PERSAMAAN LINGKARAN (LINGKARAN ANALITIK)

1 | P a g e

PERSAMAAN LINGKARAN (LINGKARAN ANALITIK)

3.1

KATA KUNCI



Persamaan Lingkaran

1. Berpusat di O(0, 0) 2. Berpusat di A(a, b) 3. Bentuk Umum

LINGKARAN

DIAMETER KOORDINAT CARTESIUS JARAK DUA TITIK JARI-JARI

TITIK PUSAT

TITIK KOORDINAT DEFINISI

Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap sebuah titik tertentu yang digambarkan pada bidang Cartesius. Titik tertentu itu pusat lingkaran dan jarak yang sama disebut jari-jari.

3.1.1

DEFINISI

Materi Pembelajaran::

3.1. Menganalisis lingkaran secara analitik

4.1. Menyelesaikan masalah yang terkait dengan lingkaran 1. Persamaan Lingkaran :

a. pusat di A (a,b) b. bentuk umum (BU)

2. Kedudukan titik terhadap garis : a. Di dalam lingkaran

b. Terletak pada lingkaran c. Di luar lingkaran

3. Kedudukan garis terhadap lingkaran : a. memotong di 2 titik,

b. menyinggung,

c. tidak memotong maupun menyinggung 3. Persamaan Garis Singgung Lingkaran :

a. Melalui titik singgung b. Memiliki gradien tertentu

c. Melalui sebuah titik diluar lingkaran 4. Kedudukan dua lingkaran

a. Sepusat dengan jari-jari berbeda b. Pusat berbeda dan jari-jari berbeda

2 | P a g e

Untuk tempat kedudukan titik-titik yang membentuk lingkaran, persamaan yang menghubungkan variabel x dan variabel y disebut persamaan lingkaran.

Bentuk persamaan lingkaran ditentukan oleh:

a. Letak pusat lingkaran;

b. Panjang jari-jari r.

Selain, letak pusat lingkaran dan panjang jari-jari, dalam menentukan persamaan lingkaran, harus dimengerti pula tentang formula jarak. Berikut ini diberikan beberapa formula untuk menentukan jarak.

1. Jarak titik dengan titik,

Misal 𝐴(𝑥₁, 𝑦₁) dan B(𝑥₂, 𝑦₂) adalah 𝑟 = √(𝑥₂− 𝑥₁)²+ (𝑦₂ − 𝑦₁)²

2. Jarak titik dengan garis,

Misal 𝐴(𝑥₁, 𝑦₁) dengan garis a𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0 adalah 𝑟 = |^{𝑎𝑥1+𝑏𝑦1+𝑐}

√𝑎²+𝑏² | 𝐴 𝑥₁, 𝑦₁

𝑥₂, 𝑦₂

𝐴 𝑥₁, 𝑦₁

a𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0

3 | P a g e

Misalkan P(x, y) adalah sembarang titik yang terletak pada lingkaran. Titik P’ adalah proyeksi titik P pada sumbu X sehingga 𝛥𝑂𝑃′𝑃 siki-siku di P’.

3.1.2

PERSAMAAN LINGKARAN YANG BERPUSAT DI O (0,0) DAN BERJARI-JARI r

Pembuktian::

Dengan menggunakan teorema Pythagoras, diperoleh:

|𝑂𝑃| = √(𝑂𝑃′)²+ (𝑃𝑃′)² 𝑟 = √𝑥²+ 𝑦²

𝑟² = 𝑥²+ 𝑦² (kedua ruas dikuadratkan)

∴ 𝑥²+ 𝑦² = 𝑟²

Persamaan lingkaran dengan pusat O(0,0) dan jari-jari r ditentukan dengan:: 𝒙^𝟐+ 𝒚^𝟐 = 𝒓^𝟐

3.1.3

PERSAMAAN LINGKARAN YANG BERPUSAT DI A(a,b) DAN BERJARI-JARI r

Misalkan P(x, y) adalah sembarang titik yang terletak pada lingkaran. Titik P’ adalah proyeksi titik P pada sumbu X sehingga AP’ adalah 𝑥 − 𝑎, PP’ adalah 𝑦 − 𝑏 dan 𝛥𝐴𝑃′𝑃 siki-siku di P’.

Pembuktian::

Dengan menggunakan teorema Pythagoras, diperoleh:

|𝐴𝑃| = √(𝐴𝑃′)²+ (𝑃𝑃′)² 𝑟 = √(𝑥 − 𝑎)²+ (𝑦 − 𝑏)²

𝑟² = (𝑥 − 𝑎)²+ (𝑦 − 𝑏)² (kedua ruas dikuadratkan)

∴ (𝑥 − 𝑎)²+ (𝑦 − 𝑏)² = 𝑟²

Persamaan lingkaran dengan pusat A(a,b) dan jari-jari r ditentukan dengan:: (𝒙 − 𝒂)^𝟐+ (𝒚 − 𝒃)^𝟐= 𝒓^𝟐

3.1.4

BENTUK UMUM PERSAMAAN LINGKARAN

Bentuk umum dari persamaan lingkaran, dinyatakan sebagai::

L ≡ x² + y² + Ax + By + C = 0 (A, B, dan C bilangan-bilangan real) Adapun ciri-ciri dari persamaan lingkaran, meliputi.

1. Variabel x dan variabel y berderajat/berpangkat dua dan tidak memuat suku perkalian x dengan y (suku xy).

2. Koefisien x² sama dengan koefisien y²

NOTE:: Penentuan Pusat dan Jari-jari lingkaran Pusat, P(x,y)= (−^𝑨

𝟐, −^𝑩

𝟐) Jari-Jari, r =√^𝑨𝟐

𝟒 +^𝑩𝟐

𝟒 − 𝑪

4 | P a g e Contoh 1::

Contoh 1a::

(Menyusun persamaan lingkaran dengan pusat O(0,0) dan berjari-jari r) 1. Susunlah persamaan lingkaran yang Berpusat di O (0,0) dengan jari-jari 4!

Diketahui pusat O (0,0), r = 4 𝐿 ≡ (𝑥 − 0)²+ (𝑦 − 0)² = 4² 𝐿 ≡ 𝑥²+ 𝑦² = 16

Contoh 1b::

(Menyusun persamaan lingkaran dengan pusat A(a,b) dan berjari-jari r) 1. Susunlah persamaan lingkaran yang Berpusat di P (2,3) dengan jari-jari 3!

Diketahui pusat P (2,3), r = 3 𝐿 ≡ (𝑥 − 2)²+ (𝑦 − 3)² = 3²

𝐿 ≡ 𝑥²− 4𝑥 + 4 + 𝑦²− 6𝑦 + 9 = 9 𝐿 ≡ 𝑥²+ 𝑦²− 4𝑥 − 6𝑦 + 4 = 0 Contoh 2::

(Menyusun persamaan lingkaran dengan pusat (0,0) dan melalui sebuah titik) 1. Susunlah persamaan lingkaran yang Berpusat di O(0,0) dan melalui titik A (2,4)!

Diketahui pusat O (0,0), melalui titik A(2,3)

Karena jari-jari belum diketahui, maka terlebih dulu kita mencari jari-jarinya, dengan cara mencari jarak antara 2 titik (titik pusat dan titik yang dilalui lingkaran)

𝑟 = √(𝑥₂− 𝑥₁)²+ (𝑦₂− 𝑦₁)² = √(2 − 0)²+ (3 − 0)² = √13 Maka persamaan lingkarannya adalah

𝐿 ≡ (𝑥 − 0)²+ (𝑦 − 0)² = (√13)² 𝐿 ≡ 𝑥²+ 𝑦²− 13 = 0

Contoh 3::

(Menyusun persamaan lingkaran sebagai tempat kedudukan)

1. Tentukan tempat kedudukan titik-titik P(x,y) yang memenuhi setiap hubungan {𝑃(𝑥, 𝑦)|𝑃 = 4𝑃𝐴}, apabila A(0,1) dan B(0,16)!

𝑃 = 4𝑃𝐴  𝑃 ² = 16𝑃𝐴²

 (0 − 𝑥)²+ (16 − 𝑦)²= 16[(0 − 𝑥)²+ (1 − 𝑦)²]  𝑥²+ 256 − 32𝑦 + 𝑦² = 16[𝑥²+ 1 − 2𝑦 + 𝑦²]  𝑥²+ 256 − 32𝑦 + 𝑦² = 16𝑥²+ 16 − 32𝑦 + 16𝑦²  15𝑥²+ 15𝑦² = 256 − 16

 15𝑥²+ 15𝑦² = 240  𝑥²+ 𝑦² = 16  𝑥²+ 𝑦²− 16 = 0

Jadi, tempat kedudukan titik-titik P(x, y) adalah lingkaran yang berpusat di O(0,0) dan berjari-jari 4.

Contoh 4::

(Menyusun persamaan lingkaran berdasarkan titik ujung diameter)

1. Tentukan persamaan lingkaran yang berdiameter garis AB dengan 𝐴(1, −2) dan (−1,2)!

Pusat Lingkaran: (^{𝑥𝐴+𝑋𝐵}

2 ,^{𝑦𝐴+𝑦𝐵}

2 ) = (¹⁺⁽⁻¹⁾

2 ,⁽⁻²⁾⁺²

2 ) = (0,0) Jari-jari =1/2 diameter

𝑟 = 1

2√(𝑥_𝐵− 𝑥_𝐴)²+ (𝑦_𝐵− 𝑦_𝐴)² =1

2√(−1 − 1)² + (2 − (−2))² = 1

2√20 =1

2. 2√5 = √5 Persamaan lingkaran yang berpusat di O(0,0) dan berjari-jari √5 adalah

𝑥²+ 𝑦² = (√5)²  𝑥²+ 𝑦² = 5

Jadi, persamaan lingkaran berdiameter garis AB dengan 𝐴(1, −2) dan (−1,2) adalah 𝑥²+ 𝑦² = 5.

5 | P a g e Contoh 5::

Contoh 5a::

(Menyusun persamaan lingkaran dengan pusat O(0,0) dan menyinggung sebuah garis lurus) 1. Susunlah persamaan lingkaran yang Berpusat di O (0,0) dan menyinggung garis 3𝑥 + 4𝑦 +

10 = 0!

Diketahui pusat O (0,0), menyinggung garis 3𝑥 + 4𝑦 + 10 = 0

Karena jari-jari belum diketahui, maka terlebih dulu kita mencari jari-jarinya, dengan cara mencari jarak antara titik pusat dan garis yang menyinggung lingkaran.

𝑟 = |𝑎𝑥₁+ 𝑏𝑦₁+ 𝑐

√𝑎²+ 𝑏² | = |3(0) + 4(0) + 10

√3²+ 4² | = |10 5| = 2 Maka persamaan lingkarannya adalah

𝐿 ≡ (𝑥 − 0)²+ (𝑦 − 0)² = 2² 𝐿 ≡ 𝑥²+ 𝑦² = 4

Contoh 5b::

(Menyusun persamaan lingkaran dengan pusat A(a,b) dan menyinggung sebuah garis lurus) 1. Susunlah persamaan lingkaran yang Berpusat P (1,2) dan menyinggung garis 12𝑥 − 5𝑦 −

39 = 0!

Diketahui pusat P (1,2), menyinggung garis 12𝑥 − 5𝑦 − 15 = 0

Karena jari-jari belum diketahui, maka terlebih dulu kita mencari jari-jarinya, dengan cara mencari jarak antara titik pusat dan garis yang menyinggung lingkaran.

𝑟 = |𝑎𝑥₁ + 𝑏𝑦₁+ 𝑐

√𝑎²+ 𝑏² | = |12(1) − 5(2) − 15

√12²+ (−5)² | = |−13 13 | = 2 Maka persamaan lingkarannya adalah

𝐿 ≡ (𝑥 − 1)²+ (𝑦 − 2)² = 2²

𝐿 ≡ 𝑥²− 2𝑥 + 1 + 𝑦²− 4𝑦 + 4 = 4 𝐿 ≡ 𝑥²+ 𝑦² − 2𝑥 − 4𝑦 + 1 = 0 Contoh 6::

(Menyusun persamaan lingkaran dari 3 titik)

1. Susunlah persamaan lingkaran melalui titik P(2,0), Q(0,-2), R(4,-2)!

Diketahui melalui titik P(2,0), Q(0,-2), R(4,-2) Bentuk umum pers. Lingkaran adalah

𝐿 ≡ 𝑥²+ 𝑦²+ 𝐴𝑥 + 𝑦 + 𝐶 = 0 Substitusikan masing-masing titik

P (2,0)  2²+ 0²+ 2𝐴 + 0 + 𝐶 = 0

≡ 2𝐴 + 𝐶 = −4 (1)

Q (0,-2)  0²+ (−2)²+ 0𝐴 + (−2) + 𝐶 = 0

≡ −2 + 𝐶 = −4 (2)

R (4,-2)  4²+ (−2)²+ 4𝐴 + (−2) + 𝐶 = 0 ≡ 4𝐴 − 2 + 𝐶 = −20 (3)

Eliminasi persamaan (1) dan (2), diperoleh A = 0 dan 𝐶 = −4

Substitusikan ke pers (3) diperoleh B = 8

Sehingga persamaan lingkaran 𝐿 ≡ 𝑥²+ 𝑦²+ 8𝑦 − 4 = 0

6 | P a g e

TASK 01

Tuliskan langkah-langkah penyelesaian soal berikut!

Foto dan unggah pekerjaan kalian di fitur submission.

1. Tentukan persamaan lingkaran yang memiliki pusat di (2,3) dengan jari-jari 5 !

2. Tentukan persamaan lingkaran yang memiliki pusat di (3,2), dan menyinggung 𝑥 − 𝑦 + 2 = 0 ! 3. Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran berikut 𝑥²+ 𝑦²− 4𝑥 − 2𝑦 − 31 = 0