PERSAMAAN PARABOLA
1. Persamaan parabola dengan puncak P (0, 0)
a. Persamaan parabola dengan sumbu simetri sumbu x
Persamaan parabola dengan puncak P (0, 0) dengan sumbu simetri sumbu x dan parameter p adalah :
y2 = 4px
Dengan fokus F (p, 0) dan direktriks x = –p Contoh 1 :
Diketahui persamaan parabola : y2 = 16x. Tentukan ; a. Koordinat puncak b. Persamaan direktriks b. Koordinat fokus d. sket grafiknya Jawab :
y2 = 4px 4p = 16 p = 4 a. Koordinat puncak P (0, 0) b. Koordinat fokus F (4, 0) c. Persamaan direktriks x = –p
= –4 d. Sket grafik
y
0 F x x = –4
Contoh 2 :
Tentukan persamaan parabola dan buat sketnya jika puncaknya P (0, 0) dan koordinat fokus F (–2, 0).
Jawab :
Fokus F (–2, 0) p = –2 Direktiks x = –p = 2
Persamaan parabola : y2 = 4px = 4 (–2) x = –8x
Sket grafiknya : y
b. Persamaan parabola dengan sumbu simetri sumbu y
Persamaan parabola dengan puncak P (0, 0) dan sumbu simetri sumbu y adalah : x2 = 4py
Dengan fokus F (0, p) dan direktriks y = –p Contoh 3 :
Tentukan persamaan parabola dan sket grafiknya jika puncaknya (0, 0) dan direktriks y = 3. y
Jawab : y = 3 y = –p p = –3
Fokus F (0, –3)
Persamaan parabola : x2 = 4py 0 x = 4 (–3) y
= –12y F
Contoh 4 :
Diketahui persamaan parabola x2 = 12y. Tentukan :
a. p c. Direktriks
b. Koordinat fokus d. Sket grafik Jawab :
x2 = 4py x2 = 12y y a. 4p = 12 p = 3
b. Koordinat fokus F (0, 3) F c. Direktriks y = –p
= –3
d. Sket grafik : 0 x y = –3
2. Persamaan parabola dengan puncak P (a, b)
Jika puncak parabola P (a, b), maka rumus-rumusnya adalah : a. Sumbu simetrinya sumbu x :
Persaman parabola : (y – b)2 = 4p(x – a) Koordinat fokus : F {(p + a), b}
Direktriks : x = a – p b. Sumbu simetrinya sumbu y :
Persamaan parabola : (x – a)2 = 4p(y – b) Koordinat fokus : F {a, (p + b)}
Contoh 1 :
Tentukan puncak, fokus, direktriks parabola (y – 3)2 = 12 (x + 2) dan buat sket grafiknya. Jawab :
(y – 3)2 = 12 (x + 2) a = –2 ; b = 3 ; dan p = 3 Puncak (–2, 3)
Fokus = {(3 + (–2)), 3} = (1, 3) y Direktriks x = a – p = –2 – 3 = –5
Sket grafik :
P (–2, 3) F (1, 3)
0 x x = –5
Contoh 2 :
Tentukan puncak dan fokus dari parabola y = x2– 4x + 5 Jawab :
Y = x2– 4x + 5 Y = (x – 2)2– 4 + 5 (x – 2)2 = y – 1
(x – 2)2 = 1 (y – 1) a = 2, b = 1, p = 4 1
Puncak : P (2, 1)
Fokus : F = (0 + a, p + b) = (0 + 2, 4 1
+ 1) F = (2, 1
4 1
)
3. Bentuk Umum Persamaan Parabola Sumbu simetris di sumbu x
(y – b)2 = 4p (x – a) y2– 2by + b2 = 4px – 4pa y2– 2by – 4px + b2 + 4pa
y2 + Ay + Bx + C = 0 A = –2b ; B = –4p ; C = b2 + 4pa Sumbu simetris di sumbu y
(x – a)2 = 4p (y – b) x2– 2ax + a2 = 4py – 4pb x2– 2ax – 4py + a2 + 4pb = 0
x2 + Ax + By + C = 0 A = –2a ; B = –4p ; C = a2 + 4pb Contoh 1 :
Jawab :
sumbu simetris di sumbu x a = 3 ; b = 4 ; 4p = 16
A = –2b = –2 . (4) = –8 ; B = –4p = –16 ; C = b2 + 4pa = 42 + 16 (3) = 16 + 48 = 64 Bentuk umum : y2– 8y – 16x + 48 = 0
Contoh 2 :
Tentukan puncak dan fokus dari persamaan parabola : x2 + 10x – 8y + 41 = 0 Jawab :
sumbu simetris di sumbu y A = 10 a =
2 10
= –5 ; B = -8 4p = 8 p = 2 C = 41 C = a2 + 4pb b =
p a C 4 2 = 8 5 41 2
= 8
25 41
= 2 Puncak (a, b) Puncak (–5, 2)
Fokus (a, b + p)
Fokus (–5, 2 + 2) Fokus (–5, 4) Soal latihan :
1. Tentukan puncak, fokus, dan direktriks parabola di bawah ini.
a. y2 = 20x b. x2 = –12y c. (y + 3)2 = 8 (x – 2) d. (x – 1)2 = 16 (y – 4) Jawab :
……….. ………..
2. Tentukan persamaan parabola jika : a. Puncak P (0, 0) dan fokus F (–3, 0) b. Puncak P (–3, 4) dan fokus F (–3, –2) Jawab :
……… ………
3. Tentukan persamaan parabola dengan : a. fokus (2, 0) dan direktriks x = –2 b. puncak (2, 3) dan direktriks y = –2 Jawab :
……… ………
B. Garis Singgung Parabola
Persamaan parabola Garis singgung
y2 = 4px x2 = 4py
y1y = 2px1 + 2px x1x = 2py1 + 2py (y – b)2 = 4p (x – a)
(x – a)2 = 4p (y – b)
(y1– b) (y – b) = 2p (x1– a) + 2p (x – a) (x1– a) (x – a) = 2p (y1– b) + 2p (y – b) y2 + Ay + Bx + C = 0
x2 + Ax + By + C = 0
Contoh : 1
Tentukan persamaan garis yang menyinggung parabola y2 = 4x di titik (4, 4) Jawab :
4p = 4 p = 1 ; x1 = 4 dan y1 = 4 4y = 2 . 4 + 2x
4y = 2x + 8
4y – 2x – 8 = 0 2y – x – 4 = 0 Contoh 2 :
Tentukan persamaan garis yang menyinggung parabola x2 = 8y di titik (–4, 2) Jawab :
4p = 8 p = 2 ; x1 = –4 dan y1 = 2
–4x = 2 . 2 + 2y
4x + 2y + 4 = 0 2x + y + 2 = 0 Contoh 3 :
Tentukan persamaan garis yang menyinggung parabola (y – 1)2 = 12 (x + 2) di titik (1, 7).
Jawab :
4p = 12 p = 3 ; a = –2, b = 1 ; x1 = 1, y1 = 7 (7 – 1) (y – 1) = 6 (1 + 2) + 6 (x + 2)
6 (y – 1) = 18 + 6 (x + 2) 6y – 6 = 18 + 6x + 12 6y – 6x – 30 - 6
6y – 6x – 36 = 0 y – x – 1 = 0 Contoh 4 :
Tentukan persamaan garis yang menyinggung parabola : y2 – 8y – 20x + 76 = 0 di titik (8, –2).
Jawab :
A = –8 ; B = –20 ; C = 76
y1y + ½Ay1 + ½Ay + ½Bx1 + ½Bx + C = 0
–2y + ½(–8)( –2) + ½(–8)y + ½(–20).8 + ½(–20)x + 76 = 0
–2y + 8 – 4y – 80 – 10x + 76 = 0
EVALUASI 8
A. Pilihlah jawaban yang benar.
1. Titik fokus dari persamaan parabola x2 = –12y adalah ....
a. (–12, 0) b. (–6, 0) c. (0, –3) d. (0, 6) d. (0, 12) 2. Persamaan parabola dengan puncak (0, 0) dan direktriksnya y = 5 adalah ....
a. y2 = 20x b. y2 = 10x c. y2 = –20x d. x2 = 20y e. x2 = –20y 3. Persamaan parabola yang mempunyai titik fokus (4, 0) adalah ....
a. y2 = 16x b. y2 = 8x c. y2 = 4x d. x2 = 8y e. x2 = 4y 4. Persamaan parabola dengan puncak (3, –1) dan direktriksnya x = 2 adalah ....
a. (y – 1)2 = 4 (x + 3) d. (x – 1)2 = 4 (y + 3) b. (y – 3)2 = 4 (x + 1) e. (x – 3)2 = 4 (y + 1) c. (y + 1)2 = 4 (x – 3)
5. Persamaan parabola dengan puncak (3, 2) dan titik fokus (3, 5) adalah .... a. (y – 2)2 = 20 (x – 3) d. (x – 3)2 = 12 (y – 2)
b. (y – 2)2 = –20 (x – 3) e. (x – 3)2 = 20 (y – 2) c. (y – 2)2 = 12 (x – 3)
6. Persamaan direktriks dari persamaan parabola : (y + 1)2 = –16 (x – 5) adalah .... a. x = –1 b. x = 9 c. y = 3 d. y = 1 e. y = –5 7. Titik fokus dari parabola x2– 6x – 4y = –1 adalah ....
a. (3, 1) b. (3, –1) c. (–3, 1) d. (–1, 3) e. (1, –3) 8. Persamaan garis yang menyinggung parabola : y2 = 16x di titik (1, 2) adalah ....
a. y – 4x = –4 c. y + 16x = 16 e. 4x – y = –4 b. y – 4x = –16 d. x – 4y = –16
9. Persamaan garis yang menyinggung parabola : y2– 3y – 4 = 2x di titik (–2, 3) adalah .... a. 3y – 2x = 13 c. 2x – 3y = 13 e. 3x – 2y = 13 b. 3y + 2x = 13 d. 2x + 3y = 13
10. Persamaan garis yang menyinggung parabola x2 = 2y di titik (4, 8) adalah .... a. y – 4x = 8 b. 4y + x = 8 c. 4y – x = 8 d. 4x – y = 8 e. 4x + y = 8 B. Jawablah pertanyaan di bawah ini dengan benar.
1. Tentukan puncak, fokus, direktriks dari persamaan parabola : a. (y – 3)2 = 16 (x – 4)
b. (x + 2)2 = –12 (y + 5) Jawab :
... 2. Tentukan persamaan parabola dengan :
a. puncak di titik (3, –2) dan direktriks x = –8 b. puncak di titik (5, 3) dan direktriks y = –3 Jawab :
... 3. Tentukan persamaan parabola dengan :
a. puncak di titik (4, 2) dan fokus (2, 2) b. puncak di titik (–3, 5) dan fokus (–3, 2) Jawab :
... 4. Ubah ke bentuk umum dari persamaan parabola :
………..
5. Tentukan persamaan garis yang menyinggung parabola : a. (y + 1)2 = 24 (x – 3) dititik (2, 4)
b. (x – 4)2 = –16 (y – 1) dititik (6, 3) Jawab :
