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Journal de Th´

eorie des Nombres

de Bordeaux

19

_{(2007), 337–355}

A classification of the extensions of degree

p

2

over

Q

_p

whose normal closure is a

p

-extension

par

Luca CAPUTO

R´esum´e. _{Soitk une extension finie de} Qp et soit Ek l’ensemble

des extensions de degr´ep2 _{surk dont la clˆoture normale est une} p-extension. Pour chaque discriminant fix´e, nous calculons le nom-bre d’´el´ements deE_Q

pqui ont un tel discriminant, et nous donnons

les discriminants et les groupes de Galois (avec leur filtrations des groupes de ramification) de leurs clˆotures normales. Nous mon-trons aussi que l’on peut g´en´eraliser cette m´ethode pour obtenir une classification des extensions qui appartiennent `a E_k.

Abstract. _Let k be a finite extension ofQp and Ek be the set

of the extensions of degree p2 _{over k whose normal closure is a} p-extension. For a fixed discriminant, we show how many exten-sions there are in E_Q

p with such discriminant, and we give the

discriminant and the Galois group (together with its filtration of the ramification groups) of their normal closure. We show how this method can be generalized to get a classification of the extensions inE_k.

LucaCaputo

Universit`a di Pisa Universit´e de Bordeaux 1 Largo Bruno Pontecorvo, 5 351, cours de la Libration 56127 Pisa, Italy 33405 Talence cedex, France

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