Berbagai Macam Bilangan
Dalam matematika kita mengenal adanya berbagai macam jenis bilangan. Ada beberapa macam himpunan bilangan yang dikenal seperti bilangan bulat (integer), bilangan riil (real / floating point number), bilangan imajiner (imaginary) dll . Kita akan membahas macam bilangan tersebut satu-persatu.
Bilangan asli
Dalam matematika, terdapat dua kesepakatan mengenai himpunan bilangan asli. Yang pertama definisi menurut matematikawan tradisional, yaitu himpunan bilangan bulat positif yang bukan nol {1, 2, 3, 4, …}. Sedangkan yang kedua definisi oleh logikawan dan ilmuwan komputer, adalah himpunan nol dan bilangan bulat positif {0, 1, 2, 3, …}. Bilangan asli merupakan salah satu konsep matematika yg paling sederhana dan termasuk konsep pertama yang bisa dipelajari dan dimengerti oleh manusia, bahkan beberapa penelitian menunjukkan beberapa jenis kera besar (Inggris: apes) juga bisa menangkapnya.
Wajar apabila bilangan asli adalah jenis pertama dari bilangan yang digunakan untuk membilang, menghitung, dsb. Sifat yang lebih dalam tentang bilangan asli, termasuk kaitannya dengan bilangan prima, dipelajari dalam teori bilangan. Untuk matematika lanjut, bilangan asli dapat dipakai untuk mengurutkan dan mendefinisikan sifat hitungan suatu himpunan.
Setiap bilangan, misalnya bilangan 1, adalah konsep abstrak yg tak bisa tertangkap oleh indera manusia, tetapi bersifat universal. Salah satu cara memperkenalkan konsep himpunan semua bilangan asli sebagai sebuah struktur abstrak adalah melalui aksioma Peano (sebagai ilustrasi, lihat aritmetika Peano).
Konsep bilangan-bilangan yg lebih umum dan lebih luas memerlukan pembahasan lebih jauh, bahkan kadang-kadang memerlukan kedalaman logika untuk bisa memahami dan mendefinisikannya. Misalnya dalam teori matematika, himpunan semua bilangan rasional bisa dibangun secara bertahap, diawali dari himpunan bilangan-bilangan asli.
Himpunan bilangan asli diberi lambang N (berasal dari kata Natural dalam bahasa Inggris yang berarti “alami”), jadi
N = {1, 2, 3, 4, …………}
Bilangan bulat
Bilangan bulat terdiri dari bilangan asli ( 1, 2, 3, …), bentuk negatifnya (-1, -2, -3, …) dan bilangan nol. Bilangan bulat dapat dituliskan tanpa komponen desimal atau pecahan. Jika ditinjau dari segi nama, bilangan bulat pasti sesuatu yang bulat. Maksudnya bilangan ini adalah bilangan utuh.
Himpunan semua bilangan bulat dalam matematika dilambangkan dengan Z, berasal dari Zahlen (bahasa Jerman untuk “bilangan”).
Sifat-sifat
Himpunan Z tertutup di bawah operasi penambahan dan perkalian. Artinya, jumlah dan hasil kali dua bilangan bulat juga bilangan bulat. Namun berbeda dengan bilangan asli, Z juga tertutup di bawah operasi pengurangan. Hasil pembagian dua bilangan bulat belum tentu bilangan bulat pula, karena itu Z tidak tertutup di bawah pembagian.
Contoh:
2 x 3 akan menghasilkan 6 dimana 2 adalah bilangan bulat, 3 adalah bilangan bulat dan 6 adalah bilangan bulat.
2 – 3 akan menghasilkan -1 dengan -1 adalah bilangan bulat negatif 2 + 3 akan menghasilkan 5 dengan 5 adalah bilangan bulat positif
sedangkan 2 / 3 akan menghasilkan 0,67 dimana 0,67 (pembulatan) adalah bilangan riil / bilangan asli.
Bisa juga bilangan bulat dibagi bilangan bulat menghasilkan bilangan bulat. Sebagai contoh:
4 / 2 akan menghasilkan 2 dengan 2 adalah bilangan bulat.
Bilangan bulat sebagai tipe data dalam bahasa pemrograman
Bilangan bulat (integer) merupakan salah satu tipe data dasar dalam berbagai bahasa pemrograman. Contohnya dalam bahasa Pascal terdapat tipe data bernama integer. Dalam alokasi memori, integer memerlukan 2 byte (16 bit) data di memori yang artinya dapat menampung nilai hingga 2^16. Namun karena integer didefinisikan sebagai type data signed tipe data integer hanya mampu di-assign nilai antara -32768 sampai 32767. Apa itu signed?
Signed maksudnya bilangan tersebut memiliki tanda. Sebagaimana tanda – atau + di depan bilangan yang menunjukkan nilai negatif atau positif. Lalu kenapa hanya bisa menampung nilai antara -32768 hingga 32768 saja? Hal ini disebabkan karena 1 bit digunakan sebagai penanda positif/negatif. Meskipun memiliki istilah yang sama, tetapi tipe data integer pada bahasa pemrograman Visual Basic .NET, Delphi, dan Bahasa D memiliki ukuran 4 byte atau 32 bit signed sehingga dapat di-assign nilai antara -2,147,483,648 hingga 2,147,483,647.
Bilangan Cacah
Bilangan cacah sebenarnya merupakan anggota himpunan bilangan bulat. Bilangan cacah merupakan bilangan bulat dengan nilai tak negatif. Sehingga anggota bilangan cacah adalah {0,1,2,3,4,…} . Kenapa dinamakan sebagai bilangan cacah? Karena fungsi bilangan ini untuk mencacah atau menghitung banyaknya jumlah benda.
Bilangan rasional
Dalam matematika, bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan sebagai bentuk a / b , di mana a dan b adalah bilangan bulat dan b tidak sama dengan 0. Bilangan Rasional diberi lambang : Q (berasal dari bahasa Inggris “quotient”).
Sebuah bilangan asli dapat dinyatakan dalam bentuk bilangan rasional. Sebagai contoh bilangan asli 6 dapat dinyatakan sebagai: 12 / 2 atau 30 / 15 dan sebagainya.
Bilangan irrasional
Bilangan irrasional adalah bilangan yang bukan rasional. Maksudnya adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan sebagai bentuk a / b di mana a dan b adalah bilangan bulat dan b ≠ 0.
Contoh:
p = 3,141592653358…….. (desimalnya tidak beraturan/tidak berulang) e = 2,71828281284590……. (desimalnya tidak beraturan/tidak berulang) akar 2 = 1,4142135623…….. (desimalnya tidak beraturan/tidak berulang Bilangan riil
Dalam matematika, bilangan riil atau bilangan real menyatakan angka yang bisa dituliskan dalam bentuk desimal, seperti 2,4871773339… atau 3.25678. Dalam notasi penulisan bahasa Indonesia, bilangan desimal adalah bilangan yang memiliki angka di belakang koma “,”
sedangkan menurut notasi ilmiah / scientific notation bilangan desimal adalah bilangan yang memiliki angka di belakang tanda titik “.”. Okelah kita nggak usah meributkan perbedaan itu.
Yang penting kita tahu dan mengerti maksud dari bilangan riil. Bilangan real merupakan gabungan bilangan rasional, seperti 42 dan −23/129, dan bilangan irasional, seperti π dan akar2, dan dapat direpresentasikan sebagai salah satu titik dalam garis bilangan. Definisi popular dari bilangan real meliputi klas ekivalen dari deret Cauchy rasional, irisan Dedekind, dan deret Archimides.
Himpunan semua bilangan riil dalam matematika dilambangkan dengan R (pasti udah bisa nebak, simbol R berasal dari kata “Real”).
Sifat-sifat
Himpunan R tertutup untuk semua operasi. Artinya bilangan riil yang dioperasikan akan menghasilkan bilangan riil juga
Contoh:
2,5 x 3,7 akan menghasilkan 9,25 dimana 2,5 adalah bilangan riil, 3.7 adalah bilangan riil dan 9,25 adalah bilangan riil.
2,5 – 3,7 akan menghasilkan -1,2 dengan -1,2 adalah bilangan riil negatif (dalam kasus 2,5 – 3,5 dihasilkan nilai -1,0)
2,5 + 3,7 akan menghasilkan 6,2 dengan 6,2 adalah bilangan riil positif
2,5 / 3,7 akan menghasilkan 0,675 dimana 0,675 (pembulatan) adalah bilangan riil / bilangan asli.
Bisa juga bilangan bulat dibagi bilangan bulat menghasilkan bilangan bulat. Sebagai contoh:
4 / 2 akan menghasilkan 2 dengan 2 adalah bilangan bulat.
Bilangan riil sebagai tipe data dalam bahasa pemrograman
Bilangan riil (real atau floating point) merupakan salah satu tipe data dasar dalam berbagai bahasa pemrograman. Contohnya dalam bahasa Pascal terdapat tipe data bernama real.
Dalam alokasi memori, real memerlukan 6 byte (48 bit) data di memori. Namun karena real
“juga” didefinisikan sebagai type data signed tipe data real hanya mampu di-assign nilai antara 2.9 x 10^-39 s/d 1.7 x10^38.
SKEMA BILANGAN
Skema Bilangan Bilangan Imajiner
Bilangan imajiner adalah bilangan yang mempunyai sifat akar dari i = −1. Dapat juga dikatakan dengan suatu bilangan yang dikuadratkan dapat menghasilkan nilai -1. Bilangan ini biasanya merupakan bagian dari bilangan kompleks. Selain bagian imajiner, bilangan kompleks mempunyai bagian bilangan riil. Secara definisi, (bagian) bilangan imajiner i ini diperoleh dari penyelesaian persamaan kuadratik:
x^2 +1=0
yang jika dijabarkan bahwa persamaan tersebut benar jika x^2 merupakan -1. Kita menyimbolkan akar dari -1 sebagai i (dari kata imajiner) sebagai satuan bilangan imajiner.
Bilangan imajiner dan/atau bilangan kompleks ini sering dipakai di bidang teknik elektro dan elektronika untuk menggambarkan sifat arus AC (listrik arus bolak-balik) atau untuk menganalisa gelombang fisika yang menjalar ke arah sumbu x.
Bilangan kompleks
Dalam matematika, bilangan kompleks merupakan himpunan pasangan terurut (a,b) yang memiliki bentuk :
a+bi
