makalah dualitas

MAKALAH DUALITAS MAKALAH DUALITAS Makalah ini diajukan untuk Memenuhi

Makalah ini diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Tugas Mata KuliahSalah Satu Tugas Mata Kuliah Program Linier 

Program Linier 

Dosen Pengampu: Kintoko M. Pd, Dosen Pengampu: Kintoko M. Pd,

Oleh: Oleh: H

Heepprry y uurriikkaa !!""!!""""!!######$$%% &itra

&itra Murti Murti 'nggraini 'nggraini !"!""!###$(!"!""!###$( )

)mmi i ''rrii**aah h !!""!!""""!!######((++ H

Haarri i aannttoorroo !!""!!""""!!######((-

-Kelas $'+ Kelas $'+

PROGRAM STUDI

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMAPENDIDIKAN MATEMATIKATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS PGRI YOGYAKARTA UNIVERSITAS PGRI YOGYAKARTA

2017 2017

DAFTAR ISI DAFTAR ISI

MAKALAH

MAKALAH DUALITDUALITAS...AS... 11 DAFT

DAFTAR AR ISI...ISI...2...2 DUALIT

DUALITAS...AS...3...3 A.

A. PengPengertan ertan PrimaPrimal l dan dan Dual.Dual...3...3 B.

B. TTafiran afiran !"#n#mi !"#n#mi TTen$ang en$ang Maala% Maala% Duali$a...Duali$a...&...& '.

'. DualDuali$a i$a dan dan (en)(en)eleaieleaiannann)a..)a...*...* D.

D. Mem+aMem+andinnding"an $g"an $a+el #(a+el #(tmal (rtmal (rimal daimal dan $a+n $a+el #(tmel #(tmal dual.al dual...1,...1, DAFT

DAFTAR AR PUSTPUSTAKA...AKA... 2-

2-ii ii

DUALITAS

 Associated with any LP is another LP, called thedual.”_{/aik dari sudut}

 pandang teori maupun praktik, teori dualitas merupakan salah satu konsep yang sangat penting dan menarik dalam linear programing0LP1. 2stilah dualitas menunjuk   pada kenyataan 3ah4a setiap LP terdiri dari dua 3entuk. /entuk pertama atau 3entuk 

asli dinamakan primal, sementara 3entuk yang kedua yang 3erhu3ungan dinamakan dual demikian sehingga suatu solusi terhadap LP yang asli juga mem3erikan solusi  pada 3entuk dualnya. 5adi, jika suatu LP diselesaikan dengan metode simpleks,

sesungguhnya diperoleh penyelesaian untuk dua masalah LP. A. Pengertin Pri!" #n D$"

Pada tahun !("$, 5. 6on 7euman mem*ormulasikan dual dari model PL. 8aria3el98aria3el dari model dual dikaitkan dengan kendala9kendala dan  persyaratan non negati8e. Model PL yang asli dise3ut primal dan *ormulasi yang  3aru dise3ut dual. 'ndaikan model matematika dari suatu masalah P disajikan

se3agai 3erikut: Model 2a. Maks :  ; &<

h.m : '< = 3, < > #

Maka dengan menggunakan 3ilangan93ilangan yang ada pada Model 2a, kita dapat menyusun suatu model matematika 3aru se3agai 3erikut:

Model 23: Min : ? ; 3? h.m : '? @ #,  @ #

dual model matematika diatas dengan menggunakan notasi sigma dapat dinyatakan se3agai 3erikut :

Model 2A : Maks :  ; A.B A j B j h.m : aijBij= 3i

�

< j @ #, i C !, ,E,m,j ; !, , E.n Model 2d: 3

Min : ? ; b yi i h.m :

�

b y  ji i

�

cj

#, !, D, ..., , !, D, ...,

i

 y

�

i = m j = n

Model matematika diatas juga dapat ditulis seAara le3ih rinAi se3ag ai 3erikut : Model 2A : ! ! D D !! ! !D D ! ! D! ! DD D D D ! ! D D : ... . : ... ... .... #, !,D,..., n n n n n n n n mn n m  j  Maks Z c x c x c x h m a x a x a x b a x a x a x b a y a x a x b  x j n = + + + + + + = + + + = + + + = =

�

L L L L L L L L L L L L L

Model 2*: ! ! D D !! ! !D D ! ! D! ! DD D D D ! ! D D : ... . : ... ... .... #, !,D,..., n n n n n n n n mn n  j  Maks Z b y b y b y h m a y a y a y c a y a y a y c a y a x a x  x j m = + + + + + + = + + + = + + + =

�

L L L L L L L L L L L L L

Model 2a, 2A, dan 2e adalah model 3aku 0standar1 dari masalah maksimum, sedangkan model 23, 2d, dan 2* adalah model 3aku dari masalah minimum.

Tampak 3ah4a,

1. Model 2a, 2A dan 2e 3erkaitan dengan masalah maksimu, sedangkan model 23, 2d dan 2* 3erkaitan dengan masalah minimum.

2. 6aria3el98aria3el pada semua model nilainya non negatip.

3. Koe*isien *ungsi tujuan pada masalah maksimum merupakan nilai ruas kanan  pem3atas pada masalah minimum, dan se3aliknya.

. Matriks koe*isien pada masalah maksimum merupakan transpose matriks koe*isien pada masalah minimum.

Dari pem3iAaraan dimuka setiap kali suatu masalah PL disusun model matematikanya dalam 3entuk 3aku, maka kita dapat menyusun model matematika  3aru yang 3erkaitan erat antara satu dengan yang lain. Masalah PL yang dirumuskan  pertama dise3ut Primal sedangkan masalah yang kedua adalah primal dari masalah

yang kedua dan masalah yang kedua adalah dual dari masalah pertama, 3oleh juga dikatakan se3aliknya.

2de matematis masalah dual seperti diuraikan diatas ada man*aatnya di dalam masalah konkrit, utaanya di3idang ekonomi. 2de terse3ut 3erman*aat untuk  memeAahkan 3e3erapa masalah ekonomi khususnya untuk mengu3ah masalah maksimum menjadi masalah minimum yang saling 3erkaitan atau se3aliknya. Dua masalah yang 3erhu3ungan seAara tangga itu sangat erat hu3ungannya, se3a3 yang satu di3entuk dari masalah yang lain. Mereka memasalahkan sum3er daya atau input yang sama. Hal itu terlihat pada model matematika kedua masalah yang menggunakan. /ilangan93ilangan atau koe*isien9koe*isien yang sama. Fratnya hu3ungan antara primal dan dual ditunjukkan juga oleh teorema 3erikut:

5ika primal mempunyai PO, maka dual juga mempunyai PO. Hal ini 3erlaku  pula se3aliknya. PO kedua masalah terse3ut akan mem3erikan nilai *ungsi tujuan yang sama 3esarnya. SeAara matematis, se3agaimana diuraikan pada a4al 3a3 ini, setiap ada model matematika selalu dapat disusun model matematika dualnya. 'kan tetapi model matematika dari dual 3elum tentu dapat dita*sirkan seAara tegas dalam masalah ekonomi, 4alaupun primal merupakan masalah nyata.

%. T&'irn E()n)!i Tentng M'"* D$"it'

/erikut adalah 3entuk masalah PL yang mengandung masalah dualitas. &ontoh :

Perusahaan *armasi G'M'2' memiliki persediaan  kuintal Iat ' dan % kuintal Iat / se3agai 3ahan pem3uatan o3at, /ahan 3aku terse3ut dipakai untuk  mem3uat + maAam o3at, yaitu P,O dan . o3at P murni dengan 3ahan 3aku Iat ' da3 dan dijual dengan harga J+# per ons. O3at  merupakan Aampuran Iat ' dan Iat / dengan per3andingan !:! dan dijual dengan harga J"# per ons. O3at  merupakan Aampuran Iat ' dan Iat / sehingga 3anyaknya Iat / tiga kali lipat Iat ', dan dijual dengan harga J-# per ons. Perusahaan *armasi G'M'2' ingin memperoleh hasil  penjualan yang se3esar93esarnya dari kegita maAam o3at terse3ut.

Sementara ini perusahaan *armasi 'G2'T ingin mem3eli 3ahan 3aku p3at Iat / dari  perusahaan *armasi G'M'2'. Perusahaan *armasi 'G2'T mena4arkan harga  pem3eli per ons untuk masing9masing 3ahan 3aku. Perusahaan *armasi 'G2'T ingin menentukan harga pem3eli per ons yang seminimal mungkin dan perusahaan *armasi G'M'2' akan menerima ta4aran kalau hasil penjualan ke perusahaan 'G2'T tidak 3erkurang di3anding jika dijual sendiri dalam 3entuk o3at.

Model matematika dari masalah yang dihadapi perusahaan *armasi G'M'2' dapat disusun se3agai 3erikut:

Maksimalkan :

 : hasil penjual ketiga maAam o3at 0dalam dollar1

<! : 3anyaknya o3at P yang diproduksi 0dalam ons1

< : 3anyaknya o3at  yang diproduksi 0dalam ons1

<+ : 3anyaknya o3at  yang diproduksi 0dalam ons1

Dari in*ormasi terse3ut diperoleh :

 /anyaknya Iat ' yang diperlukan untuk mem3uat o3at P adalah B! ons  /anyaknya Iat ' yang diperlukan untuk mem3uat o3at  adalah  B_ ons  /anyaknya Iat ' yang diperlukan untuk mem3uat o3at  adalah  B₊ ons  /anyaknya Iat / yang diperlukan untuk mem3uat o3at P adalah # ons  /anyaknya Iat / yang diperlukan untuk mem3uat o3at  adalah  x_ ons,  /anyaknya Iat / yang diperlukan untuk mem3uat o3at  adalah N x₊ ons,

Persediaan Iat ' se3anyak  kuintal sama dengan ### ons, dan persediaan Iat / sama dengan %### ons. Selanjutnya diperoleh:

Model 22a:

Maks.  ; +# x!  "# x  -# x+

h.m: x!   x  x+ = ###

 x  N x+= %###

 x!, x, x+ @ #

model matematika dari masalah yang dihadapi perusahaan *armasi 'G2'T dapat disusun se3agai 3erikut.

Misalkan:

? : 3iaya pem3elian Iat ' dan / 0dalam dollar1

 y! : harga per ons Iat ' 0dalam dollar1

 y : harga per ons Iat / 0dalam dollar1

maka diperoleh hu3ungan ? ; ### y!  %### y

Karena o3at P hanya terdiri atas Iat ' 0! ons o3at P memerlukan ! ons Iat ' dan harga jual per ons o3at P adalah J+#, maka untuk setiap ons Iat ' perusahaan *armasi 'G2'T sekurang9kurangnya harusmem3ayar kepada G'M'2' se3esar  J+#. 5adi diperoleh hu3ungan.

 y!@ +#

karena setiap ons o3at  mengandung  ons Iat ' dan  ons Iat /, dan harga jual  per ons o3at  se3esar J"#, maka untuk setiap  ons Iat ' ditam3ah  ons Iat / yang terkandung pada o3at  harus di3ayar oleh 'G2'T sekurang9kurangnya J"#. Diperoleh hu3ungan.

 y!  N y @ "#

Dengan penalaran yang sama dari in*ormasi yang 3erkaitan dengan o3at  diperoleh hu3ungan:

 y!  N y @ -#

Dengan demikian G'M'2' tidak mengalami penurunan hasil penjualan apa3ila  3ersedia menjual 3ahan 3akunya kepada 'G2'T. Model matematika dari masalah

'G2'T adalah Model 223

Min ? ; ### y!  %### y

h.m: y!@ +#

 y!   y @ "#

 y!  N y@ -#

 y!, y @ #

Model matematika dari masalah dualitas diatas ialah Primal: model 22a

Dual: model 223

&ontoh diatas menunjukkan 3ah4a dari suatu sum3er daya yang sama munAul dua masalah. Pertama, masalah yang dihadapi oleh perusahaan *armasi G'M'2'

-yang dapat dianggap se3agai primal 0masalah utama1, yaitu masalah memaksimumkan penjualan o3at dengan kendala ter3atasnya 3ahan 3aku. Kedua, masalah yang dihadapi perusahaan *armasi 'G2'T yang dapat dianggap dual dari masalah pertama, yaitu masalah minimumkan 3iaya pem3elian 3ahan 3aku dengan kendala harga yang minimal.

+. D$"it' #n ,en-e"e'inn-

Pada 3ahasan ini dalam menentukan PO akan digunakan metode simpleks, tetapi sim3ul j9Aj dalam ta3le tetap digunakan 4alaupun sym3ol untuk *ungsi tujuan mungkin sudah diganti dengan ?, T, T?, , P, ds3. Pada masalah yang dihadapi oleh  perusahaan *armasi G'M'2' dan 'G2'T, model matematika primal dapat diu3ah

menjadi:

Maks:  ; +# x!  "# x  -# x+  # S!  # S

h.m: x!   x   x+  S!; ###

 x  N x+ S ; %###

 x!, x, S!, S @ #

 pengerjaan selanjutnya, metode simpleks menghasilkan Ta3el %.!.a dan Ta3el %.!.3. ta3le %.!.a +# "# -# # # A 3 6D/ Q  x!  x  x+ S! S # S! ### !  9 ! # # S %### #  N # !  j9 A j 9+# 9"# 9-# # # Ta3le %.!.3 +# "# -# # # A 3 6D/ Q  x!  x  x+ S! S -#  x! R### "  ! " # # S # 9+ 9! # 9+ !  j9 A j "##### 9!$# %# # ## # *

Pada ta3le %.!.3, ternyata  j 9 A j @ # untuk semua j. 5adi sudah diperoleh program

optimal. 5a4a3an atas model adalah maks ; "##.### diAapai 3ila x! ; #, x ; #, dan

 x+ ; R###. 5a4a3an atas masalah adalah G'M'2' akan memperoleh hasil

 penjualan maksimum se3esar J"#.### jika hanya mem3uat o3at  se3anyak R### ons. Model matematika masalah dual dengan terle3ih dahulu mende*inisikan I? ; 9? dapat diu3ah menjadi

Maks: ? ; 9### y! C %### y  # S!  # S C M xa! C M xa

h.m: y! C S!  xa! ; +#

 y!   y C S  xa ; "#

 y!  N y C S+  xa+ ; -#

 y!, y, S!, S, S+, xa!, xa, xa+ @ #

 pengerjaan selanjutnya dengan metode simpleks menghasilkan Ta3el %..a, Ta3el %..3, Ta3el %..A.

ta3le %..a

9### 9%### # # # 9M 9M 9M

A 3 6D/   y!  y S! S S+  ya!  ya  ya+

9M  ya! +# ! # 9! # # ! # # 9M  ya "#   # 9! # # ! # 9M  ya+ -# N N # # 9! # # !  j9 A j 9 !#M 9NM ### 9-" %### M M M # # # Ta3le %..3 9### 9%### # # # 9M 9M 9M

A 3 6D/   y!  y S! S S+  ya!  ya  ya+

9 ###  y! +# ! # 9! # # ! # # 9M  ya - #   9! ! 9 ! # 9M  ya+ "  # N  # # 9 # !  j9 A j 9%  M # 9-" %### 9N M ### M M NM # # /

Ta3le %..A

9### 9%### # # # 9M 9M 9M

A 3 6D/   y!  y S! S S+  ya!  ya  ya+

9 ###  y! +# ! # 9! # # ! # # 9 %###  y -# # ! ! 9 # 9!  # 9M  ya+ - # # 9 + 9!  9+ !  j9 A j 9-M 9+%## # # # M 9"## # 9+M !### M M "### +M 9!## # # Ta3el %..d 9### 9%### # # # 9M 9M 9M

A 3 6D/   y!  y S! S S+  ya!  ya  ya+

9 ###  y! +# ! # 9! # # ! # # 9 %###  y -% + # !

!

S

+

# "S+ 9!+ # "+ # S 2 !#+ # # 9 + S ! ! 9+ !+ 9! +  j9 A j 9 "##### # # # # R### M M M9 R### Ta+el ,.2.e 9### 9%### # # # 9M 9M 9M

A 3 6D/   y!  y S! S S+  ya!  ya  ya+

9 ## #  y! ## ! + # # 9" # # " # S  !$# # + ! # 9" 9! # " # S 2 %# # ! # ! 9 # 9!   j9 A j 9 "##### # # # # R### M M M9 R### 10

Ta3el %..d dan Ta3el %..e menunjukkan 3ah4a ? maks; 9"##.### diAapai  3ila y!; .### dan y ; # atau y!; +# dan y; -# +. 2ni 3erarti ?min ;

"##.### diAapai 3ila y! ; ## dan y; # atau y!; +# dan y-% +. Kasus

terjadinya PO le3ih dari satu.

5adi suapay perusahaan *armasi 'G2'T mengeluarkan 3iaya sekeAil mungkin untuk pem3elian Iat ' dan Iat / se3esar J"##.### maka per ons Iat ' dan Iat / dengan harga y!rupiah dan per ons Iat / dengan harga yrupiah sehingga



0 , 1S + D##,+# D##



1 ,

0 y_!  y_D  y_!  y_D  y_! +  y_D =  y_! 

Saah satu Aontoh penetapan harga ialah harga per ons Iat  J+#,9 dan harga  per ons Iat / J -%,%$ 0pem3ulatan1

&ontoh:

Misalkan di3erikan suatu masalah PL yang model matematikanya se3agai 3erikut: Primal: min. DD## x! +DR##   xD ++D##x+ h.m: " x_! +R x_D +%x₊  !-!" $ $ - x_! +  x_D + x₊  !# -" + x_! +  x_D + y₊  !# , , _{D +} !  x  y   x

Karena model primal sudah dalam 3entuk standar maka kita dengan mudah menentukan model matematika dualnya:

Dual: maB. ; !- y! +!" yD +!#y+

h.m : " y_! +- y_D ++y₊ DD## DR## " $ R x_! +  x_D + x₊  +D## -$ % x_! +  x_D + x₊  # , , _{D +} !  x  y   x

Ta3el %.+, ta3el %.+.3 dan ta3el %.+.A menunjukkan langkah9langkah alogaritma simpleks untuk menyelesaikan masalah primal. Langkah9 langkah dan perhitungan

seAara detail diserahkan pem3aAa. Dan ta3el %.".3 ta3el %.".A dan ta3el %.".d menunjukkan langkah9langkah alogaritma dual.

Ta+el ,.3. a 9## 9R## 9+## # # # 9M 9M 9M A 3 6D/   x1  x2  x3 S 1 S 2 S 3  xa1  xa2  xa3 9M  xa1 !- " R % 9! # # ! # # 9M  xa2 !" - $ $ # 9! # # ! # 9M  xa3 !# + " - # # 9! # # ! 9 +(M 9!M ## 9!(M R## 9!RM +## M M M # # # Ta+el ,.3. + 9 ## 9 R## 9+## # # # 9M 9M 9M A 3 6D/   x1  x2  x3 S 1 S 2 S 3  xa1  xa2  xa3 9 R##  x2 !-R !  ! %R 9!R # # !R # # 9M  xa2 !"R +  # $" !R 9! # 9$R ! # 9M  xa3 !# ! "#  ! # 9! 9! # ! 9-##  C  $RM R##; -M # !!##  !-"M +-# !-"M M M +-# !((M # # Ta+el ,.3.  9 ## 9 R## 9 +## # # # 9M 9M 9 M A 3 6D/   x1  x2  x3 S 1 S 2 S 3  xa1  xa2  xa3 9 R##  x2 + 9!  ! # 9! +$ # ! +$ # 9M  x3 ! % $ # ! ! 9"$ # 9! "$ # 9M  xa3 + -$ # # 9! R$ 9! ! 9R$ ! 9 -R## -$9 !### # # !M9 ## R$M9 ""##$ M !M9 ## !%$M  C  # 12

""##$ Ta+el ,.3. d 9 ## 9 R## 9 +## # # # 9M 9M 9M A 3 6D/   x1  x2  x3 S 1 S 2 S 3  xa1  xa2  xa3 9 R##  x2 !-!% ! R ! # 9 -!% # +R -!% %$ +R 9 +##  x3 #!% " R # ! "!% # 9"R 9 "!% # "R 9M S 2 !!% -R # # 9 $!% ! 9$R $!% # (R 9 %%- -# # # $- # --# M9 $-M C  "## M9 %-##

Dari ta3el %.+.d diperoleh min; %%- diAapai apa3ila B! ; # , B ; !-!% dan B+;

#!% ta3el %.".3 dan ta3el %.".A menunjukkan langkah9langkah alogaritma simpleks untuk menyelesaiakan masalah dual.langkah9 langkah dan perhitunganya seAara rinAi se3agai 3erikut:

Ta+el ,..a

!- !" !# # # #

A 3 6D/   y1  y2  y3 S 1 S 2 S 3

# S 1 ## " - + ! # # # S 2 R## R $ " # ! # # S 3 +## % $ - # # !  j 9A j 9# 9!- 9!" 9!# # # # Ta+el ,..+ !- !" !# # # #

A 3 6D/   y1  y2  y3 S 1 S 2 S 3

# S 1 R## # + ! ! 9! #

!-  y2 +-# ! $R  # !R #

# S 3 !!## # $"  # 9+" !

 j 9A j --# # 9$R 9!# 9- !-R #

Ta+el ,..

!- !" !# # # #

A 3 6D/   y1  y2  y3 S 1 S 2 S 3

# S 1 -# # -R ! ! 9!R 9!

!-  y2 $- ! $!% # # -!% 9!"

!#  y3 --# # $R ! # 9+R 

 j 9A j %%- # !!% # # !-!% #!%

Ta3el %.".A menunjukkan 3ah4a  maks ; %%- diAapai untuk y!; $-, y;# dan y+

;--#

D. Me!n#ing(n te" ),ti!" ,ri!" #n te" ),ti!" #$"

Hu3ungan antara primal dan dual dapat dilihat dengan mem3andingkan ta3el optimal. Ta3el %.!.3 +# "# -# # # A 3 6D/  <! < <+ S S! -# <+ R### "  ! " # # S # 9+ 9! # 9+ ! <+ "##### !$# %# # ## # Ta+el ,.2.e 9### 9%### # # # 9M 9M 9M 1

A 3 6D/  !  S! S S+ ya! ya ya+ 9### ! ## ! + # # 9" # # " # S! !$# # + ! # 9" 9! # " # S %# # ! # ! 9 # 9!  !9A! 9"##### # # # # R### M M M9R### G!r /.1 Te" /.

N) Te" .1. Te" .2.e

!. maks. ;00.000 ?min. ;00.000

. <! diluar 3asis S! ; !$#, dalam 3asis

+. < diluar 3asis S; %#, dalam 3asis

". <+; R###, dalam 3asis S+ di luar 3asis

-. S! diluar 3asis ! ; ##, dalam 3asis

%. S;#,dalam 3asis  di luar 3asis

$. S+ di luar 3asis Tidak ada +

R. K)")! 1 3 41561170 Dalam 3asis : S!; !$#

(. K)")! 1 3 42562/0 Dalam 3asis : S; %#

!#. Kolom S! : "9A";## Dalam 3asis : !; ##

!!. Dalam 3asis : 89:000 K)")! S+ : -9A-;R###

!. Dalam 3asis : S20 K)")! y : 9A;#

Dari Ta3el %.!.a, Ta3el %.!.3, Ta3ek %..a, Ta3el %..3, Ta3el %..A, Ta3el %..d, dan Ta3el %..e diperoleh hu3ungan  = ?. Hu3ungan antara Ta3el %.!.3 0ta3el optimal primal1 dan Ta3el %..e 0ta3el optimal dual1 ditunjukkan seAara gra*is dalam am3ar %.!.

Te" /./

N) Te" /.9.# Te" /..6

!. min. ;//2 ?maks. ;//2

. <! diluar 3asis S! ; -#, dalam 3asis

+. <; !-!%, dalam 3asis Sdi luar 3asis

". <+; #!%, dalam 3asis S+ di luar 3asis

-. S! diluar 3asis ! ; $-, dalam 3asis

%. S; !!%, dalam 3asis  di luar 3asis

$. S+ diluar 3asis y+ ; --#, dalam 3asis

R. K)")! B! : !9A!;-# Dalam 3asis : S!; -#

(. K)")! S! : "9A";$- Dalam 3asis : y!;

!#. K)")! S+ : %9A%;--# Dalam 3asis : +; --#

!!. Dalam 3asis : 2 ;1/ K)")! S : -9A-;!-!%

!. Dalam 3asis : 9 20;1/ K)")! S+ : %9A%;#!%

!+. Dalam 3asis : S221;1/ K)")! y : 9A;!!%

Selanu$n)a "i$a +anding"an $a+el #(tmal dari (rimal dan dari dual (ada #n$#% ,.2

52200 52:00 59200 0 0 0 M M M A 3 6D/  B! B B+ S! S S+ ya! ya ya+ 9R## B! !-!% !R ! # -!% # +R -!% %$ -R 9+## S! #!% "R # ! "!% # "R "!% # "R # S !!% -R # # $!% ! $R $!% # (R %%- -# # # $- # --# M9$- M9"## M9+%-## Te" /..6 !- !" !# # # # y!  y+ S! S S+ # S! -# # -R # ! "R 9! !- y! $- ! $!% # # -!% 9!" !# y --# # $R ! # +R  !9A! %%- # !!% # # !-!% #!% G!r /.2

Seperti tampak pada Ta3el %.%. dari Ta3el %.+.a, Ta3el %.+.3, Ta3el %.+.A, Ta3el %.".a, Ta3el %.".3, dan Ta3el %.".A diperoleh hu3ungan  @ ?. Hu3ungan antara Ta3el %.+.d 0ta3el optimal primal1 dan Ta3el %.".A 0ta3el optimal dual1 ditunjukkan seAara gra*is dalam am3ar %..

Setelah mem3andingkan antara ta3el optimal dari primal dengan ta3el optimal dari dual dengan dua Aontoh di muka, kita perhatikan si*at9si*at 3erikut ini:

!. 'pa3ila primal adalah masalah maksimum dengan  adalah nilai *umgsi tujuan dan ? adalah nilai *ungsi tujuan dari dual, maka pada se3arang ta3el dari primal dan ta3el dari dual 3erlaku  = ? 0/ukti lihat 5eter, !(R%,!!(1.

. Pada ta3el optimal4!('.4<!in 0/ukti lihat MaALe4in, !((#, %+9%%1.

+. 'pa3ila <#;0a!,a, ..., an1 adalah PO dari primal, maka pada ta3el optimal dari

dual nilai9nilai a!,a, ..., an terdapat pada 3aris penilaian 0!,A!1.

". 'pa3ila #;03!,3, ..., 3m1 adalah PO dari dual, maka pada ta3el optimal dari

 primal 3!,3, ..., 3mterdapat pada 3aris penilaian 0!,A!1.

-. 5ika slack variable ke9i yaitu slack variable yang ditam3ahkan pada kendala ke9i dari primal tidak sama dengan nol 0S! U #1 dalam ta3el optimal primal, maka

8aria3el ke9i dual akan sama dengan nol 0y!; #1 . se3aliknya jika 8aria3el ke9i

 pada dual tidak sama dengan nol 0y!U #1, maka slack variable ke9i pada primal

akan sama dengan nol 0S!; #1 0/ukti lihat Hadley,!(R#, "#9"!1 .

%. 5ika 8aeria3el B! munAul pada 3asis dalam ta3el optimal primal, maka slack 

variable  atau sr!ls variable pada kendala ke9j pada ta3el optimal dual akan sama dengan nol 0S!; #1 0/ukti lihat Hadley,!(R#,p. "#1 .

$. 'pa3ila masalah primal merupakan masalah yang takter3atas 0nbonded   soltions1 penyelesaian *isi3el "in#easible soltion1 0/ukti lihat Hdley,

!(R#,p."!VMaA&le4in,!((#,%%1.

S)"5')"

Tuliskan 3entuk 3aku model matematika masalah Plnomer %.!9%.!#, kemudian

. # , y 

 x tulis model matematika dualnya. Selanjutnya selesaikan masalah primal

maupun dual. . # , , % , !% + D , # D : h.m " + : . Min %.+ . # , , !R D + , % , " : h.m -+ : . Maks ! . %   +    + + =   +   + =  y  x  y  x  y  x  y  x  y  x  Z   y  x  y  x  y  x  y  x  Z  . # , , , !-+ , !# + : h.m , + +# D# : . Min %." . # , , -, # D : h.m $ : . Maks D . % + D ! + D ! + D ! + D !   + +  + + + + =       =  x  x  x  x  x  x  x  x  x  x  x  x  Z   y  x  y  x  y  x  x  y  Z 

1-. # , , , % D + , R D " : h.m , + D : . Min %.-+ D ! D ! + D ! + D !   +  + + + + =  x  x  x  x  x  x  x  x  x  x  x  Z  . # , , , (# + + , %# + : h.m , % D % : . Maks %.% + D ! + D ! + D ! + D !   + +  + + + + =  x  x  x  x  x  x  x  x  x  x  x  x  Z  . # , , !# , +# : h.m + D : . Min %.$     + + = =  y  x  y  x  y  x  y  x  $   Z  . # , , , !# D " + , !D -$ D : h.m , + D -: . Maks %.R + D ! + D ! + D ! + D !   + +  + + +  =  x  x  x  x  x  x  x  x  x  x  x  x  Z  . # , , " , ! , D-D : h.m D : . Min %.(    +  + + =  y  x  y  x  y  y  x  y  x  Z  . # , , , -, D" -" , !D D + : h.m , D% "! D# : . Maks %.!# + D ! D + D ! + D ! + D !    + +  + + + + =  x  x  x  x  x  x  x  x  x  x  x  x  x  Z 

%.!! Se3uah pa3rik keAil memproduksi tiga jenis produk ',/ dan & yang menggunakan " maAam 3ahan mentah, yaitu P,, dan S. /anyaknya ke3utuhan masing9masing jenis produksi terhadap 3ahan93ahan mentah, keuntungan dari masing9masing jenis produk untuk setiap unitnya, dan 3ahan mentah yang tersedia untuk setiap harinya, ditunjukkan dalam Ta3el %.$. Pertama, tentukan 3anyaknya  produksi masing9masing jenis sehingga pa3rik memperoleh keuntungan se3esar9  3esarnya. Kedua tentukan model matematika dan penyelesaian dari dual.

Te" /.7 /'H'7 POD)KS2 PFSFD2''7 ' / & P  ! + !##  !  " !-#  - #  !## S ! + ! ## KF)7T)7'7  ! 

%.! Perusahaan DO6FT'2L memproduksi dua maAam korek api, yaitu  panjang dan pendek. Pada setiap 3oks jenis panjang, perusahaan menetapkan keuntungan J+## dan untuk jenis pendek J##. Perusahaan memiliki satu mesin yang

dapat memproduksi dua maAam jenis produksi. Mesin itu memproduksi dalam satu tahun maksimum ( !##.### 3oks, jumlah total kedua jenis produksi itu. Setiap memproduksi korek api, perusahaan mem3utuhkan kayu dan 3oks. Setiap 3oks korek  api panjang mem3utuhkan + m+  _{kayu dan korek api pendek mem3utuhkan ! m}+_.

Tahun depan, perusahaan memiliki persediaan kayu !R##.### m+ _{dan merenAanakan}

 produksi korek api panjang tidak le3ih dari $##.### 3oks dan korek api pendek tidak  le3ih dari %##.### 3oks. Perusahaan menghendaki keuntungan maksimum pada tahun depan. DO6FT'2L menerima permintaan dari perusahaan S'LMO77OSF untuk  meminjamkan mesinnya selama satu tahun pada tahun depan harus mem3ayar   3erkenaan dengan tranksaksi terse3ut. DO6FT'2L menginginkan harga minimum

untuk menutup 3iaya seluruh transaksimenAakup kehilangan kesempatan 3erproduksi untuk tahun depan. Harga9harga yang akan ditentukan oleh DO6FT'2L adalah harga  perkapasitas unit mesin, harga ! m+ _{kayu, harga ! 3oks korek panjang, dan harga !}

 3oks korek pendek. /erapakah harus di3ayar oleh S'LMO77OSF agar transaksi terse3ut terjadiW0Suyitno, #!$1

+)nt)* S)" 3

Perusahaan sepatu 2DF'LX mem3uat  maAam sepatu. ang pertama adalah sepatu dengan sol karet 0<!1, dan yang kedua adalah sepatu dengan sol dari kulit 0<1. )ntuk 

memproduksi kedua maAam sepatu terse3ut perusahaan menggunakan + jenis mesin. Mesin ! ; khusus untuk mem3uat sepatu karet, dengan kapasitas maB ; R jam. Mesin  ; khusus untuk mem3uat sepatu dari kulit, dengan kapasitas maB ; !- jam. Mesin + ; khusus untuk assem3lim kedua maAam sepatu terse3ut, dengan kapasitas maB ; +#  jam.

Y Setiap lusin <!  mula9mula dikerjakan di mesin ! selama  jam dan selanjutnya

menuju mesin + selama % jam. Sedangkan < dikerjakan oleh mesin  selama + jam

dan langsung ke mesin + selama - jam.

Y Sum3angan terhadap la3a untuk setiap sepatu <! ; p. +#.### sedangkan sepatu

< ; p. -#.###.

Y )ntuk mendapatkan hasil yang optimal, 3erapakah sepatu <! dan < yang harus

diproduksiW => 3

 Langkah pertama kita 3uat ta3el dari soal diatas agar le3ih mudah

 penyelesaiannya, lihat ta3el di3a4ah ini :

6aria3el <! < Kapasitas Maksimum Mesin

!  # = R

 # + =

!-+ % - =+#

La3a dalam p. !#.### @ + @

- Kemudian kita 3uat perumusan *ungsi maksimum dan minimum 3eserta 3atasan9

 3atasannya, perhatikan perumusan di3a4ah ini :

Maksimumkan :  ; +<!  -< Minimumkan : # ; R!  !- +#+ /atasan9/atasan : /atasan9/atasan : <! = R !  %+ @ + +< = !- +  %Z-+ @  -%<!  -< = +# !, , + @ # <!, < @ #

 Selanjutnya kita 3uat perumusan *ungsi kendala dari *ungsi maksimum :

<! = R <!  <+ ; R

+< = !- +<  <" ;

!-%<!  -< = +# %<!  -<  <- ; +#

 Kemudian kita ru3ah *ungsi  menjadi *ungsi tujuan maks, lihat perumusan

di3a4ah ini :

Gungsi  ; +<!  -<

Gungsi tujuan maks :  C +<! C -<

 Se$ela% i$u "i$a +ua$ $a+el im(le" li%a$ $a+el di+a4a% ini 5

6aria3el Dasar  <! < S! S S+  7K LKFT

 ! 9+ 9- # # # # 9

S! #  # ! # # R R#

S # # + # ! # !-

!-+;-S+ # % - # # ! +# +#-;%

 Tentukan kolom pi8ot dengan Aara kita lihat nilai negati* ter3esar pada 3asis  yaitu pada kolom < yang 3ernilai 9- 0yang 3er4arna a3u9a3u1

 Tentukan 3aris pi8ot dengan Aara kita lihat hasil nilai LKFT ; 7KKolom  pi8ot < yaitu R#, !-+;-, dan +#-;%, karena - adalah indeks terkeAil maka

 pada 3aris S dijadikan 3aris kunAi pi8ot dengan + se3agai pi8otnya.

 Kemudian kita meru3ah nilai 3aris kunAi0pi8ot1 S_; #+ ; # , ++ ; ! , #+ ; # ,

!+ , #+ ; # , !+ ;

- Lalu kita hitung 3aris ke ! 01 :

C+ C- # # # #

# ! # !+ #

-0C-1 999999999999999999999999999999999999999999999999999999 C 

C+ # # -+ #

- Selanjutnya kita hitung 3aris ke  0S_!1 :

 # ! # # R

# ! # !+ #

-0#1 999999999999999999999999999999999999999999999999999999 C 

 # ! # # R

 Kemudian kita hitung 3aris ke " 0S₊1 :

% - # # ! +#

# ! # !+ #

-0-1 9999999999999999999999999999999999999999999999999999999 C 

% # # C-+ !

- Se$ela% i$u "i$a mau""an %ail (er%i$ungan dia$a "edalam $a+el im(le" li%a$ $a+el

d#+a4a% ini 5

6aria3el Dasar   <! < S! S S+  7K LKFT  ! 9+ # # -+ # - 9 S! #  # ! # # R R;" S # # ! # !+ # - -# S+ # % # # 9-+ ! - -%

Karena masih 3elum optimal maka lakukan langkah se3agai 3erikut :

 Tentukan kolom pi8ot dengan Aara kita lihat nilai negati* ter3esar pada 3aris  yaitu pada kolom < yang 3ernilai 9+

 Tentukan 3aris pi8ot dengan Aara kita lihat hasil nilai LKFT C

 7KKOLOM P26OT <! yaituV R;", -#, -%. Karena -% indeks terkeAil

maka, pada 3aris S+ dijadikan 3aris kunAi pi8ot dengan % se3agai pi8otnya.

 Kemudian kita meru3ah nilai 3aris kunAi0pi8ot1

S+;%% ; ! , #% ; # , #% ; # , C-+  % ; C-!R , !% , -%

 Lalu kita hitung 3aris ke ! 01 :

C+ # # -+ #

-! # # C-!R !% -%

0C+1 999999999999999999999999999999999999999999999999999999999 C 

# # # -% ! $ !

 Selanjutnya kita hitung 3aris ke  0S_!1 :

 # ! # # R

! # # C-!R !% -%

01 999999999999999999999999999999999999999999999999999999999 C 

# # ! -( C!+ % !+

 Kemudian kita hitung 3aris ke + 0<_1 :

# ! # !+ #

-! # # C-!R !% -%

0#1 999999999999999999999999999999999999999999999999999999999 C 

# ! # !+ #

- Setelah itu kita masukkan hasil perhitungan diatas kedalam ta3el simpleks, lihat

ta3el di3a4ah ini : 6aria3el Dasar   <! < S! S S+  7K   ! # # # -% ! $! S! # # # ! -( C!+ % !+ < # # ! # !+ # -<! # ! # # C-!R !% -% Kesimpulan :

Dari hasil ta3el diatas sudah dinyatakan optimal karena nilai pada kolom <!dan

<sudah 3ernilai positi* 01. Oleh karena itu kita 3isa lanjutkan ke proses dualitas

dengan Aara di3a4ah ini :

 Pertama kita masukkan nilai solusi optimal simpleksnya :

<! ; -%

< ;

-La3a ; $ !

 Kemudian dengan Aara yang sama, masukkan solusi optimal masalah dualnya :

! ; #

 ; -%

+ ; !

 Terakhir kita masukkan perumusan Gungsi Tujuan Dual :

Minimalkan  ; R!  !-  +#+

; R0#1  !-0-%1  +#0!1

; $ ! [ nilai ini sama dengan yang dihasilkan dari *ungsi tujuan primal  simpleks se3elumnyaX.

DAFTAR PUSTAKA

2ndrahardiyana. #!". Teori dualitas. https:indrahardiyanasite.4ordpress.Aom#!" #+!(teori9dualitas9.Diunduh tanggal - desem3er #!$ pukul !!.## 4i3 Suyitno, H. 0#!$1. Pro%ra Linear &en%an Penera!annya' ogyakarta: Magnum

Pustaka )tama.

6ul"i7i 8efri. 2013. Me$#de duali$a. %9(5::defri;8.+l#g(#$.#.id:2013:0:me$#de; duali$a.%$ml<m=1 . Diundu% $anggal 2 Deem+er 201- Pu"ul 10.3,