Aturan Sinus dan Aturan
Cosinus
Kita tahu bahwa, segitiga terdiri dari 3 sisi dan 3 sudut, dengan jumlah ketiga sudut
adalah sebesar 180°. Untuk segitiga siku-siku, cukup dengan 1 sisi dan 1 sudut (tidak
termasuk sudut siku-siku) ataupun 2 sisi diketahui, kita telah dapat menentukan sisi
dan sudut lainnya, yaitu dengan menggunakan phythagoras ataupun perbandingan
trigonometri yang telah dipelajari sebelumnya.
Sedangkan untuk segitiga sembarang, minimal dibutuhkan 3 unsur yang diketahui,
yaitu
sisi, sudut, sudut
sudut, sisi, sisi
sisi, sisi, sisi
Kemudian dari unsur-unsur yang diketahui, kita dapat menggunakan aturan
sinusatau aturan cosinus untuk menentukan sisi-sisi ataupun sudut-sudut yang lain.
sisi di depan sudut A adalah BC = a
sisi di depan sudut B adalah AC = b
sisi di depan sudut C adalah AB = c
Aturan
Sinus
Untuk sembarang segitiga yang panjang sisi-sinya a, b dan c, dengan
A adalah sudut di depan sisi a
B adalah sudut di depan sisi b
C adalah sudut di depan sisi c
berlaku
asinA=bsinB=csinCasinA=bsinB=csinC
Contoh 1
panjang BC !
Jawab :
BCsin45∘
=
6sin30∘BCsin45∘=6sin30∘
BC = 6×sin45∘sin30∘
6×sin45∘sin30∘
BC = 6×12√ 212
6×12212
BC = 6√2
Jadi, panjang BC adalah 6√2
Contoh 2
Jawab :
8sinθ
=
4√ 6 sin60∘8sinθ=46sin60∘
sin θ = 8×sin60∘4√ 6
8×sin60∘46
sin R = 8×12√ 3 4√ 6
8×12346
(rasionalkan)sin R = 12
12
√2⇒ θ = 45°
Jadi, besar sudut θ adalah 45°
Aturan
Cosinus
di depan sisi c, berlaku
c
2=a
2+b
2−2ab.cosCc2=a2+b2−2ab.cosC
atau dapatpula ditulis
cosC=a
2+b
2−c
22abcosC=a2+b2−c22ab
Contoh 3
Tentukan x dari segitiga berikut !
Jawab :
Dengan aturan cosinus :
x2 = 42 + 62 − 2. 4. 6. cos 60°
x2 = 42 + 62 − 2. 4. 6. 12
12
x2 = 28
x =
√ 28
28
= 2√7Jadi, nilai x adalah 2√7
Diketahui segitiga PQR dengan PQ = 2√3, QR = 1 dan PR = √7. Jika ∠Q = θ,
tentukan θ !
Jawab :
Dengan aturan cosinus :
cos θ = 64√ 3
643
(rasionalkan)cos θ = 12
12
√3⇒ θ = 30°
Tips
Gunakan aturan sinus jika sisi dan sudut yang saling berhadapan diketahui.
Perhatikan contoh 1, sisi dan sudut yang berhadapan, yaitu 6 dan 30°.
Perhatikan contoh 2, sisi dan sudut yang berhadapan, yaitu 4√6 dan 60°.
Gunakan aturan cosinus jika sudut dan 2 sisi yang mengapit sudut tersebut diketahui
atau ketiga sisi diketahui.
Perhatikan contoh 3, sudut apit 60° dan sisi yang mengapit 4 dan 6.
Perhatikan contoh 4, ketiga sisinya diketahui.
Latihan
Soal
Diketahui segitiga ABC dengan panjang AB = 8 dan AC = 5. Jika ∠A = 60°, tentukan
sin B = 5.sin60∘7
5.sin60∘7
sin B = 5.12√ 3 7
5.1237
sin B = 0,6186
B = sin-1(0,6186) (gunakan kalkulator)
B = 38,21°
Suatu segitiga dengan panjang sisi berturut-turut adalah 3, 5 dan 7. Jika θ adalah sudut
Jawab :
Dengan aturan cosinus :
cos θ = 32+52−722.3.5
32+52−722.3.5
cos θ =
−
12−12
Karena cos θ bernilai negatif, maka θ adalah sudut tumpul (kuadran II)
θ = 180° − 60°
θ = 120°
sin θ = sin 120°
sin θ = sin (180° − 60°)
sin θ = sin 60° (K.II sinus positif)
sin θ = 12
12
√3tan θ = tan (180° − 60°)
tan θ = −tan 60° (K.II tangen negatif)
tan θ = −√3
Latihan 3
Sebuah kapal berlayar dari pelabuhan A menuju pelabuhan B dengan arah 030° sejauh
20 mil. Kemudian berlayar lagi dari pelabuhan B menuju pelabuhan C dengan arah
150° sejauh 40 mil. Jarak pelabuhan A ke pelabuhan C adalah...
Jawab :
∠BAU dan ∠ABS merupakan sudut dalam berseberangan, sehingga
∠BAU = ∠ABS = 30°
∠CBU dan ∠CBS saling berpelurus, sehingga
∠CBU + ∠CBS = 180°
150° + ∠CBS = 180°
∠CBS = 30°
Jadi, ∠B pada segitiga ABC adalah 60°
Dengan aturan cosinus
Latihan 4
Diketahui segi-8 beraturan dengan panjang jari-jari lingkaran luar 10 cm. Keliling
segi-8 tersebut adalah...
Jawab :
θ = 360∘8
360∘8
= 45°Perhatikan segitiga AOB
s2 = 102 + 102 − 2. 10. 10. cos 45°
s2 = 200 − 200. 12
12
√2s2 = 200 − 100√2
s2 = 100(2 − √2)
K = 8s
K = 8. 10
√2−√ 2
2−2
K = 80
√2−√ 2
2−2
Jadi, keliling segi-8 tersebut adalah 80
√2−√ 2
2−2
cm.Latihan 5
Diketahui titik-titik A, B, C dan D terletak pada lingkaran dengan AB = 2√5 cm, BC =
5√2 cm, CD = 6 cm dan AD = 3√10 cm. Tentukan panjang diagonal BD !
ABCD merupakan segiempat tali busur sehingga jumlah sudut-sudut yang berhadapan
Dari persamaan (1) dan (2)
86 + 60√2 cos A = 110 − 60√2 cos A
120√2 cos A = 24
Dari persamaan (1)
BD2 = 110 − 60√2 cos A
BD2 = 110 − 60√2. 15√ 2
152
BD2 = 98
BD =
√ 49.2
49.2
BD = 7√2
Jadi, panjang BD adalah 7√2 cm
ATURAN
COSINUS
Aplikasi Aturan Cosinus
Menentukan panjang sisi suatu segitiga sembarang jika diketahui panjang dua sisi
dan besar sudut yang diapitnya.
Menentukan besar sudut suatu segitiga sembarang jika diketahui panjang ketiga
sisinya.
1. Menentukan panjang sisi suatu segitiga sembarang.
2. Menentukan besar sudut suatu segitiga sembarang.
Dengan rumusan ini, kita dapat menentukan besar sudut-sudut suatu segitiga jika diketahui ketiga sisi segitiga.
Tips :
Saat membaca soal perhatikan berapa banyak sudut yang diketahui. 1. Jika ada dua sudut yang diketahui maka gunakan aturan sinus. 2. Jika hanya satu sudut yang diketahui kemudian lihat pertanyaannya. 3. Jika ditanya sudut maka gunakan aturan sinus.
4. Jika ditanya sisi maka gunakan aturan cosinus.