Definisi dan Persamaan Parabola

BAB VII

PARABOLA A. Definisi

dan Persamaan

Parabola

Paralrola diclcfinisikan scbagai tempot

kedudukon titik-titik I'ang ^herjaruk

^soma

^dari strotu titik don suatu garis tertentu. Jiko jorak _kedua titik terlentu itu odalah d,

rnaka

selisihiarok itu lebih kecil darid

Misalkan

titik

dan garis tertentu itLr berturut-turut adalah

(, \

^t

fl - p.0 _|

dan .x =

-: ^p.

Perhatikan gambar

VII.I

berikut.

\z )

²

,' -

*1r

Gamhar VII.l

Misal T(.xr,)'r)

adalah

titik

pada tempat keCudukan dan

titik P

terletak pada garis

t

₌

-1,

1

sedemikian

sehirrgga

rP tcgak lurus garis * =-'^ n.

Berdasarkan definisi

2, c-- --o-.. - _{1 r}

parabola. dipenuhi

TP = ^7'F'c)

TPZ = ^T'F-2

e ^(- \,,_ ^r,)? :,), _{-r,1: +}

_r,,1

;L

€)

_-Il ²

_=Z7xr

I{ribtrngan

ini

berlaku untuk koordinat-koordinat _setiap

titik

pada tempat kedudukan.

L)erlgan dernikian tempat kedudr-rkan itu atar"r persamaan parabola itu adalah sebagai berikut.

F=/,,1

Persanraan

ini

disebut persamdon puncok

parabola. Titik ,p

disebut

titik

api (fokus)

dan titik ^O(0.0)

disebut

puncak porohola. Garis * ₌ -! p disebut garis arah

atau

2

ilirektris

parabola. Sedangkan sunrbu

X

scbagai sumbu simetri

pnrabola.

Dalam

hal ini

p

di sebut paramcter parabola.

Geomeki Analitik Bidang 63

x1, ?r)

7

I)engan

memperhatikan persamaan parabola

di

atas, parabola da,rat digatnbarkan sebagai berikut.

Dapat

ditunjukkan simetrinya ^sej ar ar tlengan

Gambar VII.2

bahwa

pcrsamaan ptrrabola dengan puncerk

(u,p) _dan

sumbu sumbu .Y adalah

(Y*f)'=2P(x*ct)

I]. Garis

Singgung

'ferdapat

tiga

nracarn garis singgLrng pada piiral;ola, y'aitu singgung yang dikctalir.ii, gat'is srrtggLtrtg cisttsltii

griidiclt

^rltttu singgung dari suatu

titii:

di luar parlbola.

i- Uaris

singgung dengan koefisien

arah

m.

\4isrrl .Jil<etahrri

garis 8:.)'= ^tn\

⁺

ⁿ

^dan

palubolayz =2p,

^.

g cian paraboia

ini

ciiperoleh dari persamaan berikut.

garis singgruig dengan

titik iclllt

^rlite rttrrklttt-

tlltlt

^{grir is}

Koordinat

titik

potong garis

(mx*n)2 =Zpx +>

fir'^-2 +

{Zrnn" }7i)i:i

ri2

.,

C

irri

rrrsr

utlakan

persaruaall

kuadrat dalam x. Oaris g akan

menyinggung parabola

C i I k ri nr i ir:in pir:-: ii n1

r;i::

k t tadrat tersebut samaden gan 0. yaitu

D=4(mn-p)'*4m2nz =o ^<+ n=+.

ZM Dengan rnensubtititsikan _{n =}

p*

2nr

ke

pcrsamaan garis

g,

diperoleh persamaan garis singgung yang dimaksud,

y"*nr, [:;;4,

_Dapat ciitu,.iukkan bairwii ir.l'si.iiir,.r1i ;irii.5

tl:-]

singgung dengan

ktlcl

rsicn nt pltr!,r gi.il:1rr:ii;

,.-l

(x, _{, _1,} )

y-IJ=m(x-d+!-

Geometri Analitik Bidang 64

;.

\

2. Garis

singgung dengan

titik

singgung yang

diketahui titik

singgungnya

Ir,{rsal diketahui

garis g i!=mx+n

dan parabola

yt =Zpx..lika

^{persamaan garis itu}

disubtitusikan ke persamaan parabola diperoleh

yz =2px * ^{(^*+}

^n\2

_=2p*

e m'x'+(2mn-Zp\r+n'='0 ... ...^....(1) Agar garis g

menyinggung parabola, maka

diskrinrinan

pcrsarnaatr kuarlrat

di

ata:

samadengan nol, yaitu

D=4m2n2 -\mnp+ p'-4=o <> -Zmn-, p=o

o r-

^P

2m

N'lisal

titik

singgung garis

g

terhadap parabola adalal'r

T(*,,y,). Titik

singgung ini dapat dipcrolch dcngan menyelesaikan persamaan kuadrat (1) untuk

D : _0,yaitu

bx.,ld _-(zmn-2p) _ p-mn

Y_ =_

2a 2m2 m'

Jika

x, = P:!!, _{maka ,,}

₌

^( ,-!")*n o ^y, - ^{p-ttttt + l)}

t rnt \ mt ) '' nl

2m

p*n !

A 1, --

-.1 , t11

^2m

^*-P 2n

* ,, -

^l)

._, Jt _ ^__

n1

e m=L

.),'l

Dcngan demikian. persanlaan garis singgultgltya adalah

!=mx+nc+ r=t-r*

Q y-' Dn x+

^'

lt

_{2_P_}

yl

^2

lnx

^v,

f) Y=

- 2y,

a +r't^2y,

e 2),,y =2px*

)t12

(* 2y,y =2px +2px,

It

L

a

e !t!

⁼

^2p(x+

^x, )

GeometriAnalitjk Bidang 65

Jadi

persamaan

garis singgung pada parabola y'=Zpx

dengan

litik

^singgung

T(x1,!t)

adalah

lJ=p(x+x,)

^{. Dapat} ditunjukkan bairwa persamaan garis singgung pada

parabola (y- b' =Zp(x-u) ^dengan titik singgung (x1,/r)

adalah

3. Garis

singgung yang

rnelalui titik di luar parabola

lv{isal diketahui parabola y' _=2px dan titi}l

T(..x1,1r)

di luar

parabola

itu.

Akan ditentukan persamaan ₁ aris singgtrng pada hiperbola

itu

dari

titik T. Misal A(xo,y)

adalah

titik

singgungnya. Persamaan garis singgung di

A

adalah

-voJ= 1t("r+

ru)... ,...(l)

Karena ,,1(xo,l,

)

terletak pada hiperbola. rnaka dipenuhi

yn, _=Zpxr, .. ...(2)

Karena

I(.r,

.-)', ₎ tcrletak pada garis singgung, maka dipenuhi

lolr ^{= p(.ri} +xr)... ...

(3)

Dari

persamaan-persamaan

(l), (2),

dan

(3)

dapat ditentukan persamaan

garis

singgung yang dimaksud.

C. Garis Kutub

Misal diketahui ,{,(x',y') dan Ar(x",y")

masing-masing adalah

titili singgug padl

parabola

yt _=2px,

seclangkan

f(x,,y,)

^adalerh suatu

titik di luar

parabola. Persamaan gai'is

;;iiggiiiig y;da

^pa,aboia dengan

titik singgung A,(x',!') adalah y,),= p(x+x,).

Garis singgung

ini

melalui

titik I(x,

. y,

),

^{sehingga dipenuhi}

),'!r==.n(x, *jr,).,, _.,.,(l)

Persamaan

garis

singgung pada hiperbola dengan

titik singgung Az(x",.y")

adalah .y"

t'.- t,'r., i .,").3;^:,---oo;^;:.:;.,.-l*l;;:;t;h I(x,,1',),:chinggadipenuhi

y" y,

₌

p(xt +r") .. ...(2)

Dari (1)

dan

(2)

tampal:

b;1.;,; lt;c;j;:.;,, lt;:;jl^-;,. ^,,il:I,

.1r

{;,,r.,) .l;.

^,I,

{:;,,,r,,)

memenuhi persarnaan

!t!= ^{p(x+x,). Hal ini}

^berarti

titik-titik Ar(x',!,)

dan

Ar(x",.y,,)

, ! r-_-.a r

oa,,

f-;*lll

vJ

__r\:.:

-i).'_*.-

rt -..:- :.-: r,i-.1-_,1 - ^._..1

; !:;;i;b titik l(x,,y,)

^terhadap

parabola

y2 =2px.

^Dapat diperlihatkan bahwa

jika _T

pada parabola, maka garis kutub itp rnenjadi

gal;: ;::-;;'.-.:-;';.

!-..;

:.-'-

-.:.. .':l-_.

T,:^

l*-.- ...:..'_-1,., ^{--^..1-_.} o,,--_ l-_.-"-l

...-.;--j- taii

busur pada parabola. Sedangkan

jika

_T

_di

dalam parabola (sepihak dengan fokus), maka

--.-.-

^{l--.:,.'- l- -1. 1:}

--::::::'":ag

^parabola.

Geometri Analitik Bidang 66

.t

Yj

,.i >i