IMPLEMENTASI ALGORITMA GENETIKA DENGAN TEKNIK KENDALI LOGIKA FUZZY UNTUK MENGATASI TRAVELLING SALESMAN PROBLEM MENGGUNAKAN MATLAB (Studi Kasus PT. Pos Indonesia DC Tugu Semarang)

UNTUK MENGATASI TRAVELLING SALESMAN

PROBLEM MENGGUNAKAN MATLAB

(Studi Kasus PT. Pos Indonesia DC Tugu Semarang)

skripsi

disajikan sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains

Program Studi Matematika

oleh

Erma Nurul Fitriana 4111410012

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

HALAMAN MOTTO DAN PERSEMBAHAN

MOTTO

Barangsiapa merintis jalan mencari ilmu maka Allah akan memudahkan baginya jalan ke surga. (HR. Muslim).

Bersungguh-sungguhlah engkau dalam menuntut ilmu, jauhilah kemalasan dan kebosanan karena jika tidak demikian engkau akan berada dalam bahaya kesesatan. (Imam Al Ghazali).

Tiadanya keyakinanlah yang membuat orang takut menghadapi tantangan, dan saya percaya pada diri saya sendiri. (Muhammad Ali).

PERSEMBAHAN

1. Untuk Ibu Dwi Mardiyanti dan Bapak Sudirno yang selalu dan tiada henti mencurahkan kasih sayang, semangat, dukungan, dan segalanya untukku.

2. Untuk Yangti yang selalu menyelipkan namaku di setiap doanya.

3. Untuk segenap keluarga besar yang telah memberikan dukungannya.

4. Untuk Mas Saeful Bakhtiar yang selalu menjadi sumber semangat dan inspirasiku.

5. Untuk Umi Latifah, Zahrina Amalia Tamimi, Istatik Rohmana, dan semua sahabat-sahabatku di jurusan Matematika 2010 yang menemani perjuanganku. 6. Untuk sahabat-sahabatku ODOJ grup 1524 yang

selalu menjadi pengingat ketika malas mendera.

PRAKATA

Puji syukur hadirat Allah SWT yang telah melimpahkan rahmat dan karunia-Nya, sehingga penulis dapat menyelesaikan penulisan skripsi yang

berjudul “Implementasi Algoritma Genetika dengan Teknik Kendali Logika Fuzzy untuk Mengatasi Travelling Salesman Problem Menggunakan MATLAB (Studi Kasus PT. Pos Indonesia DC Tugu Semarang)”. Penulisan skripsi ini sebagai syarat mutlak yang harus dipenuhi oleh penulis untuk memperoleh gelar sarjana sains di Universitas Negeri Semarang.

Penulisan skripsi ini dapat terselesaikan karena adanya bimbingan, bantuan, dan dukungan dari berbagai pihak baik secara langsung maupun tidak langsung. Oleh karena itu, penulis mengucapkan terima kasih kepada:

1. Prof. Dr. Fathur Rokhman, M.Hum, Rektor Universitas Negeri Semarang. 2. Prof. Dr. Wiyanto, M.Si, Dekan FMIPA Universitas Negeri Semarang.

3. Drs. Arief Agoestanto, M.Si, Ketua Jurusan Matematika FMIPA Universitas Negeri Semarang.

4. Endang Sugiharti, S.Si., M.Kom. Pembimbing yang telah memberikan bimbingan, motivasi, waktu, dan pengarahan.

5. Ibu dan Bapak tercinta yang selalu memberikan doa serta memberikan dukungan baik secara moral maupun spiritual.

6. Segenap keluarga besar yang telah memberikan dukungannya.

7. Sahabat-sahabat yang telah memberikan banyak motivasi, kritik, usulan yang menjadikan terselesaikannya penulisan skripsi ini.

motivasi.

9. Semua pihak yang telah membantu terselesaikannya penulisan skripsi ini. Akhirnya penulis berharap semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi penulis pada khususnya dan pembaca pada umumnya.

Semarang, Agustus 2014

Penulis

ABSTRAK

Fitriana, Erma Nurul. 2014. Implementasi Algoritma Genetika dengan Teknik Kendali Logika Fuzzy Untuk Mengatasi Travelling Salesman Problem menggunakan Matlab (Studi Kasus PT. Pos Indonesia DC Tugu Semarang). Skripsi, Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Semarang. Pembimbing: Endang Sugiharti, S.Si, M.Kom. Kata Kunci: Algoritma Genetika, Fuzzy Sugeno, MATLAB, Travelling Salesman Problem.

Travelling Salesman Problem (TSP) adalah problem mencari rute optimal bagi seorang salesman yang berkeliling mengunjungi kota dengan setiap kota dikunjungi satu kali kecuali kota asal. Skripsi ini akan meneliti salah satu kasus TSP pada masalah pngirimin surat dan barang di PT. Pos Indonesia DC Tugu Semarang dengan tujuan 22 alamat penerima di wilayah Kecamatan Ngaliyan Kota Semarang. Pada penelitian ini, digunakan algoritma genetika dengan teknik kendali logika fuzzy dalam Matlab 7.8.0 (R2009a).

Pengambilan data dilakukan dengan cara mendokumentasikan data dari PT. Pos Indonesia DC Tugu Semarang. Data yang diambil berupa alamat-alamat penerima surat dan barang di wilayah Kecamatan Ngaliyan Semarang, selanjutnya dilakukan pencarian koordinat masing-masing lokasi dengan bantuan situs wikimapia.org dan melakukan survey secara langsung pada beberapa sample alamat sehingga jarak antar lokasi dapat diketahui. Analisis data dilakukan menggunakan mekanisme algoritma genetika dengan teknik kendali logika fuzzy yang diaplikasikan dalam program MATLAB. Penentuan probilitas crossover ( , probabilitas mutasi ( , jumlah kromosom dalam 1 generasi, dan maksimum generasi memberikan pengaruh yang signifikan terhadap solusi optimal yang bisa didapatkan.

Dari hasil analisis algoritma genetika dengan teknik kendali logika fuzzy diperoleh hasil bahwa solusi optimal menggunakan masukkan populasi 100 dan generasi 1000 lebih baik dari solusi optimal yang didapatkan dengan masukkan populasi dan generasinya berturut-turut adalah (100 dan 100), (100 dan 200), (100 dan 500), (200 dan 100), (500 dan 100) dan (1000 dan 100). Kemudian didapatkan rute terbaiknya adalah 1-3-4-6-9-8-7-19-18-16-17-20-21-22-15-12-11-10-14-13-5-2-1 dan panjang jalur terbaiknya adalah 22,63 Km dengan memasukkan populasi 100 dan generasi 1000.

Dari hasil analisis, diharapkan PT Pos Indonesia DC Tugu Semarang dapat menerapkan metode perhitungan rute optimal dengan algoritma genetika dengan teknik kendali logika fuzzy pada MATLAB agar dapat mengetahui jalur terpendek pendistribusian surat dan jasa sehingga dapat menekan biaya transportasi, dan mengaplikasikannya dalam bentuk GUI agar mempermudah user dalam program tersebut.

DAFTAR ISI

Halaman

PRAKATA……….………... v

ABSTRAK………... vii

DAFTAR ISI………... viii

DAFTAR GAMBAR………... xiii

DAFTAR TABEL………... xv

DAFTAR LAMPIRAN………... xvi

BAB 1 PENDAHULUAN………...……… 1

1.1 Latar Belakang………. 1

1.2 Perumusan Masalah………. 2

1.3 Pembatasan Masalah……… 3

1.4 Tujuan dan Manfaat Penelitian……...………. 3

1.5 Manfaat Penelitian...……….….….. 4

1.6 Sistematika Penulisan………... 4

1.6.1 Bagian Awal………... 4

1.6.2 Bagian Isi………... 4

1.6.3 Bagian Akhir……….. 6

BAB 2 LANDASAN TEORI……….…. 7

2.1 Teori Graf………..………... 7

2.1.1 Definisi Graf………..………... 7

2.1.2 Jenis-jenis Graf……….…….…….…….…….…….... 8

2.1.3 Jalan (Walk)………..……….…….…….……….…….... 9

2.1.5 Lintasan (Path)………..………...…...…...…...…...…... 10

2.1.6 Sirkuit………..…. 11

2.1.7 Graf Euler dan Graf Semi-Euler………. 12

2.1.8 Lintasan dan Sirkuit Hamilton………. 13

2.1.9 Graf Terhubung (Connected Graph)……….... 13

2.1.10 Graf Berbobot………. 14

2.1.11 Lintasan Terpendek……….... 15

2.2 Sekilas Tentang MATLAB……….. 16

2.2.1 Sejarah Travelling Salesman Problem………..……... 18

2.2.2 Contoh Perkembangan Masalah yang Muncul………...……… 18

2.3 Algoritma Genetika……….. 19

2.4 Fuzzy………..……….. 32

2.4.1 Logika Fuzzy………... 32

2.4.2 Himpunan Fuzzy………..…… 33

2.4.3 Fungsi Keanggotaan Fuzzy……..……… 36

2.4.4 Sistem Inferensi Fuzzy……….... 40

2.4.4.1 Metode Sugeno………..……….. 40

2.4.5 Kendali Logika Fuzzy………... 42

2.4.6 IF-THEN Rule……….. 43

2.5 Hubungan antara Algoritma Genetika dengan Kendali Logika Fuzzy………...………... 44

2.6 Sekilas tentang MATLAB………...…… 45

2.6.2 Meminta Bantuan………... 47

2.6.3 Interupting dan Terminating dalam MATLAB……….... 47

2.6.4 Variabel pada MATLAB………...….. 47

2.7 Pembuatan Aplikasi Berbasis GUI………. 48

2.7.1 Pendahuluan……….. 48

2.7.2 GUI……….. 48

2.7.3 M-File Editor……… 49

BAB 3 METODE PENELITIAN...………. 50

3.1 Menemukan masalah ………... 50

3.2 Merumuskan Masalah………..………. 50

3.3 Pengambilan Data ………...……. 50

3.4 Analisis dan Pemecahan Masalah………....………. 53

3.4.1 Aplikasi Kebutuhan………..………….…. 54

3.4.1.1Analisis Kebutuhan Masukan (Input)………..……...…. 54

3.4.1.2 Analisis Kebutuhan Proses….….….….….….…....….... 3.4.1.3 Analisis Kebutuhan Keluaran (Output) .…..…..….….... 3.4.2 Perancangan Perangkat Lunak….….….…..….….….………… 3.5 Penarikan Kesimpulan……….. BAB 4 HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN…..………. 55 55 56 59 60 4.1 Hasil Penelitian……… 60

4.1.1 Pengkodean Kromosom……….…………. 61

4.1.2 Inisialisasi Populasi……….……… 62

4.1.4 Roulette Wheel Selection……… 64 4.1.5 Update Probabilitas Crossover dan Probabilitas Mutasi……… 65 4.1.6 Implementasi Program……….………... 66 4.1.7 Hasil Simulasi Program……….……. 69

4.1.7.1 Perhitungan menggunakan masukan populasi 100 dan

generasi 100……….….. 69

4.1.7.2 Perhitungan menggunakan masukan populasi 100 dan

generasi 200……….….. 75

4.1.7.3 Perhitungan menggunakan masukan populasi 100 dan

generasi 500……….….. 78

4.1.7.4 Perhitungan menggunakan masukan populasi 100 dan

generasi 1000……….….. 80

4.1.7.5 Perhitungan menggunakan masukan populasi 200 dan

generasi 100……….….. 85

4.1.7.6 Perhitungan menggunakan masukan populasi 500 dan

generasi 100……….….. 84

4.1.7.7 Perhitungan menggunakan masukan populasi 1000 dan

generasi 100……….….. 86

4.1.8 Analisis Penyelesaian Travelling Salesman Problem Menggunakan Aplikasi Algoritma Genetika dengan Teknik Kendali Logika Fuzzy dalam Pengiriman Surat dan Barang di PT. Pos Indonesia DC Tugu

……… 88

BAB 5 PENUTUP………...………….... 94

5.1 Simpulan……….. 94

5.2 Saran………. 95

DAFTAR PUSTAKA……….. 96

DAFTAR GAMBAR

Gambar Halaman

2.1 Gambar Contoh Graf G………..…….…….……..………... 8

2.2 Gambar Graf berdasarkan orientasi arah (a) graf berarah dan (b) graf tak berarah………..……..……..……..……..……..……..…... 9

2.3 Gambar Jalan pada Graf G………..……..………. 10

2.4 Gambar Jejak pada Graf G…...………..……..……..……..…….……. 10

2.5 Gambar Lintasan pada Graf G……….……..……..………. 11

2.6 Gambar Sirkuit pada Graf G……….………..…………..……… 12

2.7 Gambar Eulerian pada Graf G……….………..…… 12

2.8 Gambar Hamiltonian pada Graf G………...……… 13

2.9 Gambar (a) Graf Terhubung, (b) Graf tak terhubung……… 14

2.10 Gambar Contoh Graf Berbobot ……….………. 15

2.11 Gambar Ilustrasi Seleksi dengan Mesin Roulette……… 24

2.12 Gambar Contoh gen sebelum dan sesudah mutasi dengan pengkodean pohon……… 31

2.13 Gambar Himpunan fuzzy untuk variabel umur……….… 34

2.14 Gambar Himpunan fuzzy pada variabel temperatur………..… 35

2.15 Grafik liner naik…………...………. 37

2.16 Grafik linear turun...………. 37

2.19 Grafik Bilangan Fuzzy L-R...………..………….……. 40

2.20 Diagram fuzzy sugeno...………..……….………. 42

2.21 Diagram Konsep umum kronologi proses...…….………. 42

3.1 Gambar Halaman depan wikimapia...………... 51

3.2 Gambar Hasil pencarian tempat...………. 52

3.3 Menu Login wikimapia………… 52

3.4 Gambar Hasil pengukuran jarak………...… 53

4.1 Gambar Posisi 22 Alamat dalam Grafik……….………….. 61

4.2 Gambar Sintak inisialisasi populasi...……… 62

4.3 Gambar Sintak evaluasi individu……….……….. 63

4.4 Gambar Sintak Roulette Wheel Selection……….. 64

4.5 Tampilan Fuzzy sugeno...……….……...…….. 65

4.6 Tampilan TSP...………..…………... 67

4.7 Tampilan Hasil Uji...………....……….. 68

4.8 Tampilan Tampilan Koordinat Kota atau Alamat Dituju...…………... 69

4.9 Tampilan TSP Setelah Memasukan Koordinat Kota, Populasi, dan Generasi ………..…….. 70

4.10 Gambar Hasil pencarian mutasi dan probabilitas crossover....….…… 71

4.11 Tampilan TSP setelah dijalankan……….……….. 72

4.12 Tampilan grafik rute koordinat alamat tujuan……… 72

4.13 Tampilan Hasil uji pada populasi 100 dan generasi 100………... 73

DAFTAR TABEL

Tabel Halaman

4.1 Tabel Hasil Perhitungan mengunakan Populasi 100 dan Generasi

100….………....

74

4.2 Tabel Hasil Perhitungan mengunakan Populasi 100 dan Generasi

200….……….... 76

4.3 Tabel Hasil Perhitungan mengunakan Populasi 100 dan Generasi

500….……….... 78

4.4 Tabel Hasil Perhitungan mengunakan Populasi 100 dan Generasi

1000….……….. 80

4.5 Tabel Hasil Perhitungan mengunakan Populasi 200 dan Generasi

100….……….. 82

4.6 Tabel Hasil Perhitungan mengunakan Populasi 500 dan Generasi

100….……….... 84

4.7 Tabel Hasil Perhitungan mengunakan Populasi 1000 dan Generasi

100….……….... 86

4.8 Tabel Hasil Panjang Jalur Terbaik….………...… 88 4.9 Tabel Hasil Mutasi dan Probabilitas Crossover….………... 90

DAFTAR LAMPIRAN

Lampiran 1 Nama, Alamat, dan Kode Lokasi Penerimaan Surat dan Barang

dari PT Pos Indonesia DC Tugu Semarang………. 99

Lampiran 2 Kode Lokasi, Koordinat X, Koordinat Y pada Alamat Penerima Surat dan Barang dari PT Pos Indonesia DC Tugu Semarang ………...……… 100

Lampiran 3 Jarak Antartitik Koordinat ………...……….. 101

Lampiran 4 Tampilan Simulasi Matlab ………...……….…. 103

Lampiran 5 Kode Program………...………..………… 105

Lampiran 6 Lampiran 7 Tampilan dan Hasil Uji (Excel) dengan Pengujian 10 kali ….... Tampilan Graf Rute Terbaik Pengiriman Surat Dan Barang PT. Pos Indonesia DC Tugu…...………... 124 130 Lampiran 8 Tabel Populasi Awal…...………...…………...…………..… 147

Lampiran 9 Nilai Fitness dalam Suatu Populasi…...………..… 151

Lampiran 10 Probabilitas Fitness dan Nilai Kumulatifnya………... 153

Lampiran 11 Hasil Seleksi Roulette Wheel……….. 155 Lampiran 12 Semesta Pembicaraan, Domain, Fungsi Keanggotaan dan

Aturan Fuzzy………..

Halaman

1

1.1 Latar Belakang

Proses pendistribusian surat dan barang adalah kegiatan yang tidak pernah lepas dari kehidupan. Jarak yang jauh serta penyebaran masyarakat yang meluas menjadi salah satu alasan bagi masyarakat untuk menggunakan jasa pengiriman barang daripada mengantar sendiri barang yang akan dikirimkan. Permasalahan pendistribusian barang menjadi poin penting bagi perusahaan penyedia jasa pengiriman barang maupun surat. Hal ini sangat memerlukan pertimbangan dan perhitungan yang tepat karena berkaitan dengan biaya transportasi yang harus dikeluarkan dalam proses pendistribusian.

PT. Pos Indonesia merupakan salah satu perusahaan yang bergerak dalam bidang pengiriman barang maupun surat di Indonesia. PT. Pos Indonesia sendiri memiliki cabang di setiap kota di seluruh Indonesia. Dalam mengirimkan barang maupun surat dari pusat ke pelanggan di berbagai tempat dan di banyak kota, perlu adanya suatu sistem yang mampu meminimalisasi biaya pengiriman dan sehingga akan didapatkan keuntungan yang paling maksimal. Permasalahan seperti ini merupakan masalah model jaringan yang sama dengan permasalahan pada pedagang kaki lima atau biasa disebut Travelling Salesman Problem (TSP).

dengan syarat setiap kota hanya dapat dikunjungi satu kali kecuali kota awal. Banyak algoritma yang diterapkan pada permasalahan TSP di antaranya adalah nearest neighbor heuristic, cheapest insertion heuristic, two way exchange improvement heuristic, nearest insertion heuristic, ant colony optimation, dan branch and bound method.

Terdapat algoritma lain yang dapat digambarkan sebagai metode untuk menemukan solusi dari suatu permasalahan TSP, yaitu Algoritma Genetika serta mengkombinasikannya pada teknik kendali Logika Fuzzy dengan harapan memperoleh rute dengan kualitas terbaik dari Algoritma Genetika. Pada prinsipnya, teknik kendali Logika Fuzzy digunakan untuk mengontrol nilai paramater Algoritma Genetika pada suatu generasi secara otomatis (automatic fine-tuning) berdasarkan informasi yang diperoleh dari populasi sebelumnya.

Selain dengan menggunakan penyelesaian secara manual, seiring dengan keberhasilan perkembangan dan penerapan teknologi, masalah-masalah optimalisasi dapat diselesaikan secara lebih cepat dan mudah. Perhitungan yang begitu rumit jika diselesaikan secara manual, sekarang dapat diselesaikan dalam waktu yang relatif lebih singkat. Terdapat beberapa software komputer yang memungkinkan permasalahan-permasalahan optimalisasi terselesaikan secara lebih mudah dan lebih cepat. Beberapa program tersebut antara lain adalah software Lindo, MATLAB, QM for Windows, SkyNet, Solver, dan WinQSB.

genetika, penulis juga akan menyelesaikan masalah optimalisasi ini dengan suatu software komputer yaitu MATLAB. Dengan dipilihnya penyelesaian jaringan TSP melalui Algoritma Genetika dengan teknik kendali Logika Fuzzy menggunakan MATLAB, diharapkan akan diperoleh solusi permasalahan jaringan TSP paling optimal sehingga dapat meminimalkan pengeluaran perusahaan melalui jarak yang paling minimal.

1.2 Perumusan Masalah

Permasalahan yang akan dikaji dalam penelitian ini adalah sebagai berikut. 1. Bagaimana hasil pencarian jarak minimum dari jaringan TSP dalam

pengiriman surat dan barang di PT. Pos Indonesia DC Tugu Semarang menggunakan Algoritma Genetika dengan teknik kendali Logika Fuzzy dalam aplikasinya pada MATLAB?

2. Bagaimana rute jaringan TSP yang mempunyai jarak minimum dalam pengiriman surat dan barang dengan menggunakan Algoritma Genetika dengan teknik kendali Logika Fuzzy di PT. Pos Indonesia DC Tugu Semarang?

1.3 Pembatasan Masalah

TSP simetris, di mana jarak dari kota 1 ke kota 2 sama dengan jarak dari kota 2 ke kota 1. Software yang digunakan dalam penelitian ini adalah MATLAB.

1.4 Tujuan Penelitian

Adapun tujuan yang diharapkan pada penelitian ini adalah sebagai berikut.

1. Menentukan rute optimal jaringan TSP yang mempunyai jarak minimum dalam pengiriman surat dan barang dengan menggunakan Algoritma Genetika dengan teknik kendali Logika Fuzzy di PT. Pos Indonesia DC Tugu Semarang dalam aplikasinya pada MATLAB.

2. Menentukan hasil pencarian jarak minimum dari jaringan TSP dalam pengiriman surat dan barang di PT. Pos Indonesia DC Tugu Semarang menggunakan Algoritma Genetika dengan teknik kendali Logika Fuzzy.

1.5 Manfaat Penelitian

Adapun manfaat yang diharapkan pada penelitian ini adalah sebagai berikut.

1. Dapat menambah wawasan dan pengetahuan tentang pendistribusian dan transportasi suatu jaringan.

2. Dapat menerapkan Algoritma Genetika dengan teknik kenali Logika Fuzzy dalam menyelesaikan TSP.

1.6 Sistematika Penulisan

Sistematika berguna untuk memudahkan dalam memahami jalan pemikiran skripsi secara keseluruhan. Penulisan skripsi ini secara garis besar dibagi menjadi 3 bagian yaitu sebagai berikut.

1.6.1 Bagian Awal

Bagian ini berisikan halaman judul, abstrak, halaman pengesahan, halaman motto dan persembahan, kata pengantar, daftar isi, daftar tabel, daftar gambar dan daftar lampiran.

1.6.2 Bagian Isi

Bagian ini berisikan 5 bab, yaitu: BAB I. PENDAHULUAN

Berisi gambaran secara global tentang isi skripsi yaitu latar belakang masalah, rumusan pemasalahan, pembatasan masalah, tujuan penelitian dan manfaat penelitian serta sistematika penulisan.

BAB II. LANDASAN TEORI

BAB III. METODE PENELITIAN

Bab ini menguraikan langkah-langkah kerja yang akan ditempuh, meliputi menemukan masalah, pengambilan data, analisis dan pemecahan masalah, serta penarikan simpulan.

BAB IV. HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN

Bab ini berisi pembahasan dari permasalahan yang dikemukakan. Bab ini dibagi menjadi dua sub bab, yaitu hasil penelitian dan pembahasan. Hasil penelitian berisi hasil perhitungan dan analisis data yang diperoleh dari studi pustaka maupun pemecahan kasus penentuan rute dan jarak minimum dari jaringan TSP pada pengiriman surat dan barang di PT. Pos Indonsia DC Tugu Semarang menggunakan Algoritma Genetika dengan teknik kendali Logika Fuzzy dalam aplikasinya di MATLAB.

BAB V. PENUTUP

Bab ini dibagi menjadi dua sub bab, yaitu simpulan dan saran. Simpulan berisi tentang garis besar isi dalam skripsi, sedangkan saran berupa komentar, sanggahan yang bersifat menyarankan kepada perusahaan bergantung dengan variabel yang ada dalam skripsi.

1.6.3 Bagian Akhir

7

2.1 Teori Graf

2.1.1 Definisi Graf

Sebuah graf berisikan dua himpunan yaitu himpunan berhingga tak kosong dari objek-objek yang disebut titik dan himpunan berhingga (mungkin kosong) yang elemen-elemennya disebut sisi sedemikian hingga setiap elemen dalam merupakan pasangan tak berurutan dari titik-titik di Himpunan disebut himpunan titik dan himpunan disebut himpunan sisi . Misalkan dan adalah dua titik di dan (sering ditulis adalah sebuah sisi . Titik dan titik berhubungan langsung (adjacent) di ; sisi menghubungkan (joining) titik dan titik di ; dan titik-titik akhir sisi ; sisi terkait (incident) dengan titik dan titik (Budayasa, 2007: 1-2)

Contoh 2.1:

Sebuah graf dengan dan

. ; ; ; ;

;

Gambar 2.1 Contoh Graf G

2.1.2 Jenis-jenis Graf

Berdasarkan orientasi arah pada sisi, graf dibedakan atas dua jenis: (a) Graf Berarah (Directed Graph atau Digraph)

Graf berarah adalah graf yang setiap sisinya mempunyai orientasi arah. Sisi beararah disebut dengan sebutan busur (arc). Pada Graf berarah, dan menyatakan dua buah busur yang berbeda, dengan kata lain . Untuk busur , titik dinamakan titik awal (initial vertex) dan titik dinamakan titik terminal (terminal vertex) (Munir, 2010: 358).

(b) Graf Tak-Berarah (Undirected Graph atau Undigraph)

Graf tak-berarah adalah graf yang sisinya tidak mempunyai orientasi arah. Pada graf tak berarah, urutan pasangan simpul yang dihubungkan oleh sisi tidak diperhatikan. jadi adalah sisi yang sama (Munir, 2010: 358).

e1

e2

e4

e5

v1

v2

v3

v4

e3

(a) (b)

Gambar 2.2 Graf berdasarkan orientasi arah (a) graf berarah dan (b)

graf tak berarah

2.1.3 Jalan (Walk)

Misalkan adalah sebuah graf. Sebuah jalan (walk) di adalah sebuah

barisan berhingga (tak kosong) yang

suku-sukunya bergantian sedemikian hingga dan adalah titik-titik akhir sisi untuk . Dikatakan adalah sebuah jalan dari titik ke titik , atau jalan- . Titik dan titik berturut-turut disebut titik awal dan titik akhir . Sedangkan titik-titik disebut titik internal ; dan disebut panjang jalan dengan panjang positif disebut tertutup, jika titik awal dan akhir dari identik (sama) (Budayasa, 2007: 6)

e1

e2

e4

e5

v1

v2

v3

v4

e3

v1

v2

v3

Gambar 2.3 Jalan pada graf misalnya

2.1.4 Jejak (Trail)

Sebuah titik , mungkin saja muncul lebih dari satu kali dalam jalan , begitu juga dengan sebuah sisi , boleh muncul lebih dari satu kali pada jalan . Jika semua dalam jalan berbeda, maka disebut sebuah jejak (trail) (Budayasa, 2007: 6).

Gambar 2.4 Jejak pada Graf misalnya

2.1.5 Lintasan (Path)

Jika semua titik dalam jejak berbeda, maka disebut lintasan (path) (Budayasa, 2007: 6). Dalam penulisan skripsi ini lintasan diartikan sama dengan rute sehingga dapat dituliskan bergantian. Lintasan adalah jejak,

e1

e2

e4

e6

e5

v3 v4

e7

v5

e3

e1

e2

e4

e6

e5

v1 v2

v3 v4

e7

v5

akan tetapi tidak semua jejak adalah lintasan. Panjang lintasan pada sebuah graf berbobot adalah jumlah bobot semua sisi pada lintasan tersebut.

Pada Gambar 2.5 jalan adalah jejak tetapi bukan lintasan, sedangkan adalah lintasan.

Gambar 2.5 Lintasan pada graf misalnya

2.1.6 Sirkuit

Jejak yang berawal dan berakhir pada titik yang sama disebut sirkuit (Budayasa, 2007: 6). Sebuah sirkuit dikatakan sirkuit sederhana (simple circuit) jika sirkuit tersebut tidak memuat atau melewati sisi yang sama dua kali (setiap sisi yang dilalui hanya satu kali). Sebuah sirkuit dikatakan sirkuit dasar (elementary circuit) jika sirkuit tersebut tidak memuat atau melewati titik yang sama dua kali (setiap titik yang dilalui hanya satu kali, titik awal dan akhir boleh sama).

e1

e2

e4

e6

e5

v1 v2

v3 v4

e7

v5

Gambar 2.6 Sirkuit pada graf misalnya .

2.1.7 Graf Euler dan Graf Semi-Euler

Sebuah sirkuit di graf yang memuat semua sisi disebut sirkuit Euler. Jika graf memuat sirkuit Euler, maka graf disebut graf Euler. Sebuah jejak buka yang memuat semua sisi graf disebut jejak Euler. Graf disebut graf semi-Euler jika memuat jejak semi-Euler (Budayasa, 2007: 113)

1

(a) (b) Gambar 2.7 Eulerian pada graf

Keterangan gambar:

(a) Graf memiliki Jejak Euler misal (b) Graf memiliki Sirkuit Euler misalnya

.

e4

e6

e5

v3 v4

e7

5 2

6

3

7

4 1

2

3

2.1.8 Lintasan dan Sirkuit Hamilton

Misalkan sebuah graf. Sebuah lintasan yang memuat semua titik di disebut lintasan Hamilton. Graf non Hamilton yang memuat lintasan Hamilton disebut graf semi-Hamilton (Budayasa, 2007: 130). Sirkuit Hamilton adalah sirkuit yang melalui tiap titik di dalam graf tepat satu kali, kecuali titik asal (sekaligus titik akhir) yang dilalui dua kali. Graf Hamilton adalah graf yang memiliki sirkuit Hamilton (Munir, 2001: 232).

(a) (b) (c)

Gambar 2.8 Hamiltonian pada graf

Keterangan gambar:

(a) Graf memiliki lintasan Hamilton misalnya (b) Graf memiliki sirkuit Hamilton misalnya

(c) Graf tidak memiliki lintasan maupun sirkuit Hamilton

2.1.9 Graf Terhubung (Connected Graph)

Suatu graf dikatakan terhubung (connected) jika untuk setiap dua titik yang berbeda terdapat sebuah lintasan yang menghubungkan kedua titik tersebut.

1 2

4 3

1 2

4 3

1

3 4

Sebaliknya graf adalah sebuah graf bagian terhubung maksimal (titik dan sisi) dari (Budayasa, 2007: 8). Graf dikatakan graf bagian terhubung maksimal dari graf apabila tidak ada graf bagian lain dari yang terhubung dan memuat . Jadi setiap graf terhubung memiliki tepat satu komponen sedangkan graf tidak terhubung memiliki paling sedikit dua komponen.

Contoh 2.2

Diberikan graf seperti Gambar 2.9.

(a) (b)

Gambar 2.9 (a) Graf Terhubung, (b) Graf Tak Terhubung

2.1.10 Graf Berbobot

Graf berbobot adalah graf yang setiap sisinya diberi sebuah harga (bobot). Bobot pada setiap sisi dapat menyatakan jarak dua buah kota, biaya perjalanan antara dua buah kota, waktu tempuh pesan dari simpul ke komunikasi lain, dan sebagainya (Munir, 2005: 357)

Diberikan graf berbobot seperti pada Gambar 2.10

e1

e2

e4

e5

v1

v2

v3

v4

e3

e1

e2

e4

e5

v1

v2

v3

v4

Gambar 2.10 Contoh Graf Berbobot

Dari gambar 2.10, dapat dijelaskan bobot dari masing-masing sisi, yaitu:

2.1.11 Lintasan Terpendek (Shortest Path)

Permasalahan mencari lintasan terpendek di dalam graf merupakan salah satu permasalahan optimasi. Graf yang digunakan dalam pencarian lintasan terpendekadalah graf berbobot (weighted graf) yaitu graf yang setiap sisinya diberikan suatu nilai atau bobot. Bobot pada sisi graf dapat menyatakan jarak antar kota, waktu pengiriman, ongkos pembangunan, dan sebagainya. Asumsi

yang digunakan adalah semua bobot bernilai positif. Kata “terpendek” jangan

selalu diartikan secara fisik sebagai panjang minimum, sebab kata “terpendek”

berbeda-beda maknanya bergantung pada tipikal persoalan yang akan

14 _{15 1}

8

17 16

14 1 6

18 12

diselesaikan. Namun secara umum “terpendek” berarti meminimisasi bobot pada suatu lintasan di dalam graf. (Munir, 2010: 412)

Panjang lintasan dalam sebuah graf berbobot adalah jumlah bobot semua sisi pada lintasan tersebut. Misalkan dan dua titik di graf . Lintasan-( di dengan panjang minimum disebut lintasan terpendek antara dan . jarak dari ke , dinotasikan dengan atau didefinisikan sebagai panjanglintasan terpendek antara titik dan titik di . (Budayasa, 2007: 47)

Ada beberapa macam persoalan lintasan terpendek adalah sebagai berikut. 1. Lintasan terpendek antara dua buah titik tertentu.

2. Lintasan terpendek antara semua pasangan titik.

3. Lintasan terpendek dari simpul tertentu ke semua titik yang lain.

4. Lintasan terpendek antara dua buah titik yang melalui beberapa titik tertentu.

2.2

Travelling Salesman Problem

(TSP)

biaya ini sendiri dapat mewakili berbagai hal, seperti biaya, jarak, bahan bakar, waktu, kenyamanan dan lain-lain (Zulfikar, 2008:3-4).

Pada TSP, jumlah jalur yang mungkin terjadi dapat diperoleh dengan menggunakan rumus permutasi berikut ini:

………..……..…………(2.1) di mana n adalah jumlah seluruh node dan k adalah jumlah node yang diseleksi. Terdapat dua jenis TSP, yaitu asimetris dan simetris. Pada TSP asimetris, biaya dari node 1 ke node 2 tidak sama dengan biaya dari node 2 ke node 1. Sedangkan pada TSP simetris, biaya dari node 1 ke node 2 sama dengan biaya dari node 2 ke node 1.

Untuk TSP asimetris, jumlah jalur yang mungkin adalah permutasi dari jumlah node dibagi dengan jumlah node. Hal ini dapat dipahami karena secara siklus, sebuah jalur dengan urutan 1-2-3 adalah sama dengan jalur 2-3-1 dan 3-1-2. Tetapi jalur dengan urutan 1-2-3 tidak sama dengan 3-2-1. Jadi apabila terdapat 27 node, maka jalur yang mungkin untuk TSP asimetris adalah:

………..…………(2.2)

………..……….(2.3)

2.2.1 Sejarah Travelling Salesman Problem

Permasalahan matematik yang berkaitan dengan Travelling Salesman Problem mulai muncul sekitar tahun 1800-an. Masalah ini dikemukakan oleh dua orang matematikawan, yaitu Sir William Rowan Hamilton yang berasal dari Irlandia dan Thomas Penyngton Kirkman yang berasal dari Inggris. Diskusi mengenai awal studi dari persoalan TSP ini dapat ditemukan di buku Graph Theory 1736-1936 by N.L. Biggs, E.K. LLoyd, and R.J. Wilson, Clarendon Press, Oxford, 1976. Bentuk umum dari persoalan TSP pertama kali dipelajari oleh para matematikawan mulai tahun 1930 di Vienna dan Harvard. Persoalan tersebut kemudian dikembangkan oleh Hassler Whitney dan Merril Flood di Princeton. Penelitian secara mendetail hubungan antara Menger dan Whitney, dan perkembangan persoalan TSP sebagai sebuah topik studi dapat ditemukan pada

tulisan Alexander Schriver “On the history of combinatorial optimization (till

1960)” (Zulfikar, 2008:4).

2.2.2 Contoh Perkembangan Masalah yang Muncul

pada tahun 1954 sampai kepada solusi persoalan 24.978 kota pada tahun 2004, data-data tersebut didapat dari National Imagery and Mapping Agency, sebuah database nasional yang menyimpan nama-nama fitur geografi (Zulfikar, 2008:5-6).

2.3

Algoritma Genetika

Algoritma genetika adalah suatu algoritma pencarian yang berbasis pada mekanisme seleksi alam dan genetika. Algoritma genetika merupakan salah satu algoritma yang sangat tepat digunakan dalam menyelesaikan masalah optimasi kompleks, yang sulit dilakukan oleh metode konvensional. (Desiani, 2006: 187)

Algoritma genetika pertama kali diperkenalkan oleh John Holland (1975) dari Universitas Michigan. John Holland mengatakan bahwa setiap masalah yang berbentuk adaptasi (alami maupun buatan) dapat diformulasikan ke dalam terminologi genetika. Goldberg mendefinisikan algoritma genetika ini sebagai suatu pencarian algoritma berdasarkan pada mekanisme seleksi alam dan genetika alam (Desiani, 2006:187).

Beberapa definisi penting dalam algoritma genetika, yaitu:

1. Genotip (Gen) adalah sebuah nilai yang menyatakan satuan dasar yang membentuk suatu arti tertentu dalam satu kesatuan gen yang dinamakan kromosom. Dalam algoritma genetika, gen ini bisa bernilai biner, float, integer maupun karakter.

2. Allel adalah nilai dari gen.

4. Individu menyatakan satu nilai atau keadaan yang menyatakan salah satu solusi yang mungkin dari permasalahan yang diangkat.

5. Populasi merupakan sekumpulan individu yang akan diproses bersama dalam satu siklus proses evolusi.

6. Generasi menyatakan satu satuan siklus proses evolusi.

7. Nilai fitness menyatakan seberapa baik nilai dari suatu individu atau solusi yang didapatkan.

Ciri-ciri permasalahan yang dikerjakan dengan menggunakan algoritma genetika adalah:

1. Mempunyai fungsi tujuan optimalisasi non linear dengan banyak kendala yang juga non linear.

2. Mempunyai kemungkinan solusi yang jumlahnya tak berhingga.

3. Membutuhkan solusi “real-time” dalam arti solusi bisa didapatkan dengan cepat sehingga dapat diimplementasikan untuk permasalahan yang mempunyai perubahan yang cepat seperti optimasi pada pembebanan kanal pada komunikasi seluler.

4. Mempunyai multi-objektif dan multi-kriteria, sehingga diperlukan solusi yang dapat secara bijak diterima oleh semua pihak (Basuki, 2003:4).

1. Membangkitkan populasi awal

Populasi awal ini dibangkitkan secara random sehingga didapatkan solusi awal. Populasi itu sendiri terdiri dari sejumlah kromosom yang mempresentasikan solusi yang diinginkan.

2. Membentuk generasi baru

Dalam membentuk generasi baru digunakan tiga operator yaitu operator reproduksi/seleksi, crossover dan mutasi. Proses ini dilakukan berulang-ulang hingga didapatkan jumlah kromosom yang cukup untuk membentuk generasi baru dimana generasi baru ini merupakan representasi dari solusi baru.

3. Evaluasi solusi

Proses ini akan mengevalusi setiap populasi dengan menghitung nilai fitness setiap kromosom dan mengevaluasinya sampai terpenuhi kriteria berhenti. Bila kriteria berhenti belum terpenuhi maka akan dibentuk lagi generasi baru dengan mengulangi langkah 2. Beberapa kriteria berhenti yang sering digunakan antara lain:

a. Berhenti pada generasi tertentu.

b. Berhenti setelah dalam beberapa generasi berturut-turut didapatkan nilai fitness tertinggi tidak berubah.

c. Berhenti bila dalam n generasi berikut tidak didapatkan nilai fitness yang lebih tinggi.

1. Teknik pengkodean

Pengkodean adalah suatu teknik untuk menyatakan populasi awal sebagai calon solusi suatu masalah ke dalam suatu kromosom sebagai suatu kunci pokok persoalan ketika menggunakan algoritma genetika.

Teknik pengkodean ini meliputi pengkodean gen dan kromosom. Gen merupakan bagian dari kromosom. Satu gen bisa mewakili satu variabel. Gen dapat direpresentasikan dalam bentuk string bit, pohon, array bilangan real, daftar aturan, elemen permutasi, elemen program, atau representasi lainnya yang dapat diimplementasikan untuk operator genetika.

2. Prosedur inisialisasi

Ukuran populasi tergantung pada masalah yang akan dipecahkan dan jenis operator genetika yang akan diimplementasikan. Setelah ukuran populasi ditentukan, kemudian harus dilakukan inisialisasi kromosom dilakukan secara acak, namun demikian harus tetap memperhatikan domain solusi dan kendala permasalahan yang ada.

3. Evaluasi fitness

Untuk permasalahan minimalisasi, nilai fitness adalah inversi dari nilai maksimal yang diharapkan. Proses inversi dapat dilakukan dengan rumusan , dengan x merupakan kromosom (Basuki, 2003:17).

atau Keterangan:

A : konstanta yang ditentukan x : individu (kromosom)

: nilai fungsi kromosom

: bilangan kecil yang ditentukan untuk menghindari pembagi nol atau

4. Seleksi

Seleksi ini bertujuan memberikan kesempatan reproduksi yang lebih besar bagi anggota populasi yang paling baik.

Ada beberapa metode seleksi dari induk, antara lain: a. Rank-Based Fitness

Pada Rank-Based fitness, populasi diurutkan menurut nilai objektifnya. Nilai fitness tiap-tiap individu hanya tergantung pada posisi individu tersebut dalam urutan, dan tidak dipengaruhi oleh nilai objektifnya.

b. Roulette Wheel Selection

1). Menghitung nilai fitness dari masing-masing individu (fi, dimana i adalah individu ke-1 sampai dengan ke-n).

2). Menghitung total fitness semua individu.

3). Menghitung probabilitas masing-masing individu.

4). Dari probabilitas tersebut dihitung jatah masing-masing individu pada angka 1 sampai 100.

5). Membangkitkan bilangan random antara 1 sampai 100.

6). Dari bilangan random yang dihasilkan, menentukan individu mana yang 7). terpilih dalam proses seleksi.

Individu 1 : fitness = 10% Individu 2 : fitness = 25% Individu 3 : fitness = 40% Individu 4 : fitness = 15% Individu 5 : fitness = 10%

Gambar 2.11 Ilustrasi Seleksi dengan Mesin Roullete

Dibangkitkan bilangan random antara 1-100 sebanyak 5 kali

Jatah untuk individu 1 : 1-10 Jatah untuk individu 2 : 11-35 Jatah untuk individu 3 : 36-75 Jatah untuk individu 4 : 76-90 Jatah untuk individu 5 : 91-100

8 c. Stochastic Universal Sampling

Pada metode ini, individu-individu dipetakan dalam suatu segmen garis secara berurutan sedemikian hingga tiap-tiap segmen individu memiliki ukuran yang sama dengan ukuran fitness-nya seperti halnya pada seleksi roda roulette. Kemudian diberikan sejumlah pointer sebanyak individu yang ingin diseleksi pada garis tersebut. Andaikan N adalah jumlah individu yang akan diseleksi, maka jarak antar pointer adalah 1/N, dan posisi pointer pertama diberikan secara acak pada range [1, 1/N].

d. Truncation Selection

Seleksi ini biasanya digunakan oleh populasi yang jumlahnya sangat besar. Pada metode ini, individu-individu diurutan berdasarkan nilai fitness-nya. Hanya individu-individu yang terbaik saja yang akan diseleksi sebagai induk. Parameter yang digunakan dalam metode ini adalah suatu nilai ambang trunk yang mengindikasikan ukuran populasi yang akan diseleksi sebagai induk yang berkisar antara 50%-100%. Individu-individu yang ada di bawah nilai ambang ini tidak akan menghasilkan keturunan.

e. Tournament Selection

Pada metode seleksi dengan turnamen, ditetapkan suatu nilai tour untuk individu-individu yang dipilih scara acak dari suatu populasi. Individu-individu yang terbaik dalam kelompok ini akan diseleksi sebagai induk. Parameter yang digunakan pada metode ini adalah ukuran tour yang bernilai antara 2 sampai N (jumlah individu dalam suatu populasi).

Crossover (perkawinan silang) bertujuan menambah keanekaragaman string dalam suatu populasi. Beberapa jenis crossover tersebut adalah:

a. Crossover Diskret

Proses crossover dilakukan dengan menukar nilai variabel antar kromosom induk. Misalkan ada 2 individu dengan 3 variabel, yaitu:

Induk 1: 12 25 5

Induk 2: 123 4 34

Untuk tiap-tiap variabel induk yang menyumbangkan variabelnya ke anak dipilih secara acak dengan probabilitas yang sama.

Sampel 1: 2 2 1 Sampel 2: 1 2 1 Kromosom baru yang terbentuk:

Anak 1: 123 4 5

Anak 2: 12 4 5

b. Crossover Intermediate (menengah)

Crossover menengah merupakan metode crossover yang hanya dapat digunakan untuk variabel real. Nilai variabel anak dipilih di sekitar dan antara nilai-nilai variabel induk. Anak dihasilkan menurut aturan sebagai berikut. Anak = induk 1 + alpha (induk 2 – induk 1)

Misalkan ada 2 individu dengan 3 variabel, yaitu:

Induk 1: 12 25 5

Induk 2: 123 4 34 Misalkan nilai alpha yang terpilih adalah: Sampel 1: 0,5 1,1 -0,1

Sampel 2: 0,1 0,8 0,5 Kromosom baru yang terbentuk Anak 1: 67,5 1,9 2,1 Anak 2: 23,1 8,2 19,5 c. Crossover Garis

Pada dasarnya crossover garis ini sama dengan crossover menengah, hanya saja nilai alpha untuk semua variabel sama. Misalkan ada 2 individu dengan 3 variabel, yaitu:

Induk 1: 12 25 5

Induk 2: 123 4 34 Alpha yang dipilih adalah:

Sampel 1: 0,5 Sampel 2: 0,1

Pada penyilangan permutasi ini kromosom-kromosom anak diperoleh dengan cara memilih sub barisan tour dari satu induk dengan tetap menjaga urutan dan posisi sejumlah gen yang mungkin terhadap induk yang lainnya.

Contoh crossover dengan permutasi: Misal

Induk 1: (1 2 3 | 4 5 6 7 | 8 9) Induk 2: (4 5 3 | 1 8 7 6 | 9 2) Anak 1: (x x x | 1 8 7 6 | x x) Anak 2: (x x x | 4 5 6 7 | x x) Dari sini kita memperoleh pemetaan: 1-4, 8-5, 7-6, 6-7

Kemudian copy sisa gen di induk 1 ke anak 1 dengan menggunakan pemetaan yang sudah ada.

Anak 1: (1-4 2 3 | 1 8 7 6 | 8-5 9) Anak 1: (4 2 3 | 1 8 7 6 | 5 9) Lakukan hal yang sama untuk anak 2. Anak 2: (1-4 5-8 3 | 1 8 7 6 | 9 2) e. Order Crossover

Order crossover merupakan cara crossover dengan menukar kromosom dengan tetap menjaga urutan gen yang bukan bagian dari kromosom tersebut. Contoh order crossover adalah:

Kromosom [2] = [BACD] Kromosom [3] = [ACDB] Proses crossover:

Kromosom[1] = Kromosom[1] >< Kromosom[2] = [ABCD] >< [BACD]

= [ACBD]

Kromosom[2] = Kromosom[2] >< Kromosom[3] = [BACD] >< [BCDA]

= [BCDA]

Kromosom[3] = Kromosom[3] >< Kromosom[1] = [BCDA] >< [ABCD]

= [BCAE] 6. Mutasi

Mutasi merupakan proses mengubah nilai satu atau beberapa gen dalam satu kromosom. Mutasi ini berperan untuk menggantikan gen yang hilang dari populasi akibat proses seleksi yang memungkinkan munculnya kembali gen yang tidak muncul pada inisialisasi populasi.

a. Mutasi dengan pengkodean biner.

Mutasi dengan pengkodean biner merupakan operasi yang sangat sederhana. Proses yang dilakukan adalah menginversi nilai bit pada posisi tertentu yang dipilih secara acak (atau dengan menggunakan skema tertentu) pada kromosom.

Kromosom sebelum mutasi :1 0 0 1 0 1 1 1 Kromosom sesudah mutasi :1 0 0 1 0 0 1 1 b. Mutasi dengan pengkodean permutasi.

Proses mutasi yang dilakukan dalam pengkodean biner tidak dapat dilakukan pada pengkodean permutasi karena konsistensi urutan permutasi harus diperhatikan. Salah satu cara yang dapat dilakukan adalah dengan memilih dua posisi (locus) dari kromosom dan kemudian nilainya saling dipertukarkan.

Contoh mutasi dalam pengkodean permutasi

Kromosom sebelum mutasi : 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Kromosom sesudah mutasi : 1 2 7 4 6 5 8 3 9 c. Mutasi dengan pengkodean nilai.

Proses mutasi dalam pengkodean nilai dapat dilakukan dengan berbagai cara, salah satunya yaitu dengan memillih sembarang posisi gen pada kromosom. Nilai yang ada tersebut kemudian ditambahkan atau dikurangkan dengan suatu nilai kecil tertentu yang diambil secara acak.

Contoh mutasi dalam pengkodean nilai real dengan nilai yang ditambahkan atau dikurangkan adalah 0,1.

Kromosom sebelum mutasi : 1,43 1,09 4,51 9,11 6,94 Kromosom sesudah mutasi : 1,43 1,19 4,51 9,01 6,94 d. Mutasi dengan pengkodean pohon.

pohon yang dipilih, atau dapat juga dilakukan dengan memilih dua vertex dari pohon dan saling mempertukarkan operator atau nilainya. Contoh mutasi dalam pengkodean pohon seperti pada Gambar 2.12.

Gambar 2.12 Contoh gen sebelum dan setelah mutasi dengan pengkodean pohon e. Swapping Mutation

Proses mutasi dengan cara ini dilakukan dengan menentukan jumlah kromosom yang akan mengalami mutasi dalam satu populasi melalui parameter mutation rate (pm). Proses mutasi dilakukan dengan cara menukar gen yang telah dipilih secara acak dengan gen sesudahnya, jika gen tersebut berada di akhir kromosom, maka ditukar dengan gen yang pertama.

Pertama hitung panjang total gen yang ada pada suatu populasi:

Untuk memilih posisi gen yang akan mengalami mutasi dilakukan dengan membangkitkan bilangan acak antara 1 sampai panjang total gen untuk dilakukan proses mutasi. (Wibowo, 2003:14)

/ X

5 y

+ +

X

-_

2.4 Fuzzy

2.4.1Logika Fuzzy

Konsep logika fuzzy pertama kali diperkenalkan pada tahun 1965 oleh Prof. Lotfi A. Zadeh, seorang professor dari University of California di Berkly. Dasar logika fuzzy adalah teori himpunan fuzzy. Pada teori himpunan fuzzy, peranan derajat keanggotaan sebagai penentu keberadaan elemen dalam suatu himpunan sangatlah penting. Nilai keanggotaan atau derajat keanggotaan (membership values) yang nilainya terletak di antara selang [0,1] menjadi ciri utama dari penalaran dengan logika fuzzy tersebut (Kusumadewi, 2003).

Menurut Cox, ada beberapa alasan mengapa orang menggunakan logika fuzzy, antara lain:

1. Konsep logika fuzzy mudah dimengerti. Karena konsep matematis yang mendasari penalaran fuzzy cukup mudah dimengerti.

2. Logika fuzzy sangat fleksibel, artinya mampu beradaptasi dengan perubahan-perubahan, dan ketidakpastian yang menyertai permasalahan.

3. Logika fuzzy memiliki toleransi terhadap data yang tidak tepat.

4. Logika fuzzy mampu memodelkan fungsi-fungsi nonlinier yang sangat kompleks.

5. Logika fuzzy dapat membangun dan mengaplikasikan pengalaman-pengalaman para pakar secara langsung tanpa harus pelatihan.

2.4.2 Himpunan Fuzzy

Pada himpunan tegas (crisp), nilai keanggotaan suatu item x dalam suatu

himpunan A, yang sering ditulis dengan μA[x], memiliki 2 kemungkinan, yaitu: 1. satu (1), yang berarti bahwa suatu item menjadi anggota dalam suatu

himpunan, atau

2. nol (0), yang berarti bahwa suatu item tidak menjadi anggota dalam suatu himpunan.

Prinsip dasar dan persamaan matematika dari teori himpunan fuzzy adalah pengelompokkan objek dalam batas yang samar. Himpunan fuzzy merupakan sebuah generalisasi dari himpunan crisp. Kalau pada himpunan crisp, nilai keanggotaan hanya ada 2 kemungkinan, yaiu 0 atau 1. Sedangkan himpunan fuzzy didasarkan pada gagasan untuk memperluas jangkauan fungsi karakteristik sedemikian hingga fungsi tersebut akan mencakup bilangan real pada interval [0,1]. Nilai keanggotaan pada himpunan fuzzy menunjukkan bahwa suatu item dalam semesta pembicaraan tidak hanya berada pada 0 atau 1, melainkan juga nilai yang terletak diantaranya. Dengan kata lain, nilai kebenaran dari suatu item tidak hanya benar atau salah( Kusumadewi, 2003).

Pada himpunan fuzzy terdapat 2 atribut, yaitu:

1. Linguistik, yaitu penamaan suatu grup yang mewakili suatu keadaan atau kondisi tertentu dengan menggunakan bahasa alami, seperti : MUDA, PAROBAYA, TUA.

Ada beberapa hal yang perlu diketahui dalam memahami sistem fuzzy, yaitu:

1. Variabel fuzzy

Variabel fuzzy merupakan variabel yang hendak dibahas dalam suatu sistem fuzzy. Contoh : umur, temperatur, permintaan, dan sebagainya. 2. Himpunan fuzzy

Himpunan fuzzy merupakan suatu grup yang mewakili suatu kondisi atau keadaan tertentu dalam suatu variabel fuzzy. Contoh :

 Variabel umur, terbagi menjadi 3 himpunan fuzzy, yaitu : MUDA, PAROBAYA, dan TUA (Gambar 2.13)

Gambar 2.13 Himpunan fuzzy untuk variabel umur

Gambar 2.14 Himpunan fuzzy pada variabel temperatur 3. Semesta Pembicaraan

Semesta pembicaraan adalah keseluruhan nilai yang diperbolehkan untuk dioperasikan dalam suatu variabel fuzzy. Semesta pembicaraan merupakan himpunan bilangan real yang senantiasa naik (bertambah) secara monoton dari kiri ke kanan. Nilai semesta pembicaraan dapat berupa bilangan positif maupun negatif. Adakalanya nilai semesta pembicaraan ini tidak dibatasi batas atasnya. Contoh:

 Semesta pembicaraan untuk variabel umur:  Semesta pembicaraan untuk variabel temperatur: : 4. Domain

 Muda = [0 45].  Pabobaya = [35 55].  Tua = [45 +∞).

 Dingin = [0 20].  Sejuk = [15 25].  Normal = [20 30].  Hangat = [25 35].  Panas = [30 40].

2.4.3 Fungsi Keanggotaan Fuzzy

Fungsi keanggotaan fuzzy (membership function) adalah suatu kurva yang menunjukkan pemetaan titik-titik input data ke dalam nilai keanggotaannya (derajat keanggotaan) yang memiliki interval antara 0 sampai 1. Salah satu cara yang dapat digunakan untuk mendapatkan nilai keanggotaan adalah dengan melalui pendekatan fungsi. Ada beberapa fungsi yang bisa digunakan, diantaranya sebagai berikut :

(1) Representasi Linear Naik

[image:55.595.206.463.443.569.2]

Gambar 2.15. Representasi linear naik(Kusumadewi dkk, 2006: 40)

Fungsi keanggotaan

(2) Garis lurus dimulai dari domain dengan derajat keanggotaan tertinggi pada sisi kiri kemudian bergerak menurun pada nilai domain yang memiliki derajat keanggotaan lebih rendah (Gambar 2.16)

(3) Represetasi Fungsi Segitiga

Fungsi segitiga pada dasarnya merupakan gabungan antara dua garis (linear), seperti terlihat pada gambar 2.17. fungsi ini mempunyai tiga parameter. Bilangan fuzzy yang mempunyai tiga parameter dan dapat dipresentasikan dengan fungsi segitiga, disebut bilangan fuzzy segitiga.

Gambar 2.17. Representasi fungsi segitiga(Kusumadewi dkk, 2006: 40) Fungsi keanggotaan:

(4) Representasi Fungsi Trapesium

Sejumlah bilangan fuzzy adalah bilangan fuzzy trapesium yang dinotasikan dengan dimana adalah bilangan real dan anggota fungsi , didefinisikan:

(Pandian dan Natarjan, 2010: 81).

Gambar 2.18. Keanggotaan bilangan fuzzy (Kusumadewi dkk, 2006: 41) (5) Bilangan fuzzy Yang dinotasikan dengan adalah suatu himpunan fuzzy yang memiliki fungsi keanggotaan sebagai berikut.

nilai keanggotaan tertinggi adalah 1 yang terjadi pada saat (Kusumadewi dkk, 2006: 42)

Gambar 2.19. Bilangan Fuzzy (Kusumadewi dkk, 2006: 42) Jika bilangan fuzzy memiliki merupakan bilangan fuzzy trapesium, dengan adalah lebar sisi kiri dan β adalah lebar sisi kanan. Jika maka bilangan fuzzy trapesium simetris dan jika

maka merupakan bilangan fuzzy trapesium tak simetris.

2.4.4 Sistem Inferensi Fuzzy

Terdapat 3 metode pada sistem inferensi fuzzy yaitu: metode Tsukamoto, metode Mamdani dan metode Sugeno. Dalam skripsi ini metode yang dipakai dan yang akan dibahas adalah metode Sugeno.

2.4.4.1 Metode Sugeno

Tahapan-tahapan dalam metode sugeno adalah sebagai berikut(Widodo,2012:125)

Pada tahapan ini variabel input (crisp) dari sistem fuzzy ditransfer ke dalam himpunan fuzzy untuk dapat digunakan dalam perhitungan nilai kebenaran dari premis pada setiap aturan dalam basis pengetahuan

2. Aplikasi fungsi implikasi:

Tiap-tiap aturan (proposisi) pada basis pengetahuan fuzzy akan berhubungan dengan suatu relasi fuzzy. Bentuk umum dari aturan yang digunakan dalam fungsi implikasi adalah sebagai berikut:

IF x is A THEN y is B

3. Komposisi aturan: Tidak seperti penalaran monoton, apabila sistem terdiri dari beberapa aturan, maka inferensi diperoleh dari kumpulan dan korelasi antar aturan.

4. Penegasan (defuzzifikasi): Input dari proses defuzzifikasi adalah suatu himpunan fuzzy yang diperoleh dari komposisi aturan-aturan fuzzy, sedangkan output (konsekuen) sistem tidak berupa himpunan fuzzy, melainkan berupa konstanta atau persamaan linear.

[image:60.595.173.445.120.345.2]

Gambar 2.20 Proses Deffuzifikasi

2.4.5 Kendali Logika Fuzzy

[image:61.595.125.540.79.761.2]

Gambar 2.21 Flow Chart Rancangan Sistem Input: Data Lokasi, Jumlah

Populasi, dan Batass Generasi

Fuzzy

Output:

Probabilitas Mutasi dan Probabilitas Crossover

Populasi Awal

Evaluasi Fitness

Roulette

Wheel Mutasi

Crossover

Seleksi

Kriteria

berhenti terpenuhi

Hasil

Selesai

Ya

2.5

Hubungan antara Algoritma Genetika dengan

Kendali Logika Fuzzy

Algoritma Genetika dengan Kendali Logika Fuzzy adalah sebuah teknik komputasi gabungan antara algoritma genetika dan logika fuzzy. Metode ini hampir sama dengan metode algoritma genetika, namun parameter-parameter yang dipakai dihasilkan dari sebuah sistem fuzzy. Dalam algoritma genetika dengan teknik kendali logika fuzzy, proses yang terjadi atau alur proses sama seperti dengan algoritma genetika, yang dikenalkan oleh John Holland dari Universitas Michigan (1975), dimana algoritma genetika merupakan teknik pencarian heuristik berdasar mekanisme evolusi biologis yang meniru dari teori Darwin dan operasi genetika pada kromosom. (Bindu & Tanwar, 2012:418) dari pada memilih nilai acak dari orang tua, aturan fuzzy didefinikan untuk memilih aturan yang optimal. Sistem yang diusulkan adalah untuk mengoptimalkan proses hasil dari algoritma genetika. Dalam algoritma genetika dengan teknik kendali logika fuzzy terdapat enam tahap utama, yaitu:

1. Representasi kromosom. 2. Inisialisasi Populasi. 3. Fungsi evaluasi. 4. Seleksi.

ukuran populasi (popsize), peluang crossover (Pc), dan peluang mutasi (pm). Dalam penentuan parameter ini dilakukan proses sistem fuzzy untuk mendapatkan nilai yang akan digunakan sebagai parameter. (Muzid, 2008:30)

Pada algoritma ini terdapat berbagai metode yang digunakan dalam perpaduan antara algoritma genetika dan sistem fuzzy. Diantaranya adalah model sistem fuzzy yang digunakan pada penentuan parameter adalah menggunakan sistem inferensi fuzzy metode sugeno. Metode Sugeno yang digunakan untuk algoritma genetika dengan teknik kendali logika fuzzy adalah menggunakan dua buah masukan dan dua buah keluaran. Dua buah masukan yang digunakan adalah: 1. Jumlah Populasi yang digunakan.

2. Jumlah generasi yang akan diproses.

Sedangkan dua buah keluaran yang akan dihasilkan adalah: 1. Nilai probabilitas rekombinasi (crossover).

2. Nilai probabilitas mutasi.

Berikut contoh persoalan yang diselesaikan dengan menggunakan algoritma genetika dengan teknik kendali logika fuzzy.

[image:64.595.209.428.56.267.2]

Gambar 2.22 Contoh Graf yang akan dilalui oleh seorang pedagang keliling

Persoalan tersebut akan diselesaikan dengan menggunakan algoritma genetika dengan teknik kendali logika fuzzy. Kriteria berhenti ditentukan terlebih dahulu yaitu apabila setelah dalam beberapa generasi berturut-turut diperoleh nilai fitness yang terendah tidah berubah. Pemilihan nilai fitness yang terendah sebagai syarat karena nilai tersebut yang merepresentasikan jarak terdekat yang dicari pada persoalan ini.

Penentuan parameter kontrol algoritma genetika, yaitu: peluang crossover (pc), dan peluang mutasi (pm) dilakukan dengan menggunakan proses kendali logika fuzzy.

Penyelesaian:

Ada 4 kota yang akan menjadi gen dalam kromosom yaitu kota-kota selain kota asal.

Inisialisasi

Misalkan kita menggunakan 6 buah populasi dalam satu generasi, yaitu: Kromosom[1] = [B D E C]

6

4

7 B

C D

E

9

8

5

Kromosom[2] = [D B E C] Kromosom[3] = [C B D E] Kromosom[4] = [E B C D] Kromosom[5] = [E C B D] Kromosom[6] = [C D E B] Evaluasi kromosom

Kita akan menghitung nilai fitness dari tiap kromosom yang telah dibangkitkan: Fitness[1] = AB + BD + DE + EC + CA = 7 + 2 + 6 + 3 + 5 = 23

Fitness[2] = AD + DB + BE + EC + CA = 9 + 2 + 8 + 3 + 5 = 27 Fitness[3] = AC + CB + BD + DE + EA = 5 + 7 + 2 + 6 + 9 = 29 Fitness[4] = AE + EB + BC + CD + DA = 9 + 8 + 7 + 4 + 9 = 37 Fitness[5] = AE + EC + CB + BD + DA = 9 + 3 + 7 + 2 + 9 = 30 Fitness[6] = AC + CD + DE + EB + BA = 5 + 4 + 6 + 8 + 7 = 30

Seleksi Kromosom

Oleh karena pada persoalan TSP yang diinginkan yaitu kromosom dengan fitness yang lebih kecil akan mempunyai probabilitas untuk terpilih kembali lebih besar maka digunakan inverse.

Q[6] = 1/30 = 0,033

Total = 0,043 + 0,037 + 0,034 + 0,027 + 0,033 + 0,033 = 0,207 Probabilitas

Untuk mencari probabilitas kita menggunakan rumus berikut: P[i] = Q[i] / Total

P[1] = 0,043 / 0,207 = 0,208 P[2] = 0,037 / 0,207 = 0,179 P[3] = 0,034 / 0,207 = 0,164 P[4] = 0,027 / 0,207 = 0,130 P[5] = 0,033 / 0,207 = 0,159 P[6] = 0,033 / 0,207 = 0,159

Dari probabilitas di atas dapat terlihat bahwa kromosom ke-1 mempunyai fitness paling kecil sehingga mempunyai probabilitas untuk terpilih pada generasi selanjutnya lebih besar dari kromosom lainnya.

Untuk proses seleksi kita menggunakan roulette wheel, untuk itu kita terlebih dahulu menghitung probabilitas dari masing-masing kromosom.

Probabilitas Kumulatif

C[1] = 0,208

[image:67.595.190.436.138.355.2]

Metode Roulette Wheel

Gambar 2.23 Gambar Roulette Wheel

Metode roulette-wheel adalah membangkitkan nilai acak R antara 0-1. Jika R[k]<Qk[k] maka kromosom ke-k sebagai induk, selain itu pilih kromosom ke-k sebagai induk dengan syarat Qk[k-1] < R[k] < Qk[k]. Kita putar roulette-wheel sebanyak jumlah kromosom yaitu 6 kali (membangkitkan bilangan acak R). Bila bilangan random R i] yang dihasilkan sbb :

R[1] = 0,314 R[2] = 0,111, R[3] = 0,392, R[4] = 0,743 R[5] = 0,521, R[6] = 0,561

Setelah itu populasi baru akan terbentuk, yaitu: Kromosom[1] = [2] = [ D B E C ]

Kromosom[2] = [1] = [ B D E C ] Kromosom[3] = [3] = [ C B D E ] Kromosom[4] = [5] = [ E C B D ] Kromosom[5] = [3] = [ C B D E ] Kromosom[6] = [4] = [ E B C D ]

Selanjutnya akan dihitung nilai parameter crossover probability yang diperoleh dari perhitungan kendali logika fuzzy dengan menginputkan populasi = 6 dan generasi = 100.

1) Pada semesta pembicaraan dan domain untuk populasi, aturan yang digunakan adalah sebagai berikut:

• Semesta pembicaraan: [0 1000]

• Domain SMALL: [50 250]

• Domain MEDIUM: [80 275]

• Domain LARGE: [350 500]

[image:68.595.141.493.417.689.2]

2) Sedangkan pada semesta pembicaraan dan domain untuk variabel generasi, aturan nilai yang digunakan adalah sebagai berikut:

• Semesta pembicaraan: [0 1000]

• Domain SHORT: [50 200]

• Domain MEDIUM: [80 275]

• Domain LONG: [350 500]

Gambar 2.25 Semesta pembicaraan dan domain untuk variabel generasi.

3) Pada semesta pembicaraan dan domain untuk hasil output yaitu nilai probabilitas rekombinasi (crossover), aturan nilai yang adalah sebagai berikut:

• Semesta pembicaraan: [0.6 0.9]

• Domain SMALL: [0.625 0.7]

• Domain MEDIUM: [0.63 0.7 0.72 0.78]

• Domain LARGE: [0.72 0.78 0.8 0.87]

Gambar 2.26 Semesta pembicaraan dan domain untuk variabel probabilitas crosover (Muzid, 2008).

4) Pada semesta pembicaraan dan domain untuk nilai probabilitas mutasi, aturan nilai yang digunakan oleh peneliti adalah sebagai berikut:

• Semesta pembicaraan: [0 0.25]

• Domain VERY SMALL: [0.025 0.1]

• Domain SMALL: [0.47 0.83 0.1 0.14]

• Domain MEDIUM: [0.1 0.14 0.167 0.2]

• Domain LARGE: [0.15 0.225]

[image:70.595.172.488.114.247.2]

Aturan Fuzzy: (Muzid, 2008)

 IF (Populasi is SMALL) AND (Generasi is SHORT)

THEN (ProbCrossover is MEDIUM) AND (ProbMutasi is LARGE).

 IF (Populasi is MEDIUM) AND (Generasi is SHORT)

THEN (ProbCrossover is SMALL) AND (ProbMutasi is MEDIUM).

 IF (Populasi is LARGE) AND (Generasi is SHORT)

THEN (ProbCrossover is SMALL) AND (ProbMutasi is SMALL).

 IF (Populasi is SMALL) AND (Generasi is MEDIUM)

THEN (ProbCrossover is LARGE) AND (ProbMutasi is MEDIUM).

 IF (Populasi is MEDIUM) AND (Generasi is MEDIUM)

THEN (ProbCrossover is LARGE) AND (ProbMutasi is SMALL).

 IF (Populasi is LARGE) AND (Generasi is MEDIUM)

THEN (ProbCrossover is MEDIUM) AND (ProbMutasi is VERYSMALL).

 IF (Populasi is SMALL) AND (Generasi is LONG)

THEN (ProbCrossover is VERYLARGE) AND (ProbMutasi is SMALL).

 IF (Populasi is MEDIUM) AND (Generasi is LONG)

THEN (ProbCrossover is VERYLARGE) AND (ProbMutasi is VERYSMALL).

 IF (Populasi is LARGE) AND (Generasi is LONG)

THEN (ProbCrossover is LARGE) AND (ProbMutasi is VERYSMALL).

Penyelesaian:

Ada 4 variabel fuzzy yang akan dimodelkan, yaitu: (1) Populasi dengan nilai keanggotaan sebagai berikut:

[6] = 0

[6] = 0

(2) Generasi dengan nilai keanggotaan sebagai berikut:

Sekarang kita cari nilai z untuk setiap aturan dengan menggunakan fungsi MIN pada aplikasi fungsi implikasinya:

[R1] IF (Populasi is SMALL) AND (Generasi is SHORT) THEN (ProbCrossover is MEDIUM) AND (ProbMutasi is LARGE);

Lihat himpunan ProbCrossover MEDIUM,

Lihat himpunan ProbMutasi LARGE,

[R2] IF (Populasi is MEDIUM) AND (Generasi is SHORT) THEN (ProbCrossover is SMALL) AND (ProbMutasi is MEDIUM).

[R3] IF (Populasi is LARGE) AND (Generasi is SHORT) THEN (ProbCrossover is SMALL) AND (ProbMutasi is SMALL).

[R4] IF (Populasi is SMALL) AND (Generasi is MEDIUM) THEN (ProbCrossover is LARGE) AND (ProbMutasi is MEDIUM).

Lihat himpunan ProbCrossover LARGE,

Lihat himpunan ProbMutasi MEDIUM,

[R5] IF (Populasi is MEDIUM) AND (Generasi is MEDIUM) THEN (ProbCrossover is LARGE) AND (ProbMutasi is SMALL).

[R6] IF (Populasi is LARGE) AND (Generasi is MEDIUM) THEN (ProbCrossover is MEDIUM) AND (ProbMutasi is VERYSMALL).

[R7] IF (Populasi is SMALL) AND (Generasi is LONG) THEN (ProbCrossover is VERYLARGE) AND (ProbMutasi is SMALL).

[R8] IF (Populasi is MEDIUM) AND (Generasi is LONG) THEN (ProbCrossover is VERYLARGE) AND (ProbMutasi is VERYSMALL).

[R9] IF (Populasi is LARGE) AND (Generasi is LONG) THEN (ProbCrossover is LARG