MODUL FAKTOR DARI MODUL ENDOMORFISMA PADA HIMPUNAN BILANGAN BULAT ATAS GAUSSIAN INTEGER

(1)

p-ISSN : 2550-0384; e-ISSN : 2550-0392

MODUL FAKTOR DARI MODUL ENDOMORFISMA

PADA HIMPUNAN BILANGAN BULAT ATAS GAUSSIAN INTEGER

Linda Octavia Soelistyoningsih

Jurusan Matematika, Universitas Jenderal Soedirman octasoelis251092@gmail.com

Ari Wardayani

Jurusan Matematika, Universitas Jenderal Soedirman Suroto

Jurusan Matematika, Universitas Jenderal Soedirman

ABSTRACT. This paper discusses about quotient modules of endomorfism module on Integers over Gaussian Integer. We determine a submodules of the module, then formed the set of cosets. The results obtained is the set of cosets are equipped with addition and scalar multiplication operation is a quotient module over Gaussian Integer.

Keywords: Gaussian Integer, endomorfism, quotient modules.

ABSTRAK. Paper ini membahas tentang modul faktor dari modul endomorfisma pada himpunan bilangan bulat atas Gaussian Integer. Dengan menentukan suatu submodul dari modul tersebut, selanjutnya dibentuk himpunan koset-kosetnya. Hasil yang diperoleh adalah himpunan koset-koset tersebut dilengkapi dengan operasi penjumlahan dan perkalian skalar merupakan modul faktor atas Gaussian Integer.

Kata Kunci: Gaussian Integer, endomorfisma, modul faktor

1. PENDAHULUAN

Himpunan merupakan konsep dasar pada bidang kajian matematika. Satu atau beberapa himpunan tak kosong yang dilengkapi dengan satu operasi biner atau lebih yang memenuhi sifat-sifat tertentu akan membentuk sistem matematika.

Sistem matematika yang terdiri dari satu himpunan tak kosong dan satu operasi biner yang memenuhi sifat assosiatif, mempunyai elemen identitas, dan setiap elemennya mempunyai invers disebut dengan grup (Gallian, 2010). Sistem matematika yang terdiri dari satu himpunan tak kosong dan dua operasi biner, yaitu operasi penjumlahan dan perkalian yang memenuhi sifat-sifat tertentu disebut dengan ring (Fraleigh, 2003). Apabila dalam suatu ring memiliki elemen

(2)

Purwokerto, 3 Desember 2016

satuan serta bersifat komutatif terhadap perkaliannya, maka ring tersebut dinamakan ring komutatif dengan elemen satuan. Adapun sistem matematika yang terdiri dari beberapa himpunan dan beberapa operasi biner diantaranya adalah modul atas ring R.

Modul atas ring R dapat dikatakan sebagai generalisasi dari ruang vektor atas suatu lapangan. Suatu himpunan tak kosong M disebut modul atas ring R, jika M adalah grup Abel terhadap operasi penjumlahan dan memenuhi aksioma- aksioma modul terhadap operasi perkalian skalarnya (Adkins danWeintraub, 1992). Suatu pemetaan dari modul M ke modul N yang mengawetkan operasi pada modul M ke modul N dinamakan homomorfisma modul dari M ke N (Hartley dan Hawkes, 1994).

Pada tahun 2008, Aditya telah mengkaji sifat-sifat homomorfisma modul.

Pada penelitian tersebut dijelaskan bahwa himpunan dari homomorfisma- homomorfisma modul atas ring R dari M ke N dapat dibentuk menjadi suatu himpunan yang disebut HomR(M,N). Pada tahun 2010, Khoerudin telah mengkaji tentang modul R² atas Gaussian Integer. Pada paper ini dikaji mengenai modul faktor dari modul endomorfisma pada himpunan bilangan bulat atas Gaussian Integer.

2. METODE PENELITIAN

Langkah-langkah yang digunakan dalam penelitian ini adalah sebagai berikut a. Mendefinisikan operasi pada Gaussian Integer sedemikian sehingga

Gaussian Integer dengan operasi yang didefinisikan merupakan ring dengan elemen satuan.

b. Mendefinisikan operasi perkalian skalar antara Gaussian Integer dengan Z yang tertutup di Z sedemikian sehingga memenuhi aksioma-aksioma pada modul.

c. Mendefinisikan himpunan semua endomorfisma pada modul Z atas Gaussian Integer, yang selanjutnya dinotasikan dengan _{[ ]} Z

(3)

Purwokerto, 3 Desember 2016 d. Mendefinisikan operasi perkalian skalar antara Gaussian Integer dengan _{[ ]}( Z ) yang tertutup di _{[ ]}( Z ) sedemikian sehingga memenuhi aksioma-aksioma pada modul.

e. Mencari submodul dari modul _{[ ]} Z atas Gaussian Integer .

f. Membentuk modul faktor dari modul endomorfisma pada himpunan bilangan bulat atas Gaussian Integer .

3. HASIL DAN PEMBAHASAN

Bagian ini merupakan bagian utama dari paper ini dan dijelaskan mengenai ring Gaussian Integer, modul Z atas Gaussian Integer, modul _{[ ]}( Z ) atas Gaussian Integer ,dan modul faktor atas Gaussian Integer.

3.1 Ring Gaussian Integer

Gaussian Integer merupakan ring komutatif dengan elemen satuan.

Langkah awal yang dilakukan adalah mendefinisikan operasi penjumlahan dan perkalian pada Gaussian Integer. Gaussian Integer merupakan himpunan

 

ⁱ

Z ={ Z √ } Selanjutnya, pada Gaussian Integer didefinisikan operasi penjumlahan dan perkalian, yaitu



^{a bi}^

 

^{ }^{c di}

 

^ ^{a c}^{  }

 

^{b d i}





^{a bi}^

 

^{ }^{c di}

 

^ ^{ac bd}^

 

^ ^ad^^{bc i}



untuk setiap ^{a bi c di}^ ^, ^{ }^Z

 

ⁱ . Terlebih dahulu akan ditunjukkan bahwa operasi-operasi tersebut well-defined di ^Z

 

ⁱ ^.

Ambil sembarang a₁+b₁i, a₂+b₂i, c₁+d₁i, c₂+d₂i ^Z

 

ⁱ ^dengan

1 1 2 2

a b ia b i dan c₁d i₁  c₂ d i₂ , untuk setiap a a c c b b d d1, 2, ,1 2, ,1 2, 1, 2Z. Karena a₁b i₁ a₂b i₂ dan a₃b i₃ a₄b i₄ maka a₁ a₂, c₁ c₂, b₁b₂,

1 2

dan d d . Dengan demikian, berlaku

(4)



^a₁^^{b i}₁

 

^ ^c₁^^{d i}₁

 

^ ^a₁^^c₁

 

^ ^b₁^^{d i}₁





a2 c2

 

b2 d i2

 

a2 b i2

 

c2 d i2



       

dan



a1b i1

 

 c1d i1

 

 a c1 1b d1 1

 

 a d1 1b c i1 1





a c2 2 b d2 2

 

b c2 2 a d i2 2

 

a2 b i2

 

c2 d i2



        .

Hal ini berarti operasi  dan  well-defined^Z

 

ⁱ ^.

Lemma 3.1



^Z

 

ⁱ ^,^



merupakan grup Abel.

Lemma 3.2



^Z

 

ⁱ ^,^



merupakan semigrup komutatif dengan elemen satuan.

Lemma 3.3 Untuk setiap k k k1, 2, 3Z

 

i berlaku i. ^k₁^



^k₂^^k₃

 

^ ^k₁^^k₂

 

^ ^k₁^^k₃



ii.



k1k2



 k3



k1k3

 

 k2k3



Berdasarkan uraian Lemma 3.1, Lemma 3.2, dan Lemma 3.3 diperoleh sistem matematika yang terdiri dari satu himpunan disertai dua buah operasi biner.

Teorema 3.4



^Z

 

ⁱ ^{, ,}^{ }



merupakan ring komutatif dengan elemen satuan.

3.2 Modul _{[ ]}( Z )Atas Gaussian Integer ^Z

 

ⁱ

Himpunan bilangan bulat Z merupakan modul atas Gaussian Integer

 

ⁱ

Z . Pertama, ditunjukkan bahwa Z grup Abel terhadap operasi penjumlahan tersebut yang disajikan pada Lemma berikut.

Lemma 3.5



^Z^,^



merupakan grup Abel.

Teorema 3.6 Himpunan Z merupakan modul atas Gaussian Integer ^Z

 

ⁱ ^.

(5)

Purwokerto, 3 Desember 2016 Sebelum membahas pembentukan modul atas Gaussian Integer ^Z

 

ⁱ ^yang

dibentuk dari himpunan _{[ ]}( Z )terlebih dahulu akan dibahas mengenai himpunan HomR



M N yang merupakan bentuk umum dari himpunan ^,



_{[ ]}( Z ). Himpunan homomorfisma-homomorfisma modul dari modul M ke modul N atas ring R dinotasikan dengan HomR



M N , atau secara matematis ^,



ditulis dengan



^,

 

^: ^| homomorfisma modul atas



HomR M N  f M N f R .

Sementaraitu, himpunan homomorfisma-homomorfisma modul dari modul M ke dirinya sendiri atas ring R dinotasikan dengan EndR

 

M , atau secara matematis ditulis denganEnd_R

  

M  f M^: M f^| homomorfisma modul atas R



.

Untuk selanjutnya pada penelitian ini, modul M yang digunakan adalah Z dan ring R yang digunakan adalah Gaussian Integer ^Z

 

ⁱ . Dengan kata lain, pada penelitian ini hanya membahas _{[ ]} Z dan secara matematis ditulis dengan _{[ ]}( Z )=



^:f ZZ^| f homomorfisma modul atas Z

 

i



.

Untuk menunjukkan bahwa _{[ ]} Z , merupakan modul atas Gaussian Integer^Z

 

ⁱ , terlebih dahulu didefinisikan operasi penjumlahan dan operasi perkalian skalar antara ^Z

 

ⁱ ^dengan [ ]( Z ) yang tertutup di _{[ ]}( Z ) seperti berikut.



^f ^^g

 

^x ^ ^{f x}

   

^^{g x}

( (a+bi) ‘ f )(x) = (a+bi) [ f(x) ]

untuk setiap f, g _{[ ]}( Z ), ^{a bi}^{ }^Z

 

ⁱ ^{dan x}Z . Operasi penjumlahan dan perkalian tersebut well-defined di _{[ ]}( Z )

Selanjutnya, Lemma berikut menjelaskan tentang struktur yang terbentuk dari _{[ ]}( Z ), terhadap operasi penjumlahan.

(6)

Lemma 3.7 _{[ ]}( Z )disertai operasi penjumlahan merupakan grup Abel.

Teorema 3.8 Himpunan _{[ ]} Z , merupakan modul atas Gaussian Integer

 

ⁱ

Z .

3.3 Modul Faktor Atas Gaussian Integer

Sebelum membentuk modul faktor ^End ^{ }_i

 

^Z

S

Z atas Gaussian Integer

 

ⁱ

Z , terlebih dahulu akan dibentuk submodul dari modul _{[ ]}( Z )atas Gaussian Integer ^Z

 

ⁱ . Pada penelitian ini, untuk membentuk modul faktor ,diambil himpunan bagian ^S ^



^g^^End^Z_{ }ⁱ

   

^{Z g x} ^²^{ax a}^, ^^{Z .}



Selanjutnya, diperoleh bahwa himpunan S dengan operasi yang sama di _{[ ]} Z , merupakan submodul dari modul _{[ ]} Z , atas Gaussian Integer. Setelah membentuk submodul S atas Gaussian Integer, selanjutnya dibahas mengenai pembentukan himpunan End ^{ }i

 

Z

S

Z . Karena _{[ ]} Z , merupakan grup Abel terhadap operasi penjumlahannya dan S merupakan subgrup dari _{[ ]} Z , maka S subgrup normal dari grup ^{[ ]} Z ,. Lebih lanjut, karena _{[ ]} Z , merupakan grup Abel terhadap operasi penjumlahan maka himpunan koset-koset yang terbentuk dari S dalam _{[ ]} Z , adalah sebagai berikut.

_{[ ]} ⁄ ={  _{[ ]} },

yang elemennya merupakan koset-koset dari S dalam ^{[ ]} Z . Selanjutnya, diperoleh ^End ^{ }_i

 

^Z

S

Z merupakan suatu modul atas Gaussian Integer dengan definisi operasi penjumlahan dan perkalian skalar sebagai berikut.



^f ^^S

 

^ ^g^^S

 

^ ^f ^^g



^^S dan k ( f+S )= ( k  f )+S ,

(7)

Purwokerto, 3 Desember 2016 untuk setiap ( f +S ), ( g+S )  ^End^{ }_i

 

^Z

S

Z dan ^k^{  }^{a bi} ^Z

 

ⁱ ^{. Operasi}^

dan skalar yang didefinisikan well-defined.

Lemma berikut menjelaskan struktur yang terbentuk dari ^End ^{ }_i

 

^Z

S

Z

terhadap operasi penjumlahan.

Lemma 3.9 Himpunan ^End ^{ }_i

 

^Z

S

Z disertai dengan operasi pejumlahan merupakan grup Abel.

Teorema berikut merupakan hasil utama dari paper ini mengenai pembentukan modul faktor dari modul endomorfisma pada himpunan bilangan bulat atas Gaussia Integer.

Teorema 3.10 Himpunan ^End ^{ }_i

 

^Z

S

Z merupakan modul atas Gaussian Integer

 

ⁱ

Z .

Bukti. Berdasarkan Lemma 3.9 telah dibuktikan bahwa ^End ^{ }_i

 

^Z

S

Z terhadap

operasi penjumlahan merupakan grup Abel. Selanjutnya, akan ditunjukkan

 _i

 

End Z

S

Z merupakan modul atas Gaussian Integer ^Z

 

ⁱ ^.

Untuk setiap ^{ }

 

, End ⁱ Z

f S g S

   ^Z S dan k k1, 2Z

 

i dengan k₁ a₁ b i₁,

2 2 2

k a b i, berlaku

a. ( k1 k2) (f + S) = [ (k1 k2)’ f ]+S

= [ (k₁’ f +k₂’ f ]+S

= [ (k₁’ f) + S ]+[ (k₂’ f )+S]

   

1 2

k f S k f S

     

(8)

b. k1

 

f S

 

 gS

 

 k1

 ^

f g

^

S



= (k₁’( f+g )) + S

= (k₁’ f + k₁’g ) + S

= [ (k₁’ f) + S]+ [(k1 ’ g ) + S]

   

1 1

k f S k g S

      . c. ( k₁k₂)  ( f + S ) = ( (k₁ k₂)’f ) + S

= ( k₁’( k2 ’f ) )+ S

= k₁ (( k2 ’f ) + S)

= k₁ ( k2  (f + S)) d. 1Z[i] ( f + S ) = (1z[i] f ) + S = f + S

Karena semua aksioma pada modul terpenuhi maka terbukti ^End ^{ }_i

 

^Z

S

Z

merupakan modul atas Gaussian Integer ^Z

 

ⁱ ^.■

4. KESIMPULAN DAN SARAN

Modul endomorfisma pada himpunan bilangan bulat Z atas Gaussian Integer yang dinotasikan dengan _{[ ]} Z merupakan modul yang dibentuk dari ring Gaussian Integer ^Z

 

ⁱ yang komutatif dengan elemen satuan dan himpunan semua homomorfisma pada modul Z atas Gaussian Integer. Dengan mengambil submodul { _{[ ]}  } dapat dibentuk modul faktor ^End ^{ }_i

 

^Z

S

Z atas Gaussian Integer.

Dari hasil penelitian yang diperoleh, dapat dijadikan sebagai acuan teori untuk penelitian selanjutnya yang terkait dengan sifat-sifat yang terdapat pada modul faktor ^End ^{ }_i

 

^Z

S

Z atas Gaussian Integer.

(9)

Purwokerto, 3 Desember 2016 DAFTAR PUSTAKA

Aditya, A., Sifat-sifat Homomorfisma Modul. Skripsi. Fakultas Sains dan Teknik, Universitas Jenderal Soedirman, Purwokerto, 2008.

Adkins, W.A. dan Weintraub, S.H., Algebra: An Approach via Module Theory.

New York. Springer-Velberg, 1992.

Fraleigh, J.B., A First Course in Abstract Algebra, 7^nd Edition, New York:

Addison-Wesley Publising Company, 2003.

Gallian, J.A., Contemporary Abstract Algebra, 7^nd Edition, Massachussets: D.C.

Heath and Company, Inc., 2010.

Hartley, B. dan Hawkes, T.O., Ring, Modules, and Linier Algebra, Chapman and Hall, London, 1994.

Khoerudin, M., Pembentukan Modul R² atas Gaussian Integer, Skripsi. Fakultas Sains dan Teknik, Universitas Jenderal Soedirman, Purwokerto, 2010.