D i b u a t O l e h P a k S u k a n i ; E m a i l : L i k e n y _ r b g @ y a h o o . c o m Page 1 PERSAMAAN LINGKARAN
a. Persamaan lingkaran dengan titik pusatnya O (0, 0) dan jari-jarinya R
x2 + y2 = R2 atau R x2 y2
Contoh : 1
Tentukan persamaan lingkaran yang pusatnya O (0, 0) dan : a. Berjari-jari 6 b. Melalui tiik (6, 8)
Jawab :
a. Berjari-jari r = 6 b. Melalui titik (6, 8)
x2 + y2 = 62 x2 + y2 = 36 R = 62 82 = 3664 = 100 = 10 x2 + y2 = 102 x2 + y2 = 100
b. Persamaan lingkaran yang pusatnya P (a, b) dan berjari-jari R
A (x, y) PA = R
R (xa)2 (yb)2 R atau :
P (a, b) (x – a)2 + (y – b)2 = R2
Contoh : 2
Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran berikut :
a. (x – 4)2 + (y + 2)2 = 49 b. (x + 3)2 + y2 = 25 c. x2 + (y – 5)2 = 36 c. x2 + y2 = 64 Jawab :
a. (x – 4)2 + (y + 2)2 = 49 b. (x + 3)2 + y2 = 25
Pusat = (4, -2) dan R = 49 = 7 Pusat = (-3, 0) dan R = 25 = 5
c. x2 + (y – 5)2 = 36 d. x2 + y2 = 64
Pusat = (0, 5) dan R = 36 = 6 Pusat = (0, 0) dan R = 64 = 8
Contoh 3 :
Tentukan persamaan lingkaran dengan :
a. Pusat (2, 5) dan R = 7 b. Pusat (3, -1) dan menyinggung sumbu y Jawab :
a. (x – a)2 + (y – b)2 = R2 b. Karena menyinggung sumbu y, maka R = 3 (x – 2)2 + (y – 5) = 72 (x – 3)2 + (y – (-1))2 = 32
(x – 2)2 + (y – 5)2 = 49 (x – 3)2 + (y + 1)2 = 9
Contoh 4 :
Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di titik (4, 3) dan menyinggung garis 3x + 4y + 1 = 0.
Jawab : 3x + 4y + 1 = 0
2 2
1 1
B A
C By Ax R
(4, 3) R =
2 2
4 3
1 ) 3 . 4 ( ) 4 . 3 (
D i b u a t O l e h P a k S u k a n i ; E m a i l : L i k e n y _ r b g @ y a h o o . c o m Page 2
R =
25 1 12 12
=
5 25
= 5
Persamaan lingkaran : (x – 4)2 + (y – 3) = 52 (x – 4)2 + (y – 3) = 25
c. Persamaan Umum Lingkaran
x2 + y2 + Ax + By + C = 0
Dengan pusat lingkaran P { 2 1 A ,
2 1
B} dan jari-jari R = A2 B2 C 4
1 4
1
Contoh 5 :
Tentukan persamaan umum lingkaran yang berpusat di titik (3, 1) dan berjari-jari R = 5 Jawab :
Pusat = (3, 1) dan R = 5 (x – 3)2 + (y – 1)2 = 52
x2– 6x + 9 + y2– 2y + 1 = 25 x2 + y2– 6x – 2y + 9 + 1 – 25 = 0 x2 + y2– 6x – 2y – 15 = 0
Contoh 6 :
Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran dari persamaan umum lingkaran : a. x2 + y2 + 8x – 6y + 9 = 0 b. x2 + y2– 2x + 10y – 23 = 0 Jawab :
a. Pusat = ( 2 1 . A ,
2 1
. B) = ( 2 1 . 8 ,
2 1
. (-6) = (-4, 3)
Jari-jari R = A2 B2 C
4 1 4
1
= ( 6) 9 4
1 8 4
1 2 2
= 1699 = 16 = 4
b. Pusat = ( 2 1 . A ,
2 1
. B) = ( 2 1
. (-2) , 2 1
. 10) = (1, -5)
Jari-jari R = A2 B2 C
4 1 4
1
= (10) ( 23) 4 1 ) 2 ( 4
1 2 2
= 12523 = 49 = 7 Soal laihan :
1. Tentukan persamaan lingkaran dengan pusat dan jari-jari :
a. Pusat = (3, -2) dan R = 4 b. Pusat (0, 0) dan R = 10 Jawab :
……… ……… 2. Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran dari persamaan lingkaran :
a. (x + 5)2 + (y – 3)2 = 9 b. x2 + (y + 1)2 = 25 Jawab :
……….. ……….. 3. Tentukan persamaan lingkaran yang perpusat di titik (4, -2) dan menyinggung :
a. sumbu x b. sumbu y Jawab :
……….. ……….. 4. Tentukan persamaan umum lingkaran jika :
D i b u a t O l e h P a k S u k a n i ; E m a i l : L i k e n y _ r b g @ y a h o o . c o m Page 3
Jawab :
……….. ……….. 5. Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran dari persamaan umum lingkaran :
a. x2 + y2– 4x + 8y – 5 = 0 b. x2 + y2 + 6x – 2y + 1 = 0 Jawab :
……….. ………..
E. Persamaan Garis Singgung
a. Persamaan garis singgung pada lingkaran x2 + y2 = R2 di titik (x1, y1) adalah :
x1 x + y1 y = r2
Contoh 1 :
Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 = 52 di titik (4, 6) Jawab :
x1 x + y1 y = r2 x1 = 4 dan y1 = 6 4x + 6y = 52
Contoh 2 :
Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 = 25 di titik yang ordinatnya 4. Jawab :
x1 x + y1 y = r2 y1 = 4
x2 + 42 = 25 x2 = 25 – 16 = 9 x = 3
untuk x = 3 3x + 4y = 25 untuk x = –3 –3x + 4y = 25
b. Persamaan garis singgung lingkaran (x – a)2 + (y – b)2 = R2 dan melalui titik (x1, y1) adalah :
(x1– a) (x – a) + (y1– b ) (y – b) = R2
Contoh 3 :
Tentukan persamaan garis yang menyinggung lingkaran (x + 2)2 + (y – 3)2 = 25 yang melalui titik (4, 2).
Jawab :
Persamaan garis yang melalui titik (4, 2) : (x1 + 2) (x + 2) + (y1– 3 ) (y – 3) = 25 (4 + 2) (x + 2) + (2 – 3) (y – 3) = 25 6x + 12 – y + 3 – 25 = 0
6x – y – 10 = 0
c. Persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 + Ax + By + C = 0 di titik (x1, y1) adalah :
x1x +y1y +
2 1
Ax1 +
2 1
Ax +
2 1
By1 +
2 1
By + C = 0
Contoh : 4
Tentukan persamaan garis yang menyinggung lingkaran x2 + y2 – 4x + 8y + 4 = 0 melaui titik (3, 5).
Jawab :
x1x +y1y +
2 1
(-4)x1 +
2 1
(-4)x +
2 1
(8)y1 +
2 1
(8)y + 4 = 0
D i b u a t O l e h P a k S u k a n i ; E m a i l : L i k e n y _ r b g @ y a h o o . c o m Page 4
x + 9y – 6 + 20 + 4 = 0 x + 9y + 18 = 0
Soal latihan
1. Tentukan persamaan garis yang menyinggung lingkaran x2 + y2 = 40 di titik dengan absis = 2.
Jawab :
……….. 2. Tentukan persamaan garis yang menyinggung lingkaran x2 + y2 = 65 di titik (7, -4).
Jawab :
………..
3. Tentukan persamaan garis yang menyinggung lingkaran (x + 2)2 + (y – 3)2 = 25 di titik (2, 0).
Jawab :
………..
4. Tentukan persamaan garis yang melalui titik (2, -3) dan menyinggung lingkaran (x – 4)2 + (y + 1)2– 32 = 0.
Jawab :
……….. 5. Tentukan persamaan garis yang menyinggung lingkaran x2 + y2 + 6x – 4y – 45 = 0 di titik
(4, -1) Jawab :
………..
EVALUASI 7
A. Pilihlah jawaban yang paling benar !
1. Persamaan lingkaran yang pusatnya di titik O (0, 0) dan melaui titik (3, 5) adalah …. a. x2 + y2 = 4 c. x2 + y2 = 8 e. x2 + y2 = 34 b. x2 + y2 = 34 d. x2 + y2 = 16
2. Persamaan lingkarran yang pusatnya (4, 3) dan menyinggung sumbu x adalah ….
a. x2 + y2 = 9 c. (x – 4)2 + (y – 3)2 = 9 e. (x + 4)2 + (y + 3)2 = 16 b. x2 + y2 = 16 d. (x – 4)2 + (y – 3)2 = 16
3. Persamaan lingkaran yang pusatnya (2, -1) dan menyinggung sumbu y adalah …. a. (x – 2)2 + (y + 1)2 = 4 c. (x2 + 2)2 + (y – 1)2 = 1 e. (x + 2)2 + (y + 1)2 = 4 b. (x2– 2)2 + (y + 1)2 = 1 d. (x2 + 2)2 + (y – 1)2 = 4
4. Pusat dan jari-jari lingkaran x2 + y2 + 6x – 8y –11 = 0 adalah ….
a. P (3, 4) dan R = 6 c. P (3, -4) dan R = 6 e. P (4, -3) dan R = 6 b. P (-3, 4) dan R = 6 d. P (-3, -4) dan R = 6
5. Bentuk baku dari persamaan lingkaran x2 + y2 + 6x – 4y –12 = 0 adalah ….
a. (x + 3)2 + (y – 2)2 = 25 c. (x + 3)2 + (y + 2)2 = 25 e. (x – 3)2 + (y – 2)2 = 25 b. (x – 3)2 + (y + 2)2 = 25 d. (x + 2)2 + (y – 3)2 = 25
6. Bentuk umum persamaan lingkaran dengan pusat (3, -2) dan jari-jari 7 adalah …. a. x2 + y2 + 6x – 4y + 36 = 0 d. x2 + y2– 6x + 4y – 36 = 0
b. x2 + y2– 6x + 4y + 36 = 0 e. x2 + y2– 6x – 4y – 36 = 0 c. x2 + y2 + 6x + 4y + 36 = 0
7. Persamaan garis yang menyinggung lingkaran x2 + y2 = 20 di titik (4, -2) adalah …. a. 4x – 2y – 20 = 0 c. 2x – 4y – 20 = 0 e. 4x + 2y + 20 = 0 b. 4x + 2y - 20 = 0 d. 4x – 2y + 20 = 0
8. Persamaan garis yang menyinggung lingkaran x2 + y2 = 45 pada titik dengan ordinat = 6 adalah ….
a. 6x2 + 3y2 = 45 c. 6x2– 3y2 = 45 e. –3x2– 6y2 = 45 b. 3x2– 6y2 = 45 d. –3x2 + 6y2 = 45
9. Persamaan garis yang menyingung lingkaran (x – 2)2 + (y – 3)2 = 25 di titik (5, 7) adalah ….
D i b u a t O l e h P a k S u k a n i ; E m a i l : L i k e n y _ r b g @ y a h o o . c o m Page 5
10. Persamaan garis yang menyinggung lingkaran x2 + y2– 4x + 6y – 12 = 0 di titik (5, 1) adalah ….
a. 4x + 3y – 19 = 0 c. 3x + 4y – 19 = 0 e. 3x – 4y + 19 = 0 b. 4x – 3y – 19 = 0 d. 3x + 4y + 19 = 0
B. Jawablah pertanyaan di bawah ini dengan benar.
1. Tentukan bentuk baku persamaan lingkaran dengan pusat (-5, 2) dan jari-jari = 4. Jawab :
………...
2. Tentukan pusat dan jari-jari dari persamaan lingkaran x2 + y2– 10x + 2y + 17 = 0. Jawab :
………..
3. Ubah bentuk baku persamaan lingkaran (x + 3)2 + (y + 1)2 = 25 ke bentuk umum. Jawab :
………..
4. Tentukan persamaan garis yang menyinggung lingkaran (x – 1)2 + (y + 3)2 = 16 di titik (1, 1).
Jawab :
………..
5. Tentukan persamaan garis yang menyinggung lingkaran x2 + y2 – 4x – 2y – 20 = 0 di titik (7, 1).
Jawab :