DIMENSI PARTISI DARI GRAF
CAVEMAN, GRAF
GENERALIZED
PETERSEN, DAN GRAF
Km
∗
2Kn
oleh
META ILAFIANI
M0112055
ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan
ABSTRAK
Meta Ilafiani, 2017. DIMENSI PARTISI DARI GRAFCAVEMAN, GRAF
GENERALIZED PETERSEN, DAN GRAF Km∗2Kn. Fakultas Matematika
dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Sebelas Maret.
MisalkanGadalah graf terhubung dengan himpunanvertex V(G) = {v1, v2, . . . , vn} dan himpunan edge E(G) = {e1, e2, . . . , en}. Vertex-vertex tersebut
dibagi menjadi k−partisi, dinotasikan dengan S1, S2, . . . , Sk. Himpunan Π =
{S1, S2, . . . , Sk} adalah himpunan k−partisi terurut. Representasi untuk setiap
vertex V(G) terhadap Π adalah jarak minimum dari suatu vertex ke Si dengan
1 ≤ i ≤ k, dinotasikan dengan r(v|Π) = (d(v, S1), d(v, S2), . . . , d(v, Sk)). Jika
setiapvertex memiliki representasi yang berbeda, maka Π disebut partisi pembe-da dengan k−partisi pembeda. Kardinalitas minimum dari k−partisi pembeda terhadap V(G) disebut dimensi partisi dariG, dinotasikan dengan pd(G).
Dalam penelitian ini, ditentukan dimensi partisi dari grafcaveman C(n, k), grafgeneralized Petersen P(n, k), dan grafKm∗2Kn. Berdasarkan pembahasan,
diperoleh hasil dimensi partisi untuk grafC(n, k),P(n, k), danKm∗2Kn. Untuk
ABSTRACT
Meta Ilafiani, 2017. ON THE PARTITION DIMENSION OFCAVEMAN
GRAPH,GENERALIZED PETERSEN GRAPH, AND Km∗2Kn GRAPH.
Faculty of Mathematics and Natural Sciences, Sebelas Maret University.
Let G be a connected graph with vertex set V(G) = {v1, v2, . . . , vn} and
edge set E(G) = {e1, e2, . . . , en}. Those vertices are divided into k-partition,
denoted by S1, S2, . . . , Sk. Set of Π = {S1, S2, . . . , Sk} be an ordered set of
k-partition. The representation for every vertex V(G) with respect to Π is a minimum distance of a vertex to Si with 1 ≤ i ≤ k, denoted by r(v|Π) =
(d(v, S1), d(v, S2), . . . , d(v, Sk)). If every vertex has distinct representation, Π is
called a resolving k-partition. Minimum cardinality of a resolving k-partition of
V(G) is called by partition dimension ofG, denoted by pd(G).
In this research, we determine partition dimension of a caveman graph
PERSEMBAHAN
Karya ini kupersembahkan untuk
MOTO
KATA PENGANTAR
Bismillahirrahmanirrahim,
Segala puji bagi Allah SWT atas segala rahmat dan hidayah-Nya, sehingga
penulis dapat menyelesaikan skripsi ini. Sholawat serta salam selalu dihaturkan
kepada Nabi Muhammad SAW. Penulis menyadari bahwa terwujudnya skripsi
ini berkat dorongan, dukungan, dan bimbingan dari berbagai pihak. Oleh karena
itu, penulis menghaturkan terima kasih kepada semua pihak yang telah membantu
dalam penulisan skripsi ini, terutama kepada
1. Prof. Drs. Tri Atmojo Kusmayadi, M.Sc. Ph.D. sebagai Pembimbing
I yang telah memberikan bimbingan dan motivasi sehingga penulis dapat
menyelesaikan skripsi ini dan
2. keluarga serta teman-teman yang telah memberikan semangat dan motivasi
dalam menyelesaikan skripsi ini.
Penulis berharap semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi semua pembaca.
Surakarta, Februari 2017
III METODE PENELITIAN 15
IV HASIL DAN PEMBAHASAN 16
4.1 Dimensi Partisi pada Graf Caveman . . . 16 4.2 Dimensi Partisi pada Graf Generalized Petersen . . . 23 4.3 Dimensi Partisi pada Graf Km∗2Kn . . . 25
V PENUTUP 32
5.1 Kesimpulan . . . 32
5.2 Saran . . . 32
DAFTAR GAMBAR
2.1 Graf G . . . 6
2.2 Graf terhubung dan graf tidak terhubung . . . 7
2.3 Graf G1 isomorfik dengan graf G2 . . . 8
2.4 Graf lengkap untuk p= 1,2,3,4 . . . 8
2.5 Graf G . . . 9
2.6 Graf K3, K4, dan K3∗2K4 . . . 9
2.7 Graf caveman untuk n= 3, k = 5 . . . 10
2.8 Graf Generalized Petersen untuk n = 5, k = 2 dann= 8, k= 3 . . 11
2.9 Graf K3, K4, dan K3∗2K4 . . . 11
DAFTAR NOTASI
V(G)−X : penghapusan himpunan vertex X dari himpunan vertex G
N : himpunan bilangan alam
Si : kelas partisi ke-i
d(x, y) : jarak dari vertex x ke y
d(v, S) : jarak dari vertex v terhadap himpunan bagian S
Π : partisi pembeda
r(v|Π) : representasi jarak setiap vertex v terhadap Π
∗2 : operasi amalgamasiedge
Cn∗2 Km : graf amalgamasi dari graf Cn dan Km ber-order m+n−2
