Kumpulan Soal SNMPTN SBMPTN Materi Matriks

Nama : Diana Rahmah NIM : 201410060311155 Kelas : Matkom 3D

Universtias Muhammadiyah Malang

MATRIKS

1. Jika B=

[

b_{1 2 b}5

]

merupakan matriks yang mempunyai invers, maka hasil kali semua nilai b yang mungkin sehingga det ( B)=det ⁡(B−1) adalah ... (SBMPTN 2015) A. 2 B. 3 C. 6 D. 12 E. 24

2. Jika A adalah matriks berukuran 2 x 2 dan

[

x 1

]

A

[

x₁

]

=x2−5 x+8 , maka matriks A yang mungkin adalah ... (SBMPTN 2014)

A.

[

1 −5_{8 0}

]

B.

[

1 5_{8 0}

]

C.

[

_{−5 0}1 8

]

D.

[

_{−8 8}1 3

]

E.

[

1 −3_{8 8}

]

F.

3. Matriks A=

[

3 2_{4 1}

]

mempunyai hubungan dengan matriks B=

[

₋₂1 −₃4

]

. Jika matriks C=

[

₋₃5 −3₂

]

dan matriks D mempunyai hubungan serupa dengan matriks A dan B. Maka matriks C + D adalah ... (SBMPTN 2009)

A.

[

_{3 5}2 3

]

B.

[

_{7 0}0 7

]

C.

[

₋₇0 −7₀

]

D.

[

7 0_{0 7}

]

E.

[

7 7_{0 0}

]

F. G.

4. Jika M adalah matriks sehingga Mx

[

a b

c d

]

=

[

a b

−a+c −b+d

]

maka determinan matriks M adalah ... (SBMPTN 2010) A. 1 B. -1 C. -0 D. -2 E. 5. Jika A=

[

−1_{−1 −1 0}1 2

]

, B=

[

a −1 b 1 c 0

]

, dan AB=

[

4 2

2 0

]

maka nilai (-a) adalah ... (SBMPTN 2013)

A. -4 B. -3 C. 0 D. 3 E. 4 F. G.

6. Pada matriks A=

[

1 a_{b c}

]

jika bilangan positif 1, a, c memebntuk barisan geometri berjumlah 13 dan bilangan positif 1, b, c membentuk barisan aritmetika, maka determinan A adalah ... (SPMB 2007) A. 17 B. 6 C. -1 D. -6 E. -22 7. Diketahui matriks A=

[

2 1 0 −1

]

dan I=

[

1 0 0 1

]

Bilangan λ yang memenuhi ⌈ A−λI ⌉=0 adalah ... (SNMPTN 2008) A. -1 atau 0

B. 1 atau 3 C. -1 atau 2 D. 2 atau 3 E. -1 atau 3

8. Jika A=

[

1 −3_{1 0}

]

, B=

[

2 0_{1 1}

]

, dan C=

[

5 3_{2 1}

]

, maka determinan matriks AB – C adalah .... (SNMPTN 2011) A. -5 B. -4 C. 5 D. 6 E. 7

9. Jika P=

[

1 −1_{2 −1}

]

dan I=

[

1 0_{0 1}

]

maka− p4+2 p3+3 p2+4 I adalah ... (SNMPTN 2008) A. –P B. P C. 2P D. -2P E. I

10. Transpos dari matriks A ditulis AT . Jika matriks A=

[

_{−2 0}1 2

]

B=

[

_{−2 0}1 2

]

dan X memenuhi AT=B +X maka invers dari X adalah ... (SNMPTN 2008)

A. ₇1

[

_{−4 −1}−3 1

]

B. 1₄

[

_{−4 −1}1 1

]

C. 1₄

[

_{−4 −3}1 1

]

D. 1₉

[

_{−1 3}1 2

]

E. 1₂

[

−1 −2_{1 −2}

]

11. Jika A−1=

[

−1_{3 −2}1

]

dab B=

[

1 −5_{3 3}

]

maka det1₂(ABT) adalah ... (SPMB 2007)

A. -9 B. −9₂ C. 1

D. 9₂ E. 9

12. Jika A=

[

2 0_{1 x}

]

, B=

[

1_{0 −2}5

]

,dan det ( AB)=12 , maka nilai X adalah ... A. -6 B. -3 C. 0 D. 3 E. 6 13. Nilai

∑

j=0 n

(

(

n j

)

(

∑

i=0 j

(

j i

)

8 i

)

)

=_{… (OSN MATEMATIKA SMA 2013)}

14. Jika matriks A=

[

a 1−a_{0 1}

]

dan A−1=

[

2 b_{0 1}

]

, maka nilai b adalah ... (SPMB 2004) A. -1 B. −1₂ C. 0 D. 1₂ E. 1 15. Jika A=

[

7 k 2 6 5

]

, A−1

merupakan matriks invers dari A dan A-1 _mempunyai

A. 35₃ B. -12 C. 34₃ D. −34₃ E. 12

16. Jika A=

[

2 5_{1 3}

]

maka transpose dari A-1 _{adalah ... (UM UNPAD 2009)} A.

[

₋₁3 −5₂

]

B.

[

₋₅3 −1₂

]

C.

[

−3_{1 −2}5

]

D.

[

−3_{5 −2}1

]

E.

[

−2 1 5 −3

]

F.

17. Jika A=

[

2 1_{4 3}

]

dan B adalah matriks berukuran 2 x 2 serta memenuhi A +B= A2 _{, maka B – A = .... (UMB UI 2008)}

A.

[

_{12 7}4 3

]

B.

[

4 2_{8 6}

]

C.

[

_{16 10}6 4

]

D.

[

12 7_{4 3}

]

E.

[

16 10_{6 4}

]

18. Diket P=

[

s+ r 2_{3 r}

]

, Q=

[

2 −1_{1 4}

]

,dan R=

[

7 3_{2 1}

]

. JikaQ−P=R−1, makanilai s2r adalah ... (SIMAK UI 2014) A. -48 B. -36 C. -12 D. 36 E. -48

19. Jika matriks A=

[

1 4_{2 3}

]

dan I=

[

1 0_{0 1}

]

memenuhi persamaan A2=pA+qI , maka p−q=¿ _{... (SPMB 2003)} A. 16 B. 9 C. 8 D. 1 E. -1

20. Jika matriks P=

[

3 1_{4 2}

]

dan Q=

[

_{−2 3}1 0

]

serta P-1 _{invers matriks P, maka} determinan untuk matriks QP-1 _{adalah ... (UM UGM 2013)}

A. 3₂ B. 3 C. 6

D. 19₂ E. 19

21. Jika A=

[

_{−1 0}2 1

]

, B=

[

1 1_{0 1}

]

dan matriks I matriks identitas, maka AB−1 +B−1 =¿ _{.... (UM UGM 2013)} A. 1₃ I B. 3 C. I D. 2I E. 3I 22. Jika A=

[

1 1 0 0 1 0

0 0 1

]

maka jumlah dari semua elemen pada matriks A 2010 ... (SIMAK UI 2010) A. 2010 B. 2011 C. 2012 D. 2013 E. 2014

23. Jika 3

[

4 3_{2 1}

]

−1₃

[

_{−6 21}3 c 3

]

=

[

−3 4 a_{2b d}

]

, maka nilai a+b +c +d adalah ... (SIMAK UI 2010) A. 47 B. 37 C. 27 D. 17 E. 7

24. Nilai x yang memenuhi

[

x x_{2 x}

]

=

[

−2 −2_{2 −2}

]

adalah ... (SPMB 2003) A. 0 B. -2 C. 4 D. -2 atau 4 E. -4 atau 2

25. Jika a, b, c adalah sudut-sudut segitiga, maka

[

cos a −sin a sin a cos a

][

cos b −sin b sin b cos b

][

cos c −sin c sin c cos c

]

Sama dengan ... (SIMAK UI 2010) A.

[

1 0_{0 1}

]

B.

[

−1_{0 −1}0

]

C.

[

0 1_{1 0}

]

D.

[

0 −1_{1 0}

]

E.

[

_{−1 0}0 1

]

PEMBAHASAN 1. Jawaban : C (SBMPTN 2015) Pembahasan B=

[

b 5 1 2 b

]

det ( B)=2b2₋₅ 2 b2₋₅ ¿ ¿ ¿2 ¿

(

B−1

)

=1_¿ det¿ det ( B)=det ⁡(B−1) 2 b (¿¿2−5)2₌₁ ¿ 2 b2_{−5=1 atau2 b}2₋₅₌₋₁ 2 b2_{=6 atau 2b}2₌₄ b1,2=±

√

3 atau b3,4=±

√

2

Hasil perkalian nilai b=(

√

3)(−

√

3) (

√

2)(−

√

2)=6

2. Jawaban : D Pembahasan

Jika A matriks berukuran 2 x 2, misalkan A=

[

a b_{c d}

]

[

A 1

]

_A

[

₁x

]

=x2−5 x +8

[

x 1

]

[

a b c d

][

x 1

]

=x 2_{−5 x+ 8}

[

a x+c bx +d

]

[

x 1

]

=x 2_{−5 x+8} (ax +c ) x +(bx +d )=x2−5 x +8 ax2+ (b+c ) x+ d=x2−5 x+8 ax2_{=1 →a=1} (b+c) x=−5 x⟹ b+c=−5 d=8 Sehingga, matriks A=

[

1 b_{c 8}

]

,b +c=−5 Maka dapat diketahui b = 3, c = -8

b+c=−5⟶ 3+(−8)=−5 Jadi, matriks A=

[

_{−8 8}1 3

]

3. Jawaban : D Pembahasan A=

[

3 2 4 1

]

dan B=

[

1 −4

−2 3

]

memiliki hubungan maka, A=

[

a b

c d

]

⟶ B=

[

d −b

−b a

]

karena C dan D memiliki hubungan yang sama dengan A dan B maka , C=

[

5 −3 −3 2

]

maka D=

[

2 3 3 5

]

C+D=

[

5 −3 −3 2

]

+

[

2 3 3 5

]

=

[

7 0 0 7

]

4. Jawaban : A Pembahasan |M|=

|

a −a+c

||

b −b+d

|

|

a b c d

|

=a (−b +d )−(b)(−a+c ) ad−bc = ad −bc ad −bc=1 5. Jawaban : D Pembahasan AB=

[

−1 1 2 −1 −1 0

]

[

a −1 b 1 c 0

]

[

−1 1 2 −1 −1 0

]

[

a −1 b 1 c 0

]

=

[

4 2 2 0

]

−a+b+2 c=4 _{. (1)} −_a−b=2 b=−a−2 ₍₂₎ Masukkan persamaan (2) ke persamaan (1)

−a+b+2 c=4

−a−a−2+2 c=4 −2 a+2c=6 c−a=3

6. Jawaban : D Pembahasan

Pada matriks A=

[

1 a_{b c}

]

, jika bilangan positif 1, a, c membentuk barisan geometri berjumlah 13 dan bilangan 1, b, c membentuk barisan aritmetika, maka determinan A : - Barisan geometri : 1, a, c

Rasio sama : a₁=c_a⟶ c=a2 (pers i)

Jumlahnya : 1 + a + c = 13 ⟶ a+c=12 (pers ii) - Barisan aritmetika : 1, b, c

Selisih sama : b−1=c−b ⟶2 b=1+c (pers iii) - Substitusi persamaan (i) ke persamaan (ii)

a+c=12⟶ a+a2_{=12⟶ a}2

+1−12=0 (a−3) (a+4 )=0⟶ a=3 , a=−4

Yang memenuhi a=3 (yang positif) c=a2=32=9

Persamaan (iii) 2 b=1+c ⟶ 2b=1+9 ⟶ b=5

Matriks A=

[

1 a_{b c}

]

=

[

1 3_{5 9}

]

determinan A=|A|=1.9−5.3=9−15=−6

7. Jawaban : C Pembahasan

- Menentukan matriks ( A− λI )

(A− λI)=

[

2 1 0 −1

]

−λ

[

1 0 0 1

]

¿

[

2 1 0 −1

]

−

[

λ 0 0 λ

]

¿

[

2− λ 1 0 −1−λ

]

- Menurunkan nilai λ ⌈ A−λI ⌉ _{= 0}

[

2−λ 1 0 −1−λ

]

= 0 (2−λ )(−1−λ )−0,1=0 (2−λ )(−1−λ ) _{= 0} λ=2∨ λ=−1 Jadi diperoleh nilai λ=2 atau λ=−1

8. Jawaban : D Pembahasan

A x B=

[

1 −3 1 0

]

x

[

2 0 1 1

]

=

[

2+(−3) 0+(−3) 2+0 0+0

]

=

[

−1 −3 2 0

]

- Mencari matriks AB – C AB – C =

[

−1 −3_{2 0}

]

−

[

5 3_{2 1}

]

=

[

−6 −9_{0 −1}

]

Determinan ⌈ AB – C ⌉ =(−6 .−1)−(−9 . 0)=6−0=6 Jadi, determinan matriks AB – C adalah 6

9. Jawaban : D Pembahasan Mencari matriks P2 P2=

[

1 −1 2 −1

]

x

[

1 −1 2 −1

]

=

[

1+(−2) −1+1 2+(−2) −2+1

]

=

[

−1 0 0 −1

]

- Mencari matriks −P4 −P4 =−P2_{x −P}2 ¿

[

−1 0 0 −1

]

x

[

−1 0 0 −1

]

=

[

1+0 0+0 0+0 0+1

]

=

[

1 0 0 1

]

, matriks −P4=matriks I - Mencari matriks 2 P3 P3=P2x P

¿

[

−1 0 0 −1

]

x

[

1 −1 2 −1

]

=

[

−1+0 1+0 0+(−2) 0+1

]

=

[

−1 1 −2 1

]

2 P3=2

[

−1 1 −2 1

]

=

[

−2 2 −4 2

]

Matriks 2 P3=¿ matriks -2P - Mencari matriks 3 P2 3 P2=3

[

−1 0 0 −1

]

=

[

−3 0 0 −3

]

Matriks 3 P2 = Matriks -3I

−p4+2 p3+3 p2+4 I=I−2 P−3 I +4 I

¿I−3 I +4 I

¿−2 P

Maka hasil dari −p4+2 p3+3 p2+4 I adalah −2 P

10. Jawaban : A Pembahasan A=

[

1 2 −2 0

]

⟶ A T =

[

1 −2 2 0

]

AT=B +X X =AT −B X =

[

1 −2 2 0

]

−

[

2 −1 −2 3

]

X =

[

−1 −1 4 −3

]

Invers X= 1 det X. adjoin X ¿ 1 (−1 .−3)−(−1 . 4 ).

[

−3 1 −4 −2

]

¿1 7.

[

−3 1 −4 −2

]

Jadi invers X adalah ₇1

[

_{−4 −2}−3 1

]

11. Jawaban : B Pembahasan A−1=

[

−1 1 3 −2

]

⟶ A=

[

1 −1 −3 2

]

AB=

[

1 −1 −3 2

]

x

[

1 −5 3 3

]

=

[

1+(−3) −5+(−3) −3+6 15+6

]

=

[

−2 −8 3 21

]

AB=

[

−2 −8 3 21

]

⟶ AB T =

[

−2 3 −8 21

]

1 2(AB T )=1 2

[

−2 3 −8 21

]

=

[

−1 3 2 −4 21 2

]

det1 2(AB T )=

(

−1 .21 2

)

−

(

3 2.−4

)

¿−21 2 + 12 2 ¿−9 2

Jadi det 1₂(ABT) adalah −9₂

12. Jawaban : B Pembahasan

Ingat, sifat determinan yaitu det ( AB)=det ( A ) . det(B)

A=

[

2 0

1 x

]

⟶ det(A)=(2. x)−(0 . 1)=2 x−0=2 x

B=

[

1 5

0 −2

]

⟶ det (B )=

(

1 .(−2)

)

−(5. 0)=−2−0=−2 det ( AB)=det ( A ) . det (B )

12=2 x .−2 12=−4 x x=−3 13. Jawaban : 10n Pembahasan Perhatikan bahwa (x+1 )n=

(

n 0

)

x 0 +

(

n 1

)

x 1 +

(

n 2

)

x 2 +…+

(

n n

)

x n =

∑

i−0 n xi

∑

i=0 i

(

j i

)

8 i =(8+1)j=9j

∑

j=0 n

(

(

n j

)

(

∑

i=0 j

(

j i

)

8 i

)

)

=

∑

j=0 n

(

n j

)

9 j =(9+1)n=10n

jadi , nilainya adalah10n

14. Jawaban : C Pembahasan A=

[

a 1−a 0 1

]

dan A −1 =

[

2 b 0 1

]

(1−a) . 0 ¿ (a . 1)−¿ A−1= 1 det (A ). Adjoin A= 1 ¿ A= A−1 A−1=A−1 1 det ( A). Adjoin A=

[

2 b 0 1

]

(1−a). 0 ¿ (a. 1)−¿ 1 ¿ 1 a−1.

[

1 −1+a 0 a

]

=

[

2 b 0 1

]

[

1 a−1 −1+a a−1 0 a a−1

]

=

[

2 b 0 1

]

Ambil satu elemen a11 pada matriks A dan A-1 1 a−1=2 2 a−1=1 2 a=2 a=1

 Disubstirusikan pada elemen a12 pada matriks A dan A-1_{, sebelumnya disubstitusikan} a = 1 pada elemen a12 pada matriks A-1

−1+a a−1 = −1+1 1−1 =0 maka b=0 15. Jawaban : A Pembahasan A=

[

7 k₂ 6 5

]

⟶ det ( A)=(7 .5 )−

(

k 2. 6

)

=35−3 k 35=3 k k =35 3

Jadi nilai k adalah 35₃

16. Jawaban : B Pembahasan

A=

[

2 5_{1 3}

]

A−1= 1 det(A). adjoin A= 1 6−5.

[

3 −5 −1 2

]

=1.

[

3 −5 −1 2

]

=

[

3 −5 −1 2

]

Transpose

[

₋₁3 −5₂

]

=

[

₋₅3 −1₂

]

17. Jawaban : A Pembahasan A=

[

2 1 4 3

]

, ditanya A +B= A 2 A2 =A x A=

[

2 1 4 3

]

x

[

2 1 4 3

]

=

[

4+4 2+3 8+13 4 +9

]

=

[

8 5 20 13

]

B= A2 −A=

[

8 5 20 13

]

−

[

2 1 4 3

]

=

[

6 4 16 10

]

B− A=

[

6 4 16 10

]

−

[

2 1 4 3

]

=

[

4 3 12 7

]

Jadi , B− A=

[

4 3 12 7

]

18. Jawaban : C Pembahasan  Q−P=

[

2 −1_{1 4}

]

−

[

s +r 2_{3 r}

]

=

[

2−s +r_{−2 4−r}−3

]

 R−1=_{det (R)}1 . adjoin R=1₁.

[

₋₂1 −3₇

]

=

[

₋₂1 −3₇

]

 Q−P=R−1

[

2−s +r −3 −2 4−r

]

=

[

1 −3 −2 7

]

- 4−r =7 r=−3  2−s+r=1 2−s−3=1 −s−1=1 s=−¿ ₂ Jadi s2r=22.−3=4 .−3=−12 19. Jawaban : E Pembahasan  Substitusi matriksnya A2=pA+qI

[

1 4 2 3

]

x

[

1 4 2 3

]

=p

[

1 4 2 3

]

+q

[

1 0 0 1

]

[

9 16 8 17

]

=

[

p 4 p 2 p 3 p

]

+

[

q 0 0 q

]

[

9 16 8 17

]

=

[

p+q 4 p 2 p 3 p+q

]

2 p=8⟶ p=4

p+q=9⟶ 4+q=9 ⟶ q=5 Sehingga p−q=4−5=−1 Jadi nilai p−q=−1 20. Jawaban : A Pembahasan  Konsep matriks Determinan A=

[

a b_{c d}

]

⟶det ( A )=|A|=(a .d )−(b . c ) Sifat-sifat determinan |A . B|=|A|.|B|dan

|

A−1

|

=_|A1_|

 Menentukan determinan kedua matriks P=

[

3 1

4 2

]

⟶|P|=(3 . 2)−( 4 .1 )=6−4=2 Q=

[

1 0

2 3

]

⟶|P|=(1. 3)−(−2 . 0)=3−0=3

 Menentukan determinan soal dengan sifatnya

|

Q . P−1

|

=|Q|.

|

P−1

|

=|Q|. 1 |P|=3 . 1 2= 3 2 21. Jawaban : E Pembahasan  Konsep matriks

Invers A=

[

a b_{c d}

]

⟶ A−1=_{ad −bc}1

[

₋d_c −_ab

]

 Menentukan invers dan hasil AB−1+BA−1 A=

[

2 1 −1 0

]

⟶ A −1 = 1 0+1

[

0 −1 1 2

]

=

[

0 −1 1 2

]

B=

[

1 1 0 1

]

⟶ B −1 = 1 1−0

[

1 −1 0 1

]

=

[

1 −1 0 1

]

AB−1+BA−1=

[

2 1 −1 0

]

.

[

1 −1 0 1

]

+

[

1 1 0 1

]

.

[

0 −1 1 2

]

¿

[

2 −1 −1 1

]

+

[

1 1 1 2

]

¿

[

3 0 0 3

]

¿3

[

1 0 0 1

]

¿3 I 22. Jawaban : D Pembahasan

 Misal dicari matriks A2

A2 =

[

1 1 0 0 1 0 0 0 1

]

x

[

1 1 0 0 1 0 0 0 1

]

=

[

1 2 0 0 1 0 0 0 1

]

 Hasil dari matriks A2 _{yang berubah hanya pada elemen a12 yaitu 2, maka bila} dicari matriks A2010 elemen a12 yaitu 2010, jadi jumlah dari semua matriks A bila A2010 , yaitu : 2010+1+1+1=2013 23. Jawaban : D Pembahasan 3

[

4 3 2 1

]

− 1 3

[

3 c 3 −6 21

]

=

[

−3 4 a 2b d

]

[

12 9 6 3

]

−

[

c 1 −2 7

]

=

[

−3 4 a 2 b d

]

[

12−c 8 8 −4

]

=

[

−3 4 a 2b d

]

Oleh karena itu

 12−c=−3  c=15  8=2b  b=4  8=4 a  a=2  d = -4

 Sehingga, a + b + c + d = 2 + 4 +15 +(-4) = 17  24. Jawaban : B  Pembahasan  Karena

[

x x 2 x

]

=

[

−2 −2

2 −2

]

, maka elemen a11 ⟶ x=−2

 Elemen a12⟶ x=−2

 Elemen a22⟶ x=−2  Maka nilai x adalah -2  25. Jawaban : A  Pembahasan

[

cos a −sin a sin a cos a

][

cos b −sin b sin b cos b

][

cos c −sin c sin c cos c

]

¿

cos a cos b−sin a sin b −cos a sin b−sin a cos b sin a cos b+cos a sin b −sin a sin b+¿cos a cos b

[

cos c −sin c sin c cos c

]

¿ ¿ cos(a+b) b a+¿ ¿ ¿

¿sin(a+b) −sin¿

[

cos c −sin c

sin c cos c

]

¿ ¿ ¿

[

−cos c −sin c sin c −cos c

][

cos c −sin c sin c cos c

]

Karena

[

cos c −sin c_{sin c cos c}

]

−1

=

[

−cos c sin c

[

−cos c −sin c sin c −cos c

][

cos c −sin c sin c cos c

]

=

[

1 0 0 1

]

