TEORI PROBABILITAS
1. σ–field dan pengukuran
Misalkan Ω adalah elemen dari himpunan. Contoh Ω merupakan himpunan bilangan dalam suatu interval di bilangan riil yang merupakan hasil dari percobaan random. Dalam teori probabilitas, Ω disebut sebagai ruang ukuran, sedangkan di teori statistika Ω disebut ruang sampel. Karena dalam probabilitas dan statistika, Ω biasanya disebut sebagai hasil yang mungkin dari random eksperimen dalam suatu himpunan.
Pengukuran adalah matematika murni meliputi panjang, luas, atau volume dari himpunan bagian dalam 1, 2 atau 3 di dimensi ruang Euclid. Dalam pemberian ruang sampel Ω, pengukuran adalah fungsi himpunan yang didefinisikan dari subset yang di perlukan untuk memenuhi sifat yang ada pada definisi berikut.
Definisi 1.1
Misalkan F kumpulan subset dari ruang sampel Ω F disebut σ-field jika dan hanya jika mempunyai sifat berikut :
(i) himpunan kosong ∅ ∈ F.
(ii) jika A ∈ F, maka komplemen Ac ∈ F.
(iii) jika Ai ∈ F, i = 1, 2, ..., maka gabungan ∪Ai ∈ F.
Pasangan (Ω,F) terdiri dari himpunan dan σ–field F yang merupakan subset dan disebut ruang pengukuran. Elemen F disebut himpunan pengukuran dalam teori pengukuran dan disebut kejadian dalam probabilitas dan statistika.
Karena ∅c = Ω , mengikuti 1 dan 2 pada definisi 1.2 maka Ω Jika F adalah σ–field di Ω Begitu juga dari 2 dan 3, jika Ai ∈ F, i= 1,2,… dan F adalah σ–field maka irisan ∩Ai ∈ F dapat di tunjukkan dengan menggunakan hokum deMorgan (∩Ai)c = ∪Aci
. Untuk sebarang Ω yang di berikan ada 2 trivial σ–field yang pertama, kumpulan yang mengandung 2 elemen ∅ dan Ω Kemungkinan terkecil σ–field dalam Ω yang kedua, kumpulan semua subset dari Ω yang di sebut himpunan pangkat terbesar σ–field di Ω
Misalkan di berikan nontrivial σ–field. Di berikan A anggota himpunan bagian tak kosong dari (A ⊂ Ω , A ≠ Ω ) maka {∅,A,Ac,} adalah σ–field. Pada dasarnya σ–field terkecil mengandung A yang berarti jika F ada σ–field yang mengandung A maka σ–field (1.1) adalah kumpulan bagian Ω Secara umum σ–field terkecil mengandung C adalah suatu kumpulan subset dinotasikan σ(C) dan disebut σ–field yang di karenakan C. oleh karena itu
σ–field di (1.1) adalah σ({A}). Catatatn buku σ({A,Ac}), σ({A,}), dan σ({A, ∅}) semua sama sebagai σ({A}). Tentu jika C sendiri adalah σ–field maka σ(C)=C
Dibilangan R ada σ–field khusus yang akan di gunakan secara langsung. Diberikan C kumpulan semua interval terbuka di R , maka B = σ(C) di sebut Borel σ–field. Elemen B disebut himpunan Borel. Borel σ–field Bk di dimensi k sama halnya dengan ruang Euclid rk. Hal ini dapat di tunjukkan bahwa interval (terbatas atau tak terbatas)himpunan terbuka dan himpunan tertutup adalah himpunan barel.Kita tunjukkan bilangan riil B = σ(O) dimana O adalah kumpulan semua himpunan terbuka. Sejenisnya membutuhkan untuk di tunjukkan bahwa σ(C) ⊂ σ(O) dan σ(O) ⊂ σ(C). karena interval terbuka sama dengan himpunan terbuka, C ⊂ O dan oleh sebab itu σ(C) ⊂ σ(O). mengapa? Diberikan U adalah himpunan terbuka. Maka U dapat di tunjukkan sebagai gabungan persamaan dari interval terbuka terbatas (Royden (1968, p.39)). Oleh karena itu U ∈ σ(C) (definisi 1.1 (iii)) dan O ⊂ σ(C). dari definisi σ(O), σ(O) ⊂ σ(C). pembuktian terbukti.
Diberikan C ⊂ Rk adalah himpunan borel dan diberikan BC = {C ∩ B : B ∈ Bk}.maka (C, BC) adalah ruang pengukuran dab Bc disebut Borel σ–field di C.
Definisi 1.2
Diberikan (,F) adalah ruang pengukuran. A fungsi himpunan v di definisikan di F di namakan pengukuran jika dan hanya jika memenuhi sifat berikut :
(i) 0 ≤ ν(A) ≤ ∞ ada A ∈ F. (ii) ν(∅) = 0
(iii) jika Ai ∈ F, i = 1, 2, ..., dan Ai saling lepas Ai ∩ Aj = ∅ ada i≠j, maka 𝑣 (⋃ 𝐴𝑖 ~ 𝑖=1 ) = ∑ 𝑣(𝐴𝑖) ~ 𝑖=1
Ketiga (Ω,F,v) disebut ruang ukuran, jika 𝑉(𝛺) = 1 maka V disebut probabilitas pengukuran dan biasa dinotasikan oleh P pengganti V yang dioperasikan (𝛺, 𝐹, 𝑃) disebut ruang probabilitas. Meskipun pengukuran adalah perpanjangan pasang, luas dan volume. Kadang didapat berupa abstrak. Contoh: diberikan fungsi himpunan
𝑉(𝐴) = ∞ 𝐴 ∈ 𝐹, 𝐴 ≠ 0 𝑉(𝐴) = 𝐷 𝐴 = ∅
Karena pengukuran dapat bernilai , kita harus mengetahui bagaimana aritmatik dengan pada buku ini, cukup untuk mengetahui (1) untuk sebarang 𝑥 ∈ 𝑅, ∞ + 𝑥 = ∞ . 𝑥∞ = ∞, jika 𝑥 > 0, 𝑥∞ = −∞, jika 𝑥 < ∞ dan 0∞ = ∞. (2) ∞ + ∞ = ∞ dan (3) ∞𝑎 = ∞ jika sebarang 𝑎 > 0 bagaimana ∞ − ∞ atau ∞ ∞⁄ tidak terdefinisi.
Jika 𝛺 dapat dihitung berarti ada korespondensi 1-1 diantara 𝛺 dan himpunan semua bilangan bulat kemudian 1 dapat dipertimbangkan trivial 0 field terdiri dari semua subset dari 𝛺 dan pengukuran memberikan nilai untuk setiap subset di 𝛺. Ketika 𝛺 tidak dapat dihitung, (e.g., 𝛺 = 𝑅 atau [0,1]), ini tidak mungkin ditetapkan pengukuran yang layak untuk setiap subset dari 𝛺. Contoh: tidak mungkin ditemukan pengukuran di semua subset di R dan masih memenuhi sifat 1.3 ini mengapa penting dikenalkan 𝜎 field lebih kecil daripada himpunan pangkat. Berdasarkan hasil membagi beberapa sifat dasar pengukuran dimanapun kita memperhubungkan 𝑉(𝐴) secara mutlak diasumsikan 𝐴 ∈ 𝐹.
Dalil 1.1
Diberikan (𝛺, 𝐹, 𝑉) ruang pengukuran
(i) (Kemonotonan) Jika 𝐴 ⊂ 𝐵 maka 𝑉(𝐴) ≤ 𝑉(𝐵) (ii) (Subadditivity) ada persamaan 𝐴1, 𝐴2, ….
𝑉 (⋃ 𝐴𝑖 ∞ 𝑖=1 ) ≤ ∑ 𝑉(𝐴𝑖) ∞ 𝑖=1
(iii) Kekontinuan. Jika 𝐴1 ⊂ 𝐴2 ⊂ 𝐴3 ⊂ ⋯ (𝑎𝑡𝑎𝑢 𝐴1 ⊃ 𝐴2 ⊃ 𝐴3 ⊃ ⋯ 𝑑𝑎𝑛 𝑉(𝐴1) < ∞), maka 𝑉 (lim 𝑛→∞𝐴𝑛) = lim𝑛→∞𝑉(𝐴𝑛) dimana lim 𝑛→∞𝐴𝑛 = ⋃ 𝐴𝑖 ∞ 𝑖=1 (𝑎𝑡𝑎𝑢 ⋂ 𝐴𝑖 ∞ 𝑖=1 ) Bukti:
Kita buktikan (i), pembuktian (ii) dan (iii) ditinggalkan sebagai contoh karena 𝐴 ⊂ 𝐵, 𝐵 = 𝐴 ∪ (𝐴𝐶∩ 𝐵) dan A dan 𝐴𝐶∩ 𝐵 saling lepas dari definisi 1.2 (iii) 𝑉(𝐵) = 𝑉(𝐴) + 𝑉(𝐴𝐶∩ 𝐵) yang tidak lebih kecil dari 𝑉(𝐴) karena 𝑉(𝐴𝐶∩ 𝐵) ≥ 0 oleh definisi 1.2 (i).
Ada korespondensi 1-1 antara himpunan semua pengukuran probabilitas di (R, B) dan himpunan dari fungsi di R diberikan P probabilitas pengukuran. Fungsi distribusi komulatif dari P definisi menjadi 𝐹(𝑥) = 𝑃([−∞, 𝑥]), 𝑥 ∈ 𝑅
Dalil 1.2
(i) Diberikan F ada c.d.f di R, maka a. 𝐹(−∞) = lim
b. 𝐹(∞) = lim
𝑥→∞𝑓(𝑥) = 1
c. F tidak berkurang 𝐹(𝑥) ≤ 𝐹(𝑦) 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑥 ≤ 𝑦 d. F kontinu kanan lim
𝑦→𝑥, 𝑦>𝑥𝐹(𝑦) = 𝐹(𝑥)
(ii) Andaikan sebuah bilangan real nilai fungsi F di R memenuhi (a.)-(d.) di (i) maka F ada c.d.f. ukuran probabilitas khusus di (R, B).
Hasil kali kartesius dari himpunan (kumpulan himpunan) 𝑟𝑖, 𝑖 ∈ 𝐼 = {1, … , 𝑘} (atau {1,2,,…} didefinisikan sebagai himpunan dari semua (𝑎1, … , 𝑎𝑘) atau (𝑎1, 𝑎2, … ) 𝑎1 ∈ 𝑟1,, 𝑖 ∈ 𝐼 dan dinotasikan dengan 𝜋𝑖 ∈ 𝐼, 𝑟𝑖 = 𝑟𝑖𝑥 … 𝑥𝜏𝑘(𝑎𝑡𝑎𝑢 𝜏1𝑥𝜏2). diberikan (Ω𝑖, 𝐹𝑖), 𝑖𝜖𝐼 dan merupakan ruang pengukuran. Karena 𝜋𝑖 ∈ 𝐼 𝐹2 seharusnya −𝑓𝑖𝑒𝑙𝑑 , 𝜎 (𝜋𝑖 ∈ 𝐼, 𝑟𝑖)𝑑𝑖𝑛𝑜𝑡𝑎𝑠𝑖𝑘𝑎𝑛 𝜋𝑖 ∈ 𝐼 (Ω𝑖, 𝐹𝑖). Sebagai contoh, terdiri (Ω𝑖, 𝐹𝑖)=(R,B), i=1,2,….,k. maka ruang hasil kali Rk dan dapat diperlihatkan 𝜎 − 𝑓𝑖𝑒𝑙𝑑 yang sama dengan Borel 𝜎 − 𝑓𝑖𝑒𝑙𝑑 di Rk yang mana 𝜎 − 𝑓𝑖𝑒𝑙𝑑 dihasilkan oleh kumpulan semua himpunan terbuka di Rk.
Hasil perkalian dari pengukuran Lebesgue pada dua interval [a1,b1] dan [a2,b2]. Catatan bahwa [a1,b1] x [a2,b2] adalah sesuatu himpunan yang dapat dihitung dengan definisi hasil kali 𝜎 field. Sebuah pengukuran V di (𝛺, 𝐹) disebut 𝜎 finite jika hanya jika ada sebuah persamaan { 𝐴1, 𝐴2, … } sebagaimana ∪ 𝐴𝑖 = 𝛺 dan 𝑉(𝐴𝑖) < ∞ untuk semua i. Beberapa ukuran terbatas (seperti pengukuran peluang) adalah pembenaran 𝜎 terbatas. Pengukuran Lebesgue dalam contoh 1.2 adalah 𝜎 terbatas, tetapi 𝑅 = ∪ 𝐴𝑛 dengan 𝐴𝑛 = (−𝑛, 𝑛), 𝑛 = 1,2, …. Perhitungan ukuran dalam contoh 1.1 adalah 𝜎 terbatas jika hanya jika 𝛺 dapat dihitung. Pengukuran didefinisikan oleh (1.2), bagaimanapun tidak 𝜎 terbatas.
Dalil 1.3 (Teorema Ukuran Hasil Kali)
Diberikan (𝛺𝑖, 𝐹𝑖, 𝑉𝑖), 𝑖 = 1, … , 𝑘, sebagai ruang ukuran dengan 𝜎 ukuran terbatas, dimana 𝑘 ≥ 2 adalah bilangan bulat. Kemudian ada sebuah ukuran 𝜎 terbatas yang unik dalam hasil kali 𝜎 field 𝜎(𝐹1× … × 𝐹𝑘), disebut ukuran hasil kali dan dinotasikan 𝑉1× … × 𝑉𝑘, sebagai berikut:
𝑉1× … × 𝑉𝑘(𝐴1× … × 𝐴𝑘) = 𝑉1(𝐴1) … 𝑉𝑘(𝐴𝑘) untuk semua 𝑉𝑖 ∈ 𝐹𝑖, 𝑖 = 1, … , 𝑘.
Dalam R2 ada ukuran khusus, ukuran hasil kali m x m, untuk m x m ([𝑎1, 𝑏1] × [𝑎2, 𝑏2]) sama dengan nilai yang diberikan oleh (1.5). Pengukuran ini disebut Ukuran Lebesgue di (𝑅2, 𝐵2). Pengukuran Lebesgue (𝑅3, 𝐵3) adalah m x m x m sama dengan volume biasa untuk himpunan bagian dari bentuk [𝑎1, 𝑏1] × [𝑎2, 𝑏2] × [𝑎3, 𝑏3]. Pengukuran Lebesgue di (𝑅𝑘, 𝐵𝑘) untuk sembarang bilangan bulat positif k yang didefinisikan.
Konsep dari c.d.f. (Comulatif-Distributif-Function) dapat diperpanjang pada Rk. Diberikan P merupakan ukuran peluang di (𝑅𝑘, 𝐵𝑘). c.d.f. (joint c.d.f.) dari P didefinisikan dengan:
𝐹(𝑥1, … , 𝑥𝑘) = 𝑃((−∞, 𝑥1] × … × (−∞, 𝑥𝑘]), 𝑥𝑖 ∈ 𝑅
Ada korespondensi satu-satu diantara pengukuran probabilitas dan join c.d.f. di R2. Beberapa sifat dari sebuah joint c.d.f diberikan pada contoh 10 di (1.6). jika F() adalah sebuah joint c.d.f. maka Fi(x)= adalah sebuah c.d.f. dan disebut ith marginal c.d.f. secara jelas, marginal c.d.f. tidak dapat ditentukan oleh joint c.d.f.nya. tetapi sebuah joint c.d.f. tidak dapat ditentukan dengan k marginal c.d.f. ada suatu kekhususan tetapi merupakan operasi penting dengan sebuah joint c.d.f. f didefinisikan oleh k marginal c.d.f. Fi didefinisikan : 𝐹(𝑥1, … , 𝑥𝑘) = 𝐹1(𝑥1) … 𝐹𝑘(𝑥𝑘), (𝑥1, … , 𝑥𝑘)𝜖𝑅𝑘
2. Fungsi yang dapat diukur dan distribusi
Sejak dapat berubah-ubah, sering cocok atau sesuai untuk menentukan sebuah fungsi (mapping) f dari Ω ke ruang yang lebih sederhana (kerap kali). Diberikan B, kemudian gambaran invers dari B dibawah f yakni:
f−1(B) = {f ∈ B} = {ω ∈ Ω : f(ω) ∈ B}. Fungsi invers tidak ada untuk didefinisikan.
Pembaca diminta untuk membuktikan sifat berikut: a. f−1(Bc) = (f−1(B))c for any B ⊂ _;
b. f−1(∪Bi) = ∪f−1(Bi) for any Bi ⊂ _, i = 1, 2, ....
Diberikan C adalah kumpulan himpunan bagian . kita definisikan: f−1(C) = {f−1(C) : C ∈ C}.
Definisi 1.3.
Diberikan (Ω,F) dan () merupakan ruang yang dapat diukur dan f sebuah fungsi dari Ω untuk. Fungsi f disebut fungsi yang dapat diukur dari (Ω,F) ke () jika hanya jika. Jika =R dan =B (Borrel ), maka f disebut Borel yang dapat diukur atau disebut fungsi Borrel pada (Ω,F) (atau dengan hormat untuk f).
Dalam teori probabilitas, sebuah fungsi yang dapat dihitung disebut elemen acak dan dinotasikan dengan satu dari X,Y,Z,… jika x dapat dihitung dari (Ω,F) ke (R,B), maka ini disebut variable acak, jika x dapat dihitung dari (Ω,F) ke (Rk,Bk), maka ini disebut vector-k acak. Jika X1,..Xk merupakan variable acak didefinisikan pada ruang acak probabilitas umum, maka vector (X1,..Xk) adalah vector-vektor k acak.(sebagai konvensi notasi, ada vector c didefinisikan dengan (c∈ Rk,), dimana adalah komponen ith dari c.
Jika f dapat diukur dari (Ω,F) ke (), maka (F-1) adalah sebuah sub field dari f (terbukti). Ini disebut field yang dihasilkan oleh f dan dinotasikan dengan (f).
Sekarang kita menganggap beberapa contoh fungsi yang dapat dihitung. Jika f adalah kumpulan semua himpunan bagian dari Ω , maka fungsi f dapat diukur. Diberikan A⊂ Ω. penunjuk fungsi untuk A didefinisikan sebagai:
Untuk sembarang B c R,
Kemudian σ(IA) adalah lebih kecil σ–field dari pada σ–field F asli. Ini adalah alasan lain mengapa kita mengenal konsep fungsi yang dapat dihitung dan variable acak, dalam penjumlahan untuk alasan bahwa ini mudah untuk berhubungan dengan bilangan. Sering kali σ–field f (seperti himpunan pangkat) terdiri atas banyak himpunan bagian dan kita hanya tertarik pada beberapa dari mereka.salah satu bisa jika definisi variable acak X dengan σ(X) terdiri atas himpunan bagian yang sangat penting. Secara umum, σ(X) berada diantara σ– field trivial {∅ , Ω } dan F, dan berisi lebih banyak himpunan bagian jika X lebih dilengkapi. Untuk fungsi yang sederhana I, kita telah menunjukkan bahwa σ(IA) mengandung hanya empat elemen.
Kelas fungsi sederhana dikandung oleh kombinasi linear dari indikasi himpunan yang dapat dihitung. 𝜑(𝜔) = ∑ 𝑎𝑖𝐼𝐴 𝑘 𝑖=1 , (𝜔),
Dimana A1,….,Ak adalah himpunan yang dapat dihitung pada dan a1,…,ak adalah bilangan real. Salah satu dapat ditunjukkan secara langsung bahwa sebuah fungsi adalah fungsi Borel, tetapi mengikuti dengan segera dari dalil 1.4. diberikan A1,…,Ak merupakan partisi (sekat) dari Ω . Ai adalah disjoin dan gabungan A1∪….∪Ak= Ω. kemudian fungsi sedrhana diberikan oleh (1.8) dengan perbedaan secara langsung karakteristik partisi dan σ(ϕ) = σ({A1, ...,Ak}).
Dalil 1-4- diberikan (Ω,F) sebagai ruang pengukuran.
(i) F adalah Borel jika hanya jika f−1(a,∞) ∈ F untuk semua a anggota R.
(ii) Jika f dan g adalah Borel, maka f.g dan af+bg, dimana a dan b adalah juga merupakan bilangan real. f/g adalah Borel dibagi g(ω) ≠0 untuk setiap w anggota . (iii) Jika f,f,… adalah Borel, maka supn fn, infn fn, limn fn, dan lim infn fn. Lebih lanjut
𝐴 = {𝜔𝜖Ω: lim
𝑛⟶~𝑓𝑛(𝜔) 𝑎𝑑𝑎} Adalah sebuah kejadian dan merupakan fungsi.
Adalah Borel
(iv) Diperkirakan bahwa f dapat diukur dari (Ω,F) pada (), dan g dapat diukur dari () ke (). Kemudian komposisi fungsi dari gof dapat diukur dari (Ω,F) ke ().
(v) Diberikan Ω sebuah himpunan Borel pada Rp. jika f adalah fungsi yang kontinu dari Ω ke Rp, maka f dapat diukur.
Contoh:
Misalkan Ω himpunan uncontable. A ={A⊆ Ω ⎸A countable atau Ac cauntable} . Untuk membuktikan A 𝜎-field harus di tunjukkan bahwa A memenuhi 𝐴1∪ 𝐴2 ∈ 𝐴 dan A1, A2, A3,....Ak-1, maka ⋃𝑘−1𝑖=1 𝐴𝑘 ∈ 𝐴
Jawab :
1. ∅ ∈ 𝐴 𝑘𝑎𝑟𝑒𝑛𝑎 ∅ 𝑐𝑜𝑢𝑛𝑡𝑎𝑏𝑙𝑒. Ω ∈ 𝐴 karena Ωc = ∅
2. Misalkan A ∈ 𝐴, maka A atau Ac countable. Bila A countable, maka A = (Ac)c countable, yang berarti Ac ∈ 𝐴. Bila Ac cauntable, maka dari syarat keanggotaan A, Ac ∈ 𝐴 .
3. Untuk membuktikan 3 atau 3’ kita menggunakan sifat gabungan countable himpunan countable adalah countable. Misalkan kita mempunyai barisan himpunan A1,
A2,A3,... dengan Ai ∈ 𝐴. Terdapat dua kemungkinan
Pertama , semua Ai countable, maka dengan menggunakan sifat diatas ⋃∞ 𝐴𝑛 𝑛=1 countable. Ini berarti ⋃∞ 𝐴𝑛
𝑛=1 ∈ 𝐴
Kedua terdapat beberapa Ai dengan Aic countable. Karena (⋃∞ 𝐴𝑖
𝑖=1 )c = ⋃∞𝑖=1𝐴𝑖c countable maka ⋃∞ 𝐴𝑖
𝑖=1 ∈ 𝐴
Contoh:
Misalkan 𝛺 = {a,b,c}, A1={∅, Ω{a},{b,c}} dan A2={∅, Ω,{b}, {a,c}}.
Perhatikan bahwa A1 dan A2 merupakan 𝜎–fields tetapi A1∪A2={∅, Ω,{a},{b},{a,c},{b,c}} bukan 𝜎 -fields karena {a}∪{b}={a,b} ∉ A1∪A2
Bila 𝛺 countable (berhingga atau terhitung) kita selalu bisa mengambil 2𝛺 sebagai 𝜎-fields. Akan tetapi, bila 𝛺 countable (takhingga tak terhitung), maka karena alasan teknis (Shao, 1999:4), kita mengambil 𝜎-fields yang “lebih kecil” dari 2𝛺 Berikut beberapa kasus khusus untuk 𝛺 = 𝑅 = {𝑥| − ∞ < 𝑥 < ∞}
C1 = {[a,b]|a;b∈R,a<b} C2 = {(a,b)|a;b∈R,a<b} C3 = {[a,b)|a;b∈R,a<b} C4 = {(a,b]|a;b∈R,a<b}
Perhatikan bahwa C1,C2,C3,C4 bukan 𝜎-field. Menurut teorema, terdapat 𝜎(𝐶1), 𝜎(𝐶2), 𝜎(𝐶3), 𝜎(𝐶4) dan 𝜎(𝐶1∪ 𝐶2 ∪ 𝐶3∪ 𝐶4). Menurut Royden 𝜎(𝐶1) = 𝜎(𝐶2) = 𝜎(𝐶3) = 𝜎(𝐶4) = 𝜎(𝐶1∪ 𝐶2∪ 𝐶3∪ 𝐶4) dan disebut dengan -field Borel dan untuk selanjutnya disingkat Borel fields dan diberi notasi 𝔅. Anggota Borel fields disebut himpunan Borel.
Oleh :
Jihan Reni Kholidati (131810101040) Waqiah (131810101014)
