PROBABILITAS & Kejadian Mutulally Exclusive

PROBABILITAS

&

Kejadian

Mutulally

Kejadian/Peristiwa

Deterministic

Probabilistic

_(Stochastic)

Kejadian yang PASTI terjadi

Kejadian yang bersifat

BERKEMUNGKINAN (Berpeluang) dan

RUANG SAMPEL/ RUANG CONTOH

Hasil dari sebuah percobaan tidak bisa diramalkan dengan pasti atau belum diketahui hasilnya lebih dulu dengan pasti, namun kita dapat menentukan himpunan semua hasil

percobaan yang mungkin terjadi.

Himpunan semua hasil percobaan yang mungkin terjadi disebut “Ruang Contoh” atau “Ruang Sampel”.

Ruang Dilambangkan dengan notasi “S”

TITIK SAMPEL

Setiap hasil dalam ruang sampel atau unsur /anggota ruang sampel tersebut

CONTOH RUANG SAMPEL

Contoh :

1) Pertandingan Sepak Bola 2) Pelemparan uang logam 3) Pelemparan Dadu

4) Pengukuran umur lampu

5) Permainan Kartu Bridge/Remi 6) dsb

Ruang Sampel 1 : Pertandingan Sepak Bola 1x



Menang, Kalah, Seri



( )

3

S =  n S =

Ruang Sampel 2 : Pelemparan Uang Logam 1x



Angka, Gambar



( )

2

S =  n S =

Ruang Sampel 3 : Pelemparan Dadu 1x



1, 2, 3, 4, 5, 6



( )

6

S =  n S =

Ruang Sampel 4 : Pengukuran Umur Lampu (bulan)





( )

KEJADIAN (

EVENT

)

Sembarang himpunan-bagian “A” dari sebuah ruang sampel S maka disebut sebagai “Kejadian” atau “Event”.

Contoh :

1) Pertandingan Sepak Bola,

jika A merupakan kejadian bahwa “tim Indonesia menang” 2) Pelemparan Uang Logam,

jika A merupakan kejadian bahwa “sisi angka” telah muncul 3) Pelemparan Dadu,

jika A merupakan kejadian bahwa “sisi genap” telah 4) Pengukuran umur lampu,

jika A merupakan kejadian bahwa “lampu tidak berumur lebih dari 2 bulan“

Kejadian 1 : Tim Indonesia menang



Menang



( )

1

A =  n A =

Kejadian 2 : Sisi angka muncul



Angka



( )

1

A =  n A =

Kejadian 3 : Sisi genap muncul



2, 4, 6



( )

3

A =  n A =

Kejadian 4 : Lampu berumur tidak lebih dari 2 bulan





Misal seorang pedagang sedang memilih jeruk untuk diperiksa dan digolongkan menurut

keadaan rasa manis atau asam. Lalu 3 jeruk diambil untuk dicek kondisi rasanya.

Tuliskan anggota ruang sampel dari contoh di atas, jika rasa manis dinotasikan “M” dan rasa asam dinotasikan “A”





( )

MMM, MMA, MAM, AMM, MAA, AMA, AAM, AAA 8

S n S

=

Dari Contoh Kasus 1

Misal E merupakan kejadian terambilnya “paling sedikit 1 jeruk yang asam”.

Sedangkan, F merupakan kejadian terambilnya “paling banyak 1 jeruk yang manis”.

Tentukan anggota dari kejadian E dan F!









( )

( )

MMA, MAM, AMM, MAA, AMA, AAM, AAA MAA, AMA, AAM, AAA

7 ; 4 E F n E n F = = = =

OPERASI-OPERASI KEJADIAN

1) Gabungan (Union)

2) Irisan (Intersection) 3) Komplemen

GABUNGAN (

UNION

)

Untuk sebarang dua kejadian yaitu A dan B bagi suatu ruang sampel S, kita definisikan kejadian baru sebagai suatu kejadian yang terdiri atas semua titik yang termasuk

A atau B atau keduanya.

Contoh Kasus 3 :

Misalkan sebuah dadu dilempar. A menyatakan kejadian muncul mata dadu genap, dan B kejadian munculnya mata dadu bilangan prima. Tentukan !

A



B

A



B



2, 4, 6 ;





2,3,5





2,3, 4,5, 6



IRISAN (

INTERSECTION

)

Untuk sebarang dua kejadian yaitu A dan B bagi suatu ruang sampel S, kita definisikan kejadian baru sebagai suatu kejadian yang terdiri atas semua titik yang termasuk anggota A dan B.

Contoh Kasus 4:

Misalkan sebuah dadu dilempar. A menyatakan kejadian muncul mata dadu genap, dan B kejadian munculnya mata dadu bilangan prima. Tentukan !

A



B

A



B



2, 4, 6 ;





2,3,5



 

2

KOMPLEMEN

Untuk sebarang kejadian A bagi suatu ruang sampel S, kita definisikan kejadian baru sebagai suatu kejadian yang terdiri atas semua titik yang di dalam ruang sampel S yang bukan anggota A.

Contoh Kasus 5:

Misalkan sebuah dadu dilempar. A menyatakan kejadian muncul mata dadu genap, dan B kejadian munculnya mata

dadu bilangan prima. Tentukan !

c

A

dan

c c

A

B



1,3,5 ;





1, 4, 6



c c

A

=

B

=

IMPLIKASI

merupakan :

• Semua titik anggota A juga menjadi anggota B

• A dikandung di dalam B

Jika berlaku :

Berikan Contoh Kasus untuk Implikasi!

A



B

Hukum dalam Operasi Kejadian

MENGHITUNG TITIK SAMPEL [n(S)]

Bila suatu operasi dapat dilakukan dengan n₁ cara, dan bila untuk tiap cara ini operasi kedua dapat dikerjakan dengan n₂ cara, maka kedua operasi itu dapat dikerjakan bersama-sama dengan:

1 2

banyak titik sampel = x

n n

Contoh Kasus 6:

Berapa banyak titik sampel jika dua uang logam dilempar?





1 2

banyak titik sampel = x

2x2

4

,

,

,

n n

S

AA AG GA GG

=

=

=

MENGHITUNG TITIK SAMPEL [n(S)]

Bila suatu operasi dapat dilakukan dengan n₁ cara, dan bila untuk tiap cara ini operasi kedua dapat dikerjakan dengan n₂ cara, bila untuk setiap kedua cara operasi tersebut operasi ketiga dapat dikerjakan dengan n₃ cara , dan seterusnya maka deretan k operasi itu dapat dikerjakan bersama-sama dengan:

1 2

MENGHITUNG TITIK SAMPEL [n(S)]

Contoh Kasus 7:

Berapa macam hidangan dapat disajikan bila masing-masing hidangan dapat terdiri atas sop, nasi goreng, bakmi, dan soto. Bila tersedia 4 macam sop, 3 macam nasi goreng, 5 macam bakmi, dan 4 macam soto?

1 2 3 4

jumlah hidangan = . . .

4.3.5.4

240

Coba tuliskan bagaimana Diagram Pohon untuk

Ruang Sampel di atas!

Cara Praktis

MENGHITUNG TITIK SAMPEL [n(S)]

Misalkan:

1 dadu dilempar sebanyak 3x 3 dadu dilempar sebanyak 1x

( )

( )

1 3

6

nxk

=

6

x

=

216

( )

( )

3 1

6

nxk

=

6

x

=

216

Misalkan:

3 uang dilempar sebanyak 2x 2 uang dilempar sebanyak 3x

( )

( )

3 2

2

nxk

=

2

x

=

64

( )

( )

2 3

2

nxk

=

2

x

=

64

2 = jumlah titik sampel dalam 1x/tiap percobaan

PERMUTASI

Suatu permutasi adalah suatu susunan yang dapat dibentuk dari suatu kumpulan benda yang diambil sebagian atau seluruhnya, dimana

urutan diperhatikan.

Banyak permutasi n benda berlainan bila diambil r sekaligus adalah :

(

!

)

P

!

n r

n

n r

=

−

Dari 20 kartu undian, diambil dua kartu undian untuk pemenang hadiah pertama dan kedua. Hitunglah banyak titik sampel dalam ruang sampel S!

(

)

(

)

20 2

20!

20!

P

20x19

380

20 2 !

18!

=

=

=

=

−

KOMBINASI

Dalam banyak masalah kita ingin mengetahui banyaknya cara memilih r benda dari sejumlah n

tanpa memperdulikan urutannya. Pemilihan

seperti ini disebut kombinasi.

Banyak kombinasi n benda berlainan bila diambil r sekaligus adalah :

(

!

)

!

!

n r

n

_n

C

r

r n r

 

=

_{ }

=

−

 

Bila ada 4 orang laki-laki dan 3 orang

perempuan. Carilah banyaknya panitia 3 orang yang dapat dibuat yang beranggotakan 2 orang laki-laki dan 1 orang perempuan!

(

)

(

)

4 2 3 1

4 _4!

Banyak cara memilih laki-laki: 6 2 2! 4 2 !

3 _3!

Banyak cara memilih perempuan: 3 1 1! 3 1 ! Maka banyak cara untuk memilih panitia = 6 x 3 = 18 cara

C C   = _{ } = = −     = _{ } = = −  

Probabilitas (Peluang)

Suatu percobaan dengan ruang contoh S diulang-ulang sebanyak N kali di bawah kondisi yang sama.

Apabila dalam N kejadian yang semuanya mempunyai kemungkinan yang sama untuk terjadi

Maka untuk setiap kejadian A yang merupakan

himpunan-bagian dari S, kita definisikan n(A) sebagai

berapa kali kejadian A terjadi selama N kali ulangan percobaan itu. Peluang Kejadian A :

( )

n A

( )

n A

( )

_{( )}

P A

N

n S

=

=

Aksioma Probabilitas

Aksioma 4 (tambahan) ) ( 1 ) (E P E P c = − Aksioma 1 1 ) ( 0  P E  Aksioma 2 1 ) (S = P Aksioma 3



 =  = =       1 1 ) ( i i i i P E E P



Mutually Exclusive (Saling Asing)

Dua peristiwa yang tidak mempunyai elemen berserikat

(irisan) maka disebut “saling asing (mutually exclusive)”

)

(

)

(

)

(

E

F

P

E

P

F

P



=

+

)

(

)

(

)

(

)

(

E

F

P

E

P

F

P

E

F

P



=

+

−



Jika E dan F saling asing maka ;

Jika E dan F tidak saling asing maka ;