

Dengan mengambil x = – b/a , maka kita peroleh: f ( -b/a ) = 0 · (cx + d) · H(x) + (px + q)

f ( -b/a ) = px + q ... (1)

Dengan mengambil x = – c/d , maka kita peroleh: f ( -c/d ) = (ax + b) · 0 · H(x) + (px + q)

f ( -c/d ) = px + q... (2)

Ini berarti bahwa sisa pembagian suku banyak f(x) oleh (ax + b)(cx + d) adalah

S(x) = px + q, dengan p dan q merupakan penyelesaian simultan dari persamaan (1) dan (2).

2. Teorema faktor

(x – k) merupakan faktor dari f(x) jika dan hanya jika f(k) = 0 2.1Teorema Faktor untuk Mencari Akar

Jika terdapat sukubanyak f(x) dan f(k) = 0, maka k merupakan akar dari f(x). Sebaliknya, jika k merupakan akar akar dari f(x), maka f(k) = 0.

a. Jika x1, x2, dan x3 akar-akar persamaan ax3 + bx2 + cx + d = 0, maka:

1) x1 + x2 + x3 = - b/a

2) x1 · x2 + x1 · x3 + x2 · x3 =c/a

3) x1 · x2 · x3 = - d/a

b. Jika x1, x2, x3, dan x4 akar-akar persamaan ax4 + bx4 + cx2 + dx + e = 0, maka:

1) x1 + x2 + x3 + x4 = - b/a

2) x1 · x2 + x1 · x3 + x1 · x4 + x2 · x3 + x2 · x4 + x3 · x4 = c/a

3) x1 · x2 · x3 + x1 · x2 · x4 + x1 · x3 · x4 + x2 · x3 · x4 = - d/a