BAB III PEMBAHASAN

BAB III

PEMBAHASAN

3.1 Pembahasan

Regresi kernel adalah teknik estimasi sesuai dengan data yang dimiliki. Diberikan suatu data,

ingin dicari fungsi regresi seperti fungsi yang paling sesuai dengan data yang dimiliki di

titik-titik data. Mungkin juga ingin menginterpolasi dan memperkiraan sedikit di luar data tersebut.

Ide regresi kernel adalah menempatkan satu set fungsi tertimbang identik yang disebut

kernel lokal untuk setiap titik data pengamatan. Kernel akan menetapkan bobot untuk setiap

lokasi berdasarkan jarak dari titik data.

Jika diberikan data sebagai berikut:

Table 1. Contoh data

1

2

3

4

5

1

1.2

3.2

4

5.1

23

17

12

27

8

Dari data tersebut ingin didapatkan kurva-fitting fungsi untuk data. Ada banyak cara

untuk melakukan kurva regresi dan kernel hanyalah salah satunya.

Dalam regresi kernel, apa yang harus dilakukan adalah untuk meletakkan sebuah kernel

(semacam fungsi benjolan) untuk setiap titik data X. Grafik berikut menunjukkan Gaussian

kernel berada di pusat setiap X.

Gambar 10. Grafik Gaussian kernel

Dengan menempatkan kernel pada data asli X

i

, sekarang dapat memperpanjang nilai data

asli X

i

menjadi nilai yang jauh lebih kecil dari x pada langkah kecil tertentu x. Sebagai contoh,

gunakan x = 0,1. Untuk titik data pertama X

1

= 1, kita dapat melihat nilai kernel pada setiap

langkah x kecil.

Rumus Fungsi Kernel Gaussian

(4)

Keteranagan: x = jangkauan

X = nilai data X

Y = nilai data Y

α

= konstanta

Penggunaan fungsi kernel Gaussian dikarenakan fungsi ini yang lebih mudah dalam

penggunaanya. Sedangkan fungsi spline, epanechnikov dan tri-cube memerlukan syarat dalam

pengerjaannya setelah itu perhitungan bisa dilanjutkan.

Dalam contoh ini, notasi titik data pengamatan (X, Y), sedangkan estimasi dan titik

domain sampling dinotasikan dengan (x, y). Dalam contoh sederhana ini hanya memiliki 5 titik

data tetapi dapat membuat titik sampling sebanyak yang diinginkan dengan menetapkan

sampling rate x.

Diasumsikan bahwa lebar kernel

α

=0,5

, maka kernel dapat dihitung sebagai berikut:

dan seterusnya.

Prosedur yang sama dapat dilakukan untuk semua titik data X

i

. Sebagai titik data telah

memiliki jangkauan X

i

dari 1 sampai 5.1, dapat memperpanjang domain x antara 0 dan 6. Maka

nilai estimasi Y

j

sebesar nilai domain X

j

yang diberikan oleh rumus regresi kernel juga disebut

Nadaraya-Watson kernel.

Para nominator dari rumus regresi kernel adalah array jumlah produk kernel dan berat,

sedangkan penyebutnya adalah jumlah nilai kernel di domain X

j

untuk semua titik data X

i

.

∑

∑

= − = −

−

−

=

_n i i h n i i i h h

X

x

K

n

Y

X

x

K

n

x

m

1 1 1 1

)

(

)

(

)

(

ˆ

Gambar berikut menunjukkan formulasi fungsi excel y diperkirakan menggunakan formula

regresi kernel untuk x = 0

Gambar 11. Formulasi fungsi excel y menggunakan formula regresi kernel untuk x = 0.

Table 2. Nilai K(x, X1)-K(x, X5).

X k(x.X1) k(x,X2) k(x,X3) k(x,X4) k(x,X5) est.y 0 0.13534 0.0561348 0.0000000 0.0000000 0.0000000 1.0000000 0.1 0.19790 0.0889216 0.0000000 0.0000000 0.0000000 1.0000000 0.2 0.27804 0.1353353 0.0000000 0.0000000 0.0000000 1.0000000 0.3 0.37531 0.1978987 0.0000000 0.0000000 0.0000000 1.0000000 0.4 0.48675 0.2780373 0.0000002 0.0000000 0.0000000 1.0000000 0.5 0.60653 0.3753111 0.0000005 0.0000000 0.0000000 1.0000000 0.6 0.72615 0.4867523 0.0000013 0.0000000 0.0000000 1.0000000 0.7 0.83527 0.6065307 0.0000037 0.0000000 0.0000000 1.0000000 0.8 0.92312 0.7261490 0.0000099 0.0000000 0.0000000 1.0000000 0.9 0.98020 0.8352702 0.0000254 0.0000000 0.0000000 1.0000000 1 1.00000 0.9231163 0.0000625 0.0000000 0.0000000 1.0000000 1.1 0.98020 0.9801987 0.0001477 0.0000000 0.0000000 1.0000000 1.2 0.92312 1.0000000 0.0003355 0.0000002 0.0000000 1.0000000 1.3 0.83527 0.9801987 0.0007318 0.0000005 0.0000000 1.0000000 1.4 0.72615 0.9231163 0.0015338 0.0000013 0.0000000 1.0000000 1.5 0.60653 0.8352702 0.0030887 0.0000037 0.0000000 1.0000000 1.6 0.48675 0.7261490 0.0059760 0.0000099 0.0000000 1.0000000 1.7 0.37531 0.6065307 0.0111090 0.0000254 0.0000000 1.0000000 1.8 0.27804 0.4867523 0.0198411 0.0000625 0.0000000 1.0000000 1.9 0.19790 0.3753111 0.0340475 0.0001477 0.0000000 1.0000000 2 0.13534 0.2780373 0.0561348 0.0003355 0.0000000 1.0000000 2.1 0.08892 0.1978987 0.0889216 0.0007318 0.0000000 1.0000000 2.2 0.05613 0.1353353 0.1353353 0.0015338 0.0000000 1.0000000 2.3 0.03405 0.0889216 0.1978987 0.0030887 0.0000002 1.0000000 2.4 0.01984 0.0561348 0.2780373 0.0059760 0.0000005 1.0000000 2.5 0.01111 0.0340475 0.3753111 0.0111090 0.0000013 1.0000000 2.6 0.00598 0.0198411 0.4867523 0.0198411 0.0000037 1.0000000 2.7 0.00309 0.0111090 0.6065307 0.0340475 0.0000099 1.0000000

2.8 0.00153 0.0059760 0.7261490 0.0561348 0.0000254 1.0000000 2.9 0.00073 0.0030887 0.8352702 0.0889216 0.0000625 1.0000000 3 0.00034 0.0015338 0.9231163 0.1353353 0.0001477 1.0000000 3.1 0.00015 0.0007318 0.9801987 0.1978987 0.0003355 1.0000000 3.2 0.00006 0.0003355 1.0000000 0.2780373 0.0007318 1.0000000 3.3 0.00003 0.0001477 0.9801987 0.3753111 0.0015338 1.0000000 3.4 0.00001 0.0000625 0.9231163 0.4867523 0.0030887 1.0000000 3.5 0.00000 0.0000254 0.8352702 0.6065307 0.0059760 1.0000000 3.6 0.00000 0.0000099 0.7261490 0.7261490 0.0111090 1.0000000 3.7 0.00000 0.0000037 0.6065307 0.8352702 0.0198411 1.0000000 3.8 0.00000 0.0000013 0.4867523 0.9231163 0.0340475 1.0000000 3.9 0.00000 0.0000005 0.3753111 0.9801987 0.0561348 1.0000000 4 0.00000 0.0000002 0.2780373 1.0000000 0.0889216 1.0000000 4.1 0.00000 0.0000000 0.1978987 0.9801987 0.1353353 1.0000000 4.2 0.00000 0.0000000 0.1353353 0.9231163 0.1978987 1.0000000 4.3 0.00000 0.0000000 0.0889216 0.8352702 0.2780373 1.0000000 4.4 0.00000 0.0000000 0.0561348 0.7261490 0.3753111 1.0000000 4.5 0.00000 0.0000000 0.0340475 0.6065307 0.4867523 1.0000000 4.6 0.00000 0.0000000 0.0198411 0.4867523 0.6065307 1.0000000 4.7 0.00000 0.0000000 0.0111090 0.3753111 0.7261490 1.0000000 4.8 0.00000 0.0000000 0.0059760 0.2780373 0.8352702 1.0000000 4.9 0.00000 0.0000000 0.0030887 0.1978987 0.9231163 1.0000000 5 0.00000 0.0000000 0.0015338 0.1353353 0.9801987 1.0000000 5.1 0.00000 0.0000000 0.0007318 0.0889216 1.0000000 1.0000000 5.2 0.00000 0.0000000 0.0003355 0.0561348 0.9801987 1.0000000 5.3 0.00000 0.0000000 0.0001477 0.0340475 0.9231163 1.0000000 5.4 0.00000 0.0000000 0.0000625 0.0198411 0.8352702 1.0000000 5.5 0.00000 0.0000000 0.0000254 0.0111090 0.7261490 1.0000000 5.6 0.00000 0.0000000 0.0000099 0.0059760 0.6065307 1.0000000 5.7 0.00000 0.0000000 0.0000037 0.0030887 0.4867523 1.0000000 5.8 0.00000 0.0000000 0.0000013 0.0015338 0.3753111 1.0000000 5.9 0.00000 0.0000000 0.0000005 0.0007318 0.2780373 1.0000000 6 0.00000 0.0000000 0.0000002 0.0003355 0.1978987 1.0000000

Pada awalnya semua nilai bobot adalah satu, sehingga semua estimasi y juga satu seperti

yang diilustrasikan pada tabel diatas. kemudian menghitung kuadrat kesalahan dari estimasi y

dibandingkan dengan data asli Y

i

.

Table 3. Nilai kuadrat kesalahan.

X k(x.X1) k(x,X2) k(x,X3) k(x,X4) k(x,X5) est.y Y sq.error 0 0.13534 0.0561348 0.0000000 0.0000000 0.0000000 1.0000000 0.1 0.19790 0.0889216 0.0000000 0.0000000 0.0000000 1.0000000 0.2 0.27804 0.1353353 0.0000000 0.0000000 0.0000000 1.0000000 0.3 0.37531 0.1978987 0.0000000 0.0000000 0.0000000 1.0000000 0.4 0.48675 0.2780373 0.0000002 0.0000000 0.0000000 1.0000000 0.5 0.60653 0.3753111 0.0000005 0.0000000 0.0000000 1.0000000 0.6 0.72615 0.4867523 0.0000013 0.0000000 0.0000000 1.0000000 0.7 0.83527 0.6065307 0.0000037 0.0000000 0.0000000 1.0000000 0.8 0.92312 0.7261490 0.0000099 0.0000000 0.0000000 1.0000000 0.9 0.98020 0.8352702 0.0000254 0.0000000 0.0000000 1.0000000 1 1.00000 0.9231163 0.0000625 0.0000000 0.0000000 1.0000000 23 484 1.1 0.98020 0.9801987 0.0001477 0.0000000 0.0000000 1.0000000 1.2 0.92312 1.0000000 0.0003355 0.0000002 0.0000000 1.0000000 17 256 1.3 0.83527 0.9801987 0.0007318 0.0000005 0.0000000 1.0000000 1.4 0.72615 0.9231163 0.0015338 0.0000013 0.0000000 1.0000000 1.5 0.60653 0.8352702 0.0030887 0.0000037 0.0000000 1.0000000 1.6 0.48675 0.7261490 0.0059760 0.0000099 0.0000000 1.0000000 1.7 0.37531 0.6065307 0.0111090 0.0000254 0.0000000 1.0000000 1.8 0.27804 0.4867523 0.0198411 0.0000625 0.0000000 1.0000000 1.9 0.19790 0.3753111 0.0340475 0.0001477 0.0000000 1.0000000 2 0.13534 0.2780373 0.0561348 0.0003355 0.0000000 1.0000000 2.1 0.08892 0.1978987 0.0889216 0.0007318 0.0000000 1.0000000 2.2 0.05613 0.1353353 0.1353353 0.0015338 0.0000000 1.0000000 2.3 0.03405 0.0889216 0.1978987 0.0030887 0.0000002 1.0000000 2.4 0.01984 0.0561348 0.2780373 0.0059760 0.0000005 1.0000000 2.5 0.01111 0.0340475 0.3753111 0.0111090 0.0000013 1.0000000 2.6 0.00598 0.0198411 0.4867523 0.0198411 0.0000037 1.0000000 2.7 0.00309 0.0111090 0.6065307 0.0340475 0.0000099 1.0000000 2.8 0.00153 0.0059760 0.7261490 0.0561348 0.0000254 1.0000000 2.9 0.00073 0.0030887 0.8352702 0.0889216 0.0000625 1.0000000 3 0.00034 0.0015338 0.9231163 0.1353353 0.0001477 1.0000000 3.1 0.00015 0.0007318 0.9801987 0.1978987 0.0003355 1.0000000 3.2 0.00006 0.0003355 1.0000000 0.2780373 0.0007318 1.0000000 12 121 3.3 0.00003 0.0001477 0.9801987 0.3753111 0.0015338 1.0000000 3.4 0.00001 0.0000625 0.9231163 0.4867523 0.0030887 1.0000000 3.5 0.00000 0.0000254 0.8352702 0.6065307 0.0059760 1.0000000 3.6 0.00000 0.0000099 0.7261490 0.7261490 0.0111090 1.0000000 3.7 0.00000 0.0000037 0.6065307 0.8352702 0.0198411 1.0000000 3.8 0.00000 0.0000013 0.4867523 0.9231163 0.0340475 1.0000000

3.9 0.00000 0.0000005 0.3753111 0.9801987 0.0561348 1.0000000 4 0.00000 0.0000002 0.2780373 1.0000000 0.0889216 1.0000000 27 676 4.1 0.00000 0.0000000 0.1978987 0.9801987 0.1353353 1.0000000 4.2 0.00000 0.0000000 0.1353353 0.9231163 0.1978987 1.0000000 4.3 0.00000 0.0000000 0.0889216 0.8352702 0.2780373 1.0000000 4.4 0.00000 0.0000000 0.0561348 0.7261490 0.3753111 1.0000000 4.5 0.00000 0.0000000 0.0340475 0.6065307 0.4867523 1.0000000 4.6 0.00000 0.0000000 0.0198411 0.4867523 0.6065307 1.0000000 4.7 0.00000 0.0000000 0.0111090 0.3753111 0.7261490 1.0000000 4.8 0.00000 0.0000000 0.0059760 0.2780373 0.8352702 1.0000000 4.9 0.00000 0.0000000 0.0030887 0.1978987 0.9231163 1.0000000 5 0.00000 0.0000000 0.0015338 0.1353353 0.9801987 1.0000000 5.1 0.00000 0.0000000 0.0007318 0.0889216 1.0000000 1.0000000 8 49 5.2 0.00000 0.0000000 0.0003355 0.0561348 0.9801987 1.0000000 5.3 0.00000 0.0000000 0.0001477 0.0340475 0.9231163 1.0000000 5.4 0.00000 0.0000000 0.0000625 0.0198411 0.8352702 1.0000000 5.5 0.00000 0.0000000 0.0000254 0.0111090 0.7261490 1.0000000 5.6 0.00000 0.0000000 0.0000099 0.0059760 0.6065307 1.0000000 5.7 0.00000 0.0000000 0.0000037 0.0030887 0.4867523 1.0000000 5.8 0.00000 0.0000000 0.0000013 0.0015338 0.3753111 1.0000000 5.9 0.00000 0.0000000 0.0000005 0.0007318 0.2780373 1.0000000 6 0.00000 0.0000000 0.0000002 0.0003355 0.1978987 1.0000000 1586

Dalam perhitungan diatas jumlah SSE = 1586. Sekarang siap untuk solusi. Untuk

menemukan solusi akan digunakan MS Excel Solver.

Periksa menu Tools. Jika tidak ada menu pemecah, berarti perlu menginstal Solver

tersebut. Untuk menginstal Solver, pilih menu Tools-Add-Ins ... dan memeriksa Solver Add-in

dan klik tombol OK. Ditunjukkan pada gambar berikut.

Gambar 12. Tahap petama penggunaan MS Excel Solver.

Jika Solver sudah tersedia, klik menu Tools-bahwa Solver ... dan akan muncul dialog

parameter pemecah sebagai berikut.

Ingin mencari bobot untuk setiap kernel yang meminimalkan jumlah kesalahan kuadrat.

Mengatur sel target dari jumlah square error (SSE) sama dengan Min dengan mengubah sel-sel

array. Lalu klik tombol Memecahkan dan klik tombol OK.

Gambar 14. Tahapan ketiga penggunaan MS Excel Solver.

Ketika mendapatkan array bobot baru sebagai solusi, secara otomatis mengatasi regresi

dengan menghitung nilai-nilai y. Berikut diperlihatkan pada tabel menunjukkan bahwa jumlah

kesalahan nol (

).

Tabel 4. Hasil perhitungan dengan menggunakan MS Excel Solver

X 1 1.2 3.2 4 5.1 Y 23 17 12 27 8 Weight 95.0204691 -55.01797 5.674117 34.8308959 5.61585368 X k(x.X1) k(x,X2) k(x,X3) k(x,X4) k(x,X5) est.y Y sq.error 0 0.13534 0.0561348 0.0000000 0.0000000 0.0000000 51.0325324 0.1 0.19790 0.0889216 0.0000000 0.0000000 0.0000000 48.5047234 0.2 0.27804 0.1353353 0.0000000 0.0000000 0.0000000 45.8989354 0.3 0.37531 0.1978987 0.0000000 0.0000000 0.0000000 43.2202139 0.4 0.48675 0.2780373 0.0000002 0.0000000 0.0000000 40.4743685 0.5 0.60653 0.3753111 0.0000005 0.0000000 0.0000000 37.6679416 0.6 0.72615 0.4867523 0.0000013 0.0000000 0.0000000 34.8081596 0.7 0.83527 0.6065307 0.0000037 0.0000000 0.0000000 31.9028686 0.8 0.92312 0.7261490 0.0000099 0.0000000 0.0000000 28.9604520 0.9 0.98020 0.8352702 0.0000254 0.0000000 0.0000000 25.9897320 1 1.00000 0.9231163 0.0000625 0.0000000 0.0000000 22.9998556 23 2.08E-08 1.1 0.98020 0.9801987 0.0001477 0.0000000 0.0000000 20.0001701 1.2 0.92312 1.0000000 0.0003355 0.0000002 0.0000000 17.0001058 17 1.12E-08 1.3 0.83527 0.9801987 0.0007318 0.0000005 0.0000000 14.0091280

1.4 0.72615 0.9231163 0.0015338 0.0000013 0.0000000 11.0369386 1.5 0.60653 0.8352702 0.0030887 0.0000037 0.0000000 8.0944465 1.6 0.48675 0.7261490 0.0059760 0.0000099 0.0000000 5.1969007 1.7 0.37531 0.6065307 0.0111090 0.0000254 0.0000000 2.3727356 1.8 0.27804 0.4867523 0.0198411 0.0000625 0.0000000 -0.3136616 1.9 0.19790 0.3753111 0.0340475 0.0001477 0.0000000 -2.7100406 2 0.13534 0.2780373 0.0561348 0.0003355 0.0000000 -4.4849598 2.1 0.08892 0.1978987 0.0889216 0.0007318 0.0000000 -5.0695961 2.2 0.05613 0.1353353 0.1353353 0.0015338 0.0000000 -3.9306566 2.3 0.03405 0.0889216 0.1978987 0.0030887 0.0000002 -1.3168362 2.4 0.01984 0.0561348 0.2780373 0.0059760 0.0000005 1.6185422 2.5 0.01111 0.0340475 0.3753111 0.0111090 0.0000013 3.9363998 2.6 0.00598 0.0198411 0.4867523 0.0198411 0.0000037 5.5017710 2.7 0.00309 0.0111090 0.6065307 0.0340475 0.0000099 6.5819724 2.8 0.00153 0.0059760 0.7261490 0.0561348 0.0000254 7.4606660 2.9 0.00073 0.0030887 0.8352702 0.0889216 0.0000625 8.3361733 3 0.00034 0.0015338 0.9231163 0.1353353 0.0001477 9.3355307 3.1 0.00015 0.0007318 0.9801987 0.1978987 0.0003355 10.5403893 3.2 0.00006 0.0003355 1.0000000 0.2780373 0.0007318 11.9999955 12 2.04E-11 3.3 0.00003 0.0001477 0.9801987 0.3753111 0.0015338 13.7318405 3.4 0.00001 0.0000625 0.9231163 0.4867523 0.0030887 15.7156892 3.5 0.00000 0.0000254 0.8352702 0.6065307 0.0059760 17.8877159 3.6 0.00000 0.0000099 0.7261490 0.7261490 0.0111090 20.1409556 3.7 0.00000 0.0000037 0.6065307 0.8352702 0.0198411 22.3350907 3.8 0.00000 0.0000013 0.4867523 0.9231163 0.0340475 24.3130259 3.9 0.00000 0.0000005 0.3753111 0.9801987 0.0561348 25.9172663 4 0.00000 0.0000002 0.2780373 1.0000000 0.0889216 26.9999856 27 2.06E-10 4.1 0.00000 0.0000000 0.1978987 0.9801987 0.1353353 27.4274570 4.2 0.00000 0.0000000 0.1353353 0.9231163 0.1978987 27.0881821 4.3 0.00000 0.0000000 0.0889216 0.8352702 0.2780373 25.9178364 4.4 0.00000 0.0000000 0.0561348 0.7261490 0.3753111 23.9450164 4.5 0.00000 0.0000000 0.0340475 0.6065307 0.4867523 21.3360037 4.6 0.00000 0.0000000 0.0198411 0.4867523 0.6065307 18.3921873 4.7 0.00000 0.0000000 0.0111090 0.3753111 0.7261490 15.4717597 4.8 0.00000 0.0000000 0.0059760 0.2780373 0.8352702 12.8733710 4.9 0.00000 0.0000000 0.0030887 0.1978987 0.9231163 10.7593280 5 0.00000 0.0000000 0.0015338 0.1353353 0.9801987 9.1554020 5.1 0.00000 0.0000000 0.0007318 0.0889216 1.0000000 7.9999984 8 2.57E-12 5.2 0.00000 0.0000000 0.0003355 0.0561348 0.9801987 7.1978429 5.3 0.00000 0.0000000 0.0001477 0.0340475 0.9231163 6.6549161 5.4 0.00000 0.0000000 0.0000625 0.0198411 0.8352702 6.2936832

5.5 0.00000 0.0000000 0.0000254 0.0111090 0.7261490 6.0560525 5.6 0.00000 0.0000000 0.0000099 0.0059760 0.6065307 5.9008914 5.7 0.00000 0.0000000 0.0000037 0.0030887 0.4867523 5.8000696 5.8 0.00000 0.0000000 0.0000013 0.0015338 0.3753111 5.7347627 5.9 0.00000 0.0000000 0.0000005 0.0007318 0.2780373 5.6925467 6 0.00000 0.0000000 0.0000002 0.0003355 0.1978987 5.6652930 3.23E-08

BAB IV

KESIMPULAN DAN SARAN

4.1

Kesimpulan

Dari hasil pembahasan sebelumnya dapat disimpulkan bahwa:

1.

Untuk mengestimasi fungsi regresi yang sulit diprediksi bentuknya dapat

digunakan metode kernel. Permasalahan utama pada kernel bukan pada pemilihan

kernel tetapi pada pemilihan bandwith.

2.

Dari hasil pembahasan yang dapat dilakukan hanyalah memprediksi dengan kata

lain hasil perhitungan hanya berupa harapan.

3.

Dalam perhitungan bobot menggunakan alat bantu yang berupa solver yang

tersedia di dalam Microsoft Excel.

4.

Dari hasil perhitungan didapat nilai SSE = 1586. Sedangkan untuk bobotnya

adalah 95.0204691, -55.01797, 5.674117, 34.8308959 dan 5.61585368. Dengan

didapatnya nilai bobot maka nilai SSE pun berubah yaitu 3.23E-08.

4.2

Saran

Metode kernel adalah metode yang membutuhkan ketelitian dalam pengerjaannya

sehingga diperoleh kemudahan dan dapat mendalami serta memahami dalam

menganalisnya.