BAB 5 POSTULAT KESEJAJARAN EUCLIDES

Postulat Kesejajaran Euclides / 95 BAB 5

POSTULAT KESEJAJARAN EUCLIDES

Sekolah tersebut tidak maju dan Euler pun tidak belajar matematika sama sekali dari sekolah Namun minatnya akan matematika didukung oleh pengajaran bapak nya, Euler membaca buku matematika yang ia miliki dan mengambil beberapa pelajaran pribadi. Leonhard Euler lulus dari Universitas Basel tahun 1724 di mana ia belajar theologie dan Ibrani. Selama di sekolah, ia diles-privatkan pelajaran matematika kepada Johann Bernoulli.

Euler menyelesaikan studi nya di Universitas Basel pada tahun 1726. Ia telah belajar banyak mathematical selama bekerja di Basel. Pekerjaan ini adalah dari Varignon, Descartes, Newton, Galileo, von Schooten, Jacob Bernoulli, Hermann, Taylor dan Wallis.Euler menduduki suatu posisi di Akademi Ilmu pengetahuan di St Petersburg, Rusia. Pada 7 Januari 1734, Euler menikah dengan Katharina Gsell, putri seorang pelukis dari St Petersburg. Euler mengklaim bahwa sebagian penemuan matematika terbesarnya terjadi saat seorang bayi dalam pelukannya dengan anak-anak lain berkeluyuran di kakinya. Artikel dan buku mekanika, yang

Leonhard Euler dilahirkan di Basel (Switzerland), pada tanggal 15 April 1707 di St Petersburg (Rusia) .Keluarga Leonhard Euler pindah ke Riehen, daerah yang tidak jauh dari Basel, ketika Leonhard berumur satu tahun dan di tempat itu dia dibesarkan. Leonhard dikirim sekolah ke Basel dan tinggal bersama nenek nya, hal itu dikarenakan bapak Euler ingin putra nya menjadi pendeta.

secara ekstensif memperkenalkan dinamika newtonian dalam wujud matematika analisa memulai perjalanan Euler untuk bekerja di bidang matematika.Euler menulis sekitar 380 artikel, diantaranya menulis buku kalkulus, kalkulasi tentang garis edar keplanetan, artileri dan balistik, analisa, pembuatan kapal dan ilmu pelayaran, gerakan dari bulan, memberi kuliah kalkulus. Euler meninggal pada 18 September 1783, di St Petersburg ( Rusia)

A. Kesejajaran Euclid

 Euclides, seorang ahli logika, masih

mendasarkan pada gambar geometri dalam pembuktiannya.

 geometri Euclides adalah satu-satunya teori

ruang yang mungkin dan betul-betul

menggambarkan dunia fisik. Tidak terpikir oleh mereka bahwa gambar geometri mungkin dapat menyesatkan mereka. Tetapi

 kedudukan geometri Euclides yang mutlak dan unik ini dibantah pada awal abad 19 oleh penemu geometri non-Euclides, para ahli matematika seolah terguncang.

 Revolusi dalam matematika telah terjadi, yang dapat disamakan dengan revolusi Copernicus dalam ilmu astronomi atau revolusi Darwin dalam biologi.

 Kegagalan dalam setiap usaha untuk

membuktikan postulat kesejajaran membawa pada suatu kenyataan bahwa postulat kesejajaran tidak pasti, teori Euclides tidak keramat, dan teori geometri yang lain (non Euclides) mungkin benar.

Postulat Kesejajaran Euclides / 97 B. Struktur Geometri Bidang Euclides

Postulat kesejajaran Euclides

Jika dua garis dipotong oleh sebuah garis transversal sedemikian hingga membuat jumlah sudut dalam sepihak kurang dari 1800_{, maka kedua garis itu berpotongan pada} pihak yang jumlah sudut dalam sepihaknya kurang dari 1800 Kita mulai dengan mendaftar sejumlah asumsi atau postulat geometri Euclides.

I. Barang-barang yang sama dengan sesuatu barang, satu sama lain adalah sama.

II. Jika barang sama ditambah dengan barang yang sama, jumlahnya sama.

III.Jika barang sama dikurangi dengan barang yang sama, selisihnya sama.

IV.Keseluruhan lebih besar dari bagiannya.

V. Bentuk geometri dapat dipindah tanpa mengubah ukuran dan bentuknya.

VI.Setiap sudut mempunyai garis bagi.

VII. Setiap segmen mempunyai satu dan hanya satu titik tengah.

VIII. Dua buah titik terletak pada satu dan hanya satu garis.

IX.Sebuah segmen dapat diperpanjang sehingga sama dengan segmen tertentu.

X. Sebuah lingkaran dapat digambar jika diketahui pusat dan jari-jarinya.

XI.Semua sudut siku-siku besarnya sama….

Dari postulat-postulat di atas dapat disimpulkan sejumlah teorema dasar, di antaranya :

1. Sudut-sudut yang bertolak belakang besarnya sama.

2. Sifat-sifat kongruensi segitiga (sd-ss, sd-sd, ss-ss-ss)

3. Teorema tentang kesamaan sudut-sudut alas segitiga samakaki dan konversnya.

4. Adanya satu garis yang tegak lurus pada suatu garis melalui satu titik pada garis tersebut.

5. Adanya garis tegak lurus pada garis tertentu melalui titik di luar garis tersebut.

6. Pembuatan sudut yang sama dengan sudut tertentu pada titik tertentu dengan menetapkan titik sudut dan sisinya.

7. Pembuatan segitiga yang kongruen dengan segitiga tertentu dengan menetapkan sisi yang sama dengan sisi dari segitiga tertentu tersebut.

Sekarang kita dapat membuktikan teorema sudut luar, sebagai kunci pengembangan selanjutnya.

Teorema 5.1 (Teorema sudut luar)

Sudut luar suatu segitiga lebih besar daripada sudut dalam yang tidak bersisian dengan sudut luar tersebut.

A B C _D

.

.

M H

.

E F 1 2

Postulat Kesejajaran Euclides / 99 Bukti:

Misalkan diketahui segitiga ABC dan D pada perpanjanganBC.

Pertama, kita tunjukkan bahwa sudut luar ACD > A. Misalkan E titik tengah AC, dan BE diperpanjang melalui E sedemikian hingga BE = EF. Maka AE = EC, BE = EF, dan AEB = CEF (sudut bertolak belakang besarnya sama).

Jadi AEB  CEF (ss – sd – ss), dan BAE = FCE (sudut yang bersesuaian pada segitiga yang kongruen adalah sama). Karena ACD > FCE (keseluruhan lebih besar dari bagiannya), kita dapat menyimpulkan ACD > BAE = A.

Untuk menunjukkan bahwa  ACD >  B, perpanjang AC melalui C ke H, sehingga membentuk BCH. Selanjutnya tunjukkan BCH > B gunakan cara seperti bagian pertama bukti di atas :

Misalkan M titik tengah BC, perpanjang AM melalui M sedemikian hingga AM = MN, dan seterusnya. Untuk melengkapi bukti tersebut, perhatikan bahwa BCH dan ACD adalah sudut bertolak belakang, berarti besarnya sama.

Teorema 5.2

Jika dua garis dipotong oleh sebuah garis transversal sedemikian hingga membentuk sepasang sudut dalam berseberangan yang sama, maka kedua garis tersebut sejajar. A B C k m 1 2 A B C 1 2 k m

Bukti:

Misalkan sebuah garis transversal memotong dua garis k dan m di titik A dan B dan membentuk sepasang sudut dalam berseberangan 1 dan 2 yang sama. Andaikan k dan m tidak sejajar. Maka keduanya berpotongan di titik C, dan membentuk ABC. Titik C terletak di sebelah kiri AB atau di sebelah kanannya. Dalam hal ini sudut luar ABC sama dengan sudut dalam yang tidak bersisian dengannya ( 1 =  2). Hal ini kontradiksi dengan Teorema 1. Jadi pengandaian salah, yang benar l dan m sejajar.

Akibat dari teorema 5.3 ini ada 3 yaitu: Akibat 5.1

Dua garis yang tegak lurus pada garis yang sama adalah sejajar.

Akibat 5.2

Hanya ada satu garis tegak lurus pada garis tertentu yang melalui satu titik di luar garis tersebut.

Akibat 5.3

Jika titik P tidak ada garis k, maka ada sedikitnya satu garis lurus yang melalui P yang sejajar k.

Bukti:

P

Q

m

Postulat Kesejajaran Euclides / 101 Dari P ditarik garis tegak lurus k dengan titik kakinya Q, kemudian buat garis m yang melalui P dan tegak lurus PQ. Maka m sejajar dengan k (sesuai dengan akibat 1 teorema 2)

Teorema 5.3:

Jumlah dua sudut segitiga kurang dari 1800_.

Bukti:

Misalkan diketahui ABC. Akan kita tunjukkan bahwa A + B < 1800_{. Perpanjang CB melalui B ke}

D. Maka ABD adalah sudut luar ABC. Menurut Teorema 5.1 : ABD > A. Tetapi

ABD = 1800 _{- B}

Dengan demikian berarti :

1800 _- _{B >} _A

atau

1800 _- _{A +} _B

Jadi : A + B < 1800 _{(teorema terbukti)}

C. Pengganti postulat kesejajaran Euclides Postulat Playfair.

Hanya ada satu garis yang sejajar dengan garis yang diketahui yang melalui sebuah titik di luar garis yang diketahui.

C

A

 Postulat Playfair membahas tentang kesejajaran garis dan postulat kesejajaran Euclides tentang garis-garis yang berpotongan.

 Postulat ke lima dan postulat Postulat Playfair. keduanya mempunyai peran yang sama dalam perkembangan geometri.

 Kedua postulat tersebut ekivalen secara logis atau hanya ekivalen. Ini berarti, jika postulat Playfair diambil sebagai postulat (bersama dengan semua postulat Euclides kecuali postulat kesejajaran Euclides), maka postulat kesejajaran Euclides dapat disimpulkan sebagai teorema; dan sebaliknya, jika postulat kesejajaran Euclides diambil sebagai postulat (bersama dengan semua postulat Euclides kecuali postulat kesejajaran Euclides), maka postulat Playfair dapat disimpulan sebagai teorema.

D. Ekivalensi Postulat Kesejajaran Euclides dengan Postulat Playfair

Pertama,

 Kita asumsikan postulat kesejajaran Euclides dan kita simpulkan menjadi postulat Playfair.  Jika diketahui garis k dan titik P di luar k. Akan

kita tunjukkan hanya ada satu garis yang melalui P sejajar k. P Q m k n 1 2

Postulat Kesejajaran Euclides / 103

 Kita tahu bahwa ada garis yang melalui P dan sejajar k, dan kita tahu bagaimana cara membuatnya (lihat akibat 3 teorema 5.2). Dari P ditarik garis tegak lurus k dengan titik kaki di Q, dan melalui P dibuat garis m tegak lurus PQ. Maka m // k.

 Sekarang, misalkan n sebarang garis yang melalui P, dan n  m. akan tunjukkan n memotong k. misalkan  1 dan 2 adalah sudut-sudut yang dibentuk oleh garis n dan PQ. Maka 1 bukan sudut siku-siku, karena jika 1 siku-siku maka n dan m berhimpit, hal ini kontradiksi dengan asumsi. Jadi 1 atau 2 adalah sudut lancip, misalkan 1 yang lancip. Kesimpulan

Garis k dan n dipotong oleh garis transversal PQ sehingga membentuk sudut lancip 1 dan sebuah sudut siku-siku, yang keduanya merupakan sudut dalam sepihak dari garis transversal. Karena jumlah kedua sudut ini kurang dari 1800_{, sesuai dengan}

postulat kesejajaran Euclides, kedua garis n dan k akan berpotongan. Jadi m adalah satu-satunya garis yang melalui P sejajar k, yang berarti kita dapat menyimpulkan postulat Playfair dari postulat kesejajaran Euclides.

Kedua,

 Kita asumsikan postulat Playfair, dan kita

simpulkan menjadi postulat kesejajaran

 Misalkan garis k, m dipotong oleh sebuah garis transversal di Q, P dan membentuk sepasang sudut dalam sepihak 1 dan 2 yang jumlahnya kurang dari 1800_{. Jadi :}

1 + 2 < 1800 _{……… (1)}

Misalkan  3 adalah suplemen dari  1, Maka :

1 + 3 = 1800 _………(2)

Dari (1) dan (2) diperoleh : 2 < 3 ………..(3)

 Pada titik P buatlah  QPR yang sama dan berseberangan dalam dengan 3. Maka 2 < QPR, jadi RP tidak berimpit dengan garis m (berbeda dengan m). Menurut teorema 2, RP //

k. Sesuai dengan postulat Playfair, m tidak sejajar dengan k ; oleh karena itu m dan k berpotongan.

 Misalkan m dan k berpotongan pada pihak yang berlawanan dengan PQ dari 1 dan 2, misalkan di titik E. Maka 2 adalah sudut luar PQE; oleh karena itu 2 < 3, kontradiksi dengan (3). Akibatnya permisalan salah, jadi m dan l berpotongan pada pihak PQ yang memuat 1 dan 2. Jadi postulat kesejajaran Euclides dapat diperoleh dari postulat Playfair, yang berarti kedua postulat ekivalen.

R

.

P Q E m k 2 1

Postulat Kesejajaran Euclides / 105 E. Peran postulat kesejajaran Euclides

Dengan mengasumsikan postulat kesejajaran Euclides (atau postulat Playfair yang ekivalen), beberapa akibat penting berikut dapat ditetapkan :

a. Jika dua garis sejajar dipotong oleh sebuah garis maka terbentuk sepasang sudut berseberangan yang sama.

b. Jumlah sudut-sudut sudut segitiga adalah 1800

c. Sisi-sisi yang berhadapan suatu jajargenjang adalah sama.

d. Garis yang sejajar di mana-mana jaraknya sama. e. Adanya persegipanjang dan persegi.

f. Teori luas yang terkenal dinyatakan dengan satuan persegi.

g. Teori segitiga yang sebangun, yang meliputi adanya gambar dengan sebarang ukuran yang sebangun dengan gambar tertentu.

Postulat kesejajaran Euclides merupakan sumber dari beberapa akibat yang penting. Tanpa postulat kesejajaran Euclides kita tidak akan mempunyai teori-teori terkenal tentang bidang, kesebangunan dan hubungan Phythagoras. Tanpa postulat kesejajaran Euclides, geometri di sekolah dianggap merupakan materi yang membosankan. Postulat kesejajaran Euclides boleh dianggap tidak penting ketika kita mempelajari geometri di sekolah menengah.

F. Pembuktian Proclus Terhadap Postulat Kesejajaran Euclides

Proclus (410 – 485) memberikan bukti terhadap postulat kesejajaran Euclides sebagai berikut: Kita asumsikan postulat Euclides kecuali postulat kesejajaran, dan kita buktikan menjadi postulat Playfair.

Misalkan P adalah titik yang tidak terletak pada garis k (lihat gambar). Kita buat garis m melalui P dan sejajar k.

Misalkan : PQ k di Q dan m PQ di P.

Andaikan : ada garis lain n yang melalui P dan sejajar k.

Maka n membentuk sudut lancip dengan PQ yang terletak (misalnya) di sebelah kanan PQ yang seluruhnya termuat pada daerah yang dibatasi oleh k, m dan PQ.

Misal X sebarang titik pada garis m yang terletak di sebelah kanan P, XY k di Y, dan XY memotong n di Z, maka XY > XZ. Misalkan X digerakkan terus menerus menjauhi P sepanjang garis m. maka XZ akan bertambah panjang sampai tak terbatas, karena XZ paling sedikit panjangnya sama dengan segmen garis dari X yang tegak lurus n.

P Q X Y Z n m k

Postulat Kesejajaran Euclides / 107 Jadi XY juga bertambah panjang sampai tak terbatas.

Tetapi jarak antara dua garis yang sejajar harus terbatas. Dengan demikian terjadi kontradiksi, yang berarti pengandaian salah. Jadi, m adalah satu-satunya garis yang melalui P dan sejajar k.

Dengan demikian, postulat Playfair berlaku, demikian juga postulat yang ekivalen, yaitu postulat kesejajaran Euclides.

Pada proses pembuktian di atas, dilibatkan tiga asumsi, yaitu :

(A)Jika dua garis berpotongan, jarak suatu titik di suatu garis ke suatu titik pada garis lainnya akan bertambah panjang sampai tak terbatas, jika titik tersebut bergerak menjauhi titik potong kedua garis tersebut.

(B)Segmen garis terpendek yang menghubungkan suatu titik di luar suatu garis adalah segmen garis yang tegak lurus pada garis tersebut.

(C)Jarak antara dua garis yang sejajar adalah terbatas. (A) dan (B) dapat ditetapkan tanpa bersumber pada postulat kesejajaran Euclides. Jadi hal yang terpenting dari pembuktian di atas adalah asumsi (C). Berarti Proclus dengan diam-diam menganggap (C) sebagai asumsi tambahan. Kita namakan (C) sebagai asumsi tersembunyi dari postulat Proclus.

Jadi, kita bisa menyatakan bahwa : Postulat Proclus ekivalen dengan postulat kesejajaran Euclides. Karena, postulat kesejajaran Euclides berarti jarak antara dua garis yang sejajar adalan konstan, dan oleh karena itu terbatas. Sebaliknya, sesuai dengan argumen Proclus bahwa dari postulat Proclus dapat diperoleh postulat kesejajaran Euclides.

Jadi, Proclus hanya mengganti postulat kesejajaran Euclides dengan postulat yang ekivalen, tidak menetapkan validitas (Kesahihan) postulat kesejajaran Euclides.

G. Penyelesaian Wallis

John Wallis (1616 – 1703) mengganti postulat kesejajaran Euclides dengan postulat berikut :

Akan ada suatu segitiga dengan satu sisinya ditetapkan sebarang yang sebangun dengan segitiga tertentu.

Misalkan n adalah garis yang lain dengan m yang melalui P. Akan ditunjukkan bahwa n memotong k.

m k R n Q S P _m k R n Q S P T

Dari sini, postulat Playfair dapat disimpul-kan sebagai berikut: Misal P titik di luar k. Dari P ditarik PQ  k, yang memotong k di Q, dan dari P tarik garis m 

PQ.

Postulat Kesejajaran Euclides / 109 Misalkan R adalah sebarang titik pada n dan berada pada daerah antara k dan m. Dari R tarik RS PQ, yang memotong PQdi S.

Dengan menggunakan postulat Wallis, kita bisa mendapatkan PQT sedemikian hingga PQT = PSR, dan PR berimpit dengan PT. Jadi T pada n. Selanjutnya, PQT = PSR, jadi PQT adalah siku-siku.

Karena k. PQdi Q, berarti T pada k.

Oleh karena itu, n memotong k pada T, dan berarti hanya ada satu garis yang melalui P dan sejajar k.

Jelaslah bahwa dari postulat Wallis dapat diperoleh postulat kesejajaran Euclides. Dan sebagaimana yang telah kita selidiki, kebalikannya juga berlaku. Jadi postulat Wallis secara logis ekivalen dengan postulat kesejajaran Euclides. Wallis nampaknya merasa bahwa postulatnya lebih pasti, dan juga merasa bahwa dia telah menyelesaikan masalah postulat kesejajaran Euclides selama ini.

Adakah postulat Wallis lebih jelas dan lebih sederhana dari postulat kesejajaran Euclides ?

.

S

.

T A B C P Q R

Jika ABC dan segmen dari PQ diketahui (Gambar 2.9), maka ada titik R sedemikian hingga PQR

sebangun dengan ABC. Bagaimana kita bisa

mendapatkan titik R? Pada sisi PQ kita bisa membuat

QPS = A dan PQT = B.

Maka R akan diperoleh dari perpotongan antara PS dan QT. Akibatnya, sesuai dengan postulat Wallis, maka PS dan QT berpotongan.

Ingat bahwa A + B < 1800 _{(sesuai dengan teorema}

3).

Berarti :  P + Q < 1800_.

Jadi postulat Wallis dapat dinyatakan sebagai :

Jika dua garis dipotong oleh suatu garis sedemikian hingga membentuk sepasang sudut yang berjumlah kurang dari 1800_{, maka kedua garis tersebut pasti} berpotongan.

Postulat ini sangat mirip dengan postulat kesejajaran Euclides. Tetapi postulat Wallis menyatakan lebih lanjut, karena ada tambahan R = C dan sisi-sisi yang bersesuaian dari segitiga sebanding.

Dengan demikian postulat Wallis lebih pasti dan lebih sederhana dari postulat kesejajaran Euclides.

H. Usaha Saccheri dalam Mempertahankan Postulat Kesejajaran Euclides

Giovanni Girolamo Saccheri ( 5 September 1667 – 25 Oktober 1733) menulis sebuah buku “Euclides Vindicatus” yang diterbitkan sesudah kematiannya. Dia mencoba menguji kebenaran postulat kesejajaran Euclides dengan cara baru. Caranya dengan mengasumsikan bahwa postulat kesejajaran Euclides

Postulat Kesejajaran Euclides / 111 itu salah, menunjukkan adanya kontradiksi, yang secara logis berarti memvalidasikan (mengesahkan) postulat kesejajaran Euclides dengan menggunakan prinsip bukti tak langsung.

Pengujian Saccheri dimulai dengan mempelajari suatu segiempat yang mempunyai dua sisi yang sama dan tegak lurus pada sisi yang ketiga. Tanpa mengasumsikan sebarang postulat kesejajaran, kita bisa membuat segiempat yang dimaksud, yang sekarang disebut sebagai segiempat Saccheri.

Misalkan ABCD adalah segiempat Saccheri dengan AD = BC dan A = B = 900 _{(Gambar 2.10).}

Saccheri mampu membuktikan C = D, dan selanjutnya mempertimbangkan tiga kemungkinan mengenai sudut C dan D :

(1) Hipotesis sudut siku-siku (C = D = 900₎

(2) Hipotesis sudut tumpul (C = D > 900₎

(3) Hipotesis sudut lancip (C = D < 900₎

Jika postulat kesejajaran Euclides diasumsikan, maka hipotesis sudut siku-siku benar (karena postulat kesejajaran Euclides berakibat bahwa jumlah sudut sebarang segiempat adalah 3600_).

Dasar argumen Saccheri sebagai berikut :

Dengan menunjukkan bahwa hipotesis sudut tumpul dan hipotesis sudut lancip keduanya menimbulkan suatu kontradiksi berarti postulat kesejajaran Euclides benar.

D C

Dengan menggunakan serangkaian teorema secara hati-hati, Saccheri mampu membuktikan bahwa

hipotesis sudut tumpul menimbulkan suatu

kontradiksi. Selanjutnya dia memperhatikan implikasi dari sudut lancip. Di antaranya berupa sejumlah teorema yang tidak biasa (unusual), yang dua diantaranya dapat dinyatakan sebagai berikut :

(1) Jumlah sudut-sudut sebarang segitiga adalah kurang dari 1800

(2) Jika k dan m adalah dua garis dalam suatu bidang, maka salah satu sifat berikut akan terpenuhi :

(a) k dan m berpotongan, keduanya memencar dari titik perpotongannya.

(b) k dan m tidak berpotongan, tetapi mempunyai garis tegak lurus persekutuan, sehingga dua garis memencar dalam dua arah dari arah garis tegak lurus persekutuan.

(c) k dan m tidak berpotongan, dan tidak mempunyai garis tegak lurus persekutuan, sehingga kedua garis konvergen pada satu arah tetapi divergen pada arah yang lain.

Saccheri ternyata tidak sampai pada suatu kontradiksi, meskipun dia berpikiran seharusnya terjadinya kontradiksi; dan sudah kita ketahui bahwa sampai saat ini teori Saccheri tentang hipotesis sudut lancip bebas dari kontradiksi dalam geometri Euclides. Kenyataannya, dia telah membuktikan sejumlah teorema dalam geometri non-Euclides yang kira-kira satu abad berikutnya dikembangkan oleh Bolyai dan Lobachevsky.

Jelaslah kegagalan Saccheri dalam menangani postulat kesejajaran Euclides telah membuat suatu lompatan logis dalam geometri non-Euclides.

Postulat Kesejajaran Euclides / 113 Usahanya memvalidasikan postulat kesejajaran Euclides telah gagal, tetapi kegagalan yang besar tersebut hanya dapat dicapai oleh seseorang dengan kemampuan dan pendidikan yang luar biasa.

LATIHAN 5

1. Buktikan postulat Playfair ekivalen dengan teorema sudut dalam berseberangan;

Jika dua garis sejajar (paralel) dipotong oleh sebuah garis transversal, maka sepasang sudut dalam berseberangan yang dibentuk adalah sama.

2. Kritiklah pembuktian postulat kesejajaran Euclides berikut, yang dilakukan oleh Bolyai (1775 – 1856). Misalkan diketahui titik P di luar garis k, PQ k di Q, m PQ di P. Misal n garis yang melalui P, n  m (Gambar 2.11).

Akan ditunjukkan: n memotong k, sehingga m adalah satu-satunya garis yang melalui P dan sejajar k.

Misalkan A adalah titik yang terletak di antara P dan Q perpanjang AQ melalui Q, sehingga AQ = QB. Misal AR n di R, dan perpanjang melalui R, sehingga AR = RC. Maka A, B, dan C tidak terletak segaris, dan bisa membentuk segitiga.

A R n Q B k m

Misal Z adalah lingkaran luar segitiga ABC.

Maka k dan n merupakan garis sumbu busur lingkaran Z dan oleh karena itu k dan n berpotongan di pusat lingkaran Z.

3. Kritiklah pembuktian postulat kesejajaran Euclides berikut :

Misalkan diketahui titik P di luar k, PQ k di Q, d adalah jarak PQ dari P ke k, dan m adalah garis yang terletak pada sisi yang sama dengan k dari P dan berjarak d dari k.

Jelaslah m melalui P dan tidak memotong k. Misalkan n adalah garis selain m yang melalui P. Akan ditunjukkan n memotong k

n memotong m dan memasuki daerah di antara m dan k (misal di sebelah kanan PQ).

Jika X menjauhi P, maka jarak dari X ke m akan bertambah sampai tak terbatas. Tentunya jaraknya akan lebih besar dari pada d, yang merupakan jarak tetap dari m ke k.

Jadi, n harus memotong k, oleh karena itu m adalah satu-satunya garis yang melalui P dan sejajar k.

P Q m k n d

.

X

Postulat Kesejajaran Euclides / 115 4. Kritiklah pembuktian proposisi berikut :

Dua garis yang di mana-mana jaraknya tidak sama pasti berpotongan.

Misalkan garis k jaraknya ke m di mana-mana tidak sama. Maka ada dua titik A, B pada k yang masing-masing berjarak a dan b ke garis m sedemikian hingga a  b.

Misal a > b, dan c = a – b, serta d : jarak AB.

Jika suatu titik bergerak dari A ke B yang terletak pada garis m, maka jaraknya ke k berkurang sebesar c. Pilih titik X pada m yang terletak pada arah yang sama dengan A ke B, sedemikian hingga jarak AX adalah (a/c) d.

Maka titik yang bergerak dari A ke X pada garis m jaraknya ke l akan berkurang sebesar ( a/c ) c = a. Jadi jarak X ke k adalah (a – a) = 0, berarti m memotong k di X.

Hal ini secara tidak langsung sesuai dengan postulat Playfair :

Misalkan P adalah titik di luar k, maka hanya ada satu garis yang melalui P dan sejajar k, yakni suatu garis yang melalui P dan jaraknya ke k di mana-mana sama. 5. Kritiklah pembuktian postulat kesejajaran Euclides

oleh A.M. Legendre (1752 – 1833) berikut :

m A B a _b k d X

Misalkan diketahui titik P di luar l, PQ  l di Q, dan m  PQ di P.

Misal n garis yang melalui P, n  m.

Akan ditunjukkan : n memotong l, sehingga m adalah satu-satunya garis yang melalui P dan sejajar l.

Sudah tentu n akan memotong l jika n tegak lurus l. Jadi kita asumsikan n tidak tegak lurus l.

Karena n  m, maka ada titik R pada garis n sedemikian hingga  QPR lancip.

Buatlah  QPR’ =  QPR, dengan R’ terletak berlawanan arah dengan R dari PQ. Maka Q terletak di dalam  RPR’. Berarti l memuat satu titik yang ber ada di dalam  RPR’ dan memotong salah satu kaki sudutnya.

Jika l memotong kaki PR, maka n pasti memotong l.

Misalkan l memotong kaki PR’ di A.

Pilih titik B pada kaki PR sedemikian hingga PB = PA.

Maka  PQA = =  PQB (ss – sd – ss) dan  PQB siku-siku. Jadi B pada l dan n memotong l.

6. Kritiklah pembuktian postulat kesejajaran Euclides berikut : P

.

n l m Q R

.

R’ B A

Postulat Kesejajaran Euclides / 117 Misalkan diketahui titik P di luar l, PQ  l di Q, dan m  PQ di P.

Misal n garis yang melalui P, n  m

Akan ditunjukkan : n memotong l, sehingga m adalah satu-satunya garis yang melalui P dan sejajar l.

Sudah tentu n akan memotong l jika n tegak lurus l. Jadi kita asumsikan n tidak tegak lurus l.

Karena n  m, maka ada titik R pada garis n sedemikian hingga  QPR lancip.

Pilih titik X pada kaki PR dari  QPR.

Misal Y merupakan kaki garis yang tegak lurus dari X ke kaki PQ dari  QPR.

Jika X bergerak menjauhi P terus menerus, maka Y juga menjauhi P terus menerus.

Dengan demikian terdapat kedudukan Y’ dari Y pada kaki PQ sedemikian hingga PY’ > PQ.

Misalkan X’ merupakan kedudukan X pada kaki PR.

Karena PY’ > PQ, maka titik P dan Y’ pasti terletak berlawanan arah dari l.

Tetapi X’ dan Y’ berada pada arah yang sama dari l, karena Y’X’ // l. P n Q m k R Y ’ X ’ X

Berarti P dan X’ terletak berlawanan arah dari l, dan n yang menghubungkan kedua titik tersebut, pasti memotong l.

7. Jika diketahui postulat kesejajaran Euclides maka jumlah sudut setiap segitiga adalah 1800_.

Pikirkanlah, apakah konversnya juga berlaku ? Coba buktikan, tetapi jangan membuang-buang waktu yang tidak berarti, karena itu merupakan masalah yang sulit jika tanpa persiapan yang memadai.