Teori Bilangan

1

BAB 1

TEORI BILANGAN

1. BILANGAN ASLI



1,2,3,



 N  Sifat Aljabar ) n Penghapusa Hk. ( . . ) ' ( ) ( ) identitas unsur -f Distributi ( . 1 1 . ) ' ( ) . . ) .( ) ( ) Komutatif ( . . ) ' ( ) ( ) Asosiatif ( ) . .( ). . ( ) ' ( ) ( ) ( ) ( . , , n m k n k m iv n m k n k m iv n n n iii n k m k n m k iii m n n m ii m n n m ii n m k n m k i n m k n m k i n m k                          N  Sifat Urutan .) Monoton ( , . . maka , Jika ) ( ) Monoton ( , maka , Jika ) ( ) Transitif ( maka , dan Jika ) ( ) Trikotomi ( , , : satu) (tepat berlaku , setiap Untuk ) ( N N N                   k k n k m n m iv k k n k m n m iii n k n m m k ii m n n m n m n m i

 Sifat Terurut Rapi: Setiap subset tak kosong dari N mempunyai unsur terkecil.  Prinsip Induksi Matematika

(i) Prinsip Induksi I





. benar ) ( pernyataan maka benar, juga 1) ( kan mengakibat benar ) ( jika (2) dan benar ) 1 ( Jika (1) . pernyataan himpunan ) ( Misalkan n n P k P k P P n n P   N

(ii) Prinsip Induksi II





. benar ) ( pernyataan maka benar, juga 1) ( kan mengakibat benar ) ( jika (2) dan benar ) 1 ( Jika (1) . pernyataan himpunan ) ( Misalkan n n P k P k m k P P n n P     N  CONTOH N N N N N                                                      n n n r r r a ar ar ar a n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n , 1 2 1 3 1 2 1 1 1 . 6 1 , 1 ) 1 ( . 5 , 1 ) 1 ( 1 4 . 3 1 3 . 2 1 2 . 1 1 . 4 , 6 ) 1 2 )( 1 ( 3 2 1 . 3 , 3 ) 2 )( 1 ( ) 1 ( 4 . 3 3 . 2 2 . 1 . 2 , 2 ) 1 ( 3 2 1 . 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2      

2 1 . 2 ) 2 )( 1 ( ! dan )! ( ! ! 1 2 1 ) ( . 10 ), )( ( . 9 2 dibagi habis ) 5 3 ( ) 5 3 ( 8. bulat bilangan adalah ) 3 2 ( ) 3 2 ( . 7 1 2 2 1 1 2 1 1                                                                                n n n n k n k n C k n b b a n n b a k n b a n b a n a b a N n b ab b a a b a b a N n N n n k n n k k n n n n n n n n n n n n n n n n  Penyajian Bilangan

1. Setiap bilangan asli a dapat ditulis dalam basis 10,

) 10 ( 4 ) 10 ( 2 ) 10 ( 6 ) 10 ( 3 4 20 600 3000 3624 : , 1 , 0 ; 9 0 ), 10 ( ) 10 ( ) 10 ( ) 10 ( 0 1 2 3 0 1 1 0 0 1 1 1 1                     Contoh a a a a n i a a a a a a n n i n n n n   

2. Misalkan b1adalalah basis sistem bilangan.

Untuk setiap bilangan asli a dapat disajikan dalam basis b sebagai

8 0 1 2 0 1 1 0 0 1 1 1 1 335 ) 8 ( 5 ) 8 ( 3 ) 8 ( 3 5 ) 8 ( 3 ) 64 ( 3 221 : ) ( ) , , 1 , 0 ( 1 0 ,                     Contoh a a a a n i b a b a b a a b a a b n n i n n n n   

Jadi, ekivalensi bilangan berbasis 8 (oktal) dari bilangan desimal 221 adalah 335.

2. BILANGAN BULAT



,3,2,1,0,1,2,3,



 Z  Sifat Aljabar ) terhadap ( 0 ) ( . 1 1 . ) ' ( 0 0 ) ( . . ) ' ( ) ) ( ) . .( ). . ( ) ' ( ) ( ) ( ) ( : berlaku . , , setiap Untuk                     a dari invers b b a iv a a a iii a a a iii a b b a ii a b b a ii c b a c b a i c b a c b a i c b a Z

 Terdapat N Z Z dengan sifat

N N, N N, N N Z           b b a iii b a b a ii a a a a i a maka , Jika ) ( maka , Jika ) ( atau 0 , : ) satu tepat ( berlaku ) (  Untuk setiap a,bZ, abbaN  Untuk setiap aN, 0a

3  Sifat Urutan cb ca c b a iii c b c a c b a ii a b b a b a b a i             maka , 0 dan Jika ) ( maka , 0 dan Jika ) ( . , , : satu) (tepat berlaku , ) ( Z 3. KETERBAGIAN  Definisi

Untuk bilangan bulat a dan b di mana a0, a dikatakan membagi b jika terdapat bilangnan bulat lain c sehingga bac. Dengan kata lain, a pembagi dari b atau b kelipatan dari a atau b habis dibagi a dan ditulis sebagai ba .

 SIFAT

1) UntuksetiapaZ, aa (refleksif)

2) Untuksetiapa,b,cZ, ab danbcac (transitif) 3) Untuksetiapa,b,c,x,yZ, ab danaca(xb yc)(linear)

4) Untuksetiapa,b,cZ, ab cacb (perkalian) 5) Untuksetiapa,b,cZ, cacb danc0ab (kanselasi/pencoretan)

6) UntuksetiapaZ, 1a

7) UntuksetiapaZ, a0

8) Untuksetiapa,bZ, ab danbaab (a dan b disebut berasosiasi)  SIFAT

1. Uji Bilangan Habis Dibagi

a. Suatu bilangan habis dibagi 2  digit terakhirnya habis dibagi 2 (yaitu: 0, 2, 4, 6 atau 8).

Contoh: 21570, 149752, 3987484, 2974596, 3974638 habis dibagi 2, sebab digit terakhirnya masing-masing adalah 0, 2, 4, 6, 8.

b. Suatu bilangan habis dibagi 2n _{ n digit terakhirnya habis dibagi 2}n_.

Contoh: 356568 habis dibagi 8 (= 23),sebab 568 habis dibagi 8 (568 : 8 = 71). 4971248 habis dibagi 16 (= 24), sebab 1248 habis dibagi 16 (1248:16=78).

c. Suatu bilangan habis dibagi 3  jumlah dari digit-digitnya habis dibagi 3 . Contoh : 653535 habis dibagi 3, sebab 6+5+3+5+3+5=27 dan 27 habis dibagi 3. d. Suatu bilangan habis dibagi 9  jumlah dari digit-digitnya habis dibagi 9.

4

e. Suatu bilangan habis dibagi 5  digit terakhirnya habis dibagi 5 (yaitu: 0 atau 5). Contoh: 621580, 24649775 habis dibagi 5.

f. Suatu bilangan habis dibagi 5n  n digit terakhirnya habis dibagi 5n.

Contoh: 2457375 habis dibagi 125 (= 53_{),sebab 375 habis dibagi 125 (375:125=3).}

g. (i) N bilangan yang dapat dipartisi ke dalam bilangan-bilangan 3 digit dari kanan (

9 8 7 6 5 4 , ,d d d d d d

 ). Jumlah alternating (d7d8d9 d4d5d6 ) habis dibagi 7  N habis dibagi 7.

Contoh: 1369851 habis dibagi 7, sebab 851-369+1=483 habis dibagi 7 (483:7=69).

(ii) Suatu bilangan habis dibagi 7  Kurangi 2 kali digit terakhir dari digit sisanya habis dibagi 7.

Contoh: 483 habis dibagi 7, sebab 48-(3x2)=42 habis dibagi 7.

(iii) Suatu bilangan habis dibagi 7  Tambah 5 kali digit terakhir ke digit sisanya habis dibagi 7.

Contoh: 483 habis dibagi 7, sebab 48+(3x5)=63=7(9) habis dibagi 7.

h. (i) Suatu bilangan habis dibagi 11  jumlah alternating dari digit-digitnya (selisih antara jumlah digit pada posisi ganjil dan jumlah digit pada posisi genap dari bilangan tersebut) habis dibagi 11.

Contoh: 3718814 habis dibagi 11, sebab (3+1+8+4)-(7+8+1)=16-16=0 habis dibagi 11

(ii) Suatu bilangan habis dibagi 11  Tambah 2 digit terakhir ke digit sisanya habis dibagi 11.

Contoh: 627 habis dibagi 11, sebab 6+27=33 habis dibagi 11.

(iii) Suatu bilangan habis dibagi 11  Kurangkan digit terakhir dari digit sisanya habis dibagi 11.

Contoh: 627 habis dibagi 11, sebab 62-7=55 habis dibagi 11.

2. Jika bilangan N habis dibagi a dan juga habis dibagi b, maka N akan habis dibagi ab dengan syarat a dan b relatif prima. Berlaku sebaliknya.

Contoh : 36 habis dibagi 4 dan 3, maka 36 akan habis dibagi 12.

4. BILANGAN PRIMA  Definisi

Suatu bilangan bulat p1 disebut bilangan prima jika p hanya memiliki pembagi 1 dan p sendiri. Jika bilangan bulat n > 1 bukan prima, maka n disebut bilangan komposit

5   , 9 , 8 , 6 , 4 : , 7 , 5 , 3 , 2 : komposit Bilangan prima Bilangan

TEOREMA:

1) Ada tak hingga banyak bilangan prima. 2) Teorema Faktorisasi Prima.

Sebarang bilangan bulat n > 1 mempunyai penyajian tunggal sebagai perkalian bilangan prima.

3) Misal bilangan asli n memiliki penguraian prima nk

k n n n

p

p

p

p

n

1

.

2

.

3

....

3 2 1



dengan k p p p

p₁, ₂, ₃,...., adalah bilangan-bilangan prima yang berbeda, maka

a) Banyaknya faktor berbeda dari n adalah (n)(n₁1)(n₂ 1)(n₃1)....(n_k 1). b) Banyaknya cara berbeda untuk memfaktorkan n adalah

) 1 )....( 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 2 1 ) ( 2 1 3 2 1     n n n n_k n  .

4) Jika n bilangan komposit, maka n memiliki faktor prima p dengan p n.

5. FPB, KPK DAN ALGORITMA PEMBAGIAN  Definisi

(i) Bilangan c disebut faktor persekutuan bilangan a dan b jika c membagi a dan b. (ii) Bilangan d disebut faktor persekutuan terbesar bilangan a dan b jika

(1) d faktor persekutuan a, b

(2) Untuk setiap faktor persekutuan e dari bilangan a dan b, maka de , Notasi: d ditulis sebagai (a,b) atau FPB(a,b) atau gcd(a,b).

(iii) Dua bilangan bulat a dan b disebut relatif prima atau koprima jika FPB(a,b)=1.

 Definisi

(i) Bilangan k disebut kelipatan persekutuan bilangan a dan b jika k dapat dibagi oleh a dan b.

(ii) Bilangan k disebut kelipatan persekutuan terkecil bilangan a dan b jika (1) k kelipatan persekutuan a, b

(2) Untuk setiap kelipatan persekutuan l dari bilangan a dan b, maka lk , Notasi: k ditulis sebagai KPK(a,b) atau lcm(a,b).

Contoh:

1. FPB(45,75)=15.

2. Bilangan 8 dan 9 adalah relatif prima, sebab FPB(8,9)=1. 3. KPK (12,20)=60.

 SIFAT

6

Misalkan b bilangan positif, maka untuk setiap bilangan bulat a ada tunggal bilangan q dan r sehingga

r qb

a  , 0≤ r< b. Jika ab , maka r=0.

2) Jika a dan b bilangan bulat dan d= FPB(a,b), maka ada bilangan m dan n sehingga nb

ma d  

3) Jika p bilangan prima, a, b bilangan bulat dan abp , maka ap atau bp .

4) Jika ac,bcdanFPB(a,b)1, maka ab . c 5) Pemfaktoran Tunggal

Setiap bilangan bulat a dengan a 1, maka a dapat ditulis sebagai perkalian bilangan prima (Penulisan ini tunggal kecuali urutannya).

 TEOREMA

1. Teorema Bachet Bezout,

Faktor persekutuan terbesar dari sebarang bilangan bulat a dan b, dapat ditulis sebagai kombinasi dari a dan b, yaitu ada bilangan bulat x, y sehingga (a,b)axby. 2. Lemma Euclid

Jika bca dan (a,b)1, maka ca . 3. Jika (a,b)d, maka , 1      d b d a .

4. Misalkan c adalah bilangan bulat positif, maka



ca,cb



c

 

a,b . 5.



2 2



 

2 , ,b ab a  6. Jika k k p p a 1....  1  dan k k p p b 1....  1  , _i,_i 0,_i _i 1, i1, 2,...,k maka ) , min( ) 1 , 1 min( 1 ... ) , ( k k k p p b a FPB      . 7. Jika k k p p a 1....  1  dan k k p p b 1....  1  , _i,_i 0,_i _i 1, i1, 2,...,k maka ) , max( ) , max( 1 ... ) , ( 1 1 k k k p p b a KPK      . 8. Jika a = b q + r, maka FPB(a,b)FPB(b,r)

9. Jika a₁,a₂,a₃,....,a_n bilangan bulat yang tidak semuanya nol, maka



a₁,a₂,a₃,...,a_n1,a_n







a₁,a₂,a₃,...,



a_n1,a_n





.

10. FPB dari dua bilangan asli berurutan adalah 1. FPB(n,n+1) = 1 dengan n bilangan asli.

6. BILANGAN BULAT TERBESAR  Definisi

Jika x bilangan real, maka

_{ }

x menyatakan bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan x.

7 Contoh :

_

7,25

_

7 dan



3,74



4 .

 Nilai

 

x x jika dan hanya jika x bilangan bulat.

 Tanda

 

dapat digunakan untuk menentukan nilai k bulat terbesar sehingga ak membagi n! dengan a merupakan bilangan prima dan “!” menyatakan faktorial.

Nilai k terbesar =                3 2 a n a n a n

Contoh: Nilai k terbesar sehingga 3k membagi 28! Adalah

9 3 1 13 3 28 3 28 3 28 3 2                   k .

 Untuk setiap bilangan real x, y berlaku

    

x  y  x y



.

 Untuk setiap bilangan bulat positif n, k (k>1) berlaku _ __  __ _ k n k n k n 1 2 _.

 Untuk setiap bilangan rteal x dan bilangan asli n berlaku

 

 

nx n n x n x n x x                      1 2  1 .

 Jika p, q dua bilangan bulat yang relatif prima, maka

2 ) 1 )( 1 ( ) 1 ( 3 2                                 p q q p q q p q p q p  . 7. RELASI KONGRUENSI  Definisi

Misalkan m > 0. Jika a dan b adalah bilangan bulat sehingga a-b dapat dibagi m, maka a dan b dikatakan kongruen modulo m dan ditulis

) (mod m b

a

Dengan kata lain, a-b=km untuk k bilangan bulat.  Definisi

Misalkan m > 0. Bilangan bulat a dikatakan invers dari bilangan bulat b jika ) (mod 1 m ab Contoh: (1) 311(mod6), sebab 31-1=30=6(5) (2) 1002(mod7), sebab 100-2=98=7(14).

(3) 2 adalah invers dari 6 modulo 11, sebab 2.6121.1112.61(mod11)  Sifat

 Misal a,b,c,d,mZ, m > 0 , kΖ dengan  ab(mod m) dan cd (mod m). Maka: 1) acbd(mod m)

8 2) acbd(mod m) 3) a.cb.d (modm) 4) ak bk (mod m) 5) ) ) , ( (mod e m FPB m e b e

a _{ , e adalah bilangan bulat positif yang membagi a dan b.} 6) Jika f polinomial dengan koefisien bilangan bulat maka f(a) f(b) (modm)  Jika ab(mod m), maka untuk setiap bilangan p berlaku:

1) a pb p(mod m) 2) ap b p(mod m) 3) apbp(mod m)

 Jika a, b, c, dan m bilangan yang memenuhi cacb(mod m) dan FPB(c,m)=1, maka ab(mod m).

 Jika a, b, n, m adalah bilangan bulat dan m > 0, maka (anb)m bm (mod n).

8. TEOREMA FERMAT, WILSON’S, & EULER 1. Teorema Kecil Fermat

Jika p adalah bilangan prima dan FPB(p,a)1, maka ap11(mod p) [atau ) (mod 0 1 1 p ap   ]. 2. Akibat

Jika p bilangan prima, maka untuk setiap bilangan bulat a berlaku ap a(mod p)[atau ) (mod 0 p a ap   ]. 3. Lemma

Jika a2 1



mod p



, maka berlaku tepat satu a1(mod p) atau a1



mod p



. 4. Teorema Wilson

Jika p bilangan prima, maka (p1)!10(modp)[atau (p1)!1(modp)]. 5. Kebalikan Teorema Wilson

Jika (p1)!10(modp), maka p adalah bilangan prima. 6. Fungsi Euler Jika k k p p p n  . 2....  2 1 1

 adalah faktorisasi prima dari n > 1, maka                       k p p p n n) 1 1 1 1 ...1 1 ( 2 1  . 7. Teorema Euler

9

8. Persamaan kuadrat x2 10(mod p)dengan p bilangan prima ganjil mempunyai jawab jika dan hanya jika p1(modp)

9. PERSAMAAN DIOPHANTINE

 Definisi

Persamaan Diophantine adalah persamaan yang solusinya harus dicari di himpunan bilangan bulat.

Koefisien dari persamaan juga hanya melibatkan bilangan bulat. Contoh: 56x72y 40.

 Jika persamaan Diophantine mempunyai solusi banyak tak hingga, maka bentuk parametrik digunakan untuk menyatakan relasi antara variabel-variabel persamaan. Contoh: Solusi dari 56x72y 40 adalah x209tdan y157t,t bilangan bulat. 10. SOAL LATIHAN

1. Diantara bilangan-bilangan 2006, 2007 dan 2008, bilangan yang memiliki faktor prima berbeda terbanyak adalah …….

2. Ada berapa banyak diantara bilangan-bilangan 20000002, 20011002, 20022002, 20033002 yang habis dibagi 9 ?

3. Bilangan 2004 memiliki faktor positif selain 1 dan 2004 sendiri sebanyak...

4. Jumlah empat bilangan asli berurutan senantiasa habis dibagi p. Maka nilai p terbesar adalah …

5. Misalkan H adalah himpunan semua faktor positif dari 2007. Banyaknya himpunan bagian dari H yang tidak kosong adalah....

6. Bilangan 2,525252... adalah bilangan rasional, sehingga dapat ditulis dalam bentuk m_n ,

di mana m, n bilangan-bilangan bulat,n0 .Jika dipilih m dan n relatif prima, berapakah m+n ?

7. Berapakah bilangan bulat positif k terkecil sehingga 20032003…2003 (dengan k kali 2003) habis dibagi 9?

8. Misalkan N adalah bilangan bulat terkecil yang bersisa 2 jika dibagi 5, sisa 3 jika dibagi 7, sisa 4 jika dibagi 9. Tentukan jumlah digit N.

9. Jika a679b adalah bilangan 5 angka yang habis dibagi 72, tentukan nilai a dan b.

10.Diketahui FPB(a, 2008)=251. Jika a>2008 maka nilai terkecil yang mungkin bagi a adalah... 11.Nilai dari



2009_

1 ( ,7)

k FPBk adalah ...

12.Jika 999999999

10 dibagi 7, maka sisanya adalah.... 13.Carilah sisa hasil bagi jika 1987

6 dibagi 37?

10

15. Untuk setiap bilangan real , kita definisikan _{ } sebagai bilangan bulat yang kurang dari atau sama dengan . Jika x dan y bilangan real sehingga

 

x 9 dan

 

y 12, maka nilai

terkecil yang mungkin dicapai oleh yx adalah?

16. Untuk sebarang bilangan real a, notasi

_{ }

a menyatakan bilangan bulat terbesar yang lebih kecil dari atau sama dengan a. Jika x bilangan real yang memenuhi



x 3





_{ }

x 

 

3 , maka x

_{ }

x tidak akan lebih besar dari …..

17.Suatu bilangan terdiri dari 2 angka. Bilangan tersebut sama dengan 4 kali jumlah kedua angka tersebut. Jika angka kedua dikurangi angka pertama sama dengan 2. Tentukan bilangan tersebut.

18.Suatu bilangan terdiri dari 3 angka. Bilangan tersebut sama dengan 12 kali jumlah ketiga angkanya. Tentukan bilangan tersebut.

19.Diketahui bahwa 5k n2 2005 untuk k dan n bulat serta n2 adalah bilangan yang terdiri dari

tiga digit dengan ketiga digitnya semuanya berbeda. Tentukan semua nilai n2 yang mungkin. 20.Tentukan A dan B jika

BA B AB 

11

10. SOAL DAN PEMBAHASAN

1. Diantara bilangan-bilangan 2006, 2007 dan 2008, bilangan yang memiliki faktor prima berbeda terbanyak adalah …….

(OSP, 2007)

Jawab:

2006=2.17.59  Banyaknya faktor prima berbeda dari 2006 adalah 3. 2007=32.27  Banyaknya faktor prima berbeda dari 2007 adalah 2. 2008=23_{.251  Banyaknya faktor prima berbeda dari 2008 adalah 2.}

Jadi, bilangan yang memiliki faktor prima berbeda terbanyak adalah 2006.

2. Ada berapa banyak diantara bilangan-bilangan 20000002, 20011002, 20022002, 20033002 yang habis dibagi 9 ?

Jawab :

Penjumlahan digit 20000002 = 2 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 2 = 4 (tidak habis dibagi 9) Penjumlahan digit 20011002 = 2 + 0 + 0 + 1 + 1 + 0 + 0 + 2 = 6 (tidak habis dibagi 9) Penjumlahan digit 20022002 = 2 + 0 + 0 + 2 + 2 + 0 + 0 + 2 = 8 (tidak habis dibagi 9) Penjumlahan digit 20033002 = 2 + 0 + 0 + 3 + 3 + 0 + 0 + 2 = 10 (tidak habis dibagi 9)

Karena semua penjumlahan digit tidak ada yang habis dibagi 9 maka tidak ada bilangan-bilangan tersebut yang habis dibagi 9.

3. Bilangan 2004 memiliki faktor positif selain 1 dan 2004 sendiri sebanyak... (OSK, 2004) Jawab: prima) bilangan 167 dan 3 , 2 ( 167 . 3 . 2 501 . 4 2004   2

Banyaknya faktor positif dari 2004 (termasuk 1 dan 2004) adalah (2+1)(1+1)(1+1)=12. adi, faktor positif selain 1 dan 2004 sendiri sebanyak (12-2)=10.

4. Jumlah empat bilangan asli berurutan senantiasa habis dibagi p. Maka nilai p terbesar adalah …

(OSK, 2008) Jawab:

Jumlah empat bilangan asli berturutan senantiasa dapat dinyatakan dengan ) 1 2 ( 2 2 4 ) 2 ( ) 1 ( ) 1 (n n n  n  n  n , n>2.

12

Andaikan p>2, maka p harus membagi 2n+1. Hal ini tidak mungkin karena nilai p tetap sedangkan nilai n berubah-ubah. Jadi, nilai p terbesar adalah 2.

5. Misalkan H adalah himpunan semua faktor positif dari 2007. Banyaknya himpunan bagian dari H yang tidak kosong adalah....

(OSK, 2007)

Jawab:

2007=9.223=32_.223

Banyak faktor positif=(2+1)(1+1)=6.

Maka H 6 dan banyak himpunan bagian dari H yang tidak kosong=26-1=63.

6. Bilangan 2,525252... adalah bilangan rasional, sehingga dapat ditulis dalam bentuk m_n ,

dimana m, n bilangan-bilangan bulat, n0 .

Jika dipilih m dan n relatif prima, berapakah

m



n

? (OSP, 2002) Jawab: Misalkan x2,525252...._{. Maka} 100x252,5252.... 99 250 250 99 ... 525252 , 2 .... 5252 , 252 100        x x x x

Karena 250 dan 99 relatif prima, maka m=250 dan n=99. Jadi, m+n=349.

7. Berapakah bilangan bulat positif k terkecil sehingga 20032003…2003 (dengan k kali 2003) habis dibagi 9? (OSP, 2003) Jawab: Misalkan



 



 



k

a



20032003

...

2003

_.

Agar a dapat dibagi 9, maka jumlah digit-digitnya harus habis dibagi 9. Jumlah digit a adalah k(2+0+0+3)=5k.

Jadi, bilangan bulat positif k terkecil sehingga 20032003…2003 (dengan k kali 2003) habis dibagi 9 adalah k=9.

8. Misalkan N adalah bilangan bulat terkecil yang bersisa 2 jika dibagi 5, sisa 3 jika dibagi 7, sisa 4 jika dibagi 9. Tentukan jumlah digit N.

A. 4 B. 8 C. 13 D. 22 E. 40

(OSK, 2003)

13

}

,

24

,

17

,

10

,

3

,

4

,

11

,

{

,

3

7

}

,

22

,

17

,

12

,

7

,

2

,

3

,

8

,

{

,

2

5





































N

m

m

N

N

k

k

N

Z

Z

Bilangan persekutuan terkecil adalah 17. Maka bilangan bulat terkecil yang bersisa 2 jika dibagi 5 dan sisa 3 jika dibagi 7 berbentuk

N



(

5

.

7

)

n



17

,

n



Z



N



{



,



18

,

17

,

52

,

87

,

122

,

157

,

192

,



}

. (*)

}

,

166

,

157

,

148

,

,

49

,

40

,

31

,

22

,

13

,

4

,

5

,

{

,

4

9



















n

n

N

N

Z

(**)

Dari (*) dan (**), bilangan persekutuan terkecil adalah 157. Maka bilangan bulat terkecil yang bersisa 2 jika dibagi 5, sisa 3 jika dibagi 7 dan sisa 4 jika dibagi 9 berbentuk

Z











t

t

t

N

(

3

.

5

.

7

)

157

135

157

,

.

Nmin terjadi jika t=0, yaitu Nmin=157. Jadi, jumlah digit N adalah 1+5+7=13.

9. Jika a679b adalah bilangan 5 angka yang habis dibagi 72, tentukan nilai a dan b. Jawab:

72 = 9 ⋅ 8. Karena 9 dan 8 relatif prima maka a679b harus habis dibagi 8 dan 9. Karena a679b habis dibagi 8 maka 79b habis dibagi 8. Agar 790 + b habis dibagi 8 maka b = 2.

Karena a6792 habis dibagi 9 maka a + 6 + 7 + 9 + 2 habis dibagi 9. Nilai a yang memenuhi hanya 3.

Jadi bilangan tersebut adalah 36792.

10. Diketahui FPB(a, 2008)=251. Jika a>2008 maka nilai terkecil yang mungkin bagi a adalah... (OSK, 2008) 11. Nilai dari



2009_ 1 ( ,7) k FPBk adalah ... (OSK, 2009) Jawab:

FPB(a,7) = 1 bila a bukan kelipatan 7 FPB(b,7) = 7 bila b kelipatan 7

Jumlah bilangan kelipatan 7 antara 1 sampai 2009 ada 287, jumlah bilangan bukan kelipatan 7 antara 1 sampai 2009 ada 1722.

Maka

FPB(1,7) + FPB(2,7) + .. + FPB(2009,7) = 287 . 7 + 1722 . 1 = 2009 + 1722 = 3731.

12. Jika 999999999

10 dibagi 7, maka sisanya adalah.... (OSK, 2009)

Jawab:

Karena 7 membagi 1001, maka 103 1(mod7). 10999...9 (1)333...3 (mod7)1(mod7)6(mod7)

14 Jadi, sisanya 6.

13. Carilah sisa hasil bagi jika 1987

6 dibagi 37

Jawab:

Akan dicari b sedemikian hingga 61987 b(mod 37). Karena 62 1



mod37



dan 61987 6.(62)993 maka

 

6 6.( 1)



mod37



6(mod37) 31



mod37



. 6

61987  2 993   993  

Jadi, b = 31.

14. Buktikan bahwa 7, 13 dan 181 adalah faktor dari 3105 + 4105. Jawab :

Karena 105 ganjil maka 3105 + 4105 habis dibagi 3 + 4 = 7. 3105 + 4105 = (33)35 + (43)35 = 2735 + 6435

Karena 35 ganjil maka 3105 + 4105 habis dibagi 27 + 64 = 91. Karena 91 = 7 ⋅ 13 maka 3105 + 4105 habis dibagi 13.

3105 + 4105 = (35)21 + (45)21 = 24321 + 102421

Karena 21 ganjil maka 3105 + 4105 habis dibagi 243 + 1024 = 1267. Karena 1267 = 7 ⋅ 181 maka 3105 + 4105 habis dibagi 181.

15. Untuk setiap bilangan real , kita definisikan _{ } sebagai bilangan bulat yang kurang dari atau sama dengan . Sebagai contoh  4,9 4 dan  7 7. Jika x dan y bilangan real sehingga

 

x 9 dan

 

y 12, maka nilai terkecil yang mungkin dicapai oleh yx adalah?

(OSK, 2003)

16. Untuk sebarang bilangan real a, notasi

_{ }

a menyatakan bilangan bulat terbesar yang lebih kecil dari atau sama dengan a. Jika x bilangan real yang memenuhi



x 3





_{ }

x 

 

3 , maka x

_{ }

x tidak akan lebih besar dari …..

(OSP, 2005)

Jawab:

17. Suatu bilangan terdiri dari 2 angka. Bilangan tersebut sama dengan 4 kali jumlah kedua angka tersebut. Jika angka kedua dikurangi angka pertama sama dengan 2. Tentukan bilangan tersebut.

15

Jawab:

Misalkan bilangan tersebut adalah ab, maka 10a + b=4 (a+b) 2a=b b-a=2  2a-a=2  a=2 dan b=4.

Jadi bilangan tersebut adalah 24.

18. Suatu bilangan terdiri dari 3 angka. Bilangan tersebut sama dengan 12 kali jumlah ketiga angkanya. Tentukan bilangan tersebut.

Jawab:

Misal bilangan tersebut adalah abc dengan 1 ≤ a ≤ 9 ; 0 ≤ b ≤ 9 ; 0 ≤ c ≤ 9, maka : 100a + 10b + c = 12 ( a + b + c)

88a = 2b + 11c  2b = 11 (8a − c) ⋅⋅⋅⋅⋅⋅ (1)

Karena a, b dan c bilangan bulat, maka b kelipatan 11 atau b = 11k dan (8a − c) = 2k. Karena 0 ≤ b ≤ 9, maka nilai k yang memenuhi adalah k = 0  b = 0 dan c = 8a

Karena 0 ≤ c ≤ 9, maka a = 0 (tidak memenuhi) atau a = 1 (memenuhi)  c = 8 ⋅ 1 = 8. ∴ Bilangan tersebut adalah : 108.

19. Diketahui bahwa 5k = n2 + 2005 untuk k dan n bulat serta n2 adalah bilangan yang terdiri dari tiga digit dengan ketiga digitnya semuanya berbeda. Tentukan semua nilai n2 yang mungkin.

Jawab:

Karena 5k dan dan 2005 habis dibagi 5 maka n2 habis dibagi 5 yang berakibat n habis dibagi 5. n tidak akan habis dibagi 10 sebab akan membuat dua angka terakhirnya 00.

n2 < 1000  n < 34. Nilai n yang mungkin adalah 15 atau 25.

Karena 152 = 225 yang membuat terdapat dua digit yang sama maka n2 = 252 = 625 sebagai satu-satunya nilai n2 yang memenuhi.

20. Tentukan A dan B jika : AB + B = BA

Jawab:

(10A + B) + (B) = (10B + A) dengan 1 ≤ A ≤ 9 ; 1 ≤ B ≤ 9 ; A dan B bilangan bulat. 9A = 8B  A = 8t dan B = 9t dengan t adalah bilangan bulat.

1 ≤ 8t ≤ 9  Nilai t yang memenuhi hanya t = 1. ∴ A = 8 dan B = 9

21. Misalkan M danm berturut-turut menyatakan bilangan terbesar dan bilangan terkecil di antara semua bilangan 4-angka yang jumlah keempat angkanya adalah 9. Berapakah faktor prima terbesar dari M -m?

(OSP, 2002)

16

Misalkan bilangan yang ditanyakan adalah abcd dengan a+b+c+d=9.  Agar bilangan abcd sebesar-besarnya, haruslah a=9

Karena a+b+c+d=9, maka b=c=d=0.  M 9000.

 Agar bilangan abcd sekecil-kecilnya dan a0 , haruslah sekecil mungkin, yaitu a=1. Demikian juga b dan c, yakni b=c=0.

Karena a+b+c+d=9, maka d=8. 

m



1008

.

 Maka

M



m



9000



1008



7992



8

(

999

)



8

(

27

)

(

37

)



2

3

.

3

3

.

37

.  Jadi, faktor prima terbesar dari M -m adalah 37.

22. Misalkan a, b, c, d, e, f, g, h, i adalah bilangan-bilangan asli berbeda yang kurang atau sama dengan 9. Jika jumlah tiga bilangan dalam setiap lingkaran nilainya sama, tentukan nilai a+d+g.

(OSK, 2003)

Jawab:

Karena a, b, c, d, e, f, g, h, i adalah bilangan-bilangan asli berbeda dengan 1≤ a, b, c, d, e, f, g, h, i ≤9, maka

a



b



c



 i





1



2



3







9



45

. Misalkan n adalah jumlah tiga bilangan dalam setiap lingkaran.

Maka

.

15

9

135

9

)

45

(

2

45

9

)

(

2

)

9

3

2

1

(

9

)

9

(

)

3

(

)

2

(

)

1

(























































n

n

n

i

c

b

a

n

h

i

b

c

a

b

i

a







Perhatikan (**) ) 1 , 5 ( ), 2 , 4 ( ), 4 , 2 ( ), 5 , 1 ( : ) , ( 6 15 9 (*) ) 5 , 9 ( ), 6 , 8 ( ), 8 , 6 ( ), 9 , 5 ( : ) , ( 14 15 1 i h i h i h i a i a i a              

17 , 6 7 15 15 7 ; 3 4 15 15 4 2 6 15 15 6 ; 8 3 15 15 3 ; 7 5 15 15 5 ; 4 2 15 15 2                                                 f g g f c d d c e f f e b c c b d e e d a b b a Jadi, adg93618.

23. Tentukan sisa pembagian jika dibagi 73.

Jawab:

73 adalah bilangan prima, maka dari Fermat's Little Theorem kita tahu bahwa . Maka, kita kelompokkan berdasarkan modulo 73.

. Selanjutnya, kita gunakan cara biasa.

_________ _________ _________

_________ .

Jadi, sisa pembagiannya adalah 32.

24. Tentukan dua angka terakhir dari ₃1234

Jawab:

Dua angka terakhir 1234 

3 sisa pembagian 31234 oleh 100. 31234 35x 2064 (mod100)



 

35 206.34



mod100



CONTOH:

1. Untuk menentukan FPB dari tiga bilangan bulat 105, 140, dan 350, kita gunakan sifat 8) untuk melihat bahwa:



105,140,350







105,



140,350



 

 105,70



35.

2. Tentukan FPB(252, 198) dengan menggunakan algoritma pembagian.

JAWAB 54 198 . 1 252  36 54 . 3 198  18 36 . 1 54  18 . 2 36 Jadi FPB(252,198)=18

18

3. Misalkan (a,b) = 1, maka buktikan



ab, a2abb2



1 atau3.

JAWAB Misal



2 2



, a ab b b a d     . Sekarang d membagi (ab)2a2abb2 3ab.

Olehkarena itu d membagi 3b(ab)3ab3b2. Dengan cara yang sama d3a2, maka



3a2,3b2

 

3 a2,b2



3

 

a,b 2 3

d . Jadi, d = 1 atau 3. (Terbukti)

4. Barisan bilangan 101, 104, 109, 116, .... adalah barisan yang berbentuk 2

100 n a_n   , .... , 5 , 4 , 3 , 2 , 1 

n untuk masing-masing n misal dn 



an,an1



. Tentukan nilai n n d 1 max  . JAWAB Karena d_n 



100n2,100(n1)2

 

 100n2,100n22n1

 

 100n2,2n1



. Jadi



n n n



n

d_n 2(100 2) (2 1) 200 . Jadi, d_n



2(200n)(2n1)



401. Ini berarti d_n401 untuk semua n. Apakah ini yang paling maksimum? Jawabnya ya... Misal untuk n = 200, maka a₂₀₀ 1002002 100(401) dan a₂₀₁ 1002012 101(401). Jadi 401

1 

 n

n

d Max 6. Tentukan angka satuan bilangan 1991

1997 Jawab:

Angka satuan 1991

1997  sisa pembagian 19971991 oleh 10. (199 x 10 7)1991(mod10) 71991(mod10) 74x4973(mod10) 

 

74 497.73 (mod10) (2421)497 .343(mod10) 1.3(mod10)3(mod10) Jadi angka satuan ₁₉₉₇1991 _{adalah 3.}