Getaran Harmonis Sederhana - Tan Marajo

(1)

GETARAN HARMONIK SEDERHANA

A. Pendahuluan

Getaran (vibrasi) dapat diartikan sebagai gerak bolak-balik terhadap snatu titik kesetimbangan tertentu. Di alam ini kita dapat menjumpai berbagai gejala yang berdasarkan kepada prinsip getaran, seperti gerakan dari ; dawai gitar, dawai biola, garpu tala, gerakan balok yang digantungkan pada pegas, ayunan dan sebagainya. Pada umumnya benda-benda yang bergetar tersebut akan berhenti bergerak jika dibiarkan, gerakan demikian disebut getaran harmonik teredam (damped). Salah satu faktor penyebab redaman ini adalah karena faktor disipasi oleh gesekan. Untuk meniadakan efek redaman ini, dan menjaga agar amplitudo getaran tetap, diperlukan energi ekternal misalkan dengan menggunakan baterai, sehingga getaran yang terjadi seolah-olah tanpa redaman. Apabila simpangan getaran tidak terlalu besar, getaran demikian disebut getaran harmonik sederhana.

Getaran harmonis sederhana memiliki ciri-ciri

1. resultan gaya yang bekerja pada titik sebarang selalu mengarah ke titik kese-imbangan

2. besar resultan gaya sebanding dengan jarak titik sebarang ke titik keseim-bangan

3. getaran tanpa teredam

B. Persamaan Matematis Getaran Harmonik

Sebuah pita karet atau per sulur jika ditarik (diberi gaya) maka panjangnya akan berubah, dan jika gaya tersebut ditiadakan maka pita atau per tersebut akan kembali lagi seperti semula, Bahan yang mempunyai sifat demikian disebut bahan elastis. _{Pada saat bahan tersebut ditarik, terasa oleh kita adanya gaya} perlawanan dari bahan tersebut. Gaya perlawanan tersebut muncul karena pegas mempunyai elastisitas. _{Elastisitas bahan mempunyai batas-batas tertentu dimana} pada suatu gaya tertentu yang diberikan terhadap bahan, bahan tersebut tidak dapat kembali lagi ke keadaan semula, bahkan jika ditarik terus bahan akan putus. Dan dikatakan bahan tidak elastis lagi , daerah ini dikenal dengan daerah plastis seperti ditunjukkkan grafik pada gambar 1

(2)

Tinjaulah sebuah pegas sulur pada Gambar 2. Pegas yang dalam keadaan tergantung panjangnya yo (I) diberi beban W sehingga panjangnya menjadi y1 (II) Untuk meninjau gerak titik p pada ujung pegas, beban W ditarik ke bawah sampai panjangnya menjadi y2. (III). Berarti pertambahan panjang pegas dari posisi keseimbangan , memenuhi persamaan :

y y₂ y₁ ……….(1-1)

Pada saat beban W diberikan pada pegas, pegas memberikan perlawanan terhadap beban dengan gaya sebesar F . Bila luas penampang pegas adalah A, maka besarnya nilai F/A disebut stress (tegangan) pegas dan nilai y / y0 disebut strain (regangan). Perbandingan stress dengan strain dikenal dengan istilah modolus elastistisitas (E) memenuhi persamaan :

Persamaan (1-2) dapat ditulis sebagai :

y

merupakan bilangan konstan ditulis dengan symbol k (konstanta

pegas ) memenuhi persamaan :

k = _

Dari persamaaan (1-3) dan (1-4) diperoleh

F = - ky ……….. (1-5) F = gaya pada pegas

(3)

(tanda minus menunjukkan bahwa gaya F yang diberikan oleh pegas terhadap beban bersifat menantang arah pertambahan panjang y). Gaya F cendrung mengembalikan pegas ke posisi seimbang (y = 0)

Persamaan (1-5) dikenal sebagai hukum Hooke yang berbunyi :

"Jika sebuah benda diubah bentuknya , maka benda itu akan melawan perubahan bentuk (deformasi) dengan gaya yang sebanding dengan besarnya deformasi tersebut asalkan deformasi tidak terlalu besar "

Menurut Hukum II Newton besar gaya F memenuhi persamaan

F = ma_{y ……….}( 1 -6)

ay = percepatan arah y besarnya memenuhi persamaaan :

ay=(-ω2y)………... (1-7)

Berdasarkan persamaan (1-5) dan (1-6) diperoleh :

ma,, =-ky atau ky

Persamaan (1-8) merupakan persamaan differensial disebut persamaan getaran harmonik sederhana yang memberikan hubungan antara fungsi waktu y(t) dan turunan keduanya terhadap waktu, d2x/dt2. Dari persamaan (1-5), (1-6) dan (1-7) diperoleh :

sehingga persamaan (1-8) ditulis menjadi

(4)

y = A sin ωt………(1-11)

y = simpangan getaran harmonis

A = simpangan maksimum getaran (amplitudo) ω = frekwensi anguler getaran

Bila pegas pada posisi (III), seperti ditunjukkan pada gambar 1 di lepaskan. Ujung pegas akan bergerak bolak-balik disekitar titik keseimbangan (yi) . Bila simpangan maksimumnya (A) tidak terlalu besar dan dapat dipertahankan konstan,, gerak bolak balik ini disebut getaran harmonis. Jumlah getaran yang dilakukan tiap detik disebut frekwensi (f) getaran. Bila waktu yang diperlukan untuk melakukan satu getaran sempurna adalah prioda getaran (T), hubungan f dan T dinyatakan oleh persamaan :

f = 1/T atau T= 1/f ………. (1-12)

dan besar besarnya frekwensi anguler (ω) dinyatakan oleh persamaan :

ω=2πf ………(1-13)

(5)

Menunjukkan urutan gerak bolak balik pegas yang bergetar tersebut. Jika ujung pegas dihubungkan dengan tali, dan dikatkan pada suatu ujung, maka tali tersebut akan berbentuk gelombang sinusoidal. Secara sederhana persamaan getaran harmonis dapat di uraikan dari uraian gerak melingkar beraturan.

Berdasarkan gambar 2, misalkan suatu saat titik telah bergetarar selama t detik dari titik P ke titik Q . Bila y adalah simpangan getar, dan Amplitudo getaran (A) sama dengan jari-jari lingkaran, maka berdasarkan Δ OPQ diperoleh :

θ = sudut fase getaran, Berdasarkan persamaan (1-11) dan (1-14) diperoleh

 t ...(1-15)

Dititik Q kecepatan linier getaran adalah v. Uraian v ke arah sumbu y (vy) menunjukkan kecepatan getaran harmonis. Dengan menggunakan rumus trigonometri dalam Δ QRS diperoleh :

v_y vcos atau v_y vcost ...(1-16)

Dalam gerak melingkar beraturan diketahui bahwa :

A

v .... ..(1-17)

Percepatan yang dialami gerak melingkar beraturan adalah percepatan sentripetal (as) yang arahnya selalu menuju pusat lingkaran . Uraian as dalam arah sumbu y dinyatakan sebagai percepatan getaran harmonis (ay). Berdasarkan Δ QXZ diperoleh :

a_y a_ssin atau a_ya_ssint...(1 -18)

Besarnya percepatan sentripetal (as) dinyatakan oleh persamaan :

A

C. Contoh-Contoh Getaran Harmonis 1. Getaran Pegas

1. Getaran Pegas

(6)

Beberapa buah pegas dapat disusun secara seri atau paralel.

a. Pegas susunan seri

Pada susunan seri, prinsipnya adalah ; pertambahan panjang pegas pengganti sama dengan jumlah pertambahan panjang masing-masing pegas.

Memenuhi persamaan :

(7)

Memenuhi persamaan

y = y1 + y2...(1-24) dan

F = F1 + F2... ... ...(1-25) Sehingga

ky = k1y + k2y atau k = k, + k2... (1-26)

2. Ayunan Sederhana

Ayunan sederhana terdiri dari sebuah beban dengan massa m yang digantungkan pada tali yang ringan panjangnya L dan bersifat tidak elastik. Bila beban di tarik ke samping dengan simpangan yang kecil (θ) dari posisi setimbang, kemudian di lepaskan, maka beban akan ber ayun pada bidang vertikal akibat pengaruh gaya grafltasi bumi (w = mg).

Yang menyebabkan beban berayun adalah gaya pemulih F = mg sin θ. Dengan menggunakan hukum II Newton diperoleh persamaan :

y ma F 

(8)

Berdasarkan segi tiga siku-siku ABC diperoleh

g = percepatan grafitasi L = panjang tali

ω = kecepatan anguler ayunan f = frekwensi ayunan

T = prioda ayunan.

D. Energi Getaran Harmonik

Getaran suatu benda disebabkan oleh energi yang dihkandung oleh benda itu. Sebagai contoh sebuah pegas yang dalam keadaan tertekan atau tertarik sejarak y memiliki energi potensial (Ep) sebesar :

t

Energi kinetik getaran (Ek) memenuhi persamaan :

(9)

D. Fase Getaran

Misalkan suatu titik telah bergetar selama t detik dari keadaan setimbang (y =0). Dan membetuk sudut fase sebesar θ. Memenuhi persamaan



Besarnya fase getaran (φ) memenuhi persamaan

T t



 ………(1-36)

(10)

2

(11)

(12)