Iis Herisman, Komar Baihaqi
Jurusan Matematika, Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya
iis@matematika.its.ac.id, komar@matematika.its.ac.id
Abstrak. Tujuan dari penulisan makalah ini adalah untuk mengkaji salah satu aplikasi turunan pada geometri differensial, yaitu menurunkan formula-formula kelengkungan, jari-jari kelengkungan dan persamaan lingkaran kelengkungan serta evolute dari kurva di 𝑅𝑅2. Secara umum, fokus pembahasan adalah pada tahap-tahap pembentukan persamaan kurva fungsi eksplisit, selanjutnya pembentukan persamaan kurva dalam bentuk fungsi parameter dan bentuk fungsi polar. Hasil pengkajian membuktikan teorema-teorema dari sifat-sifat kelengkunagn dengan memberikan contoh-contoh kajian kurva pada 𝑅𝑅2.
Kata Kunci : kelengkungan,persamaan lingkaran kelengkungan, evolute
1. Pendahuluan
Suatu kurva dalam bentuk fungsi ekplisit yang kontinu dan differensiabel di suatu titik 𝑃𝑃(𝑥𝑥0,𝑦𝑦0) pada 𝑅𝑅2, memiliki sifat-sifat kelengkungan dengan persamaan lingkaran kelengkungan serta evolute dititik tersebut. Sifat-sifat tersebut akan dikaji dalam bentuk fungsi parameter dan bentuk polar. Dalam perkembangannya, sifat-sifat kelengkungan merupakan teorema-teorema yang akan dibuktikan dan dapat digunakan untuk merepresentasikan sifat-sifat kelengkungan (lihat [2]). Seringkali sifat-sifat kelengkungan langsung menggunakan formulasi-formulasi dan langsung diterapkan dalam bidang ilmu lainnya yang berkaitan dalam geometri differensial.
Dalam makalah ini akan dilakukan kajian tentang sifat-sifat kelengkungan baik dalam bentuk fungsi ekplisit, dalam bentuk fungsi parameter maupun dalam bentuk fungsi polar, dengan meberikan contoh-contoh. Sebelum mengkaji permasalahan dibutuhkan dahulu aplikasi turunan dalam mencari panjang kurva yang kontinu dan differensiabel pada interval (𝑎𝑎,𝑏𝑏)∈ 𝑅𝑅1.
2.
Kurva Pada Bidang
𝑅𝑅2Makalah ini akan mengkaji suatu kurva pada bidang 𝑅𝑅2 dengan memiliki unsur-unsur kelengkungan, persamaan lingkaran kelengkungan serta evolute. Suatu kelengkukan dari kurva persamaan, adalah merupakan laju perubahan sudut terhadap panjang suatu kurva. Akibatnya kurva persamaan tersebut harus kontinu dan differesiabel pada selang tertentu.
Kajian kelengkungan, merupakan salah satu aplikasi turunan dan unsur yang dimiliki oleh suatu kurva pada suatu titik. Ketiga bentuk persamaan, memiliki hubungan yang saling keterkaitan dan sangat penting untuk dikaji sebelumnya. Dalam proses untuk mendapatkan nilai kelengkukan dari fungsi yang kontinu dan differensiabel, perlu dikaji hubungan dan mendefinisikan turunan atau differensial dari bentuk-bentuk fungsi.Hubungan dalam proses untuk mendapatkan nilai
kelengkukan dari fungsi yang kontinu dan differensiabel, perlu dikaji hubungan dan mendefinisikan turunan atau differensial dari bentuk-bentuk fungsi.
3.
Metode Penelitian
Tujuan utama pada makalah ini adalah menurunkan atau mebuktikan rumus kelengkungan suatu kurva yang berbentuk fungsi parameter dan bentuk polar atau kutub. Beberapa pertanyaan utama yang diteliti adalah
• Bagaimana persamaan suatu kelengkungan dari suatu fungsi, jika disajikan dalam bentuk ekplisit atau parameter ataupun dalam bentuk polar ?
• Kajian kelengkungan mana yang memberikan hasil yang lebih mudah dan cepat untuk diperoleh nilai kelengkungan?
Untuk menjawab pertanyaan utama tersebut, dalam makalah ini digunakan hubungan fungsi-fungsi ekplisit, parameter dan fungsi dalam bentuk polar atau kutub.Proses untuk mendapatkan nilai suatu kelengkungan diperlukan bagaimana untuk mendapatkan turunan dari suatu fungsi baik dalam bentuk ekplisit atau parameter maupun dalam bentuk polar.
4.
Hasil dan Pembahasan
Sebelum mengkaji kelengkungan, terlebih dahulu mengkaji hubungan kurva persamaan ekplisit dan polar atau kutub, mendefinisikan turunannya, serta panjang kurva.
1. Hubungan antara koordinat kutub dan koordinat siku-siku, ditunjukan pada gambar :
dengan hubungan �𝑥𝑥= 𝑟𝑟cos𝜃𝜃
𝑦𝑦= 𝑟𝑟sin𝜃𝜃 atau �
𝑟𝑟2 =𝑥𝑥2+𝑦𝑦2
𝑡𝑡𝑡𝑡𝜃𝜃 =𝑦𝑦𝑥𝑥 (1)
2. Turunan dari fungsi 𝑦𝑦 =𝑓𝑓(𝑥𝑥) terhadap 𝑥𝑥 didefinisikan: 𝑦𝑦′ =𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙
∆𝑥𝑥→0
𝑓𝑓(𝑥𝑥+∆𝑥𝑥)− 𝑓𝑓(𝑥𝑥)
∆𝑥𝑥 (2)
dan urunan dari fungsi �𝑥𝑥 =𝑓𝑓(𝑡𝑡)
𝑦𝑦= 𝑡𝑡(𝑡𝑡) didefinisikan: 𝑦𝑦′ =𝑑𝑑𝑦𝑦�𝑑𝑑𝑡𝑡 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑡𝑡 � ; 𝑦𝑦 ′′ =𝑑𝑑𝑦𝑦 ′ 𝑑𝑑𝑡𝑡 � 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑡𝑡 � ; . . . ; 𝑦𝑦 (𝑛𝑛)= 𝑑𝑑𝑦𝑦(𝑛𝑛−1) 𝑑𝑑𝑡𝑡 � 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑡𝑡 � (3) 𝑌𝑌 𝑦𝑦=𝑟𝑟𝑟𝑟𝑙𝑙𝑛𝑛𝜃𝜃 𝑃𝑃(𝑥𝑥,𝑦𝑦) atau 𝑃𝑃(𝑟𝑟,𝜃𝜃) 𝑟𝑟 𝑥𝑥=𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝜃𝜃 𝜃𝜃 𝑋𝑋 Gambar 1
3. Jika fungsi kontinu pada [𝑎𝑎,𝑏𝑏], masing-masing kurva didefinisikan, untuk fungsi 𝑦𝑦=𝑓𝑓(𝑥𝑥), derivatif panjang kurva:
𝑑𝑑𝑟𝑟 𝑑𝑑𝑥𝑥= �1 +� 𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑥𝑥� 2 (4) untuk fungsi �𝑥𝑥= 𝑓𝑓(𝑡𝑡)
𝑦𝑦=𝑡𝑡(𝑡𝑡), derivatif panjang kurva:
𝑑𝑑𝑟𝑟
𝑑𝑑𝑡𝑡 =��𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑡𝑡� 2
+�𝑑𝑑𝑦𝑦𝑑𝑑𝑡𝑡�2 (5)
untuk fungsi 𝑟𝑟=𝑓𝑓(𝜃𝜃), derivatif panjang kurva: 𝑑𝑑𝑟𝑟 𝑑𝑑𝜃𝜃=�𝑟𝑟2+� 𝑑𝑑𝑟𝑟 𝑑𝑑𝜃𝜃� 2 (6)
Suatu kurva dalam bentuk fungsi ekplisit yang kontinu dan differensiabel. Pandang fungsi 𝑦𝑦 =𝑓𝑓(𝑥𝑥) maka kelengkungan dititik 𝑃𝑃 didefinisikan sebagai berikut:
Definisi 4.1: Diberikan sebarang titik 𝑃𝑃 dan 𝑄𝑄 lihat pada Gambar 1, adalah berdekatan dan terletak pada kurva 𝑦𝑦 =𝑓𝑓(𝑥𝑥) yang kontinu dan differensibel, maka kelengkungan di titik 𝑃𝑃 didefinisikan: 𝒦𝒦 =𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑄𝑄→𝑃𝑃∆𝛼𝛼 ∆𝑟𝑟 ⇔ 𝒦𝒦 =𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙∆𝑟𝑟→0 ∆𝛼𝛼 ∆𝑟𝑟 ⇔ 𝒦𝒦= 𝑑𝑑𝛼𝛼 𝑑𝑑𝑟𝑟 dengan jari-jari kelengkungan adalah 𝜌𝜌= 1
𝒦𝒦.
Hasil dari definisi dikembangkan untuk mendapatkan rumus kelengkungan pada teorema berikut: ∆𝒔𝒔
.
.
.
Y 𝛼𝛼 O 𝛼𝛼+∆𝛼𝛼 X Q y = f(x) ∆𝛼𝛼 A s P Gambar 2Teorema 4.1: Diberikan kurva fungsi eksplisit 𝑦𝑦= 𝑓𝑓(𝑥𝑥) yang kontinu dan differensiabel. Maka kelengkungan dan jari-jari kelengkungan dari kurva masing-masing adalah:
𝒦𝒦= 𝑦𝑦′′
[1+(𝑦𝑦′)2]3�2 dan 𝜌𝜌=
�1+�𝑦𝑦′�2�3�2
𝑦𝑦′′ . (7) Bukti: Menurut aturan berantai, didefinisikan bahwa: 𝒦𝒦= 𝑑𝑑𝛼𝛼
𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑟𝑟 ⇔𝒦𝒦= 𝑑𝑑𝛼𝛼 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑟𝑟 . Dari Persamaan (4) 𝑑𝑑𝑟𝑟 𝑑𝑑𝑥𝑥 = �1 + (𝑦𝑦′)2 ⇔ 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑟𝑟 = 1 �1+(𝑦𝑦′)2 dengan 𝑡𝑡𝑡𝑡𝛼𝛼 =𝑦𝑦′ ⇔ 𝛼𝛼= 𝑎𝑎𝑟𝑟𝑟𝑟𝑡𝑡𝑡𝑡𝑦𝑦′ ⇔ 𝑑𝑑𝛼𝛼 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 𝑦𝑦′′
1+(𝑦𝑦′)2 dan disubstitusikan ke persamaan 𝒦𝒦= 𝑑𝑑𝛼𝛼 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑟𝑟, didapat kelengkungan 𝒦𝒦= 𝑦𝑦′′ 1+(𝑦𝑦′)2 1 �1+(𝑦𝑦′)2 ⇔ 𝒦𝒦= 𝑦𝑦′′ [1+(𝑦𝑦′)2]3�2 dengan 𝜌𝜌= �1+�𝑦𝑦′�2�3�2 𝑦𝑦′′ . ∎
Diberikan pusat kelengkungan 𝐶𝐶(𝑋𝑋,𝑌𝑌) dari kurva 𝑦𝑦 =𝑓𝑓(𝑥𝑥) (pada gambar 3), didapat:
𝑋𝑋= 𝑥𝑥 − 𝜌𝜌sin𝛼𝛼 dan 𝑌𝑌=𝑦𝑦+𝜌𝜌 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 𝛼𝛼 (8)
Menurut Teorema 4.1 dan dari 𝑡𝑡𝑡𝑡𝛼𝛼=𝑦𝑦′ ⇒ sin𝛼𝛼= 𝑦𝑦′
�1+(𝑦𝑦′)2 dan 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 𝛼𝛼 = 1
�1+(𝑦𝑦′)2 jika disubstitusikan ke persamaan (8), didapat: 𝑋𝑋=𝑥𝑥 −𝑦𝑦
′�1+�𝑦𝑦′�2�
𝑦𝑦′′ dan 𝑌𝑌= 𝑦𝑦+
1+�𝑦𝑦′�2
𝑦𝑦′′ (9) dengan persamaan lingkaran kelengkungan (𝑥𝑥 − 𝑋𝑋)2+ (𝑦𝑦 − 𝑌𝑌)2 =𝜌𝜌2.
Tempat kedudukan dari pusat-pusat kelengkungan untuk semua titik pada kurva dikatakan evolute dan diperoleh dengan eliminasi 𝑥𝑥 dan 𝑦𝑦 dari persamaan (9).
.
𝐶𝐶(𝑥𝑥,𝑦𝑦).
𝛼𝛼 𝛼𝛼 𝛼𝛼 𝑃𝑃(𝑥𝑥,𝑦𝑦) 𝑦𝑦=𝑓𝑓(𝑥𝑥) Gambar 3 Q X Y O NBerdasarkan Teorema 4.1 dikembangkan untuk mengkaji kelengkungan kurva parameter dan kurva kutub atau polar.
Teorema 4.2: Diberikan kurva fungsi parameter 𝑥𝑥= 𝑓𝑓(𝑡𝑡) ;𝑦𝑦 =𝑡𝑡(𝑡𝑡) yang kontinu dan differensiabel, maka kelengkungan kurva:
𝒦𝒦=𝑡𝑡′′(𝑡𝑡)𝑓𝑓′(𝑡𝑡)− 𝑡𝑡′(𝑡𝑡)𝑓𝑓′′(𝑡𝑡)
[{𝑓𝑓′(𝑡𝑡)}2+ {𝑡𝑡′(𝑡𝑡)}2]3�2 (10)
Bukti: Menurut definisi turunan �𝑥𝑥= 𝑓𝑓(𝑡𝑡) 𝑦𝑦= 𝑡𝑡(𝑡𝑡) ⇒ � 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑡𝑡 =𝑓𝑓′(𝑡𝑡) 𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑡𝑡 = 𝑡𝑡′(𝑡𝑡) ⇒ 𝑦𝑦′ = 𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑡𝑡 � 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑡𝑡 � ⇔ 𝑦𝑦′ = 𝑡𝑡′(𝑡𝑡) 𝑓𝑓′(𝑡𝑡)⇒ (𝑦𝑦′)2 =�𝑡𝑡′(𝑡𝑡) 𝑓𝑓′(𝑡𝑡)� 2 dan 𝑦𝑦′′ = 𝑑𝑑𝑦𝑦′ 𝑑𝑑𝑡𝑡 � 𝑑𝑑𝑥𝑥�𝑑𝑑𝑡𝑡 ⇔𝑦𝑦′′ �𝑡𝑡 ′′(𝑡𝑡)𝑓𝑓′(𝑡𝑡)−𝑡𝑡′(𝑡𝑡)𝑓𝑓′′(𝑡𝑡)� �𝑓𝑓� ′(𝑡𝑡)�2 𝑓𝑓′(𝑡𝑡) ⇔𝑦𝑦′′ =�𝑡𝑡′′(𝑡𝑡)𝑓𝑓′(𝑡𝑡)−𝑡𝑡′(𝑡𝑡)𝑓𝑓′′(𝑡𝑡)� �𝑓𝑓′(𝑡𝑡)�3 . Kemudian (𝑦𝑦′)2 dan 𝑦𝑦′′ disubstitusikan ke persamaan (7) didapat:
𝒦𝒦 =�𝑡𝑡′′(𝑡𝑡)𝑓𝑓′(𝑡𝑡)−𝑡𝑡′(𝑡𝑡)𝑓𝑓′′(𝑡𝑡)� �𝑓𝑓′(𝑡𝑡)� 3 � �1+�𝑡𝑡′𝑓𝑓′((𝑡𝑡𝑡𝑡))�2� 3�2 , disederhanakan didapat 𝒦𝒦 =𝑡𝑡[{𝑓𝑓′′(𝑡𝑡)𝑓𝑓′(𝑡𝑡)}′(𝑡𝑡)−𝑡𝑡2 ′(𝑡𝑡)𝑓𝑓′′(𝑡𝑡) +{𝑡𝑡′(𝑡𝑡)}2]3�2 . ∎
Teorema 4.3: Diberikan kurva polar 𝑟𝑟=𝑓𝑓(𝜃𝜃) yang kontinu dan differensiabel, maka kelengkungan kurva:
𝒦𝒦 =𝑟𝑟 2+ 2�𝑑𝑑𝑟𝑟 𝑑𝑑𝜃𝜃� 2 − 𝑟𝑟 𝑑𝑑𝑑𝑑𝜃𝜃2𝑟𝑟2(𝑡𝑡)− 𝑡𝑡′(𝑡𝑡)𝑓𝑓′′(𝑡𝑡) [{𝑓𝑓′(𝑡𝑡)}2+ {𝑡𝑡′(𝑡𝑡)}2]3�2 (11)
Bukti: Dari hubungan koordinat cartesius dan kutub, didapat:
� 𝑟𝑟= 𝑓𝑓(𝜃𝜃) 𝑥𝑥=𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝜃𝜃 𝑦𝑦=𝑟𝑟𝑟𝑟𝑙𝑙𝑛𝑛𝜃𝜃 ⇒� 𝑑𝑑𝑟𝑟 𝑑𝑑𝜃𝜃 =𝑓𝑓′(𝜃𝜃) 𝑥𝑥= 𝑓𝑓(𝜃𝜃)𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝜃𝜃 𝑦𝑦= 𝑓𝑓(𝜃𝜃)𝑟𝑟𝑙𝑙𝑛𝑛𝜃𝜃 ⇒� 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑑𝑑𝜃𝜃 = 𝑓𝑓′(𝜃𝜃)𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝜃𝜃 − 𝑓𝑓(𝜃𝜃)𝑟𝑟𝑙𝑙𝑛𝑛𝜃𝜃 𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑑𝑑𝜃𝜃 = 𝑓𝑓′(𝜃𝜃)𝑟𝑟𝑙𝑙𝑛𝑛𝜃𝜃+𝑓𝑓(𝜃𝜃)𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝜃𝜃 ⇔ � 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑑𝑑𝜃𝜃 = 𝑑𝑑𝑟𝑟 𝑑𝑑𝜃𝜃𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝜃𝜃 − 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑙𝑙𝑛𝑛𝜃𝜃 𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑑𝑑𝜃𝜃 = 𝑑𝑑𝑟𝑟 𝑑𝑑𝜃𝜃𝑟𝑟𝑙𝑙𝑛𝑛𝜃𝜃+𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝜃𝜃 (12)
menurut aturan berantai :
𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑥𝑥 =𝑦𝑦′ = 𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑑𝑑𝜃𝜃 � 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑑𝑑𝜃𝜃 � ⇔ 𝑦𝑦′ = 𝑟𝑟𝑙𝑙𝑛𝑛𝜃𝜃𝑑𝑑𝑟𝑟𝑑𝑑𝜃𝜃+𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝜃𝜃 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝜃𝜃𝑑𝑑𝜃𝜃𝑑𝑑𝑟𝑟−𝑟𝑟𝑟𝑟𝑙𝑙𝑛𝑛𝜃𝜃. (13)
[1 + (𝑦𝑦′)2]32= �1 +�𝑟𝑟𝑙𝑙𝑛𝑛𝜃𝜃 𝑑𝑑𝑟𝑟 𝑑𝑑𝜃𝜃+𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝜃𝜃 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝜃𝜃𝑑𝑑𝜃𝜃𝑑𝑑𝑟𝑟−𝑟𝑟𝑟𝑟𝑙𝑙𝑛𝑛𝜃𝜃� 2 � 3 2 ⇔ [1 + (𝑦𝑦′)2]32 = �𝑟𝑟 2+�𝑑𝑑𝑟𝑟 𝑑𝑑𝜃𝜃� 2 � 3�2 �𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝜃𝜃𝑑𝑑𝑟𝑟𝑑𝑑𝜃𝜃−𝑟𝑟𝑟𝑟𝑙𝑙𝑛𝑛𝜃𝜃 �3. (14) Persamaan (10) diturunkan terhadap 𝜃𝜃: 𝑑𝑑𝑦𝑦′
𝑑𝑑𝜃𝜃 = 𝑑𝑑 𝑑𝑑𝜃𝜃� 𝑟𝑟𝑙𝑙𝑛𝑛𝜃𝜃𝑑𝑑𝑟𝑟𝑑𝑑𝜃𝜃+𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝜃𝜃 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝜃𝜃𝑑𝑑𝑟𝑟𝑑𝑑𝜃𝜃−𝑟𝑟𝑟𝑟𝑙𝑙𝑛𝑛𝜃𝜃� ⇔ 𝑑𝑑𝑦𝑦′ 𝑑𝑑𝜃𝜃 = 𝑟𝑟2+2�𝑑𝑑𝑟𝑟 𝑑𝑑𝜃𝜃� 2 −𝑟𝑟𝑑𝑑𝑑𝑑𝜃𝜃2𝑟𝑟2 �𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝜃𝜃𝑑𝑑𝑟𝑟𝑑𝑑𝜃𝜃−𝑟𝑟𝑟𝑟𝑙𝑙𝑛𝑛𝜃𝜃 �2 dan didapat: 𝑦𝑦′′ = 𝑑𝑑𝑦𝑦′ 𝑑𝑑𝜃𝜃 � 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑑𝑑𝜃𝜃 � ⇔ 𝑦𝑦′′ = 𝑟𝑟2+2�𝑑𝑑𝑟𝑟 𝑑𝑑𝜃𝜃� 2 −𝑟𝑟𝑑𝑑𝑑𝑑𝜃𝜃2𝑟𝑟2 �𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝜃𝜃𝑑𝑑𝜃𝜃𝑑𝑑𝑟𝑟−𝑟𝑟𝑟𝑟𝑙𝑙𝑛𝑛𝜃𝜃 �3. (15)
Persamaan (11) dan (12), disubstitusikan ke persamaan (4) didapat
𝒦𝒦= 𝑟𝑟2+2�𝑑𝑑𝑟𝑟𝑑𝑑𝜃𝜃� 2 −𝑟𝑟𝑑𝑑𝜃𝜃𝑑𝑑2𝑟𝑟2 �𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝜃𝜃𝑑𝑑𝜃𝜃𝑑𝑑𝑟𝑟−𝑟𝑟𝑟𝑟𝑙𝑙𝑛𝑛𝜃𝜃 �3 �𝑟𝑟2+�𝑑𝑑𝑟𝑟 𝑑𝑑𝜃𝜃� 2 � 3�2 �𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝜃𝜃𝑑𝑑𝑟𝑟𝑑𝑑𝜃𝜃−𝑟𝑟𝑟𝑟𝑙𝑙𝑛𝑛𝜃𝜃 �3 � ⇔𝒦𝒦= 𝑟𝑟 2+2�𝑑𝑑𝑟𝑟 𝑑𝑑𝜃𝜃� 2 −𝑟𝑟𝑑𝑑𝜃𝜃𝑑𝑑2𝑟𝑟2 �𝑟𝑟2+�𝑑𝑑𝑟𝑟 𝑑𝑑𝜃𝜃� 2 � 3 2 � . ∎ Salah satu aplikasi kelengkungan sering dipakai pada pergerakan suatu benda yang sepanjang kurva reguler 𝛼𝛼(𝑟𝑟) yang diasumsikan sebagai kecepatan benda tersebut, sebagai contoh pada teorema Frenet-Serret.
Teorema 4.4 (Teorema Frenet-Serret): Jika 𝛼𝛼(𝑟𝑟), adalah kurva satuan kecepatan regular dengan kelengkungan tidak nol, maka
𝑇𝑇′ = 𝒦𝒦(𝑟𝑟)𝑁𝑁(𝑟𝑟); 𝑁𝑁′(𝑟𝑟) =−𝒦𝒦(𝑟𝑟)𝑇𝑇(𝑟𝑟) +𝜏𝜏(𝑟𝑟)𝐵𝐵(𝑟𝑟); 𝐵𝐵′(𝑟𝑟) =−𝜏𝜏(𝑟𝑟)𝑁𝑁(𝑟𝑟) (16) Persamaan (16) disebut kerangka Frenet-Serret pada 𝑅𝑅3 yang ortonormal.
5.
Kesimpulan
Berdasarkan hasil-hasil pada bagian sebelumnya dapat ditarik kesimpulan:
1. Kelengkungan adalah perubahan sudut antara garis singgung dengan kurva terhadap panjang kurva di suatu titik yang terletak pada kurva, dan jari-jari kelengkungan didefinisikan dengan seper-kelengkungan.
2. Suatu kurva persamaan akan memiliki nilai kelengkungan dengan syarat kontinu dan differensiabel.
3. Kelengkugan dari kurva persamaan parameter 𝑥𝑥= 𝑓𝑓(𝑡𝑡) ;𝑦𝑦 =𝑡𝑡(𝑡𝑡) yang kontinu dan differensiabel, didefinisikan: 𝒦𝒦= 𝑡𝑡′′(𝑡𝑡)𝑓𝑓′(𝑡𝑡)−𝑡𝑡′(𝑡𝑡)𝑓𝑓′′(𝑡𝑡)
[{𝑓𝑓′(𝑡𝑡)}2+{𝑡𝑡′(𝑡𝑡)}2]3�2 .
4. Kelengkungan dari kurva persamaan 𝑟𝑟= 𝑓𝑓(𝜃𝜃) yang kontinu dan differensiabel, didefinisikan: 𝒦𝒦= 𝑟𝑟 2+2�𝑑𝑑𝑟𝑟 𝑑𝑑𝜃𝜃� 2 −𝑟𝑟𝑑𝑑𝑑𝑑𝜃𝜃2𝑟𝑟2(𝑡𝑡)−𝑡𝑡′(𝑡𝑡)𝑓𝑓′′(𝑡𝑡) [{𝑓𝑓′(𝑡𝑡)}2+{𝑡𝑡′(𝑡𝑡)}2]3�2 .
Daftar Pustaka
[1] John McCleary., Geometry From A Differentiable Viewpoint, Cambridge University Press, 1994.
