PROGRAM LINEAR
3.3.1. Daerah himpunan penyelesaian (daerah hasil)
Untuk membuat grafik himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear dua peubah yang harus diperhatikan adalah sebagai beriku :
Contoh :
1. Tentukan dareah yang memenuhi pertidaksamaan : 4x + 3y 12, x + 3y 6, x 0, y 0.
Jawab :
4x + 3y 12 arah arsir ke bawah, dengan titik potong sb. x = 3 dan sb. y = 4 x + 3y 6 arah arsir ke atas, dengan titik potong sb. x = 6 dan sb. y = 2
2. Tentukan daerah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan berikut : 2x + 5y 10, 4x + y 4, x 0, y 0
Jawab :
2x + 5y 10 arah arsir ke bawah, dengan titik potong sb. x = 5 dan sb. y = 2 4x + y 4 arah arsir ke atas, dengan titik potong sb. x = 1 dan sb. y = 4 x 0, y 0 daerah ada di atas sb. x dan kanan sb. y
3.3.2 Menentukan Model Matematika
Model matematika adalah bentuk penulisan secara matematis dari pernyataan soal cerita atau pernyataan dalam bentuk gambar.
a. Model matematika dari soal cerita y
4
2
3 6 x
Daerah HP
1 5
2 4 y
x 0
Daerah HP
Untuk tanda pertidaksamaan (< atau ) arah arsirannya ke dalam dan daerah penyelesaiannya adalah daerah yang terarsir.
Contoh :
1. Seorang penjual buah-buahan yang menggunakan gerobak mempunyai modal hanya Rp1.000.000,00. Ia telah membeli jeruk dengan harga Rp4.000,00 per kg dan pisang Rp1.600,00 per kg. Jika banyak jeruk yang dibeli x kg, banyak pisang y kg sedangkan muatan gerobak tidak dapat melebihi 400 kg maka sistem pertidaksamaan yang memenuhi permasalahan diatas adalah ….
Jawab :
Dalam menyusun model matematika harus dikelompokan variabel dengan variabel dan jumlah dengan jumlah.
Pernyataan 1 : 4.000x + 1.600y ≤ 1.000.000 (dibagi dengan 800) 5x + 2y ≤ 1.250
Pernyataan 2 : x + y ≤ 400
Model matematika : 5x + 2y ≤ 1.250; x + y ≤ 400; x ≥ 0; y ≥ 0.
2. Seorang pemborong mempunyai persediaan cat warna coklat 100 kaleng dan warna abu-abu 140 kaleng. Pemborong tersebut mendapat tawaran untuk mencat ruang tamu dan ruang tidur disuatu gedung. Setelah dikalkulasi ternyata 1 ruang tamu menghabiskan 2 kaleng warna coklat dan 3 kaleng cat warna abu-abu. Sedang 1 ruang tidur menghabiskan 2 kaleng warna coklat dan 2 kaleng warna abu-abu. Jika x ruang tamu dan y kamar tidur, tentukan model matematikanya.
Jawab :
Kelompokan berdasarkan warna cat yang tersedia. Cat coklat : 2x + 2y ≤ 100 x + y ≤ 50
Cat abu-abu : 3x + 2y ≤ 140
Model matematika : x + y ≤ 50; 3x + 2y ≤ 140; x ≥ 0; y ≥ 0.
b. Model matematika dari gambar
Contoh :
1. Tentukan model matematika dari gambar di bawah ini.
Jawab :
4x + 10y ≤ 40 2x + 5y ≤ 20 8x + 6y ≥ 48 4x + 3y ≥ 24
Model matematika : 2x + 5y ≤ 20; 4x + 3y ≥ 24; x ≥ 0; y ≥ 0. y
8
4
6 10 x
Untuk daerah di bawah garis fungsi, tanda pertidaksamaan ≤
2. Tentukan model matematika dari gambar berikut ini.
Jawab :
6x + 8y ≤ 48 3x + 4y ≤ 24 3x + 2y ≥ 6
Model Matematika : 3x + 2y ≥ 6; 3x + 4y ≤ 24; x ≥ 0; 0 ≤ y ≤ 3.
3.3.3 Nilai dari fungsi objektif a. Fungsi objektif dari soal cerita.
Contoh :
1. Suatu dealer akan membeli 2 jenis sepeda motor, sepeda motor jenis A harganya Rp9.000.000,00 dan jenis B harganya Rp12.000.000,00. Dealer tersebut tidak ingin
mengeluarkan uang lebih dari Rp252.000.000,00 dan tidak akan membeli lebih dari 25 buah sepeda motor. Jika motor jenis A dijual dengan untung Rp500.000,00 dan motor jenis B dijual dengan untung Rp1.000.000,00, berapa keuntungan hasil seluruh penjualan motor jenis A dan jenis B.
Jawab :
9.000.000x + 12.000.000 y ≤ 252.000.000 3x + 4y ≤ 84 x + y ≤ 25
Cari motor jenis A dan B dengan cara eliminasi
3x + 4y = 84 . 1 3x + 4y = 84 3x + 4y = 84 . 1 3x + 4y = 84 x + y = 25 . 3 3x + 3y = 75 – x + y = 25 . 4 4x + 4y = 100 – y = 9 –x = –16 x = 16
Motor jenis A = 16 dan motor jenis B = 9 Keuntungan penjualan :
z = 500.000x + 1.000.000y = 500.000 (16) + 1.000.000 (9) = 8.000.000 + 9.000.000 z = 17.000.000
2. Pengrajin sepatu akan membuat sepatu untuk pria dan wanita. Satu pasang sepatu pria memerlukan modal Rp90.000,00 dan dikerjakan dalam waktu 3 hari sedangkan satu pasang sepatu wanita memerlukan modal Rp70.000,00 dan dikerjakan dalam waktu 2 hari. Modal yang tersedia hanya Rp1.100.000,00 dan waktunya tidak lebih dari 34 hari. Jika satu pasang sepatu pria dijual dengan harga Rp150.000,00 dan satu pasang sepatu wanita dijual dengan harga Rp120.000,00, berapa hasil penjualan seluruh sepatu pria dan wanita tersebut.
Jawab :
Misal sepatu pria = x dan sepatu wanita = y
90000x + 70000y ≤ 1100000 (dibagi 10000) 9x + 7y ≤ 110 y
6
3
2 8 x
3x + 2y ≤ 34
Model matematika : 9x + 7y ≤ 110, 3x + 2y ≤ 34, x ≥ 0; y ≥ 0
Tentukan banyaknya sepatu pria dan wanita yang dibuat dengan cara eliminasi 9x + 7y = 110 . 1 9x + 7y = 110
3x + 2y = 34 . 3 9x + 6y = 102 – y = 8 3x + 2 . 8 = 34
3x = 34 – 16 3x = 18 x = 6
Sepatu pria = 6 pasang dan sepatu wanita = 8 pasang
Hasil penjualan :
Z = 150000x + 120000y
= Rp150.000,00 . 6 + Rp120.000,00 . 8 = Rp900.000,00 + Rp960.000,00 = Rp1.860.000,00
b. Fungsi objektif dari gambar
Contoh :
1. Tentukan nilai maksimum fungsi objektif z = 3x + 5y dari gambar di bawah ini.
Jawab :
Buat dulu model matematikanya. 6x + 6y ≤ 36 x + y ≤ 6
4x + 8y ≤ 32 x + 2y ≤ 8
Model matematika : x + y ≤ 6; x + 2y ≤ 8; x 0, y 0. Menentukan titik potong dua kurva dengan cara eliminasi. x + y = 6 . 2 2x + 2y = 12 x + y = 6 x + 2y = 8 . 1 x + 2y = 8 – x + 2y = 8 – x = 4 –y = –2 y = 2 Fungsi objektif :
X y z = 3x + 5y 6
0 4
0 4 2
z = 3 . 6 + 5 . 0 = 18 z = 3 . 0 + 5 . 4 = 20 z = 3 . 4 + 5 . 2 = 22 Nilai maksimum adalah 22
y 6 4
2. Tentukan nilai minimum fungsi objektif z = 4x + 3y dari gambar berikut.
Jawab :
Untuk nilai minimum ambil titik yang dekat dengan titik 0 x y z = 4x + 3y
1. Nilai minimum fungsi objektif Z = 3x + 4y yang memenuhi sistem pertidaksamaan : 2x + 3y ≥ 12
Penyelesaian :
Arsir daerah yang memenuhi pertidaksamaannya, yaitu untuk ≥ diarsir keluar dan ≤ diarsir kedalam. Daerah yang terkena arsiran paling banyak adalah daerah yang memenuhi pertidaksamaan.
Dari gambar tersebut daerah yang terkena arsir paling banyak adalah daerah II
3. Sistem pertidaksamaan linear yang memenuhi daerah yang diarsir pada gambar di bawah adalah ….
Daerah diatas garis yang melalui titik (10, 0) dan (0, 6) 6x + 10y 60 (dibagi 2) 3x + 5y 30
Daerah diatas garis yang melalui titik (6, 0) dan (0, 8) 8x + 6y 48 (dibagi 2) 4x + 3y 24
Jadi pertidaksamaan linear yang memenuhi daerah yang di arsir adalah : 3x + 5y 30, 4x + 3y 24, x 0, y 0, x, y R
5. Seorang pengusaha ingin menyewakan rumah kepada mahasiswa maksimal 540 orang. Pengusaha tersebut membangun rumah tidak lebih dari 120 rumah yang terdiri atas type I (untuk 4 orang) dan type II (untuk 6 orang). Jika rumah type I dinyatakan dengan x dan rumah type II dengan y,
E. 4x + 6y 270, x + y 120, x 0, y 0 UN 06/07 Paket A
Jawab : C Penyelesaian :
x = type I (4 orang) dan y = type II (6 orang) 4x + 6y 540, x + y 120, x 0, y 0 2x + 3y 270, x + y 120, x 0, y 0
6. Seorang petani memiliki ternak tidak lebih dari 12 ekor yang terdiri dari kerbau dan kambing. Si petani pernah akan menjual semua ternaknya minimal seharga Rp23.500.000,00. Harga seekor kerbau Rp4.000.000,00 dan harga seekor kambing Rp500.000,00. Jika banyaknya kerbau adalah
x dan banyaknya kambing adalah y, maka model matematika dari persoalan tersebut adalah ….
A. x + y 12, 8x + y 47, x 0, y 0 B. x + y 12, 8x + y 47, x 0, y 0 C. x + y 12, x + 8y 47, x 0, y 0 D. x + y 12, x + 8y 47, x 0, y 0 E. x + y 12, 8x + y 47, x 0, y 0 UN 06/07 Paket B
Jawab : B Penyelesaian :
x = kerbau dan y = kambing x + y 12 (maksimal)
4.000.000x + 500.000y 23.500.000 8x + y 47 (minimal)
Model : x + y 12, 8x + y 47, x 0, y 0
7. Daerah terarsir pada gambar di samping merupakan daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan ....
a. 2 x 6 ; 0 y 2 ; 3x + 4y 24 b. x 2 ; y 2 ; 3x + 4y 24
c. x 2 ; y 2 ; 3x + 4y 24 d. x 2 ; 0 y 2 ; 4x + 3y 24 e. x 2 ; 0 y 2 ; 4x + 3y 24 UN 07/08
Jawab : D Penyelesaian : Batas 1 : x 2 Batas 2 : 0 y 2
Batas 3 : 8x + 6y 48 4x + 3y 24 (arsir dibawah garis) Model matematika : x 2 ; 0 y 2 ; 4x + 3y 24
8. Suatu apotek mampu menyediakan tidak lebih dari 25 dos obat, yang terdiri dari 2 macam obat yaitu obat A dan obat B. Harga obat A Rp21.000,00/dos dan obat B Rp30.000,00/dos. Modal yang tersedia di apotek tidak lebih dari Rp630.000,00. Jika banyaknya obat A = x dan banyaknya obat B = y, maka grafik yang sesuai untuk permasalahan di atas adalah ....
0 2 8
y
A. C. E.
Gambar yang sesuai dengan model matematika tersebut adalah gambar C.
9. Perhatikan gambar berikut.
Daerah yang diarsir adalah penyelesaian dari program linear. Daerah garis selidik awal nilai maksimum yang terjadi adalah ….
Menentukan titik potong dua kurva dengan eliminasi
Nilai maksimum :
Z = 2 (6) + 5 (2) = 12 + 10 Z = 22
Soal latihan :
1. Daerah himpunan penyelesaian yang memenuhi pertidaksamaan 4x + 3y 24
2. Daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini adalah daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan ....
5. Seorang pedagang kalkulator mambeli dua jenis kalkulator hanya 500 buah. Kalkulator jenis A harga belinya Rp 20.000,- dan kalkulator jenis B harga belinya Rp 10.000,- sedangkan uang yang dibelanjakan tidak lebih dari Rp 8.000.000,-. Jika x untuk
kalkulator jenis A dan y untuk kalkulator jenis B maka model matematikanya adalah …. A. x + y 500, 2x + y 800, x 0, y 0
B. x + y 500, 2x + y 800, x 0, y 0 C. x + y 500, 2x + y 800, x 0, y 0 D. x + y 500, x + 2y 800, x 0, y 0 E. x + y 500, x + 2y 800, x 0, y 0
6. Suatu industri kecil mampu membuat pakaian anak-anak dan pakaian remaja dalam waktu 1 minggu tidak lebih dari 250 potong, pakaian anak-anak dapat dibuat tidak kurang dari 100 potong dan tidak lebih dari 175 potong, sedang pakaian remaja dapat dibuat tidak kurang dari 75 potong dan tidak lebih dari 150 potong, jika pakaian anak-anak x dan remaja y. Model matematika yang sesuai adalah ….
A. x + y ≤ 250 ; 150 ≤ x ≤ 175 ; 75 ≤ y ≤ 100 B. x + y ≤ 250 ; 75 ≤ x ≤ 100 ; 150 ≤ y ≤ 175 C. x + y ≤ 250 ; 75 ≤ x ≤ 150 ; 100 ≤ y ≤ 175 D. x + y ≤ 250 ; 100 ≤ x ≤ 175 ; 75 ≤ y ≤ 150 E. x + y ≤ 250 ; 75 ≤ x ≤ 175 ; 100 ≤ y ≤ 150
7. Seorang teknisi membayar tidak lebih dari Rp5.100,00 untuk pembelian 0,5 kg kaporit dan 1kg tawas. Hari berikutnya teknisi itu datang lagi ke toko yang sama untuk pembelian 1kg kaporit dan 0,5 kg tawas dengan membayar tidk lebih dari Rp5.700,00. Jika x dan y masing-masing 1 kg kaporit dan 1 kg tawas, maka program linear dari persoalan di atas adalah ….
A. x + 2y 10.200,00; 2x + y 11.400,00; x 0; y 0 B. x + y 10.200,00; 2x + y 11.400,00; x 0; y 0 C. x + 2y 11.400,00; 2x + y 10.200,00; x 0; y 0 D. x + 2y 10.200,00; 2x + y 11.400,00; x 0; y 0 E. 2x + y 10.200,00; x + 2y 11.400,00; x 0; y 0
8. Seorang pedagang telur, setiap hari menjual telur tidak lebih dari 450 butir. Harga 1 butir telur ayam Rp800,00 dan harga 1 butir telur bebek Rp1.000,00 sedangkan modal yang tersedia Rp410.000,00. Jika telur ayam x dan telur bebek, model matematikanya adalah ….
A. x + y ≤ 450, 4x + 5y ≤ 2.050, x 0, y 0 B. x + y ≤ 450, 5x + 4y ≤ 2.050, x 0, y 0 C. x + y ≥ 450, 4x + 5y ≥ 2.050, x 0, y 0 D. x + y ≥ 450, 5x + 4y ≥ 2.050, x 0, y 0 E. x + y ≤ 450, 4x + 5y ≥ 2.050, x 0, y 0
9. Seorang pemborong pengecatan rumah mempunyai persediaan 120 kaleng cat berwarna putih dan 80 kaleng cat berwarna abu-abu. Pemborong tersebut mendapat tawaran untuk mengecat ruang tamu dan ruang keluarga. Setelah dihitung ternyata 1 ruang tamu menghabiskan 4 kaleng cat putih dan 2 kaleng cat abu-abu, sedangkan 1 ruang keluarga menghabiskan cat 2 kaleng berwarna putih dan 4 kaleng berwarna abu-abu. Jika banyak ruang tamu dinyatakan x dan ruang keluarga dinyataka y, maka model matematikanya adalah….
B. x + 2y < 120 ; 2x + y < 80 ; x > 0 ; y > 0 C. x + 2y < 60 ; 2x + y < 40 ; x > 0 ; y > 0 D. 2x + y < 60 ; x + 2y < 40 ; x > 0 ; y > 0 E. x + 2y < 60 ; x + 2y < 40 ; x > 0 ; y > 0
10 Pesawat udara membawa penumpang kelas utama dan ekonomi memuat tidak lebih dari 40 penumpang. Penumpang kelas utama boleh membawa bagasi 20 kg dan kelas ekonomi10 kg, sedangkan pesawat tersebut hanya memuat tidak lebih dari 500 kg. Model matematikanya adalah ....
A. x + y ≥ 40, 2x + y ≤ 50, x ≥ 0, y ≥ 0 B. x + y ≤ 40, 2x + y ≤ 50, x ≥ 0, y ≥ 0 C. x + y ≤ 40, 2x + y ≥ 50, x ≥ 0, y ≥ 0 D. x + y ≤ 40, x + 2y ≤ 50, x ≥ 0, y ≥ 0 E. x + y ≥ 40, 2x + 2y ≥ 50, x ≥ 0, y ≥ 0
11 Harga sepotong kemeja dan sepotong pantalón adalah Rp60.000,00 dan Rp100.000,00. Uang yang dibawa bu Lili hanya Rp3.240.000,00, dan dia hanya mampu membawa paling banyak 48 potong pakaian. Jika x menyatakan banyaknya kemeja dan y menyatakan banyaknya pantalón yang dibeli, maka model matematika dari permasalahan di atas adalah …
A. 5x + 3y 162 ; x + y 48 ; x 0 ; y 0 B. 3x + 5y 162 ; x + y 48 ; x 0 ; y 0 C. 3x + 5y 162 ; x + y 48 ; x 0; y 0 D. 3x + 5y 162 ; x + y 48 ; x 0 ; y 0 E. 5x + 3y 162, x + y 48 ; x 0 ; y 0
12. Perhatikan grafik fungsi berikut.
Sistim pertidaksamaan linier yang memenuhi daerah penyelesaian di atas adalah … A. 5x + 4y 20; x – 2y –2; 0 x 3; y 0
B. 5x + 4y 20; x – 2y –2; 0 x 3; y 0 C. 5x + 4y 20; x – 2y –2; 0 x 3; y 0 D. 5x + 4y 20; x – 2y –2; x 3; y 0 E. 5x + 4y 20; x – 2y –2; x 3; y 0
13. Daerah yang diarsir pada gambar di bawah adalah himpunan penyelesaian suatu sistem pertidaksamaan. Nilai maksimum untuk z = 6x + 3y dari daerah penyelesaian tersebut adalah ….
A. 3 y B. 6 3 C. 12
D. 18
E. 24 1
x -1 0 3
1
-2 3 4
5
y
14. Perhatikan gambar di bawah ini :
Daerah yang diarsir, merupakan penyele saian dari suatu system pertidaksamaan…. A. 4x + 5y ≥ 20; 3x + 6y ≥ 18; x ≥ 0; y ≥ 0 pertidaksamaan linear. Nilai maksimum fungsi obyektif Z = y
4 linear, nilai maksimum fungsi obyektif Z = 3x + 5y adalah ….
A. 15 B. 16 C. 17 D. 18 E. 19
18. Pertidaksamaan 2x + y ≥10 dan x + 4y ≥12 merupakan penyelesaian dari program linear, nilai minimum untuk fungsi objektif z = 3x + 2y adalah….
A. 12 B. 16 C. 20 D. 28 E. 36
20 . Nilai minimum fungsi objektif z = 5x + 4y seperti terlihat pada gambar di bawah ini adalah ….
A. 16 y B. 20 6 C. 22
D. 32
E. 40 4
