07 Persamaan Logaritma

1

PERSAMAAN DAN FUNGSI EKSPONEN

SERTA LOGARITMA

E. Persamaan Logaritma

Pada materi kelas X telah diuraikan tentang logaritma. Adapun pengertian logaritma adalah : Jika alogb  c maka b  ac

Terdapat beberapa sifat dalam logaritma, yaitu

(1) alogp  alogq  alogp.q (2)

Pada bab ini akan dibahas persamaan logaritma sederhana, yaitu bentuk logaritma

f(x) log

a _{. Untuk menyelesaikan persamaan logaritma sederhana, diperlukan}

aturan-aturan sebagai berikut :

(1) Jika alogf(x) = alogg(x) maka f(x) = g(x) asalkan f(x) > 0 dan g(x) > 0

(2) Jika alogf(x) = blogf(x) maka f(x) = 1 dimana a  b

(3) Jika A



alogf(x)



2 + B



alogf(x)



+ C = 0 maka bentuk itu diubah kedalam persamaan kuadrat asalkan f(x) > 0

Untuk lebih jelasnya, ikutilah contoh soal berikut ini :

2

(x – 4)(x + 8) = 0 x = 4 dan x = –8 Jadi H = {–8, 4}

02. Tentukanlah himpunan penyelesaian dari 2.3log(x5) – 3log(182x) = 0

Jawab

2.3log(x5) – 3log(182x) = 0

3log(x5)2 = 3log(182x)

3log(x2 10x25) = 3log(182x) Maka x2– 10x + 25 = 18 – 2x

x2– 10x + 2x +25 – 18 = 0 x2– 8x + 7 = 0

(x – 7)(x – 1) = 0 x = 1 atau x = 7

Karena untuk x = 1 berlaku x – 5 = 1 – 5 = –4 < 0 maka x = 1 tidak memenuhi

Jadi H = {7}

03. Tentukanlah himpunan penyelesaian dari 2.2log(x3) = 1 + 2log(x7)

Jawab

2.2log(x3) = 1 + 2log(x7)

2 2_{log(x3) =}

2 log

2 ₊

) 7 (x log

2 _

2 2_{log(x3) =}

) 7 2(x log

2 _

) 9 6 (x log 2

2 _{ x =}

) 14 (2x log

2 _

Maka x2 + 6x + 9 = 2x + 14 x2 + 6x + 9 – 2x – 14 = 0 x2 + 4x – 5 = 0

(x + 5)(x – 1) = 0 x = –5 atau x = 1

Karena untuk x = –5 berlaku x + 5 = –5 + 3 = –2 < 0 maka x = –5 tidak memenuhi

Jadi H = {1}

04. Tentukanlah himpunan penyelesaian dari 3log(x4) = 9log(26x2)

Jawab

4) (x log

3 _{ =} 9_log(26x2₎

2 4) (x log

2

3 _{ =}

) x (26

log 2

3 )

16 8 (x log 2

9 _{ }

x = 9log(26x2)

Maka x2 + 8x + 16 = 26 – x2 x2 + 8x + 16 + x2– 26 = 0 2x2 + 8x – 10 = 0

x2 + 4x – 5 = 0 (x + 5)(x – 1) = 0 x = –5 atau x = 1

Karena untuk x = –5 berlaku x + 4 = –5 + 4 = –4 < 0 maka x = –5 tidak memenuhi

Jadi H = {1}

05. Tentukanlah himpunan penyelesaian dari 3log2x – 2.3log x2 – 8 = 0 Jawab

x log2

3 _{– 2.}3_{log x}2 _{– 8 = 0}

x log2

3 _{– 4.}3_{log x –}

8 = 0 Misal 3log x = p p2– 4p – 8 = 0

(p – 4)(p + 2) = 0 p = 4 atau p = –2

maka 3log x = 4 sehingga x = 34 = 81 3log x = –2 sehingga x = 32 = 1/9 Jadi H = {1/9, 81}

06. Tentukanlah nilai x jika (2x)log5x = 4 Jawab

x 5 log

) x 2

( = 4

x 5 log

2 xlog5x= 22

xlog5x = 22log5x

xlog5x = 5x

100

log

2

xlog5x = x

20

log

2

(log 5x)(log x) = (log

x 20

)(log 2)

(log 5 + log x)(log x) = (log 20 – log x)(log 2) log 5.log x + log2x = log 20.log 2 – log x.log 2

log 5.log x + log2x = (log 2 + 1).log 2 – log x.log 2

4

log 5.log x + log x.log 2 = log22 + log 2 – log2x

log x.(log 5 + log 2) = log22 + log 2 – log2x

log x = log22 + log 2 – log2x

log x – log 2 = log22 – log2x

–(log 2 – log x) = (log 2 – log x)(log 2 + log x) (log 2 – log x) – (log 2 – log x)(log 2 + log x) = 0 (log 2 – log x) [1 +(log 2 + log x)] = 0

(log 2 – log x) [log 10 + log 2 + log x] = 0 (log 2 – log x) [log 20 + log x] = 0

Maka log 2 – log x = 0 dan log 20 + log x = 0 log x = log 2 log x = –log 20 x = 2 x = 1/20

07. Tentukanlah penyelesaian dari log x

2

10 + 10. xlogx= logx

1

x

+ log 10 Jawab

x log x log

10   



+ 10. xlogx= logx

1

x

+ 1

x log

x +

x log

x 1

= log10 x

x + 1

x log

x +

x log

x 1

= 10 + 1 misalkan xlogx = P

P +

P 1

= 11

2

P – 11P + 10 = 0

(P – 10)(P – 1) = 0

1

p = 10

2

p = 1

x log

x = 10 xlogx= 1

logxlogx= log 10 logxlogx= log 1 (log x) (log x) = 1 (log x) (log x) = 0

x

log2 = 1 log2x = 0

Log x = 1 atau log x = –1 log x = 0

1

x = 10 atau 2

x = 1/10 3

5

08. Tentukanlah penyelesaian dari 3x4log(2x1)2 + 2x1log(6x2 11x4)

= 4 Jawab

2 4

3x

1) (2x log 

 ₊

) 4 11 (6x log 2

1

2x _{ }

x

= 4

2 4

3x

1) (2x log 

 ₊

) 1 2 )( 4 (3x log

1

2x _{ }

x

= 4

2 4

3x _{log(2x1) +} 2x1_log(3x4)

+ 2x1log(2x1) = 4

2 4

3x

1) (2x log 

 ₊

) 1 (2x log 4 3x

1

