Aturan Sinus dan Aturan Cosinus

(1)

Aturan Sinus dan Aturan

Cosinus

Kita tahu bahwa, segitiga terdiri dari 3 sisi dan 3 sudut, dengan jumlah ketiga sudut

adalah sebesar 180°. Untuk segitiga siku-siku, cukup dengan 1 sisi dan 1 sudut (tidak

termasuk sudut siku-siku) ataupun 2 sisi diketahui, kita telah dapat menentukan sisi

dan sudut lainnya, yaitu dengan menggunakan phythagoras ataupun perbandingan

trigonometri yang telah dipelajari sebelumnya.

Sedangkan untuk segitiga sembarang, minimal dibutuhkan 3 unsur yang diketahui,

yaitu

 sisi, sudut, sudut

 sudut, sisi, sisi

 sisi, sisi, sisi

Kemudian dari unsur-unsur yang diketahui, kita dapat menggunakan aturan

sinusatau aturan cosinus untuk menentukan sisi-sisi ataupun sudut-sudut yang lain.

(2)

sisi di depan sudut A adalah BC = a

sisi di depan sudut B adalah AC = b

sisi di depan sudut C adalah AB = c

Aturan

Sinus

Untuk sembarang segitiga yang panjang sisi-sinya a, b dan c, dengan

A adalah sudut di depan sisi a

B adalah sudut di depan sisi b

C adalah sudut di depan sisi c

berlaku

asinA=bsinB=csinCasinA=bsinB=csinC

Contoh 1

(3)

panjang BC !

Jawab :

BCsin45∘

=

6sin30∘

BCsin45∘=6sin30∘

BC = 6×sin45∘sin30∘

6×sin45∘sin30∘

BC = 6×12√ 212

6×12212

BC = 6√2

Jadi, panjang BC adalah 6√2

Contoh 2

(4)

Jawab :

8sinθ

=

4√ 6 sin60∘

8sinθ=46sin60∘

sin θ = 8×sin60∘4√ 6

8×sin60∘46

sin R = 8×12√ 3 4√ 6

8×12346

(rasionalkan)

sin R = 12

12

√2

⇒ θ = 45°

Jadi, besar sudut θ adalah 45°

Aturan

Cosinus

(5)

di depan sisi c, berlaku

c

2

=a

2

+b

2

−2ab.cosCc2=a2+b2−2ab.cosC

atau dapat

pula ditulis

cosC=a

2

+b

2

−c

2

2abcosC=a2+b2−c22ab

Contoh 3

Tentukan x dari segitiga berikut !

Jawab :

Dengan aturan cosinus :

x2 = 42 + 62 − 2. 4. 6. cos 60°

x2 = 42 + 62 − 2. 4. 6. 12

12

x2 = 28

x =

√ 28

28

= 2√7

Jadi, nilai x adalah 2√7

(6)

Diketahui segitiga PQR dengan PQ = 2√3, QR = 1 dan PR = √7. Jika ∠Q = θ,

tentukan θ !

Jawab :

(7)

cos θ = 64√ 3

643

(rasionalkan)

cos θ = 12

12

√3

⇒ θ = 30°

Tips

Gunakan aturan sinus jika sisi dan sudut yang saling berhadapan diketahui.

Perhatikan contoh 1, sisi dan sudut yang berhadapan, yaitu 6 dan 30°.

Perhatikan contoh 2, sisi dan sudut yang berhadapan, yaitu 4√6 dan 60°.

Gunakan aturan cosinus jika sudut dan 2 sisi yang mengapit sudut tersebut diketahui

atau ketiga sisi diketahui.

Perhatikan contoh 3, sudut apit 60° dan sisi yang mengapit 4 dan 6.

Perhatikan contoh 4, ketiga sisinya diketahui.

Latihan

Soal

(8)

Diketahui segitiga ABC dengan panjang AB = 8 dan AC = 5. Jika ∠A = 60°, tentukan

(9)

sin B = 5.sin60∘7

5.sin60∘7

sin B = 5.12√ 3 7

5.1237

sin B = 0,6186

B = sin-1(0,6186) (gunakan kalkulator)

B = 38,21°

Suatu segitiga dengan panjang sisi berturut-turut adalah 3, 5 dan 7. Jika θ adalah sudut

(10)

Jawab :

cos θ = 32+52−722.3.5

32+52−722.3.5

cos θ =

−

12

−12

Karena cos θ bernilai negatif, maka θ adalah sudut tumpul (kuadran II)

θ = 180° − 60°

θ = 120°

sin θ = sin 120°

sin θ = sin (180° − 60°)

sin θ = sin 60° (K.II sinus positif)

sin θ = 12

12

√3

(11)

tan θ = tan (180° − 60°)

tan θ = −tan 60° (K.II tangen negatif)

tan θ = −√3

Latihan 3

Sebuah kapal berlayar dari pelabuhan A menuju pelabuhan B dengan arah 030° sejauh

20 mil. Kemudian berlayar lagi dari pelabuhan B menuju pelabuhan C dengan arah

150° sejauh 40 mil. Jarak pelabuhan A ke pelabuhan C adalah...

Jawab :

(12)

∠BAU dan ∠ABS merupakan sudut dalam berseberangan, sehingga

∠BAU = ∠ABS = 30°

∠CBU dan ∠CBS saling berpelurus, sehingga

∠CBU + ∠CBS = 180°

150° + ∠CBS = 180°

∠CBS = 30°

Jadi, ∠B pada segitiga ABC adalah 60°

Dengan aturan cosinus

(13)

Latihan 4

Diketahui segi-8 beraturan dengan panjang jari-jari lingkaran luar 10 cm. Keliling

segi-8 tersebut adalah...

Jawab :

θ = 360∘8

360∘8

= 45°

Perhatikan segitiga AOB

s2 = 102 + 102 − 2. 10. 10. cos 45°

s2 = 200 − 200. 12

12

√2

s2 = 200 − 100√2

s2 = 100(2 − √2)

(14)

K = 8s

K = 8. 10

√2−√ 2

2−2

K = 80

√2−√ 2

2−2

Jadi, keliling segi-8 tersebut adalah 80

√2−√ 2

2−2

cm.

Latihan 5

Diketahui titik-titik A, B, C dan D terletak pada lingkaran dengan AB = 2√5 cm, BC =

5√2 cm, CD = 6 cm dan AD = 3√10 cm. Tentukan panjang diagonal BD !

(15)

ABCD merupakan segiempat tali busur sehingga jumlah sudut-sudut yang berhadapan

Dari persamaan (1) dan (2)

86 + 60√2 cos A = 110 − 60√2 cos A

120√2 cos A = 24

(16)

Dari persamaan (1)

BD2 = 110 − 60√2 cos A

BD2 = 110 − 60√2. 15√ 2

152

BD2 = 98

BD =

√ 49.2

49.2

BD = 7√2

Jadi, panjang BD adalah 7√2 cm

ATURAN

COSINUS

(17)

Aplikasi Aturan Cosinus

 Menentukan panjang sisi suatu segitiga sembarang jika diketahui panjang dua sisi

dan besar sudut yang diapitnya.

 Menentukan besar sudut suatu segitiga sembarang jika diketahui panjang ketiga

sisinya.

1. Menentukan panjang sisi suatu segitiga sembarang.

(18)

(19)

2. Menentukan besar sudut suatu segitiga sembarang.

(20)

Dengan rumusan ini, kita dapat menentukan besar sudut-sudut suatu segitiga jika diketahui ketiga sisi segitiga.

(21)

(22)

(23)

Tips :

Saat membaca soal perhatikan berapa banyak sudut yang diketahui. 1. Jika ada dua sudut yang diketahui maka gunakan aturan sinus. 2. Jika hanya satu sudut yang diketahui kemudian lihat pertanyaannya. 3. Jika ditanya sudut maka gunakan aturan sinus.

4. Jika ditanya sisi maka gunakan aturan cosinus.

(24)