Permukaan di Ruang (R

(1)

Program Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom

Fungsi

(2)

Sistem

Koordinat

y

x

P(x,y) Kuadran I Kuadran II

Kuadran III Kuadran IV y

x

y z

x

P(x,y,z)

Oktan 1

(3)

Permukaan

di

Ruang

(R

33

₎

Sebelum belajar tentang fungsi dua peubah, terlebih dahulu kita mengenal permukaan di ruang dan cara

membuat sketsa suatu permukaan di ruang (R3). Berikut beberapa fungsi permukaan di ruang, antara lain :

Bola, mempunyai bentuk umum :

0 a

,

a

z

y

x

2

+

2

+

2

=

2

>

2 2

2

a

y

x

+

=

Jejak di bidang XOY, z = 0 Î

Jejak di bidang XOZ, y = 0 Î

, berupa lingkaran

2 2

2

a

z

x

+

=

, berupa lingkaran

(4)

Gambar

Bola

Z

x

(5)

Permukaan

di

Ruang

Elipsoida, mempunyai bentuk umum

(6)

Gambar

Ellipsoida

Z

x

(7)

Permukaan

di

R

3

Hiperboloida berdaun satu, mempunyai bentuk umum:

(8)

Gambar

Hiperbolik

Berdaun

Satu

Z

x

(9)

Permukaan

di

R

3

Hiperboloida berdaun dua, mempunyai bentuk umum:

(10)

Gambar

Hiperbolik

Berdaun

Dua

Z

x

(11)

Permukaan

di

R

3

Paraboloida eliptik , mempunyai bentuk umum:

c

Paraboloida hiperbolik , mempunyai bentuk umum:

c

Kerucut eliptik , mempunyai bentuk umum:

0

Bidang , mempunyai bentuk umum:

D Cz

By x

(12)

Gambar

Z Z

x

y x

y

Paraboloida Eliptik

Paraboloida Hiperbolik z

z

(13)

Latihan

:

Gambarkan

1. x2 _{+ y}2 _{= 4}

2. y = x2

3. 2x + 2y + 4z = 8 , di oktan 1

4. 9 z2 _{+ 9x}2 _{+ 4y}2 _{= 36}

5. z =4

(14)

Fungsi

Dua

Peubah

Definisi: Fungsi dua peubah adalah aturan yang

mengaitkan setiap pasangan terurut (x,y) dengan tepat satu z =f(x,y)

Notasi : f : A Æ R ( A C R2₎

(x,y) Æ z = f(x,y) Contoh:

1. f(x,y) = x2 _{+ 4 y}2

2. f(x,y) = 36 9 2 4 2 3

1

y

x −

−

(15)

Daerah

Contoh. Tentukan dan gambarkan D_f dari

(16)

Contoh

(

Jawab

)

D_f ={(x,y)∈ R2 _{| x}2 _{+ 4 y}2 ∈ _R}

= {(x,y)∈ R2_}

x y

= {(x,y)∈ R2 _{| 36 – 9x}2 _{– 4y}2 ≥ _0}

1.

⎭ ⎬ ⎫ ⎩

⎨ ⎧

∈ −

− ∈

= x y R x y R

D_f 2 36 9 2 4 2

3 1 )

, ( 2.

= {(x,y)∈ R2 _{| 9x}2 _{+ 4y}2 ≤ _36}

y

(17)

Contoh

(

Jawab

)

3.

= {(x,y)∈ R2_{| x(1 – y)}≥ _0}

{

x

y

R

x

y

R

}

D

_f

=

(

,

)

∈

2

(

1 −

)

∈

= {(x,y)∈ R2_|x≥_{0 dan (1–y)}≥_{0 atau x}≤_{0 dan (1–y)}≤_0}

= {(x,y)∈ R2_|x≥ _{0 dan y}≤ _{1 atau x}≤_{0 dan y}≥ _1}

(18)

Latihan

Tentukan dan Gambarkan D_f dari

(19)

Grafik

Fungsi

Dua

Peubah

Grafiknya berupa permukaan di ruang

Z=f(x,y)

D f

x

z

y

(20)

Contoh

Gambarkan Grafik

1. f(x,y) = 2 x2_{+ 3y}2

z = 2 x2_{+ 3y}2

2. f(x,y) = 3 – x2 _{– y}2

Paraboloida eliptik 3

1 2

1

2 2

y x

z = +

Z

x

y

z = 3 – x2 _{– y}2

Z

y

3

(21)

(22)

Kurva

Ketinggian

z = f(x,y) Æ z = k adalah kurva ketinggian. Jadi Kurva ketinggian adalah proyeksi perpotongan grafik z = f(x,y) dengan bidang z =k pada bidang XOY.

Contoh:

Gambarkan kurva ketinggian z = k dari 1. f(x,y) = x2_{+ 2y}2 _{, k = 0, 1, 2, 4}

(23)

(24)

Contoh

(

Jawab

)

Untuk k = -2

Ö

x – y2 _{= -2}

x = y2 _{– 2}

Ö

Untuk k = 0

Ö

x – y2 _{= 0}

Ö

parabola

Ö

x – y2 _{= 2}

Ö

parabola

Ö

x – y2 _{= 4}

Ö

parabola parabola

Untuk k = 2

Untuk k = 4

k=0

k=-2

k=2 k=4 x

y

2. f(x,y) = x – y2 _{, k = -2, 0, 2, 4}

x = y2

x = y2 _{+ 2}

(25)

Latihan

Gambarkan kurva ketinggian z = k dari

1. f(x,y) = x2_{/y , k = -4, -1, 0, 1, 4}

2. f(x,y) = x2_+y2 _{, k = 0, 1, 4, 9}

(26)

Limit

Fungsi

Dua

Peubah

Definisi: Fungsi f(x,y) mempunyai limit L untuk (x,y) mendekati (a,b) ditulis

(27)

Catatan

kurva yang melalui (a,b).

untuk sembarang

Artinya: Jika terdapat paling sedikit 2 kurva di R2 _{yang melalui}

kurva, maka dikatakan lim f(x,y)

berbeda untuk masing-masing

) (a,b) dengan nilai

tidak ada.

(28)

Contoh

Buktikan bahwa limit berikut tidak ada

Jawab

(29)

Contoh

(

Lanjutan

)

Di sepanjang garis y=x, maka nilai f adalah

(30)

Latihan

Buktikan bahwa limit berikut tidak ada

(31)

Kekontinuan

Definisi: Fungsi dua buah f(x,y) kontinu dititik (a,b) jika

i. f(a,b) terdefinisi ii.

1. Polinom dengan m peubah kontinu di Rm

2. Fungsi rasional m peubah f(x,y) = p(x,y)/q(x,y) kontinu pada D_f asal q(x,y)≠0

3. Jika g fungsi dua peubah kontinu di (a,b) dan f fungsi satu peubah kontinu di g(a,b) maka f0g

(32)

Contoh

Kekontinuan

Selidiki kekontinuan fungsi berikut:

1. f(x,y) =

) x 4 y

(

y 3 x 2

2 −

+

Kontinu dimana-mana (R2_{) kecuali di parobola y}2_=4x

2. f(x,y) = cos(x2 −4xy+ y2)

Misal g(x,y) = x2_-4xy+y2 _(Polinom)_Æ _{g kontinu}

dimana-mana dan h(t) = cos t kontinu di setiap t di R.

(33)

Turunan

Parsial

Definisi: Misalkan f(x,y) adalah fungsi dua peubah x dan y. 1. Turunan parsial pertama dari f terhadap x (y dianggap

konstan) didefinisikan sebagai berikut

h

2. Turunan parsial pertama dari f terhadap y

(x dianggap konstan) didefinisikan sebagai berikut

(34)

Contoh

:

1. 3 2

xy 4 y x ) y , x (

f = +

Tentukan f_x dan f_y

3. =

∫

y

x lnsin t dt

) y , x ( f

Jawab Jawab

f_x(x,y)=0. ln(siny)–1. ln(sinx) f_x(x,y) = 3 x2 _{y + 4 y}2

f_x(x,y) = – ln(sinx) f_y(x,y) = x3 _{+ 8 xy}

f_y(x,y)=1. ln(siny)–0. ln(sinx) 2. f(x,y) = ycos(x2 + y2)

Jawab fy(x,y) = ln(siny) f_x(x,y) = –2xy sin(x2 _{+ y}2₎

(35)

Latihan

1.

2.

xy y

y x

x y

x

f ( , ) = 3 cos( + ) + sin2

∫

= y

x

t

dt e

y x

f ( , ) cos

Tentukan f_x dan f_y

3. f (x, y) = x3 sin(x+ y)+ ycos(2xy)

1. f (x,y, z) = xy + y 2z + 3xz

2. f (x,y, z) = x cos(y − z) + 2xy

(36)

Turunan

Parsial

Kedua

(37)

Contoh

1. f(x,y)= x y3 _{+ y}3_x2

Tentukan f_xx, f_yy ,f_xy, f_yx

Jawab

f_x_{(x,y) = y}3 _{+ 2xy}3

f_y_{(x,y) = 3xy}2 _{+ 3x}2_y2

f_xx_{(x,y) = 2y}3

f_xy_{(x,y) = 3y}2 _{+ 6xy}2

f_yy_{(x,y) = 6xy + 6x}2_y

(38)

Contoh

2. f(x,y) = xy sin(x2_+2xy+y3₎

Jawab

f_x_{(x,y) = y sin(x}2_+2xy+y3_{) + xy(2x+2y) cos(x}2_+2xy+y3₎

f_xx_{(x,y)=y(2x+2y)cos(x}2_+2xy+y3_)+(4xy+2y2_)cos(x2_+2xy+y3₎

f_xy_{(x,y) = sin(x}2_+2xy+y3_)+y(2x+3y2_{) cos(x}2_+2xy+y3₎

f_yy_(x,y)=(2x+3y2_)sin(x2_+2xy+y3_)+(2x2_+9xy2_)sin(x2_+2xy+y3₎

– xy(2x+2y)2 _sin(x2_+2xy+y3₎

+(2x2_+4xy)cos(x2_+2xy+y3₎

–xy(2x+2y)(2x+3y2_)sin(x2_+2xy+y3₎

–xy(2x+3y2₎2 _sin(x2_+2xy+y3₎

(39)

Latihan

Tentukan f_xx, f_yy ,f_xy, f_yx

1. f(x,y) = x cos(xy) + xy ex+y

2. f(x,y) = ln(x2 _{+ 2 xy + y}3₎

3. f(x,y) = tan-1_(y2_/x)

4. f(x,y) =ln(x2_+2xy+y2₎

(40)

Arti

Geometri

Turunan

Parsial

Perpotongan bidang y = b dengan fungsi permukaan f(x,y) berupa sebuah kurva (lengkungan s) pada

permukaan tersebut.

Turunan parsial fungsi f(x,y) terhadap x di titik (a,b)

merupakan

gradien garis singgung terhadap kurva s pada

titik (a, b, f(a,b)) dalam

z

x

y

(a, b)

(41)

Arti

Geometri

Turunan

Pertama

(2)

Perpotongan bidang x = a dengan fungsi permukaan f(x,y) berupa sebuah kurva (lengkungan s) pada

permukaan tersebut.

Turunan parsial fungsi f(x,y) terhadap y di titik (a,b)

merupakan

gradien garis singgung terhadap kurva s pada

titik (a, b, f(a,b)) dalam arah sejajar sumbu y.

z

x

y (a, b)

(42)

Soal

Cari persamaan parameter garis singgung kurva perpotongan

1.36 z= 4x2 _{+ 9y}2 _{dengan x = 3 di titik (3,2,2)}

Jawab:

y y

z y

x f_y

2 1 )

,

( =

∂ ∂ =

Turunan parsial terhadap y adalah

Sehingga didapat (3,2) = 1 ∂

∂ =

y z

f_y . Bilangan ini adalah

menyatakan kemiringan garis singgung untuk kurva tersebut di (3,2,2)yaitu 1/1.

(43)

Soal

Cari persamaan parameter garis singgung kurva perpotongan

2. 2z =√(9x2_+9y2_{-36) dengan bidang y=1 di titik (2, 1,(3/2))}

Turunan parsial terhadap x adalah

Sehingga didapat

₍

₂

_,

₁

₎

=

₃

f

_x . Bilangan ini adalah

menyatakan kemiringan garis singgung untuk kurva tersebut di (2,1,(3/2))yaitu 3/1.

Ini menyatakan bahwa garis itu berarah (1,0,3) dan

melalui titik (2,1,(3/2)), sehingga persamaan parameter garis singgung kurva tersebut adalah

(44)

Latihan

1. 3z =√(36-9x2 _-4y2_{) dengan bidang x = 1 di titik}

(1, 2, √(11/3))

2. 4z =5√(16-x2_{) dengan bidang y=3 di titik (2, 3, 5}√_(3/2))

(45)

Vektor

Gradien

Misalkan fungsi z = f(x,y) terdefinisi di D ⊂ R2

Definisi

Vektor gradien dari fungsi z = f(x,y) di (x,y) ∈D, didefinisikan sebagai

jˆ

adalah vektor satuan di arah sumbu x,y positif Notasi lain: grad f(x,y), del f(x,y)

jˆ

,

iˆ

Definisi

Vektor gradien dari fungsi f(x,y,z) adalah

kˆ

adalah vektor satuan di arah sumbu x,y,z positif

(46)

Contoh

) , (x y f

∇r ∇rf (−1,−1)

Tentukan _dan _dari xy

e x y

x

f ( , ) =

Jawab

Ö

f_x(−1,−1) = e + e = 2e

xy xy

x x y e xye

f ( , ) = +

Ö

f_y(−1,−1) = e

xy

y x y x e

f ( , ) = 2

Sehingga diperoleh:

(

e xye

)

i x e j y

x

f ( , ) = xy + xy ˆ + 2 xy ˆ

∇r

j e i

e

f (−1,−1) = 2 ˆ + ˆ

(47)

Latihan

II. Tentukan _{di titik yang diberikan}

(48)

Aturan

Rantai

Misalkan x=x(t) dan y = y(t) terdeferensialkan di t dan z = f(x,y) terderensialkan di (x(t), y(t))

Maka z = f(x(t), y(t)) dapat dideferensialkan di t dan didefinisikan sebagai

(49)

Contoh

dt dw

1. Misalkan w = x2 _y3 _{dengan x = t}3 _{dan y = t}2_{, tentukan}

Jawab:

t y y w t

x x w dt

dw

∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ =

= 2x y3 (3t2)+3 x2 y2(2t)

= 2t3 _{( t}2₎3 ₍₃_t2_{)+3 (}_t3₎2 ₍_t2₎2₍₂_t₎

= 2t3_{. t}6_. ₃_t2₊₃_t6_{. t}4_. ₂_t

(50)

(51)

Latihan

dt dw

(dalam t) 1. Tentukan

a. w = x2 y – y2x ; x = cos t, y = sin t

b. w = ex _sin_y _{– e}y_{sin x} _;_x _{= 3}_t_,_y _{= 2}_t

c. w = sin(xyz2₎_;_x ₌_t3_,_y ₌_t2 _{, z = t}

2. Tentukan

dt dw

(dalam t dan s)

a. w = x2 – y lnx ; x = s/t, y = s2 t

b. w = ; x = s sin t, y = t sin s

2 2

y x

(52)

Turunan

Berarah

jˆ

Andaikan f dapat didiferensialkan di (a, b), maka turunan berarah di (a, b) pada arah vektor satuan

adalah hasilkali titik antara vektor gradien dengan vektor satuan tersebut. Dengan demikian dapat ditulis :

atau D f(a, b) = f_x (a, b)u₁ + f_y (a, b)u₂

Perhatikan bahwa

Sehingga, Turunan berarah akan bernilai maksimum (θ=0)jika

(53)

Contoh

1.Tentukan turunan berarah dari f(x,y) = 4x3_y _{pada titik}

P(2,1) dalam arah vektor ar = 4ˆi + 3 ˆj

Vektor u diperoleh dengan menormalkan vektor a

(54)

Contoh

2. Tentukan turunan berarah dari f(x,y,z) = xy sinz pada

titik P(1,2, π/2) dalam arah vektor ar =ˆi + 2 ˆj + 2 kˆ

Vektor u diperoleh dengan menormalkan vektor a

(55)

Contoh

(

Lanjutan

)

(56)

Latihan

1. Tentukan turunan berarah fungsi f pada titik P yang

diberikan dalam vektor a

a. f( x,y) = y2 _ln_x _{, P(1, 4),}_a_{= -3}_i_{+ 3}_j

b. f( x,y) = xey _{– ye}x _{, P(0, 0),}_a_{= 5}_i_{– 2}_j

c. f( x,y) = e –xy , P(1, –1), a = – i + √3 j

d. f( x,y) = x/ ( x – y) , di P(1, –1) dalam arah ke titik Q(-1,-1) e. f( x,y,z) = xy+ z2 _{, di P(1,1,1) dalam arah ke titik Q(5,-3,3)}

2. Tentukan suatu vektor satuan u dalam arah mana f

bertambah (dan berkurang)paling cepat di titik P dan berapa laju perubahan dalam arah ini

d. f( x,y) = 1–x2_–y2 _{, P(–1,2)}

(57)

Latihan

(

lanjutan

)

3. Misal

(58)

Bidang

Singgung

Definisi: Misalkan suatu permukaan S mempunyai

persamaan F(x,y,z) = k. Maka bidang singgung dari S pada titik P_o(a,b,c) adalah sebuah bidang yang melalui P_o dan tegak lurus pada ∇rf(a,b,c)

Teorema:

Untuk permukaan F(x, y, z) = k, persamaan bidang singgung di titik (a, b, c) adalah :

F_x(a,b,c) (x–a) + F_y(a,b,c) (y–b) + F_z(a,b,c) (z–c) = 0

(59)

Contoh

1. Tentukan persamaan bidang singgung dan garis normal permukaan x2 _{+ y}2 _{+ 2z}2 _{= 23 di titik (1, 2, 3)}

Jawab: Misalkan F(x,y,z) = x2 _{+ y}2 _{+ 2z}2

k z j

y i

x z

y x

f ( , , ) = 2 ˆ+ 2 ˆ+ 4 ˆ

∇r

k j

i

f (1,2,3) = 2ˆ+ 4 ˆ+ 12 ˆ ∇r

Jadi persamaan bidang singgung di (1, 2, 3) adalah

2(x – 1) + 4(y – 2) + 12 (z – 3) = 0

(60)

Contoh

(

Lanjutan

)

Jadi persamaan parameter garis normal adalah

x = 1+2t , y = 2 + 4t , z = 3 + 12 t

Atau bisa ditulis persamaan simetri garis normal

12 3 4

2 2

1 ₌ − ₌ −

− y z

(61)

Contoh

2. Tentukan persamaan bidang singgung dan garis normal permukaan z = f(x,y)=x2_+2xy-3xy2 _{+2 di titik (1, 2, -5)}

Jawab:

Ö

f_x(1,2) = 2+ 4 −12 = −6 2

3 2

2 )

,

(x y x y y

f_x = + −

Ö

f_y(1,2) = 2 −12 = −10

xy x

y x

f_y( , ) = 2 − 6

Jadi persamaan bidang singgung di (1, 2, 3) adalah

(z + 5) = –6(x – 1) –10(y – 2)

(62)

Contoh

Jadi persamaan parameter garis normal adalah

x = 1+6t , y = 2 + 10t , z = –5 + t

Atau bisa ditulis persamaan simetri garis normal

1 5 10

2 6

1

− + =

− − =

−

− y z

(63)

Latihan

1. Tentukan persamaan bidang singgung dari garis normal permukaan

a. x2 + y2 – 3z = 2 di titik (-1, -4, 6) b. y = ex _cos _z _{di titik (1, e, 0)}

c. x1/2 + y1/2 + z1/2 = 4 di titik (4, 1, 1) d. z= 2e3y _{cos 2}_x _{di titik (}π_{/3, 0, -1)}

2. Tentukan semua titik pada permukaan z=x2_–2_xy_–_y2_–8_x₊₄_y

dimana bidang singgungnya mendatar

3. Perlihatkan bahwa permukaan x2₊₄_y₊_z2_{=0 dan}

x2+y2+z2 – 6z+7 =0 saling menyinggung di titik (0, -1,2). yaitu perlihatkan bidang singgungnya sama

4. Tentukan sebuah titik pada permukaan x2₊₂_y2₊₃_z2₌₁₂

(64)

Maksimum

dan

Minimum

Fungsi

Dua

Peubah

Definisi

Misalkan (x₀,y₀) ∈ D_f, maka

f(x₀,y₀) adalah nilai m aksim um global dari f pada D_f,

jika f(x₀,y₀) ≥ f(x,y), ∀ (x,y) ∈ D_f

f(x₀,y₀) adalah nilai m inim um global dari f pada D_f, jika f(x₀,y₀) ≤ f(x,y), ∀ (x,y) ∈ D_f

f(x₀,y₀) adalah nilai ekst rim global dari f pada D_f, jika ia merupakan nilai maksimum global atau nilai

minimum global.

Definisi yang sama berlaku dengan kata global diganti

(65)

Di

mana

nilai

ekstrim

muncul

?

Titik di mana kemungkinan terjadinya nilai ekstrim

disebut titik kritis

Titik Kritis ada 3 (tiga), yaitu Titik-titik batas D_f

(66)

Uji

Nilai

Ekstrim

Untuk menguji apakah di titik kritis terjadi nilai ekstrim,

kita gunakan uji turunan parsial kedua, yaitu:

Misalkan f(x,y) mempunyai turunan parsial kedua yang kontinu di sekitar (x₀,y₀),

dan

0 ) y , x (

f ₀ ₀ =

∇r

maka

(

)

2

0 0 xy 0

0 yy 0

0 xx 0

0,y ) f (x ,y ).f (x ,y ) f (x ,y )

x ( D

D = = −

1. f(x₀,y₀) nilai maksimum lokal jika D>0 dan f_xx(x₀,y₀) < 0

2. f(x₀,y₀) nilai minimum lokal jika D>0 dan f_xx(x₀,y₀) > 0

(67)

Contoh

1. Tentukan nilai ekstrim dan jenisnya, dari

f(x,y) = 2x4–x2+3y2

Jawab

f_y(x,y) = 6y f_x(x,y) = 8x3 – 2x

f_xx(x,y) = 24x2 – 2 f_yy(x,y) = 6

f_xy(x,y) = 0

Titik kritisnya diperoleh dengan menyelesaikan persamaan f_x(x,y) = 0 dan f_y(x,y)=0, yaitu

8x3 _{– 2}_x₌₀

Ö

2_x(4_x2 – 1)=0

Ö

_x=0 , _x =± ½

6y =0

Ö

y = 0

(68)

Contoh

(

lanjutan

)

Mengenai jenis titik kritisnya, bisa dilihat pada tabel berikut:

f_xx f_yy f_xy D Keterangan (0,0) – 2 6 0 –12 Titik pelana (½, 0) 4 6 0 24 Titik Minimum (-½, 0) 4 6 0 24 Titik Minimum

(69)

Contoh

2. Tentukan titik ekstrim global dan jenisnya, dari

f(x,y) =x2–y2+1 pada S={(x,y)| x2 + y2 ≤ 1}

Jawab

f_x(x,y) = 2x

f_xx(x,y) = 2

f_xy(x,y) = 0

Titik kritisnya diperoleh dengan menyelesaikan

persamaan f_x(x,y) = 0 dan f_y(x,y)=0, yaitu didapat (0,0) Jadi titik-titik kritisnya adalah (0, 0)(Æ t erlet ak di dalam S

f_y(x,y) = – 2y

f_yy(x,y) = –2

), sedangkan jenisnya titik pelana (nilai D < 0)

Untuk titik-titik batasnya, misalkan x=cos t dan y=sint (karena S adalah lingkaran satuan), sehingga didapat

(70)

Contoh

(

lanjutan

)

Untuk mendapatkan nilai maksimun dan minimun f pada S, turunkan f, yaitu:

Ö

f’(t)=–2 cos t sint – 2 sint cost = 0 4 cos t sint= 0

sin2t= 0

Ö

2t= 0, π, 2π, 3π

Ö

t= 0, π/2, π, 3π/2

Untuk t = 0 x = 1, y = 0

Ö

f(1, 0) = 2

Ö

Untuk t = π/2 x = 0, y = 1

Ö

f(0, 1) = 0

Ö

Untuk t = π x = -1, y = 0

Ö

f(-1, 0) = 2

Ö

(71)

Latihan

1. Tentukan titik ekstrim dan jenisnya, dari

a. f(x,y) = x3+y3-6xy

b. f(x,y) = xy2 _–6_x2 _{– 6y}2

c. f(x,y) = x2 ₊₄_y2 _{– 2}_x₊₈_y _{– 1}

d. f(x,y) = 3x3 _+y2 _{– 9}_x_{+ 4}_y

y x

xy y

x f

e. ( , ) = + 2 + 4

) 4 ( 2 2 )

, (

. x y y

e y

x f

f = − + −

2. Tentukan titik ekstrim global dan jenisnya, dari

a. f(x,y) =x2–6x+y2–8y+7 pada S={(x,y)| x2 _{+ y}2 ≤ _1}

(72)

g (x , y) = 0

Metode

Lagrange

Untuk mencari nilai ektrim terkendala

Misalkan z =f(x,y) dengan kendala

g(x,y) = 0. Akan dicari ektrim f terhadap kendala g. Perhatikan kurva ketinggian dari suatu fungsi

f (x,y) = 9 – x2 – y2 berikut :

Untuk memaksimumkan f thd kendala g(x,y) =0 Æ sama dengan mencari perpotongan kurva ketinggian f (x, y) = k dengan fungsi kendala g (x, y) = 0 sehingga diperoleh k ≥ f (x, y) untuk setiap x, y ∈ D_f sepanjang g (x, y) = 0

(73)

Metode

Lagrange

Untuk memaksimumkan/meminimumkan f(x₀,y₀)

terhadap kendala g(x₀,y₀)=0, selesaikan

0

dengan (x₀,y₀) titik kritis, λ pengali langrange

Untuk memaksimumkan/meminimumkan f(x₀,y₀)

terhadap kendala g(x₀,y₀)=0 dan h(x₀,y₀)=0, selesaikan

dengan (x₀,y₀) titik kritis, λ pengali langrange

(74)

Contoh

Gunakan metode lagrange untuk mencari nilai-nilai maksimun dan minimun dari

1. f(x,y)= x2 _{– y}2 _{+ 1 pada lingkaran x}2_+y2₌₁

Jawab:

j y i

x y

x

g( , ) = 2 ˆ+ 2 ˆ ∇r

j y i

x y

x

f ( , ) = 2 ˆ− 2 ˆ

∇r

Titik-titik kritis didapat dengan memecahkan persamaan lagrange berikut

) , ( )

,

(x y g x y

f = ∇

∇r λ r dan g(x,y) = 0

yaitu:

(75)

Contoh

(

lanjutan

)

Dari persamaan (3), nilai x dan y tidak mungkin sama-sama nol, sehingga

Untuk x ≠ 0, dari (1) di dapat λ = 1, kemudian dari (2) di dapat y = 0, dan dari (3) di dapat x2₌₁_Æ _{x = ± 1}

Untuk y ≠ 0, dari (2) di dapat λ = -1, kemudian dari (1) di dapat x = 0, dan dari (3) di dapat y2₌₁_Æ _{y = ± 1}

Titik-titik kritis yaitu (1,0), (-1,0), (0,1) dan (0,-1)

Ö

f(1, 0) = 2,

Untuk (1,0) untuk (-1,0)

Ö

f(-1, 0) = 2

Ö

f(0, 1) = 0,

Untuk (0,1) untuk (0,-1)

Ö

f(0,-1) = 0

Jadi nilai maksimum global = 2 pada titik (1,0) dan (-1,0), Sedangkan nilai minimun global=0 pada titik (0,1)

(76)

Contoh

2. f(x,y,z)= x + 2y+3z pada elips yang merupakan perpotongan x2_+y2_{=2 dan bidang y + z = 1}

Jawab:

Titik-titik kritis didapat dengan memecahkan persamaan lagrange berikut

(77)

Contoh

(

lanjutan

)

Dari (1), x = 1/(2λ), dari (2) dan (3), y = -1/(2λ). Jadi dari (4), didapat λ = ± ½.

Untuk λ = ½, didapatkan titik kritis (1, -1, 2). Untuk λ = -½, didapatkan titik kritis (-1, 1, 0).

Jadi nilai maksimum = 5 pada titik (1,-1,2),

(78)

Latihan

(

Gunakan

Metode

Lagrange)

1. Tentukan nilai minimum dari f(x,y) = x2 _{+ y}2 _pada

kendala g(x,y)= xy – 3 = 0

2. Tentukan nilai maksimum dari f(x,y) = xy pada lingkaran x2 _{+ y}2 _{= 1}

3. Tentukan nilai maksimum dari f(x,y) = 4x2 _{– 4xy+ y}2

pada kendala x2_+y2 _{= 1}

4. Tentukan nilai minimum dari f(x,y) = x2_+y2_+z2 _pada