PERENCANAAN SISTEM LINGKUNGAN DENGAN PENDEKATAN INTERVAL PARAMETER PROGRAM STOKASTIK INTEGER

PERENCANAAN SISTEM LINGKUNGAN DENGAN PENDEKATAN INTERVAL PARAMETER

PROGRAM STOKASTIK INTEGER

TESIS

Oleh

WAHAB YUDHA SAPUTRA HASIBUAN 097021079/MT

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN 2012

PERENCANAAN SISTEM LINGKUNGAN DENGAN PENDEKATAN INTERVAL PARAMETER

PROGRAM STOKASTIK INTEGER

T E S I S

Diajukan Sebagai Salah Satu Syarat

untuk Memperoleh Gelar Magister Sains dalam Program Studi Magister Matematika pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Universitas Sumatera Utara

Oleh

WAHAB YUDHA SAPUTRA HASIBUAN 097021079/MT

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN 2012

Judul Tesis : PERENCANAAN SISTEM LINGKUNGAN DENGAN PENDEKATAN INTERVAL PARAMETER PROGRAM STOKASTIK INTEGER

Nama Mahasiswa : Wahab Yudha Saputra Hasibuan Nomor Pokok : 097021079

Program Studi : Magister Matematika

Menyetujui, Komisi Pembimbing

(Prof. Dr. Opim Salim S, M.Sc ) (Prof. Dr. Herman Mawengkang )

Ketua Anggota

Ketua Program Studi Dekan

(Prof. Dr. Herman Mawengkang ) (Dr. Sutarman, M.Sc )

Tanggal lulus : 19 Januari 2012

Telah diuji pada

Tanggal : 19 Januari 2012

PANITIA PENGUJI TESIS

Ketua : Prof. Dr. Opim Salim S, M.Sc

Anggota : 1. Prof. Dr. Herman Mawengkang 2. Dr. Marwan Ramli, M.Si

3. Drs. Marwan Harahap, M.Eng

PERNYATAAN

PERENCANAAN SISTEM LINGKUNGAN DENGAN PENDEKATAN INTERVAL PARAMETER

PROGRAM STOKASTIK INTEGER

TESIS

Saya mengakui bahwa tesis ini adalah hasil karya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing dituliskan sumbernya

Medan, 19 Januari 2012 Penulis,

Wahab Yudha Saputra Hasibuan

i

ABSTRAK

Interval parameter pemrograman stokastik integer campuran dua tahap dikem- bangkan untuk pengelolaan sampah dengan adanya ketidakpastian, Ini adalah pemrograman stokastik eksak dua tahap dan dicampur metode integer linear pro- gramming. Metode demikian ini langsung dapat menangani ketidakpastian yang dinyatakan tidak hanya sebagai fungsi probabilitas tetapi juga sebagai interval diskrit. Lebih penting lagi, metode ini dapat memfasilitasi analisis dinamik keputu- san mengenai perencanaan kapasitas perluasan dalam multi fasilitas, multi periode, dan multi pilihan. Hasilnya akan membantu untuk menghasilkan berbagai alter- natif keputusan dalam kondisi berbagai sistem, dan dengan demikian menawarkan wawasan ke dalam tujuan lingkungan. Metode demikian ini diaplikasikan untuk merencanakan perluasan fasilitas dan alokasi aliran sampah dalam suatu sistem pengelolaan sampah padat perkotaan. Hasil penelitian menunjukkan bahwa telah dibuat untuk kedua variabel biner maupun variabel kontinu. Penyelesaian variable biner merupakan keputusan ekspansi fasilitas, sementara penyelesaian variabel kon- tinu terkait dengan keputusan tentang alokasi aliran sampah.

Kata kunci : Keputusan, Lingkungan hidup, Interval, Optimasi, Limbah padat, Stokastik, Ketidakpastian.

ii

ABSTRACT

An interval-parameter two-stage stochastic mixed integer programming (ITMILP) technique is developed for waste management under uncertainty. It is a hybrid of inexact two-stage stochastic programming and mixed integer linear program ming methods. The ITMILP method can directly handle uncertainties expressed not on- ly as probability density functions but also as discrete intervals. It can be used to analyse various policy scenarios that are associated with different levels of eco- nomic penalties when the promised policy targets are violated. More importantly, it can facilitate dynamic analysis of decisions on capacity expansion planning within a multi-region, multi-facility, multi-period, and multi-option context. The results will help to generate a range of decision alternatives under various system conditions, and thus offer insight into the trade-offs between environmental and economic ob- jectives. The ITMILP method is applied to planning facility expansion and waste flow allocation within a waste management system. The results indicate that rea- sonable solutions have been generated for both binary and continuous variables.

The binary-variable solutions represent the decisions of facility expansion, while the continuous-variable solutions are related to decisions on waste flow allocation.

Keyword: : Decision, Environment, Interval, Optimization, Solid waste, Stochastic, Uncertainty.

iii

KATA PENGANTAR

Syukur Alhamdulillah kehadirat Allah SWT, penulis panjatkan atas limpa- han Rahmat dan KaruniaNya. Karena terselesaikannya penulisan tesis ini yang berjudul: Perencanaan Sistem Lingkungan Dengan Pendekatan Interval Parame- ter Program Stokastik Integer.

Pada kesempatan ini penulis menyampaikan ucapan terima kasih yang sebesar besarnya kepada:

Bapak Prof. Dr. dr. Syahril Pasaribu, DTM&H. M.Sc. (CTM), Sp.A(K) selaku Rektor Universitas Sumatera Utara yang memberi kesempatan kepada penulis untuk menempuh pendidikan di Universitas Sumatera Utara.

Bapak Dr. Sutarman, M.Sc. selaku Dekan FMIPA Universitas Sumatera Utara yang sudah memberi kesempatan kepada penulis untuk menempuh pendidikan di Universitas Sumatera Utara.

Bapak Prof. Dr. Ir. A. Rahim Matondang, MSIE selaku Direktur Pas- casarjana Universitas Sumatera Utara.

Bapak Prof. Dr. Herman Mawengkang selaku Ketua Program Studi Magister Matematika FMIPA USU, yang juga menjadi pembimbing yang telah mem berikan bimbingan kepada penulis sehingga tesis ini dapat diselesaikan.

Bapak Dr. Saib Suwilo, M.Sc selaku Sekretaris Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara.

Bapak Prof. Dr. Opim Salim S, M.Sc sebagai pembimbing yang telah mem berikan bimbingan kepada penulis sehingga tesis ini dapat diselesaikan.

Bapak Drs. Marwan Harahap, M.Eng dan Bapak Dr. Marwan Ramli M.Si selaku anggota penguji tesis ini. Serta seluru staf pengajar pada program studi Magister Matematika Universitas Sumatera Utara yang sudah membimbing dan membantu penulis mengenyan pendidikan.

iv

Ibu Misiani, S.Si selaku Staf Administrasi Program Studi Magister Matematika FMIPA USU yang telah memberikan pelayanan administrasi selama mengikuti pendidikan. Tak lupa rekan-rekan mahasiswa program studi Magister Matematika FMIPA USU tahun 2010.

Ucapan terima kasih yang tak terhingga penulis ucapkan kepada (Alm) Bapak dan Mama yang telah susah payah membiayai dari awal sampai akhir. Begitu juga Istri tercinta Novi Rosalia Djalil SE dan teristimewa untuk anakku Aliyah Hasibuan dan Aisyah Alifa Hasibuan semoga Allah SWT melindungi kita semua.

Kepada teman-teman serta semua pihak yang tidak dapat penulis sebutkan satu persatu, penulis ucapkan banyak terima kasih atas bantuan dan dorongan yang telah diberikan sehingga penulis dapat menyelesaikan pendidikan tepat waktu.

Akhir kata penulis ucapkan, kiranya kekurangan yang ada pada penulisan tesis ini dapat disempurnakan bagi pihak yang memerlukan karena penulis sebagai manusia yang tidak sempurna memiliki keterbatasan dalam menyelesaikan tesis ini seperti kata pepatah tak ada gading yang tak retak.

Medan, 19 Januari 2012 Penulis,

Wahab Yudha Saputra Hasibuan

v

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan di Binjai pada tanggal 01 Juli 1984 , sebagai anak ke- 2(dua) dari 3 (tiga) bersaudara dari orang tua Hatta Hasibuan dan Nurhalimah Pohan. Penulis menamatkan Sekolah Dasar (SD), SD. Negeri 060858 Medan, Lulus tahun1996. Sekolah Menengah Pertama (SMP), SMP Swasta Pahlawan Nasional Medan. Lulus tahun1999. Sekolah Menengah Atas (SMA), SMA Swasta Teladan Medan. Lulus tahun2002. Pada tahun 2002 penulis melanjutkan pendidikan Sar- jana di Universitas Negeri Medan pada Fakultas Matematika dan Ilmu Penge- tahuan Alam Jurusan Pendidikan Matematika dan Lulus pada tahun 2007. Tahun 2010 penulis berkesempatan untuk melanjutkan Program Master pada Program Studi Magister Matematika Universitas Sumatera Utara Medan.

vi

DAFTAR ISI

Halaman

PERNYATAAN i

ABSTRAK ii

ABSTRACT iii

KATA PENGANTAR iv

RIWAYAT HIDUP vi

DAFTAR ISI vii

BAB 1 PENDAHULUAN 1

1.1 Latar Belakang 1

1.2 Rumusan Masalah 2

1.3 Tujuan Penelitian 3

1.4 Manfaat Penelitian 3

1.5 Kajian Pustaka 3

1.6 Metode Penelitian 4

BAB 2 BEBERAPA MODEL PENGELOLAHAN LINGKUNGAN 5

BAB 3 PROGRAM STOKASTIK 8

3.1 Model Dasar Program Stokastik 8

3.1.1 Model antisipatif 9

3.1.2 Model adaptif 9

3.2 Model Rekursif 10

3.3 Program stokastik CacahCampuran 11

3.4 Formulasi Deterministik Ekivalen 11

3.5 Klasifikasi 13

vii

3.6 Model Tahap-Ganda 13 BAB 4 PEMODELAN PENGELOLAAN LINGKUNGAN DENGAN ADANYA

KETIDAKPASTIAN 15

4.1 Pemodelan Interval-Parameter Stokastik Integer Programming

Campuran Dua Tahap 16

BAB 5 KESIMPULAN 27

5.1 Kesimpulan 27

DAFTAR PUSTAKA 29

viii

BAB 1 PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Dalam sistem penanganan sampah padat perkotaan, banyak proses yang perlu dipertimbangkan oleh pengambil keputusan, seperti pengumpulan, pengangku- tan, pengolahan dan pembuangan sampah (Wilson 1985). Selain itu, banyak faktor lainnya yang juga diperhitungkan, termasuk teknik pengumpulan yang di- gunakan, tingkat layanan yang ditawarkan dan fasilitas yang digunakan. Pro- ses dan faktor-faktor ini sifatnya kompleks dengan ciri multi-periode dan multi- objektif. Biaya untuk pengangkutan dan pembuangan sampah menghabiskan se- bagian besar anggaran operasional untuk sistem penanganan sampah padat perko- taan, dan perlindungan lingkungan dan konservasi sumber daya tetap merupakan tantangan yang dihadapi manager sampah padat perkotaan (Huang dan Chang 2003). Dengan demikian teknik analisa sistem bisa digunakan untuk membantu dalam mengembangkan rencana penanganan sampah padat perkotaan jangka pan- jang, yang bisa membantu untuk membuat perimbangan antara memenuhi tujuan lingkungan yang diharuskan dan meminimalkan biaya sistem.

Anderson (1968) mengajukan pertama kali optimisasi ekonomis untuk peren- canaan sistem penanganan sampah padat perkotaan. Sejak itu, sejumlah model programming matematik ada dikembangkan untuk mendukung keputusan pena- nganan sampah padat perkotaan dan mengevaluasi kebijakan operasional dan in- vestasi yang relevan. Sebagian besar metode sebelumnya berkaitan dengan keti- dakpastian dalam pengelolaan limbah termasuk pemrograman matematis fuzzy, kesempatan dibatasi pemrograman, dan pemrograman interval-parameter (Huang et al., 1993,1995 a,b, 1997, 2001, Chang dan Lu 1997, Chang dan Wang 1997, Chanas dan Zielinski 2000)

An interval-parameter two-stage stochastic mixed integer programming (IT- MILP) dikembangkan untuk penanganan sampah dengan ketidakpastian. Metode

1

2

ITMILP telah luas dieksplorasi selama dekade terakhir (Mobasheri dan Harboe 1970, Pereira dan Pinto 1991, Ruszczynski 1993, Schultz et al., 1996, Ruszczynski dan Swietanowski 1997, Seifi dan Hipel 2001, Luo et al., 2003). Metode ITMILP bisa menangani secara langsung ketidakpastian yang dinyatakan bukan hanya se- bagai fungsi densitas probabilitas dan lain-lain inistik diikuti oleh analisis pasca optimal. Ini bisa digunakan untuk menganalisa berbagai skenario kebijakan yang terkait dengan tingkat penalti ekonomi yang berbeda-beda bila target kebijakan yang dijanjikan dilanggar. Metode ITMILP diaplikasikan untuk merencanakan ekspansi fasilitas dan alokasi aliran sampah di dalam sistem penanganan sampah.

Karena itu pendekatan potensial yang akan memungkinkan kompleksitas dan keti- dakpastian ekspansi kapasitas dan penalti ekonomi bisa diperhitungkan dengan lebih baik adalah mengkaitkan ITSP dengan Mixed integer linear programming (MILP) parameter-interval. Ini menghasilkan model MILP dua-tahap parameter- interval (ITMILP).

Karena itu, tujuan studi ini adalah untuk mengembangkan model ITMILP sedemikian dan mengaplikasikannya pada kasus perencanaan penanganan limbah padat perkotaan. Model ini bisa secara langsung menangani ketidakpastian yang dinyatakan sebagai fungsi kepadatan probabilitas atau interval diskrit. Ini bisa digunakan untuk menganalisa berbagai skenario kebijakan yang terkait dengan tingkat penalti ekonomis yang berbeda-beda bila target-target kebijakan yang di- janjikan dilanggar. Yang lebih penting lagi, ini bisa mempermudah analisa di- namik untuk keputusan tentang perencanaan ekspansi kapasitas dalam konteks multi-daerah, multi-fasilitas, multi-periode dan multi-opsi. Hasil-hasil akan mem- bantu dalam menghasilkan suatu rentang alternatip-alternatip keputusan dengan berbagai kondisi sistem, dan dengan demikian memberikan pengetahuan tentang perimbangan antara tujuan lingkungan dan tujuan ekonomis.

1.2 Rumusan Masalah

Adapun rumusan masalah yang dihadapi dalam penelitian ini yaitu merenca- nakan sistem lingkungan dengan pendekatan interval parameter program stokastik

3

integer dua tahap dengan menjabarkan faktor-faktor yang mempengaruhi dalam sistem pengelolaan lingkungan dengan adanya ketidakpastian menjadi sebuah mo- del pemrograman yang nantinya dapat dikembangkan.

1.3 Tujuan Penelitian

Adapun yang menjadi tujuan dari penelitian ini adalah memperoleh hasil yang lebih baik dengan menggunakan model pemograman linier interval parameter integer stokastik dua tahap untuk sistem pengelolaan lingkungan dengan adanya ketidakpastian yang akan menghasilkan keputusan dalam sistem.

1.4 Manfaat Penelitian

Manfaat yang diperoleh dari penelitian ini yaitu didapatnya model pemro- graman untuk mengoptimalkan sistem pengelolaan lingkungan dengan adanya keti- dakpastian.

1.5 Kajian Pustaka

Anderson (1968) mengajukan pertama kali optimisasi ekonomis untuk peren- canaan sistem penanganan sampah padat perkotaan. Sejak itu, sejumlah model programming matematik ada dikembangkan untuk mendukung keputusan pena- nganan sampah padat perkotaan dan mengevaluasi kebijakan operasional dan in- vestasi yang relevan (Kirca adan Erkip 1988, Baetz 1990, Zhu and Revelle 1990, Chang dan Wang 1994, 1995). Akan tetapi, dalam penanganan sampah padat perkotaan, mungkin ada ketidakpastian dalam hal biaya terkait, faktor dampak dan tujuan, yang akan mempengaruhi proses optimisasi dan skema keputusan yang dihasilkan (Huang 1993). Sebagian besar metode sebelumnya dalam mena- ngani ketidakpastian dalam penanganan limbat meliputi programming matematik fuzzy (FMP), programming dengan batasan-kemungkinan (CCP) dan program- ming parameter-interval (IPP) Huang 1993, Chang dn Lu 1997, Chang dan Wang 1997, Chanas dan Zielinski 200). Walaupun metode CCP dan FMP bisa efektif mencerminkan ketidakpastian probabilistik dan kemungkinan dari ruas kanan mo-

4

del linier, kedua metode ini tidak dapat menangani ketidakpastian-ketidakpastian yang saling bebas di ruas kirinya dan koefisien biaya; selain itu, prosedur FMP, CCP dan IPP tidak bisa mengkaji konsekuensi ekonomis dari pelanggaran ke- bijakan utama yang dianggap sudah di luar ruang lingkup latihan perencanaan.

Mixed integer linear programming (MILP) merupakan alat yang berguna untuk tujuan ini (Huang et al., 1995,1997). Interval parameter MILP memungkinkan ketidakpastian akan langsung dikomunikasikan ke proses optimasi dan solusi yang dihasilkan sehingga beberapa keputusan alternatif dapat dihasilkan oleh interpre- tasi dari solusi.

1.6 Metode Penelitian

Metode penelitian yang digunakan adalah model pemograman interval pa- rameter integer stokastik dua tahap untuk sistem perencanaan lingkungan dengan adanya ketidakpastian adalah dengan menggunakan studi literature dan jurnal- jurnal yang berhubungan dengan topik dari penilitian ini.

BAB 2

BEBERAPA MODEL PENGELOLAHAN LINGKUNGAN

Suatu sistem manajemen limbah padat perkotaan mungkin melibatkan beberapa fasilitas untuk memenuhi keseluruhan permintaan untuk pengolahan sampah, dan pembuangan. Oleh karena itu ekspansi kapasitas fasilitas pengelolaan limbah meru- pakan masalah penting dalam manajemen perencanaan limbah padat perkotaan , dimana terkait analisis optimasi umumnya membutuhkan penggunaan variabel in- teger untuk menunjukkan apakah fasilitas pengembangan atau perlu asan pilihan tertentu harus dilakukan. Mixed integer linear programming (MILP) adalah alat yang berguna untuk tujuan ini (Huang et al., 1995a, 1997). Interval parameter Mixed integer linear programming memungkinkan ketidakpastian akan langsung dikomunikasikan ke proses optimasi dan solusi yang dihasilkan sehingga beberapa keputusan alternatif dapat dihasilkan oleh interpretasi dari solusi.

Pendekatan yang potensial yang akan memungkinkan kompleksitas dan keti- dakpastian kapasitas ekspansi dan denda ekonomi menjadi lebih baik dicatat de- ngan interval-parameter Mixed integer linear programming. Ini mengarah ke se- buah Mixed integer linear programming dua-tahap interval-parameter (ITMILP) model. Model ITMILP berikut:

Minimalkan f^± = Xu

i=1

Xv j=1

Xp k=1

LkX_ijk^± (T R^±_ijk+ OP_ik^±)

+ Xu

i=2

Xv j=1

Xp k=1

LkX_ijk^± F E_i^±₁(F T_ik^±+ OP_1k^±)

+ Xu

i=1

Xv j=1

Xp k=1

Xs h=1

LkpjhM_ijkh^± (DR^±_ijk+ DP_ik^±)

5

6

+ Xu

i=2

Xv j=1

Xp k=1

Xs h=1

LkpjhM_ijkh^± F E_i^±(DT_ik^±+ DP_1k^±)

+ Xq m=1

Xp k=1

F LC_mk^± Y_mk^± + Xu

i=2

Xq m=1

Xp k=1

F T C_imk^± Z_imk^±

− Xu

i=2

Xv j=1

Xp k=1

LkX_ijk^± RE_ik^±− Xu

i=2

Xv j=1

Xp k=1

Xs h=1

LkpjhM_ijkh^± RM_ik^±

dengan batasan Xv

j=1 k⁰

X

k=1

Lk

(

(X_1jk^± + M_1jkh^± ) + Xu

i=2

F E_i^±(X_ijk^± + M_ijkh^± ) )

6 LC^±+ Xq m=1

k⁰

X

k=1

∆LC_mk^± Y_mk^±, ∀h, k⁰ = 1, 2, . . . , k Xv

j=1

(X_ijk^± + M_ijkh^± ) 6 LC^±+ Xq m=1

k⁰

X

k=1

∆T C_imk^± Z_imk^± ,∀h, i = 2, 3, . . . , u, k⁰ = 1, 2, . . . , k Xv

i=1

[X_ijk^± + M_ijkh^± ] > w^±_jkh, ∀j, k, h X_ijk^±_max > X_ijk^± > M_ijkh^± > 0, ∀i, j, k, h

Y_mk^±









 6 1

> 0

bilangan bulat, ∀m, k

Z_mk^±









 6 1

> 0

bilangan bulat, i = 2, 3, . . . , u.∀m, k Xq

m=1

Z_imk^± 6 1 i = 2, 3, . . . , u, ∀k

Tujuan dari penelitian ini adalah untuk mengembangkan seperti model ITMILP dan menerapkan untuk kasus hipotetis perencanaan manajemen limbah padat perkotaan. Model ini langsung dapat menangani ketidakpastian dinyatakan se- bagai salah satu fungsi kepadatan probabilitas atau interval diskrit. Hal ini da- pat digunakan untuk menganalisis berbagai skenario kebijakan yang berkaitan de- ngan berbagai tingkat ekonomi ketika target kebijakan yang dijanjikan dilanggar.

7

Lebih penting lagi, dapat memfasilitasi analisis dinamis untuk keputusan pada perencanaan kapasitas ekspansi dalam wilayah multi objektif, multi fasilitas, mul- ti periode, dan konteks multi opsi. Hasil akan mem bantu untuk menghasilkan berbagai keputusan alternatif dalam kondisi berbagai sistem, dan dengan demikian menawarkan wawasan ke dalam trade-o s antara lingkungan dan ekonomi tujuan.

BAB 3

PROGRAM STOKASTIK

Program stokastik merupakan program matematika, dimana beberapa data yang termuat pada tujuan atau kendala mengandung ketidakpastian. Ketidakpastian biasanya dicirikan oleh distribusi peluang pada parameter.Walaupun ketidakpas- tian didefinisikan dengan tepat tetapi pada prakteknya diberikan skenario yang spesifik dan distribusi peluang gabungan yang tepat.

Program stokastik adalah sebuah nama yang menyatakan program matem- atika yang dapat berupa linear, cacah, cacah campuran, non linear dengan menam- pilkan elemen stokastik pada data. Sehingga program stokastik dapat dinyatakan bahwa:

a. Program matematika deterministik, data (koefisien) adalah bilangan yang diketahui (tertentu);

b. Program stokastik, data (koefisien) merupakan bilangan yang tidak diketahui (tidak pasti) yang disajikan sebagai distribusi peluang.

3.1 Model Dasar Program Stokastik

Program Stokastik merupakan kerangka yang umum dalam model optimisasi dengan ketidakpastian. Dalam model optimisasi deterministik parameter diasum- sikan dengan pasti namun kenyataan yang sebenarnya di waktu yang akan datang tidak dapat ditentukan dengan pasti sehingga parameter besifat acak. Ketidak- pastian tersebut dinyatakan dalam sebuah distribusi peluang. Model program stokastik yang umum digunakan dalam bidang keuangan adalah model program stokastik rekursif. Model program stokastik rekursif merupakan kombinasi dari model antisipatif dan adaptif (Yu, Ji dan Wang 2003).

8

9

3.1.1 Model antisipatif

Model ini juga disebut sebagai model statis, dimana keputusan tidak ter- gantung pada pengamatan masa datang. Perencanaan yang baik harus memper- hitungkan semua realisasi masa datang yang mungkin karena tidak akan ada ke- sempatan untuk memperbaharui keputusan nantinya. Dalam model antisipatif kelayakan dinyatakan dalam kendala probabilistik. Misalnya, tingkat keandalan ∝ dengan 0 < α ≤ 1, dinyatakan dan kendala ditulis dalam bentuk:

P {ω|fj(x)ω) = 0, j = 1, 2, . . . , n} ≥ α,

Dalam hal ini x merupakan vektor variabel keputusan dimensi m dan fj : R^m × Ω → R, j = 1, 2, . . . , n. Fungsi objektif juga dapat bertipe keandalan seperti P {|f0(x, ω) ≤ γ}, dimana f0 : R^m × Ω → RU {+ ∝} dan γ adalah konstanta.

Model antisipatif memilih kebijakan yang memenuhi karakteristik kendala yang diinginkan dan fungsi objektif.

3.1.2 Model adaptif

Dalam model ini, informasi yang dikaitkan dengan ketidakpastian muncul se- cara parsial sebelum pengambilan keputusan, jadi optimisasi terjadi dalam lingkun- gan pembelajaran. Andaikan A koleksi dari semua informasi relevan yang tersedia melalui pengamatan yang merupakan subgelanggang dari semua kejadian yang mungkin. Keputusan x tergantung pada kejadian yang dapat diamati, dan x dise- but A teradaptasi atau A terukur. Program stokastik adaptif dapat diformulasikan sebagai:

Minimum : E[f0(x(ω), ω)|A]

Kendala : E[f0(x, .), |A(ω) = 0, j = 1, 2, . . . , n xX

Ada dua kasus ekstrim yaitu informasi lengkap dan tidak ada informasi sama sekali.

Kasus pertama mengakibatkan model menjadi bentuk model antisipatif sedangkan untuk kasus kedua dikenal sebagai model distribusi. Yang paling menarik adalah jika hanya sebagian informasi yang tersedia.

10

3.2 Model Rekursif

Model ini menggabungkan dua model yang diutarakan terdahulu, yang ingin menentukan kebijakan yang tidak hanya mengantisipasi pengamatan masa datang tapi juga memperhitungkan informasi yang ada untuk membuat keputusan rekursif.

Misalnya, manajer portofolio memperhatikan gerak masa datang agar saham tidak berubah (antisipasi) tetapi juga menyeimbangkan posisi portofolio ketika harga berubah (adaptasi). Problema program stokastik dua tahap dengan recourse dapat ditulis sebagai:

Minimum : f (x) + E [Q (x, ω)]

Kendala : Ax = b χR^m0₊

dengan x adalah keputusan antisipatif tahap pertama yang diambil sebelum peubah acak. teramati dan Q(x, Ω) merupakan nilai optimalnya untuk sembarang dari program tak linier:

Minimum : q(x, ω)

Kendala : W (ω)y = h(ω) − T (ω)x Y R^m1₊

dengan y keputusan adaptif tahap kedua yang tergantung pada realisasi vektor acak tahap pertama, q(x, ω) merupakan fungsi biaya tahap kedua, dan {T (ω), W (ω), h(ω)

|ωΩ} adalah parameter model dengan dimensi tertentu. Parameter-parameter ini merupakan fungsi dari vektor acak w dan karena itu merupakan parameter acak.

T adalah matriks teknologi yang mengandung koefisien teknologi yang mengubah keputusan tahap pertama x menjadi sumber daya untuk problema tahap kedua.

W adalah matriks rekursif dan h vektor sumber daya tahap kedua.

Secara umum model rekursif dua tahap dapat di formulasikan sebagai:

Minimum : f (x) + E[q{(y, ω)|T (ω)x + W (ω)y = h = (ω)}

Kendala : Ax = b

xR^m1₊ dan Y R^m1₊

11

Dari bentuk program stokastik perlu dibentuk model deterministik yang ekivalen sehingga mudah terselesaikan.

3.3 Program stokastik CacahCampuran

Model Program Stokastik Cacah Campuran dua-tahap merupakan model dalam mana himpunan bagian dari peubah tahap pertama dan kedua dipersya- ratkan bernilai cacah. Untuk penyajian problemanya, andaikan peubah acak yang dipakai untuk memodelkan data dalam model dua-tahap. Karena model pro- gram stokastik ditujukan untuk pengambilan keputusan, suatu vektor keputusan x harus dipilih sedemikian hingga konsekuensi dari keputusan (yang dievaluasi terhadap beberapa hasil alternatif dari (ω) diakomodasi dalam model pilihan op- timal. Konsekuensi dari keputusan tahap pertama diukur melalui problema opti- misasi yang disebut problema rekursif yang memperbolehkan pengamatan (peubah acak). Andaikan bahwa suatu pengamatan dari ω dinyatakan dengan ω. Maka konsekuensi memilih x terhadap hasil ω dapat dimodelkan sebagai.

h(x, ω) = min g(ω)^Ty W (ω)y ≥ r(ω) − T (ω)x y ≥ 0, yt cacah =; jj²

Dengan J² himpunan indeks yang dapat mencakup beberapa atau semua peubah dalam Y Rⁿ². Disini diandaikan bahwa semua realisasi W (ω) merupakan matriks yang berukuran m2× n2.

3.4 Formulasi Deterministik Ekivalen

Andaikan model program stokastik linier sebagai berikut:

Minimum : g0(x, ω)

Kendala : gi(x, ω) ≤ 0, i − 1, 2, . . . , m x ∈ X ⊂ Rⁿ

Vektor ω adalah vektor acak yang bervariasi pada himpunan Ξ ⊂ R^k Lebih tepatnya lagi, andaikan adalah sebuah keluarga (family) F dari kejadian yang

12

merupakan himpunan bagian dari Ξ dan distribusi peluangnya P pada F dike- tahui. Akibatnya untuk setiap himpunan bagian A ⊂ Ξ merupakan kejadian de- ngan A ∈ F dan peluang P (A) diketahui. Selain itu, diasumsikan bahwa fungsi gi(x, ω) : Ξ → R∀x, i adalah variabel acak dan distribusi peluang x bebas terhadap x. Akan tetapi persamaan tersebut tidak didefinisikan dengan baik dalam penger- tian minimum dan kendala juga tidak jelas jika dipertimbangkan untuk mengambil keputusan x sebelum mengetahui realisasi ω. Oleh karena itu, diperlukan proses revisi model yang dikenal dengan istilah deterministic equivalents. Proses pemben- tukan model analog dengan program stokastik linier rekursif.

Prosesnya sebagai berikut: g_i⁺(xω) = 0 jika gi(x, ω) ≤ 0, gi(x, ω) yang lainnya kendala i dilanggar jika dan hanya jika gix, ω > 0 untuk keputusan x yang diberikan dan realisasi ω dari W . Akan tetapi untuk setiap kendala disediakan sebuah rekursif atau aktivitas tahap kedua yakni yiω sehingga setelah mengamati realisasi ω, dipilih semacam pengganti kerugian akibat pelanggaran kendala jika ada yang memenuhi gi(xω) − yi(ω) ≤ 0. Usaha tersebut mengakibatkan biaya tambahan atau penalty qi untuk setiap unit. Biaya tambahan ini disebut fungsi rekursif dihitung sebagai berikut:

Q(x, ω) = min

y

nXⁿ

i=1qiyi(ω) ≥ g_i⁺(x, ω, i = 1, 2, . . . , mo yang menghasilkan total biaya pada tahap pertama dan biaya rekursif:

f0(xω) = g0(xω) + Q(xω)

Dalam kasus terapan, pengambil keputusan yang akan meminimumkan total biaya harapan (tahap pertama dan biaya rekursif) cukup mempertimbangkan persamaan ekuivalen deterministik program stokastik dua tahap berikut:

Minimum E[f0(xω)] = Minimum E[{g0(x, ω) + Q(x, ω)}]

Masalah dua tahap di atas dapat diperluas menjadi model program stokastik multi tahap.

13

3.5 Klasifikasi

Ada beberapa klasifikasi dari program recourse. Suatu program recourse dikatakan mempunyai

1. Rekursif tetap (fix) jika untuk rekursif ω tetap untuk semua hasil ωi; 2. Rekursif lengkap jika untuk semua vR^m, terdapat y ≥ 0 sehingga wy = v;

3. Rekursif relatif lengkap jika untuk semua x ≥ 0 sehingga Ax = b dan untuk semua wΩ ada y ≥ 0 sehingga W(w)y = h(w) − V(w)x

4. Rekursif sederhana jika W dapat dinyatakan sebagai W = [I − I]

Rekursif sederhana merupakan kasus khusus dari recourse lengkap yang se- lanjutnya merupakan kasus khusus dari recourse relatif lengkap. Recourse relatif lengkap mengakibatkan bahwa untuk semua x yang layak terhadap kendala tahap I problema recourse mempunyai daerah layak tak kosong. Secara ilustrasi keadaan ini dapat terlihat dari contoh yang dikemukakan sebelumnya.

3.6 Model Tahap-Ganda

Persoalan rekursif tidak dibatasi pada formulasi dua-tahap. Mungkin saja pengamatan dibuat pada T tahap berbeda dan terungkap dalam kumpulan in- formasi {At|Tt=1denganA1CA2C . . . AT}. Tahap berhubungan dengan waktu keti- ka beberapa informasi terungkap dan suatu keputusan dapat diambil (Perhatikan bahwa T adalah indeks waktu, sedangkan T (w) matriks).

Program stokastik tahap-ganda dengan rekursif akan mempunyai persoalan recourse pada tahap t yang dikondisikan pada informasi yang diberikan oleh AT

yang mencakup semua informasi berasal dari himpunan informasi dalam At, untuk t = 1, 2, . . . , t. Program ini juga mengantisipasi informasi dalam At, untuk t = t + 1, . . . , T .

Andaikan vektor acak w memiliki support Ω = Ω1 × Ω2 × . . . , ×Ωt, yang merupakan himpunan perkalian dari semua himpunan support individu Ωt, t =

14

1, 2, . . . , T . w ditulis secara komponen-komponen w = (w1, . . . , wr). Nyatakan vektor peubah tahap pertama dengan y0. Untuk setiap tahap t = 1, 2, . . . , T defi- nisikan vektor peubah recourse ytRM_n, fungsi biaya acak q(yt, wt) dan parameter acak {Tt(wt), Wt(wt), ht(wt)|wtΩt}.

Program tahap ganda yang memperluas model dua-tahap, diformulasikan sebagai persoalan optimasi terkelompok berikut

Minimum :f (y0)^∗E[min y12RM 1+ε(y1,w1)+ . . . + E[minyT 2RM T +ε(y_T,w_T)] . . .]

Kendala :T1(w1)y0+ W1(w1)y1 = h1(w1) T_T(wT)yT −1+ WT(wT)yT = hk(wT) y0R^m₊⁰

Untuk kasus distribusi peluang diskrit dan tersebar berhingga model tahap ganda dapat diformulasikan menjadi program tak linier berskala besar determinis- tik yang ekivalen.

BAB 4

PEMODELAN PENGELOLAAN LINGKUNGAN DENGAN ADANYA KETIDAKPASTIAN

Pertimbangkan keputusan sebuah sistem pengelolaan limbah, dimana manajer bertanggung jawab untuk mengalokasikan limbah mengalir dari beberapa kabu- paten kebeberapa fasilitas dalam beberapa periode. Pilihan pembuangan limbah termasuk penimbunan, insinerasi, pengomposan, dan daur ulang.

Proses penyelesaian rinci untuk model ITMILP dengan tujuan yang dimini- malkan bisa dirangkumkan sebagai berikut.

Tahap 1 Rumuskan model ITMILP;

Tahap 2 Transformasikan model primal ITMILP menjadi dua submodel, di mana batas bawah f⁻ diharuskan terlebih dahulu karena tujuan adalah memini- malkan f^±;

Tahap 3 Rumuskan fungsi tujuan dan batasan-batasan relevan dari submodel f⁻;

Tahap 4 Selesaikan submodel f⁻, dan dapatkan penyelesaian untuk M_ijkhopt⁻ , Y_mkopt⁻ , Z_imkopt⁻ dan f_opt⁻ ;

Tahap 5 Hitung total aliran sampah A⁻_ijkhopt = X_ijk⁻ + M_ijkhopt⁻ ;

Tahap 6 Rumuskan fungs tujuan dan batasan relevan dari submodel f⁺: Tahap 7 Selesaikan submodel f⁺ dan peroleh M_ijkhopt⁺ , Y_mkopt⁺ , Z_imkopt⁺ dan f_opt⁺ ; Tahap 8 Hitung total aliran sampah A⁺_ijkhopt = X_ijk⁺ + M_ijkhopt⁺ ;

Tahap 9 Integrasikan penyelesaian model ITMILP sebagai berikut:

f_opt^± = [f_opt⁻ , f_opt⁺ ]

M_ijkhopt^± = [M_ijkhopt⁻ , M_ijkhopt⁺ ], ∀i, j, k, h

15

16

Y_mkopt^± = [Y_mkopt⁻ , Y_mkopt⁺ ], ∀m, k

Z_imkopt^± = [Z_imkopt⁻ , Z_imkopt⁺ ], i = 2, 3, . . . , u, ∀m, k

Tahap 10 Sekarang peroleh alokasi aliram sampah optimal A^±_ijkhopt = X_ijk^± + M_ijkhopt^± Tahap 11 Berhenti.

4.1 Pemodelan Interval-Parameter Stokastik Integer Programming Campuran Dua Tahap

Berdasarkan pada kebijakan pengelolaan sampah lokal, aliran limbah dari masing- masing tingkat kabupaten standar. Jika tidak melebihi dikenakan biaya biasa (nor- mal) ke sistem. Namun, jika limbah melebihi harus dibuang dan dikenakan biaya tambahan (denda) ke system. Ini berarti biaya operasi dan transportasi meningkat.

Dalam situasi seperti itu, jumlah total aliran limbah akan tetap diperbolehkan. Ja- di manajer dapat merumuskan masalah sebagai meminimalkan biaya dalam sistem.

Untuk mengakomodasi perencanaan sistem seperti itu, MILP dapat dimasukkan dalam kerangka TSP, yang mengarah ke model mixed integer linear programming dua tahap (TMILP). Tujuannya adalah untuk mencapai perencanaan yang optimal ekspansi fasilitas dan alokasi aliran limbah yang relevan dengan diharapkan biaya minimal dalam sistem. Dimana komponen biaya terdiri dari:

a. Biaya transportasi limbah;

b. Biaya operasional limbah yang diizinkan;

c. Biaya transportasi residu;

d. Biaya operasional residu;

e. Biaya transportasi kelebihan limbah;

f. Biaya operasional kelebihan limbah;

g. Biaya pembuangan residu ke tempat pembuangan akhir;

17

h. Biaya untuk memperluas fasilitas pembuangan;

i. Biaya expansi tempat pembuangan akhir.

Pemodelan interval parameter stokastik integer programming campuran dua tahap dapat dituliskan : (Y. P. LI, G. H. HUANG, S. L. NIE, X. H. NIE, and I.

MAQSOOD)

Minimalkan f = Xu

i=1

Xv j=1

Xp k=1

LkXijk(T Rijk+ OPik)

+ Xu

i=2

Xv j=1

Xp k=1

LkXijkF Ei(F Tik+ OP1k)

+ Xu

i=1

Xv j=1

Xp k=1

LkE[M_ijk^(w)](DRijk+ DPik)

+ Xu

i=2

Xv j=1

Xp k=1

LkE[M_ijk^(w)]F Ei(DTik+ DP1k)

+ Xq m=1

Xp k=1

F LCmkYmk+ Xu

i=2

Xq m=1

Xp k=1

F T CimkZimk

− Xu

i=2

Xp k=1

LkXijkREik − Xu

i=2

Xp k=1

LkE[M_ijk^(w)]RMik

dengan memenuhi batasan berikut:

Xv j=1

k⁰

X

k=1

Lk

(

(X1jk+ M_1jk^(w)) + Xu

i=2

F Ei(X1jk+ M_1jk^(w)) )

6 LC Xq m=1

k⁰

X

k=1

∆LCmkYmk, k⁰ = 1, 2, . . . , k

(batasan kapasitas timbunan sampah);

Xv j=1

(Xijk+ M_ijk^(w)) 6 T Ci+ Xq m=1

k⁰

X

k=1

∆T CimkZimk i = 2, 3, . . . , u, k⁰ = 1, 2, . . . , k,

(batasan kapasitas fasilitas pengolahan sampah);

Xv j=1

[Xijk+ M_ijk^(w)] > W Gjk, ∀j, k

18

(batasan permintaan pembuangan sampah);

Xijk_max ≥ Xijk ≥ M_ijk^(w) ≥ 0 (non-negativitas dan batasan teknik);

Ymk

( 6 1

> 0

bilangan bulat, ∀m, k Zimk

( 6 1

> 0

bilangan bulat, i = 2, 3, ..., u. ∀m, k (non-negativitas dan batasan biner);

Xq m=1

Xp k=1

Ymk 6 1

(perluasan timbunan sampah hanya bisa terjadi sekali dalam horizon perencanaan);

Xq m=1

Zimk 6 1 i = 2, 3, . . . , u, ∀k

(fasilitas pengolahan sampah i hanya bisa diperluas satu kali dalam setiap periode k).

Untuk menyelesaikan persoalan ini dengan menggunakan metode LP, dis- tribusi dari masing-masing W Gjk haruslah dikonversi menjadi himpunan ekuiva- len dari nilai-nilai diskrit. Misalkan setiap W Gjk mengambil nilai wjkh dengan probabilitas pjh (untuk h = 1, 2, . . . , s), di mana h didefinisikan sebagai tingkat laju pembentukan sampah di distrik j. Maka persoalan di atas bisa dirumuskan sebagai berikut:

Minimalkan f = Xu

i=1

Xv j=1

Xp k=1

LkXijk(T Rijk+ OPik)

+ Xu

i=2

Xv j=1

Xp k=1

LkXijkF Ei(F Tik+ OP1k)

19

+ Xu

i=1

Xv j=1

Xp k=1

Xs h=1

LkpjhMijkh(DRijk+ DPik)

+ Xu

i=2

Xv j=1

Xp k=1

Xs h=1

LkpjhMijkhF Ei(DTik+ DP1k)

+ Xq m=1

Xp k=1

F LCmkYmk+ Xu

i=2

Xq m=1

Xp k=1

F T CimkZimk

− Xu

i=2

Xv j=1

Xp k=1

LkXijkREik− Xu

i=2

Xv j=1

Xp k=1

Xs h=1

LkpjhMijkhRMik

Xv j=1

k⁰

X

k=1

Lk

(

(X1jk+ M1jkh) + Xu

i=2

F Ei(Xijk+ Mijkh) )

6 LC + Xq m=1

k⁰

X

k=1

∆LCmkYmk, ∀h, k⁰ = 1, 2, . . . , k Xv

j=1

(Xijk+ Mijkh) 6 T Ci+ Xq m=1

k⁰

X

k=1

∆T CimkZimk, ∀h, i = 2, 3, . . . , u, k⁰ = 1, 2, . . . , k, Xv

i=1

[Xijk+ Mijkh] > wjkh, ∀j, k, h Xijk_max > Xijk > Mijkh > 0, ∀i, j, k, h

Ymk

( 6 1

> 0

bilangan bulat, ∀m, k Zimk

( 6 1

> 0

bilangan bulat, i = 2, 3, ..., u. ∀m, k Xq

m=1

Xp k=1

Ymk 6 1 Xq

m=1

Zimk 6 1 i = 2, 3, . . . , u, ∀k

Secara efektif model dapat menangani sampahsampah ekspansi pengelola- han fasilitas sampah dan ketidakpastian inwaste tingkat generasi disajikan sebagai fungsi densitas probalitas. Sebuah pertimbangan berdasarkan model ini ada lah ketidakpastian parameter lain, seperti biaya transportasi limbah, fasilitas operasi, pendapatan dari pengelolaan limbah, dan kapasitas pembuangan limbah. Namun

20

dalam masalah-masalah praktis, informasi yang dapat diperoleh untuk ketidak- pastian tersebut umumnya tidak cocok untuk presentasi sebagai distribusi pro- babilistik (Yeomans dan Huang 2003). Selain itu, jika distribusi yang terse dia, representasi dalam model TSP skala besar bisa sangat menantang (Birge dan Lou- veaux 1988). Akibatnya, parameter interval dapat diperkenalkan ke dalam kerang- ka TSP untuk memfasilitasi penggabungan ketidakpastian dalam proses optimasi.

Ini mengarah ke model ITMILP berikut:

Minimalkan f^± = Xu

i=1

Xv j=1

Xp k=1

LkX_ijk^± (T R^±_ijk+ OP_ik^±)

+ Xu

i=2

Xv j=1

Xp k=1

LkX_ijk^± F E_i^±₁(F T_ik^±+ OP_1k^±)

+ Xu

i=1

Xv j=1

Xp k=1

Xs h=1

LkpjhM_ijkh^± (DR^±_ijk + DP_ik^±)

+ Xu

i=2

Xv j=1

Xp k=1

Xs h=1

LkpjhM_ijkh^± F E_i^±(DT_ik^±+ DP_1k^±)

+ Xq m=1

Xp k=1

F LC_mk^± Y_mk^± + Xu

i=2

Xq m=1

Xp k=1

F T C_imk^± Z_imk^±

− Xu

i=2

Xv j=1

Xp k=1

LkX_ijk^± RE_ik^±− Xu

i=2

Xv j=1

Xp k=1

Xs h=1

LkpjhM_ijkh^± RM_ik^±

dengan batasan Xv

j=1 k⁰

X

k=1

Lk

(

(X_1jk^± + M_1jkh^± ) + Xu

i=2

F E_i^±(X_ijk^± + M_ijkh^± ) )

6 LC^±+ Xq m=1

k⁰

X

k=1

∆LC_mk^± Y_mk^±, ∀h, k⁰ = 1, 2, . . . , k Xv

j=1

(X_ijk^± + M_ijkh^± ) 6 T C_i^±+ Xq m=1

k⁰

X

k=1

∆T C_imk^± Z_imk^± , ∀h, i = 2, 3, . . . , u, k⁰ = 1, 2, . . . , k, Xv

i=1

[X_ijk^± + M_ijkh^± ] > w^±_jkh, ∀j, k, h X_ijk^±_max > X_ijk^± > M_ijkh^± > 0, ∀i, j, k, h

21

Y_mk^±

( 6 1

> 0

bilangan bulat, ∀m, k Z_imk^±

( 6 1

> 0

bilangan bulat, i = 2, 3, ..., u. ∀m, k Xq

m=1

Xp k=1

Y_mk^± 6 1 Xq

m=1

Z_imk^± 6 1 i = 2, 3, . . . , u, ∀k

di mana superskrip ± menotasikan kuantitas parameter interval, superskrip meno- tasikan kuantitas batas bawah dan superkrip + menotasikan kuantitas batas atas.

Model ITMILP ini bisa ditransformasikan menjadi dua submodel determin- istik yang bersesuaian dengan batas bawah dan batas atas dari nilai fungsi tujuan (f⁻) yang bisa dirumuskan sebagai berikut:

Minimalkan f⁻ = Xu

i=1

Xv j=1

Xp k=1

LkX_ijk⁻ (T R⁻_ijk+ OP_ik⁻)

+ Xu

i=2

Xv j=1

Xp k=1

LkX_ijk⁻ F E_i⁻₁(F T_ik⁻+ OP_1k⁻)

+ Xu

i=1

Xv j=1

Xp k=1

Xs h=1

LkpjhM_ijkh⁻ (DR⁻_ijk + DP_ik⁻)

+ Xu

i=2

Xv j=1

Xp k=1

Xs h=1

LkpjhM_ijkh⁻ F E_i⁻(DT_ik⁻+ DP_1k⁻)

+ Xq m=1

Xp k=1

F LC_mk⁻ Y_mk⁻ + Xu

i=2

Xq m=1

Xp k=1

F T C_imk⁻ Z_imk⁻

− Xu

i=2

Xv j=1

Xp k=1

LkX_ijk⁻ RE_ik⁻− Xu

i=2

Xv j=1

Xp k=1

Xs h=1

LkpjhM_ijkh⁻ RM_ik⁻

22

Xv j=1

k⁰

X

k=1

Lk

(

(X_1jk⁻ + M_1jkh⁻ ) + Xu

i=2

F E_i⁻(X_ijk⁻ + M_ijkh⁻ ) )

6 LC⁻+ Xq m=1

k⁰

X

k=1

∆LC_mk⁻ Y_mk⁻, ∀h, k⁰ = 1, 2, . . . , k Xv

j=1

(X_ijk⁻ + M_ijkh⁻ ) 6 T C_i⁻+ Xq m=1

k⁰

X

k=1

∆T C_imk⁻ Z_imk⁻ , ∀h, i = 2, 3, . . . , u, k⁰ = 1, 2, . . . , k, Xv

i=1

[X_ijk⁻ + M_ijkh⁻ ] > w⁻_jkh, ∀j, k, h X_ijk⁻

max > X_ijk⁻ > M_ijkh⁻ > 0, ∀i, j, k, h Y_mk⁻

( 6 1

> 0

bilangan bulat, ∀m, k Z_imk⁻

( 6 1

> 0

bilangan bulat, i = 2, 3, ..., u. ∀m, k Xq

m=1

Xp k=1

Y_mk⁻ 6 1 Xq

m=1

Z_imk⁻ 6 1 i = 2, 3, . . . , u, ∀k

di mana M_ijkh⁻ , Y_mk⁻, dan Z_imkopt⁻ adalah variabel-variabel keputusan. Misalkan M_ijkhopt⁻ , Y_mkopt⁻ , dan Z_imkopt⁻ adalah penyelesaian dari submodel (4). Menurut Huang et al., (1992), submodel yang bersesuaian dengan batas atas dari nilai fungsi tujuan (f⁺) bisa dirumuskan sebagai berikut:

Minimalkan f⁺ = Xu

i=1

Xv j=1

Xp k=1

LkX_ijk⁺ (T R⁺_ijk+ OP_ik⁺)

+ Xu

i=2

Xv j=1

Xp k=1

LkX_ijk⁺ F E_i⁺

1(F T_ik⁺+ OP_1k⁺) +

Xu i=1

Xv j=1

Xp k=1

Xs h=1

LkpjhM_ijkh⁺ (DR⁺_ijk+ DP_ik⁺)

+ Xu

i=2

Xv j=1

Xp k=1

Xs h=1

LkpjhM_ijkh⁺ F E_i⁺(DT_ik⁺+ DP_1k⁺)

23

+ Xq m=1

Xp k=1

F LC_mk⁺ Y_mk⁺ + Xu

i=2

Xq m=1

Xp k=1

F T C_imk⁺ Z_imk⁺

− Xu

i=2

Xv j=1

Xp k=1

LkX_ijk⁺ RE_ik⁺− Xu

i=2

Xv j=1

Xp k=1

Xs h=1

LkpjhM_ijkh⁺ RM_ik⁺

dengan batasan Xv

j=1 k⁰

X

k=1

Lk

(

(X_1jk⁺ + M_1jkh⁺ ) + Xu

i=2

F E_i⁺(X_ijk⁺ + M_ijkh⁺ ) )

6 LC⁻+ Xq m=1

k⁰

X

k=1

∆LC_mk⁻ Y_mk⁺, ∀h, k⁰ = 1, 2, . . . , k Xv

j=1

(X_ijk⁺ + M_ijkh⁺ ) 6 T C_i^±+ Xq m=1

k⁰

X

k=1

∆T C_imk⁻ Z_imk⁺ , ∀h, i = 2, 3, . . . , u, k⁰ = 1, 2, . . . , k, Xv

i=1

[X_ijk⁺ + M_ijkh⁺ ] > w⁺_jkh, ∀j, k, h X_ijk⁺

max > X_ijk⁺ > M_ijkh⁺ > 0, ∀i, j, k, h Y_mk⁺

( 6 1

> 0

bilangan bulat, ∀m, k Z_imk⁺

( 6 1

> 0

bilangan bulat, i = 2, 3, ..., u. ∀m, k Xq

m=1

Xp k=1

Y_mk⁺ 6 1 Xq

m=1

Z_imk⁺ 6 1 i = 2, 3, . . . , u, ∀k M_ijkh⁺ ≥ M⁻ijkhopt⁰, ∀i, j, k, h

Y_mk⁺ ≥ Y_mkopt⁻ ∀m, k

Z_imk⁺ ≥ Z_imkopt⁻ i = 1, 2, . . . , u, , ∀m, k

dimana M_ijkh⁺ , Y_mk⁺ dan Z_imk⁺ adalah variabel-variabel keputusan. Misalkan M_ijkhopt⁺ , Y_mkopt⁺ dan Z_imkopt⁺ adalah penyelesaian dari submodel (5). Maka penyelesaian model ITMILP primer (3) bisa diperoleh dengan mengintegrasikan penyelesaian- penyelesaian untuk submodel (4) dan (5):

f_opt^± = [f_opt⁻ , f_opt⁺]