Aturan Sinus, Cosinus Dan Luas Segitiga

(1)

DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL

REPUBLIK INDONESIA

(2)

APLIKASI SI NUS,

COSI NUS D AN L UAS

SE GITIGA

Disusun Oleh :

Padiya,S.Pd.

Pengajar Matematika SMAN 1 Rantau

Kabupaten Tapin Propinsi Kalimantan

Selatan

Untuk Kelas X SMA

Semester 2

(3)

STANDAR KOMPETENSI

Menggunakan

perbanding-an , fungsi, persamaperbanding-an, dperbanding-an

identitas trigonomteri

(4)

KOMPETENSI DASAR

1. Menngunakan sifat dan

aturan tentang fungsi

trigonometri, rumus sinus

dan rumus kosinus dalam

pemecahan masalah.

2. Melakukan manipulasi

aljabar dalam perhitungan

teknis yang berkaitan

(5)

INDIKATOR

Membuktikan rumus sinus dan rumus

kosinus

Menggunakan rumus sinus dan rumus

kosinus dalam penyelesaian soal.

Menghitung luas segitiga yang

kompo-nennya diketahui

Menghitung luas segibanyak tertentu

(6)

TUJUAN PEMBELAJARAN

Setelah mempelajari materi ini diharapkan siswa dapat :

• Membuktikan aturan sinus

• Menghitung unsur-unsur segitiga dengan menggunakan aturan sinus.

• Membuktikan aturan kosinus.

• Menghitung unsur-unsur segitiga dengan menggunakan aturan kosinus

• Membuktikan rumus luas segitiga. • Menghitung luas suatu segitiga

• Menghitung luas segibanyak tertentu dengan menggunakan rumus luas

(7)

MENU UTAMA

PILIH SALAH SATU (TEKAN

ATURAN SINUS

ATURAN

KOSINUS

LUAS

SEGITIGA

SELESAI

(8)

ATURAN SINUS

Perhatikan segitiga ABC di samping.

B C

A

Pada segitiga ABC tersebut buatlah garis tinggi AD.

D

Pada segitiga ABC

tersebut sisi AB = c, sisi AC = b dan sisi BC = a. a b c BUKTI :

SinC

c

SinB

b

SinA

a

=

(9)

Perhatikan segitiga ADB dan segitiga ADC siku-siku di D di samping.

B C

A Pada segitiga ADB tersebut

berlaku perbandingan trigo-nometri sebagai berikut :

D c a b ⇒AD = AB.sin B ⇒ AD= c.sin B (1)

Pada segitiga ADC siku-siku

di D _⇒_{AD = AC.sin}_C AB AD SinB = AD SinC = berlaku

(10)

Dari (1) AD = c.SinB dan (2) AD = b.SinC

diperoleh hubungan sebagai berikut: c.sin B = b.sin C

)

3 (

SinC

c

SinB

b

=

(11)

Perhatikan segitiga AEC dan segitiga BEC siku-siku di E di samping.

A _B

C _{Pada segitiga AEC berlaku}

perbandingan trigonometri sebagai berikut : c a b ⇒ EC = AC.sin A ⇒ EC= b.sin A (4)

Pada segitiga BEC siku-siku di E berlaku :

⇒ EC = BC.sin B

⇒ EC = a.sin B (5)

Pada segitiga ABC di atas buatlah garis tinggi CE.

E AC EC SinA = BC EC SinB =

(12)

Dari (4) EC = b.SinA dan (5) EC = a.SinB

diperoleh hubungan sebagai berikut: b.sin A = a.sin B

)

6 (

SinB

b

SinA

a

=

(13)

Dari rumus (3) dan (6) di atas

diperoleh hubungan sebagai berikut :

Rumus terakhir dikenal

dengan

ATURAN SINUS

)

3 (

SinC

c

SinB

b

=

(

6 )

SinA

a

SinB

b

=

SinC

c

SinB

b

SinA

a

=

(14)

CONTOH SOAL

• Pada segitiga ABC diketahui ∠ A = 30o, ∠ B = 45o dan sisi a =

6 cm.

Tentukanlah :

a. besar ∠ C. b. panjang b. Jawab :

• _Dalam_∆_{ABC berlaku}_∠_{A +}_∠_{B +}_∠_{C = 180}o_{, maka}

∠ C = 180o_-∠_{A -}∠_{B = 180}o_{– 30}o_{– 45}o_{= 105}o Jadi besar ∠ C = 105o 49 , 8 5 , 0 7071 , 0 . 6 30 45 . 6 45 30 6 = = = = ⇒ = o o o o Sin Sin b Sin b Sin SinB b SinA a b. Jadi panjang b = 8,49 cm

(15)

ATURAN SINUS

SinC

c

SinB

b

SinA

a

berlaku

ABC

segitiga

Pada

=

(16)

APLIKASI ATURAN SINUS

Aturan sinus secara umum dapat diaplikasikan

(digunakan) untuk menentukan unsur-unsur

pada sebuah segitiga yang belum diketahui,

apabila unsur-unsur yang lainnya telah

diketahui. Unsur-unsur yang diketahui dalam

sebuah segitiga dapat terdiri dari

1) sisi, sudut, sudut disingkat ss, sd, sd

2) sudut, sisi, sudut disingkat sd, ss, sd

(17)

CONTOH :

1. Pak Udin ingin mengukur panjang

batas-batas kebunnya yang berbentuk

segitiga. Pada titik-titik pojok kebun

ditempatkan tonggak A, B dan C.

Jika jarak tonggak A dan B = 70 m

dan

∠

ABC = 40

o

;

∠

BCA = 60

o

,

tentukan panjang batas kebun Pak

Udin lainnya yang belum diketahui !

(18)

Penyelesaian:

Keadaan kebun Pak Udin di atas dapat kita gambarkan sebagai berikut :

A 70 m B

40o

C

60o

Pada gambar di samping Diketahui :

Panjang AB = c = 70 m

∠ ABC = ∠ B = 40o

∠ BCA = ∠ C = 60o

(sisi, sudut, sudut)

Yang belum diketahui :

∠ BAC = ∠ A = …..? Panjang AC = b = ….? Panjang BC = a = ….?

(19)

Pada segitiga ABC berlaku : ∠ A + ∠ B + ∠ C = 180o

∠ A = 180o - ∠ B - ∠ C

= 180o – 40o – 60o

= 80o

*) Menentukan panjang BC = a sebagai berikut :

60 ,

79 8660

,

0 9848

,

0 .

70

60

80 .

70 .

=

⇒

=

o o

Sin

a

SinC

SinA

c

a

SinC

c

SinA

a

Jadi panjang BC = a = 79,60 m

(20)

*) Menentukan panjang AC = b sebagai berikut :

96 ,

51 8660

,

0 6428

,

0 .

70

60

40 .

70 .

=

⇒

=

o o

Sin

b

SinC

SinB

c

b

SinC

c

SinB

b

Jadi panjang AC = b = 51,96 m

Dengan demikian panjang batas-batas kebun pak Udin yang lain adalah panjang BC = 79,60 m dan panjang AC = 51,96 m

(21)

2. Pada pukul 09.00 WIB kapal

KAMBUNA berlayar dari Tanjung

Priok dengan arah 060

o

dan kecepatan

rata-rata 8 mil/jam. Pada pukul 11.00

WIB kapal itu mengubah haluan

menjadi 085

o

dengan kecepatan tetap.

Berapakah jarak kapal KAMBUNA

dari Tanjung Priok pada pukul 13.00

WIB dan bagaimana arahnya ?

(22)

Penyelesaian :

Kejadian tersebut dapat kita gambarkan sebagai berikut :

U T S B 60O P 85O U T S B _Q R

Tanjung Priok pukul 09.00 WIB

pukul 11.00 WIB

pukul 13.00 WIB

Pada gambar di atas ∠ PQS = ∠ UPQ = 60o (sudut berseberangan)

∠ TQR = ∠ UQT - ∠ UQR = 90o - 85o = 5o ∠ PQR = ∠ PQS + ∠ SQT + ∠ TQR = 60o_{+ 90}o_{+ 5}o_{= 155}o Panjang PR = ….? ∠ UPR = ….? Kec = 8 mil/jam Kec = 8 mil/jam

(23)

Karena kecepatan kapal tetap yaitu 8 mil/jam, dan lama perjalanan dari P ke Q sama dengan dari Q ke R yaitu 2 jam , maka : PQ = QR = 2 jam x 8 mil/jam = 16 mil Dengan demikian segitiga PQR adalah segitiga sama kaki, sehingga ∠ QPR = ∠ QRP = ½ (180o - ∠ PQR) = ½ (180o - 155o) = ½ (25o) = 12,5o 25 , 32 2164 , 0 4226 , 0 . 16 5 , 12 155 . 16 . = = = = ⇒ = o o Sin Sin PR SinP SinQ QR PR SinP QR SinQ PR

Jadi jarak kapal KAMBUNA dari pelabuhan Tanjung Priok pada pukul 13.00 WIB adalah 32,25 mil dengan arah 072,5o

(yaitu ∠ UPR = ∠ UPQ + ∠ QPR = 60o + 12,5o = 72,5o)

(24)

APAKAH ANDA

SUDAH MENGERTI

????

PILIH SALAH SATU (TEKAN TOMBOL)

SUDAH =

(25)

ATURAN KOSINUS

Pada setiap segitiga

ABC berlaku :

a2 = b2 + c2 – 2.b.c.Cos A b2 = a2 + c2 – 2.a.c.Cos B c2 = a2 + b2 – 2.a.b.Cos C

ac

c

b

a

CosC

ac

b

c

a

CosB

bc

a

c

b

CosA

2

2 2 2 2 2 2 2 2 2

−

+

=

−

+

=

−

+

=

(26)

A(0,0) c B(c,0) C(b.cos A, b.sinA) b a

X

Y

C B A

Perhatikan segitiga ABC di samping.

Jika segitiga tersebut kita letakkan pada bidang koor-dinat kartesius dengan titik A berimpit pada titik asal O(0,0) dan sisi AB berimpit dengan sumbu X.

Titik A(0,0) ,

Titik B(c,0)

Titik C(b.cos A, b.sinA) Maka diperoleh koordinat-koordinat titik sudut segi-tiga itu sebagai berikut.

BUKTI :

(27)

A(0,0) c B(c,0) C(b.cos A, b.sinA) b a

X

Y

C B A BC2 = (b.cosA – c)2 + (b.sinA-0)2 a2 = b2.cos2A – 2.b.c.cos A + c2 + b2.sin2A a2 = b2 + c2 – 2.b.c.cos A

Kita cari panjang BC dengan menggunakan rumus jarak :

a2 = b2 ( cos2A + sin2A ) + c2

2.b.c.cosA

karena cos2A + sin2A = 1, maka

O bc a c b CosA atau 2 2 2 2 ₊ ₋ =

(28)

Dengan cara yang sama, jika kita letakkan sudut B pada titik asal O(0,0) dan sisi BC berimpit dengan sumbu X, maka akan kita peroleh :

Demikian juga , jika kita letakkan sudut C pada titik asal O(0,0) dan sisi CA berimpit dengan sumbu X, maka akan kita peroleh :

Rumus-rumus di atas dinamakan

ATURAN KOSINUS

ac b c a B atau CosB ac c a b 2 cos . 2 2 2 2 2 2 2 − + = − + = ab c b a C atau CosC ab b a c 2 cos . 2 2 2 2 2 2 2 − + = − + =

(29)

CONTOH SOAL

Jawab : a 2 = b2 + c2 – 2.b.c.cos A a2 = 52 + 62 – 2.5.6.cos 60o = 25 + 36 – 60. ½ = 61 – 30 = 31 a = √ 31. Jadi panjang a = √31 cm.

Pada segitiga ABC diketahui ∠A = 60o_{, b = 5 cm dan c}

(30)

ATURAN COSINUS

CosC

ab

b

a

c

CosB

ac

c

a

b

CosA

bc

c

b

a

berlaku

ABC

segitiga

Pada

.

2 .

2

2 −

+

=

−

+

=

−

+

=

(31)

APLIKASI

ATURAN COSINUS

Aturan cosinus secara umum dapat

diaplikasikan (digunakan) untuk

menentukan

1 .

Panjang sisi pada sebuah segitiga yang

belum diketahui, apabila dua sisi lainnya

dan besar sudut yang diapit oleh kedua

sisi itu diketahui (ss,sd,ss)

2 .

Besar sudut-sudut sebuah segitiga jika

panjang ketiga buah sisinya telah

(32)

CONTOH :

1. Sebuah bola bilyard bergerak

dengan arah 060

o

sejauh 40 cm,

kemudian memantul dan bergerak

dengan arah 280

o

sejauh 35 cm.

Tentukan jarak dan arah posisi akhir

bola bilyard dari posisi awal. !

(33)

Penyelesaian :

Kejadian tersebut dapat kita gambarkan sebagai berikut :

K U S B 60 _T O L U T S B 280O M 40 cm 35 cm

Pada gambar disamping

∠ KLS = ∠ UKL = 60o ∠ KLB = ∠ BLS - ∠ KLS = 90o – 60o = 30o ∠ BLM = 10o ∠ KLM = ∠ KLB + ∠ BLM = 30o + 10o = 40o

Dengan demikian pada segi-tiga KLM diketahui :

Panjang KL = m = 40 cm

∠ KLM = ∠ L = 40o

Panjang LM = k = 35 cm (ss, sd, ss)

Posisi awal bola bilyard Posisi akhir bola bilyard

(34)

Menentukan panjang KM = l adalah sebagai berikut : 08 , 26 2 , 680 2 , 680 8 , 2144 2825 7660 , 0 . 2800 1600 1225 40 . 40 . 35 . 2 40 35 . 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = = = − = − + = − + = − + = l l l l Cos l CosL km m k l o

Jadi jarak posisi akhir bola bilyard dari posisi awal adalah = panjang KM = l = 26,08 cm

(35)

Menentukan arah bola bilyard pada posisi akhir dari Posisi awal, sebagai berikut :

∠ UKM = ∠ UKT - ∠ MKL - ∠ LKT o MKL CosMKL MKL Cos MKL Cos KM KL LM KM KL MKL Cos 62 , 59 5057 , 0 4 , 2086 17 , 1055 4 , 2086 1225 17 , 680 1600 08 , 26 . 40 . 2 35 08 , 26 40 . . 2 2 2 2 2 2 2 = ∠ ⇒ = = ⇒ − + = ∠ ⇒ − + = ∠ ⇒ − + = ∠

(36)

Dengan demikian ∠ UKM = ∠UKT - ∠ LKT - ∠ MKL = 90o -30o-59,62o=0,38o

Jadi dengan demikian jarak bola bilyard pada posisi akhir dari posisi awal adalah = panjang KM = 26,08 cm dengan arah 0,38o

(37)

APAKAH ANDA

SUDAH

MENGERTI ????

PILIH SALAH SATU (TEKAN TOMBOL)

SUDAH =

BELUM

=

(38)

LUAS SEGITIGA

A _B C a b c

Luas segitiga ABC disam-ping adalah : L = ½ a.b.sin C atau L = ½ a.c.sin B L = ½ b.c.sin A atau

(39)

A B C

a b

c

Pada segitiga ABC di atas kita buat garis tinggi CD.

D

Luas segitiga ABC di samping adalah :

L = ½ x AB x CD (1)

Pada segitiga ADC, siku-siku di D berlaku :

⇒CD = AC.sin A (2)

Dari (1) dan (2) diperoleh hubungan sebagai berikut : L = ½ x AB x CD L = ½ x AB x AC.sin A L = ½ .c.b.sinA BUKTI : AC CD SinA =

(40)

A B C

a b

c

Pada segitiga ABC di atas kita buat garis tinggi CD.

D

L = ½ x AB x CD (3) Pada segitiga BDC, siku-siku di D berlaku :

⇒CD = BC.sin B (4)

Dari (3) dan (4) diperoleh hubungan sebagai berikut : L = ½ x AB x CD L = ½ x AB x BC.sin B L = ½ .c.a.sinB L = ½ .a.c.sin B BC CD SinB =

(41)

A C B

a c

b

Pada segitiga ABC di atas kita buat garis tinggi BE.

E

L = ½ x AC x BE (5)

Pada segitiga BEC, siku-siku di E berlaku :

⇒BE = BC.sin C (6)

Dari (5) dan (6) diperoleh hubungan sebagai berikut :

L = ½ x AC x BE L = ½ x AC x BC.sinC L = ½ .b.a.sin C BC BE SinC =

(42)

CONTOH SOAL

1. Hitunglah luas segitiga ABC, jika diketahui a = 4 cm, b = 6 cm dan ∠ C = 30o

Jawab :

L = ½ a.b.sin C = ½ .4.6.sin 30o = 12. ½ = 6

Jadi luas segitiga ABC tersebut adalah 6 cm2

2. Luas segitiga ABC adalah 24√3 cm2. Panjang sisi a = 8

cm dan panjang sisi c = 12 cm. Tentukan besar ∠ B (dua kemungkinan)!. o B atau B maka SinB SinB c a L SinB SinB ac L 120 60 3 2 1 3 2 1 48 3 24 12 . 8 . 2 1 3 24 . 2 1 . 2 1 0 ₌ = = = = = = ⇒ = Jawab :

(43)

RUMUS LUAS SEGITIGA

SinA

c

b

Luas

atau

SinB

c

a

Luas

atau

SinC

b

a

Luas

berlaku

ABC

segitiga

Pada

.

2

1 .

.

2

1 .

.

2

1 =

=

(44)

APLIKASI

RUMUS LUAS SEGITIGA

Rumus luas segitiga dapat digunakan

untuk menghitung luas segiempat,

segilima, segienam dan segi banyak

lainnya. Dengan kata lain rumus luas

segitiga dapat digunakan untuk

menghitung atau menentukan luas

(45)

Contoh 1 :

A B

C D

Pada jajargenjang ABCD di atas diketahui :

AB = 8 cm, AD = 6 cm, dan

∠

BAD = 60

o

.

Hitunglah luas daerah jajargenjang ABCD

tersebut.

8 cm 6 cm

(46)

Penyelesaian

A B C D 8 cm 6 cm 60o 60o

Pada jajargenjang tersebut kita bagi menjadi dua buah segitiga yaitu , segitiga ABD dan segitiga BDC

(47)

Luas segitiga ABD adalah L = ½ AB. BD. Sin ∠ BAD L = ½ 8.6.Sin 60o

L = ½ 48. 0,8660 L = 20,784

Jadi luas segitiga ABD = 20,874 cm2

Karena segitiga BDC kongruen dengan segitiga ABD, Maka luas ∆ BDC = luas ∆ ABD = 20, 874 cm2

Dengan demikian luas jajargenjang ABCD adalah

sama dengan luas segitiga ABD ditambah luas

segitiga BDC = 20,784 cm

2

+ 20.784 cm

2

= 41,564

(48)

Contoh 2 :

P

Q

R

S

T

U

O

8 cm

Pada gambar di samping segienam PQRSTU berada dalam sebuah lingkaran yang berjari-jari 8 cm dan berpusat di O

Hitunglah :

a. Luas ∆ OPQ

(49)

Penyelesaian :

P

Q

R

S

T

U

O

8 cm

O

Karena PQRSTU merupakan segienam beraturan, maka

∠POQ = 360o/6 = 60o dan

OP = OQ = 8 cm.

a. Luas ∆ POQ = ½xOPxOQx sin ∠ POQ

= ½ x 8 x 8 x Sin 60o = 32 x 0,8660

Pada segienam PQRSTU kita buat enam buah segitiga,yaitu :

∆ POQ, ∆ QOR, ∆ ROS ,

∆ SOT, ∆ TOU, dan ∆ UOP yang kongruen

(50)

b. Segienam PQRSTU terbentuk dari enam segitiga yang masing-masing kongruen dengan ∆ POQ Jadi luas segienam PQRSTU