• Tidak ada hasil yang ditemukan

16342083 Aturan Sinus Cosinus Dan Luas S

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2018

Membagikan "16342083 Aturan Sinus Cosinus Dan Luas S"

Copied!
52
0
0

Teks penuh

(1)

DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL

REPUBLIK INDONESIA

(2)

APLIKASI SINUS,

COSINUS DAN LUAS

SEGITIGA

APLIKASI SINUS,

COSINUS DAN LUAS

SEGITIGA

Disusun Oleh :

Padiya,S.Pd

.

Pengajar Matematika SMAN 1 Rantau

Kabupaten Tapin Propinsi Kalimantan

Selatan

(3)

STANDAR KOMPETENSI

STANDAR KOMPETENSI

Menggunakan

perbanding-an , fungsi, persamaperbanding-an, dperbanding-an

identitas trigonomteri

(4)

KOMPETENSI DASAR

1. Menngunakan sifat dan aturan

tentang fungsi trigonometri,

rumus sinus dan rumus kosinus

dalam pemecahan masalah.

2. Melakukan manipulasi aljabar

dalam perhitungan teknis yang

berkaitan dengan fungsi

(5)

INDIKATOR

Membuktikan rumus sinus dan rumus

kosinus

Menggunakan rumus sinus dan rumus

kosinus dalam penyelesaian soal.

Menghitung luas segitiga yang

kompo-nennya diketahui

Menghitung luas segibanyak tertentu

(6)

TUJUAN PEMBELAJARAN

Setelah mempelajari materi ini diharapkan siswa dapat :

• Membuktikan aturan sinus

• Menghitung unsur-unsur segitiga dengan menggunakan aturan sinus.

• Membuktikan aturan kosinus.

• Menghitung unsur-unsur segitiga dengan menggunakan aturan kosinus

• Membuktikan rumus luas segitiga. • Menghitung luas suatu segitiga

• Menghitung luas segibanyak tertentu

(7)

MENU UTAMA

PILIH SALAH SATU (TEKAN TOMBOL)

ATURAN SINUS

ATURAN

KOSINUS

LUAS

SEGITIGA

(8)

ATURAN SINUS

Perhatikan segitiga ABC di samping.

B C

A

Pada segitiga ABC tersebut buatlah garis tinggi AD.

D

Pada segitiga ABC

tersebut sisi AB = c, sisi AC = b dan sisi BC = a.

a

b c

BUKTI :

SinC

c

SinB

b

SinA

a

(9)

Perhatikan segitiga ADB dan segitiga ADC siku-siku di D di samping.

B C

A Pada segitiga ADB tersebut

berlaku perbandingan trigo-nometri sebagai berikut :

D

c

a

b

AD = AB.sin B

 AD= c.sin B (1)

Pada segitiga ADC siku-siku

di D AD = AC.sin C

AD = b.sin C (2)

AB AD SinB

AC AD

SinC

(10)

Dari (1) AD = c.SinB dan (2) AD = b.SinC

diperoleh hubungan sebagai berikut:

c.sin B = b.sin C

)

3

(

SinC

c

SinB

b

(11)

Perhatikan segitiga AEC dan segitiga BEC siku-siku di E di samping.

A B

C Pada segitiga AEC berlaku

perbandingan trigonometri sebagai berikut :

c

a b

EC = AC.sin A  EC= b.sin A (4)

Pada segitiga BEC siku-siku di E berlaku :

EC = BC.sin B  EC = a.sin B (5)

Pada segitiga ABC di atas buatlah garis tinggi CE.

E

AC EC SinA

(12)

Dari (4) EC = b.SinA dan (5) EC = a.SinB

diperoleh hubungan sebagai berikut:

b.sin A = a.sin B

)

6

(

SinB

b

SinA

a

(13)

Dari rumus (3) dan (6) di atas

diperoleh hubungan sebagai berikut

:

Rumus terakhir dikenal

dengan

ATURAN SINUS

(14)
(15)

ATURAN SINUS

SinC

c

SinB

b

SinA

a

berlaku

ABC

segitiga

Pada

(16)

APLIKASI ATURAN SINUS

Aturan sinus secara umum dapat diaplikasikan

(digunakan) untuk menentukan unsur-unsur

pada sebuah segitiga yang belum diketahui,

apabila unsur-unsur yang lainnya telah

diketahui. Unsur-unsur yang diketahui dalam

sebuah segitiga dapat terdiri dari

1) sisi, sudut, sudut disingkat ss, sd, sd

2) sudut, sisi, sudut disingkat sd, ss, sd

(17)

CONTOH :

1. Pak Udin ingin mengukur panjang

batas-batas kebunnya yang berbentuk

segitiga. Pada titik-titik pojok kebun

ditempatkan tonggak A, B dan C.

Jika jarak tonggak A dan B = 70 m

dan

ABC = 40

o

;

BCA = 60

o

,

tentukan panjang batas kebun Pak

(18)

Penyelesaian:

Keadaan kebun Pak Udin di atas dapat kita gambarkan sebagai berikut :

A 70 m B

40o

C

60o

Pada gambar di samping Diketahui :

Panjang AB = c = 70 m

ABC = B = 40o

BCA = C = 60o

(sisi, sudut, sudut)

Yang belum diketahui :

BAC = A = …..?

(19)

Pada segitiga ABC berlaku :  A +  B +  C = 180o

 A = 180o - B - C

= 180o – 40o – 60o

= 80o

*) Menentukan panjang BC = a sebagai berikut :

(20)

*) Menentukan panjang AC = b sebagai berikut :

(21)

2. Pada pukul 09.00 WIB kapal

KAMBUNA berlayar dari Tanjung

Priok dengan arah 060

o

dan kecepatan

rata-rata 8 mil/jam. Pada pukul 11.00

WIB kapal itu mengubah haluan

menjadi 085

o

dengan kecepatan tetap.

(22)

Penyelesaian :

Kejadian tersebut dapat kita gambarkan sebagai berikut :

U

T

S B

60O

P

85O

U

T

S

B Q R

Tanjung Priok pukul 09.00 WIB

pukul 11.00 WIB

pukul 13.00 WIB

Pada gambar di atas  PQS =  UPQ = 60o (sudut berseberangan)

TQR =  UQT -  UQR = 90o - 85o = 5o

PQR =  PQS +  SQT +  TQR = 60o + 90o + 5o = 155o

Panjang PR = ….?

 UPR = ….? Kec = 8 mil/jam

(23)

Karena kecepatan kapal tetap yaitu 8 mil/jam, dan lama perjalanan dari P ke Q sama dengan dari Q ke R yaitu 2 jam , maka : PQ = QR = 2 jam x 8 mil/jam = 16 mil Dengan demikian segitiga PQR adalah segitiga sama kaki, sehingga  QPR =  QRP = ½ (180o - PQR)

Jadi jarak kapal KAMBUNA dari pelabuhan Tanjung Priok pada pukul 13.00 WIB adalah 32,25 mil dengan arah 072,5o

(yaitu  UPR =  UPQ +  QPR = 60o + 12,5o = 72,5o)

(24)

APAKAH ANDA

SUDAH MENGERTI

????

PILIH SALAH SATU (TEKAN TOMBOL)

SUDAH =

(25)

ATURAN KOSINUS

Pada setiap segitiga

ABC berlaku :

(26)

A(0,0) c B(c,0)

C(b.cos A, b.sinA)

b a

X

Y

C

B A

Perhatikan segitiga ABC di samping.

Jika segitiga tersebut kita letakkan pada bidang koor-dinat kartesius dengan titik A berimpit pada titik asal O(0,0) dan sisi AB berimpit dengan sumbu X.

Titik A(0,0) ,

Titik B(c,0)

Titik C(b.cos A, b.sinA) Maka diperoleh koordinat-koordinat titik sudut segi-tiga itu sebagai berikut.

BUKTI :

(27)

A(0,0) c B(c,0)

Kita cari panjang BC dengan menggunakan rumus jarak :

(28)

-Dengan cara yang sama, jika kita letakkan sudut B pada titik asal O(0,0) dan sisi BC berimpit dengan sumbu X, maka akan kita peroleh :

Demikian juga , jika kita letakkan sudut C pada titik asal O(0,0) dan sisi CA berimpit dengan sumbu X, maka akan kita peroleh :

Rumus-rumus di atas dinamakan

ATURAN KOSINUS

(29)

CONTOH SOAL

Jawab :

a 2 = b2 + c2 – 2.b.c.cos A

a2 = 52 + 62 – 2.5.6.cos 60o

= 25 + 36 – 60. ½

= 61 – 30

= 31

a =  31. Jadi panjang a = 31 cm.

(30)
(31)

APLIKASI

ATURAN COSINUS

Aturan cosinus secara umum dapat

diaplikasikan (digunakan) untuk

menentukan

1

.

Panjang sisi pada sebuah segitiga yang

belum diketahui, apabila dua sisi lainnya

dan besar sudut yang diapit oleh kedua

sisi itu diketahui (ss,sd,ss)

2

.

Besar sudut-sudut sebuah segitiga jika

panjang ketiga buah sisinya telah

(32)

CONTOH :

1. Sebuah bola bilyard bergerak

dengan arah 060

o

sejauh 40 cm,

kemudian memantul dan bergerak

dengan arah 280

o

sejauh 35 cm.

(33)

Penyelesaian :

Kejadian tersebut dapat kita gambarkan sebagai berikut :

K

Pada gambar disamping

 KLS =  UKL = 60o

Dengan demikian pada segi-tiga KLM diketahui :

Panjang KL = m = 40 cm

 KLM =  L = 40o

Panjang LM = k = 35 cm (ss, sd, ss)

Posisi awal bola bilyard Posisi akhir bola bilyard

Panjang KM = l =….?

(34)

Menentukan panjang KM = l adalah sebagai berikut :

(35)

Menentukan arah bola bilyard pada posisi akhir dari Posisi awal, sebagai berikut :

(36)

Dengan demikian  UKM = UKT -  LKT -  MKL

= 90o -30o-59,62o=0,38o

(37)

APAKAH ANDA

SUDAH

MENGERTI ????

PILIH SALAH SATU (TEKAN TOMBOL)

SUDAH =

(38)

LUAS SEGITIGA

A B

C

a b

c

Luas segitiga ABC disam-ping adalah :

L = ½ a.b.sin C

atau

L = ½ a.c.sin B

L = ½ b.c.sin A

(39)

A B C

a b

c

Pada segitiga ABC di atas kita buat garis tinggi CD.

D

Luas segitiga ABC di samping adalah :

L = ½ x AB x CD (1)

Pada segitiga ADC, siku-siku di D berlaku :

CD = AC.sin A (2)

Dari (1) dan (2) diperoleh hubungan sebagai berikut : L = ½ x AB x CD

L = ½ x AB x AC.sin A

L = ½ .c.b.sinA

L = ½ .b.c.sin A

BUKTI :

(40)

A B C

a b

c

Pada segitiga ABC di atas kita buat garis tinggi CD.

D

Luas segitiga ABC di samping adalah :

L = ½ x AB x CD (3) Pada segitiga BDC, siku-siku di D berlaku :

CD = BC.sin B (4)

Dari (3) dan (4) diperoleh hubungan sebagai berikut : L = ½ x AB x CD

L = ½ x AB x BC.sin B

L = ½ .c.a.sinB

L = ½ .a.c.sin B

(41)

A C B

a c

b

Pada segitiga ABC di atas kita buat garis tinggi BE.

E

Luas segitiga ABC di samping adalah :

L = ½ x AC x BE (5)

Pada segitiga BEC, siku-siku di E berlaku :

BE = BC.sin C (6)

Dari (5) dan (6) diperoleh hubungan sebagai berikut :

L = ½ x AC x BE

L = ½ x AC x BC.sinC

L = ½ .b.a.sin C

L = ½ .a.b.sin C

BC BE

(42)

CONTOH SOAL

1. Hitunglah luas segitiga ABC, jika diketahui a = 4 cm, b = 6 cm dan  C = 30o

Jawab :

L = ½ a.b.sin C = ½ .4.6.sin 30o = 12. ½ = 6

Jadi luas segitiga ABC tersebut adalah 6 cm2

(43)
(44)

APLIKASI

RUMUS LUAS SEGITIGA

Rumus luas segitiga dapat digunakan

untuk menghitung luas segiempat,

segilima, segienam dan segi banyak

lainnya. Dengan kata lain rumus luas

segitiga dapat digunakan untuk

menghitung atau menentukan luas

(45)

Contoh 1 :

A B

C D

Pada jajargenjang ABCD di atas diketahui :

AB = 8 cm, AD = 6 cm, dan

BAD = 60

o

.

Hitunglah luas daerah jajargenjang ABCD

tersebut.

8 cm 6 cm

(46)

Penyelesaian

A B

C D

8 cm 6 cm

60o

60o

Pada jajargenjang tersebut kita bagi menjadi dua buah segitiga yaitu , segitiga ABD dan segitiga BDC

(47)

Luas segitiga ABD adalah L = ½ AB. BD. Sin  BAD L = ½ 8.6.Sin 60o

L = ½ 48. 0,8660 L = 20,784

Jadi luas segitiga ABD = 20,874 cm2

Karena segitiga BDC kongruen dengan segitiga ABD, Maka luas  BDC = luas  ABD = 20, 874 cm2

Dengan demikian luas jajargenjang ABCD adalah

sama dengan luas segitiga ABD ditambah luas

segitiga BDC = 20,784 cm

2

+ 20.784 cm

2

= 41,564

(48)

Contoh 2 :

P

Q

R

S

T

U

O

8 cm

8 cm

Pada gambar di samping segienam PQRSTU berada dalam sebuah lingkaran yang berjari-jari 8 cm dan berpusat di O

Hitunglah :

a. Luas  OPQ

(49)

Penyelesaian :

P

Q

R

S

T

U

O

8 cm

8 cm

8 cm

8 cm

O

Karena PQRSTU merupakan segienam beraturan, maka

POQ = 360o/6 = 60o dan

OP = OQ = 8 cm.

a. Luas  POQ = ½xOPxOQx

sin  POQ

= ½ x 8 x 8 x Sin 60o = 32 x 0,8660

= 27,712 cm2

Pada segienam PQRSTU kita buat enam buah segitiga,yaitu :

 POQ,  QOR,  ROS ,

 SOT,  TOU, dan  UOP

(50)

b. Segienam PQRSTU terbentuk dari enam segitiga yang masing-masing kongruen dengan  POQ

Jadi luas segienam PQRSTU = 6 x luas  POQ

= 6 x 27,712 cm2

(51)

APAKAH ANDA

SUDAH

MENGERTI ????

PILIH SALAH SATU (TEKAN TOMBOL)

SUDAH

=

BELUM

(52)

SEMOGA BERHASIL

ANDA S UDAH SELESAI

MEMPELAJARI

RUMUS-RUMUS SEGITIGA

DALAM TRIGONOMETRI

Referensi

Dokumen terkait

Sedangkan pembelajaran remedial yang dilakukan dengan mengajarkan kembali materi aturan sinus dan kosinus serta rumus luas segitiga dengan menjelaskan kembali

Hal ini bermakna bahwa kesalahan-kesalahan yang dilakukan siswa pada materi penerapan luas segitiga dengan aturan sinus dan cosinus dalam menghitung luas segienam yaitu

o Diketahui satu sudut, maka penyelesaiannya bisa menggunakan aturan kosinus untuk mencari satu sisi yang lain, lalu dilanjutkan dengan aturan sinus.. (Atau apabila ada satu

Sedangkan pembelajaran remedial yang dilakukan dengan mengajarkan kembali materi aturan sinus dan kosinus serta rumus luas segitiga dengan menjelaskan kembali

 Guru memberikan latihan soal tentang menentukan panjang sisi dan besar sudut segi tiga menggunakan aturan sinus dan aturan kosinus untuk menentukan panjang sisi

mari kita cari tahu pembuktiannya berikut pembuktian aturan sinus paling mudah melalui pendekatan pembuktian dari rumus luas segitiga. Silahkan

Berdasarkan hal tersebut, maka rumusan masalah dalam makalah ini yaitu tentang aplikasi aturan cosinus dan sinus segitiga bola dalam perhitungan arah kiblat.. Untuk menjawab

Garis tinggi yang dibentuk dari sudut C Pada gambar di atas, garis tinggi dibentuk dengan menarik garis dari sudut C ke sisi AB sehingga membentuk dua segitiga yaitu dan.. Karena garis