SOAL BRILLIANT COMPETITION 2013

PILIHAN GANDA

1. Pada suatu segitiga 𝐴𝐵𝐶, titik 𝐷 berada di 𝐴𝐶 sehingga 𝐴𝐷 : 𝐷𝐶 = 4 : 1. Titik 𝐸 berada di 𝐵𝐶 sehingga 𝐵𝐸 : 𝐸𝐶 = 1 : 3. Titik 𝐹 adalah titik perpotongan antara garis 𝐵𝐷 dan garis 𝐴𝐸. Jika luas segitiga 𝐴𝐵𝐶 adalah 300 cm2_{, maka luas}

segiempat 𝐶𝐷𝐸𝐹 adalah .... a. 24 cm2 b. 56 cm2 c. 70 cm2 d. 203 cm2 e. 140 cm2

2. 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, dan 𝑥4 adalah akar-akar dari

persamaan 𝑥2_{− 9𝑥 + 7}𝑥2−7𝑥+5 _{= 1. Nilai dari} 𝑥1+ 𝑥2+ 𝑥3+ 𝑥4 = .... a. 15 b. 16 c. 17 d. 18 e. 19

3. Diketahui 𝑓 (𝑥) = 𝑥2_{− 7𝑥 +8. Nilai 𝑥 terbesar}

yang memenuhi 𝑓( 𝑥 ) = 𝑥 adalah .... a. 4 + 2√2

b. 4 − 2√2 c. −4 + 2√2 d. −4 − 2√2 e. 5

4. Andi mempunyai 5 ranting dengan panjang 1 cm, 2 cm, 3 cm, 4 cm, dan 5 cm. Jika ia mengambil 3 ranting secara acak, peluang 3 ranting tersebut dapat membentuk segitiga adalah .... a. 3/10 b. 3/15 c. 4/10 d. 4/15 e. 1/2

5. Dalam satu permainan catur tertentu, peluang pemain A menang adalah 1/2, peluang pemain B menang adalah 1/3, dan peluang seri adalah 1/6. Jika permainan tersebut dilakukan 2 kali, peluang A tidak pernah kalah adalah .... a. 2/3

b. 1/4 c. 1/36 d. 4/9 e. 8/9

6. Suatu segitiga ABC siku-siku di 𝐶. Pada titik 𝐴 digambar sebuah lingkaran 𝐿A dengan jari-jari

1 cm, pada titik 𝐵 digambar lingkaran 𝐿B

dengan jari-jari 2 cm, dan pada titik 𝐶 digambar lingkaran 𝐿C dengan jari-jari 3 cm. Jika sisi

terpanjang pada segitiga ABC adalah 4 cm, jumlah dari kuadrat panjang GSPL (Garis Singgung Persekutuan Luar) antara 𝐿A dan 𝐿B,

𝐿B dan 𝐿C, dan 𝐿C dan 𝐿A adalah ....

a. 32 b. 31 c. 30 d. 26 e. 28

7. Jika 𝑝 dan 𝑞 adalah bilangan bulat sehingga 𝑝, 𝑞, dan 𝑝𝑞 tidak mempunyai faktor bilangan kuadrat selain 1, maka FPB dari 𝑝 dan 𝑞 adalah ....

a. 1 b. 𝑝 c. 𝑞 d. 𝑝𝑞

e. tidak dapat ditentukan

8. 4𝑥 − 3𝑦 = 1 menyatakan garis 𝑎 dan 𝑥 + 2 𝑦 = 𝑘 menyatakan garis 𝑏. 𝐴 adalah titik pertemuan garis 𝑎 dengan sumbu 𝑥 dan 𝐵 adalah titik pertemuan garis 𝑏 dengan sumbu 𝑥. Jika jarak 𝐴𝐵 = 5, maka nilai 𝑘 adalah ....

a. 8,5 b. –8,5 c. 9,5 d. –9,5 e. 10,5 9. Jika 𝑛!=𝑛× 𝑛−1 × 𝑛−2 ×… ×1, sisa pembagian 1!+2×2!+3×3!+⋯+2012×2012! oleh 7 adalah .... a. 5 b. 1 c. 6 d. 4 e. 3 10. Sisa pembagian 𝑥2013_+2013(20132012₊₁₎ oleh 𝑥 + 2013 adalah …. a. 1 b. 2013 c. 2012

11. Segitiga 𝐴𝐵𝐶 adalah segitiga siku-siku. Panjang 𝐴𝐵 adalah 𝑥 + 9, panjang 𝐵𝐶 adalah 𝑥− 5, dan panjang 𝐴𝐶 adalah 2𝑥− 4. Jari-jari lingkaran dalam segitiga 𝐴𝐵𝐶 adalah ....

a. 4 b. 3 c. 2 d. 3,5 e. 2,5 12. Jika 𝑥 = 1 √9

3 _{+1− √3}3 , berapakah nilai dari

8(4𝑥3_−3𝑥2₊3𝑥 4)? a. 1 b. 2√3 c. √3 d. 2 e. 4

13. Sisa pembagian 33332oleh 7 adalah …. a. 3

b. 5 c. 6 d. 1 e. 4

14. 𝑥2_{−6𝑥−𝑝=0 dengan 𝑝 adalah bilangan}

prima dan 𝑝 adalah salah satu akarnya yang positif. Berapakah 𝑝7 𝑝 _? a. 7 b. 3 c. 2 d. 11 e. 5 15. Diketahui 3𝑥 + 3𝑦 + 𝑥𝑦 = 54. Berapa banyak solusi yang memenuhi 𝑥, 𝑦 ≥ 0 dan 𝑥,𝑦 𝜖 ℤ+_{? (catatan : ℤ}+ _{adalah bilangan bulat}

positif) a. 4 b. 8 c. 2 d. 6 e. 12

16. Budi mempunyai dua dadu 6 sisi dengan sisi 1,2,3,4,5,6 dan satu dadu 7 sisi dengan sisi 6,7,8,9,10,11,12. Jika ketiga dadu ini dilempar bersamaan oleh Budi, maka peluang angka-angka pada dadu hasil lemparan Budi berjumlah 20 adalah .... a. 5/84 b. 5/42 c. 5/126 d. 7/36 e. 1/12

17. Berapa banyak bilangan ganjil di antara 1000 dan 9999 yang semua digitnya berbeda? a. 3280

b. 2520 c. 3240 d. 2240 e. 1680

18. Berapa banyak cara menyusun kata “BRILLIANT” dengan B dan T tidak bersebelahan? a. 90720 b. 35280 c. 45360 d. 88200 e. 70560

19. Selisih dari banyaknya bilangan ribuan yang tidak mengandung angka 4 dengan banyaknya bilangan ribuan yang minimal terdapat satu angka 4 adalah ....

a. 2664 b. 2132 c. 2500 d. 3168 e. 2250

20. Dua digit terakhir dari (242010 _{+ 24}2012 ₊

242014₎₋₍₂2011 _{+ 2}2012 _{+ 2}2013_{) adalah .…} a. 36 b. 08 c. 80 d. 32 e. 56 A B C

21. Urutan dari yang paling kecil ke paling besar dari 12134_{, 6}150_{, 3}267_{, 2}400 _{adalah ....}

a. 6150_{, 2}400_{, 3}267_{, 12}134

b. 6150_{, 3}267_{, 12}134_,2400

c. 6150_{, 3}267_{, 2}400_{, 12}134

d. 6150_{, 2}400_{, 12}134_{, 3}267

e. 6150_{, 12}134_{, 2}400_{, 3}267

22. Anto mempunyai 1 lingkaran besar dan 1 lingkaran kecil. Jika jari-jari lingkaran kecil : jari-jari lingkaran besar adalah 3 : 7 dan selisih luas luas lingkaran besar dengan luas lingkaran kecil adalah 400𝜋 cm2_{. Berapa keliling}

lingkaran besar ditambah lingkaran kecil? a. 10√10𝜋 cm

b. 200𝜋 cm c. 5√10𝜋 cm d. 20√10𝜋 cm e. 100𝜋 cm

23. Diketahui bahwa 8 habis membagi bilangan lima angka 𝑎729𝑏. Maka (𝑎+𝑏)𝑚𝑎𝑘𝑠𝑖𝑚𝑢𝑚 –

(𝑎+𝑏)𝑚𝑖𝑛𝑖𝑚𝑢𝑚 adalah ....

a. 7 b. 8

c. 9 d. 10

e. 11

24. Diketahui bahwa 𝑃( 𝑥 ) = 𝑥31 _{+ 𝑥}30 _{+ 𝑥}29 _{+ ...}

+ 𝑥 + 1. Jika 𝑃( 𝑥 ) dapat dinyatakan dalam (𝑥𝑎_{+1) (𝑥}𝑏_{+1) (𝑥}𝑐_{+1) (𝑥}𝑑_{+1) (𝑥}𝑒_{+1), dimana 𝑎}

< 𝑏 < 𝑐 < 𝑑 < 𝑒 dan 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒 ∈ ℤ+ _{maka nilai}

dari 𝑎10 _{+ 𝑏}9 _{+ 𝑐}5 _{+ 𝑑}3 _{+ 𝑒}2 _{adalah ….} a. 845 b. 2305 c. 2527 d. 3029 e. 4941 25. Diketahui bahwa : A = 1 1×2

+

1 2×3

+

1 3×4

+ ⋯ +

1 2012 ×2013 B = 1 1×2×3

+

1 2×3×4

+

1 3×4×5

+ ⋯ +

1 2012 ×2013 ×2014 C = 1 1×3

+

1 3×5

+

1 5×7

+ ⋯ +

1 4025 ×4027 Pernyataan: 1. A > B 2. C > A 3. A − B > C − A 4. A + B + C > 13

Dari keempat pernyataan di atas, berapa banyak pernyataan yang benar?

a. 1 b. 2

c. 3 d. 4 e. 0

26. Berapakah luas daerah yang berarsiran paling gelap jika panjang sisi persegi terluar adalah 4𝑎? a. 17𝑎2_/2 b. 15𝑎2_/2 c. 19𝑎2_/4 d. 17𝑎2_/4 e. 13𝑎2_/2

27. Perhatikan gambar di samping. Berapa luas daerah yang diarsir jika luas persegi adalah 196 cm2_{? Asumsi 𝜋 =22/7.} a. 42 cm2 b. 38,5 cm2 c. 54 cm2 d. 157,5 cm2 e. 49 cm2

28. Segitiga ABC adalah segitiga sama kaki dengan 𝐴𝐵 = 𝐴𝐶. Titik 𝐷 berada pada garis 𝐵𝐶 sehingga 𝐴𝐷 adalah garis bagi. Jika 𝐴𝐷 : 𝐴𝐶 = 1 : 2, berapakah besar sudut 𝐵𝐴𝐶?

a. 60° b. 90° c. 120° d. 150° e. 135° 29. Diberikan 𝑎 = (𝑏− 700)2 _{− 4907, di mana 𝑎}

= 𝑘2 _{dan 𝑘 adalah bilangan bulat. Berapa}

jumlah dari semua kemungkinan 𝑘+𝑏? a. 4908

b. 3200 c. 4207 d. 6407 e. 5600

30. Di antara bilangan berikut ini yang merupakan bilangan prima adalah .... a. 4.028.033 b. 13.974.949 c. 14.048.143 d. 20.132.011 e. 21.001.331 a a 2a

ISIAN SINGKAT

1. Misalkan 𝐴 adalah bilangan 7 digit yang terdiri dari bilangan 1,2,3,4,5,6,7. Diketahui digit

pertama dari 𝐴 habis dibagi 2, 2 digit pertama dari 𝐴 habis dibagi 3, 3 digit pertama dari A

habis dibagi 4, 4 digit pertama dari A habis dibagi 5, dan 5 digit pertama dari A habis dibagi 6.

Maka nilai minimal A adalah ....

2.

1 10

+

2 100

+

3 103

+

4 104

+ ⋯ = ⋯

3. Terdapat 5 bilangan yaitu 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, dan 𝑒. Kelimanya adalah bilangan bulat yang berbeda,

dengan (6− 𝑎)(6−𝑏)(6−𝑐)(6−𝑑)(6−𝑒) = 45. Berapakah nilai 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 + 𝑒?

4. 𝑥

2

_{+ 𝑥 + 1 = 0 berapakah nilai}

_{𝑥 +}

1 𝑥 2

+ 𝑥

2

+

1 𝑥2 2

+ ⋯ + 𝑥

2013

+

1 𝑥2013 2

?

5. 3 × 2 + 6 × 2

2

_{+ 9 × 2}

3

_{+ ... + 3(n−1) × 2}

𝑛−1

_{+𝑝 = 2012. Jika 𝑛 adalah bilangan bulat}

terbesar yang memenuhi persamaan tersebut sehingga terdapat 𝑝 bilangan asli yang

memenuhi persamaan tersebut. Berapakah 𝑛 + 𝑝?

6. Tentukan nilai minimum 𝑛 𝜖 ℕ , yang memenuhi

10

𝑛

2013

= 49

. (catatan : 𝑘 adalah

bilangan bulat terkecil kurang dari sama dengan 𝑘.)

7. Di dalam segitiga 𝐴𝐵𝐶, panjang 𝐴𝐵 adalah 32, panjang 𝐵𝐶 adalah 10, panjang 𝐴𝐶 adalah 26,

jika 𝐶𝐻 dan 𝐶𝑀 berturut-turut menyatakan tinggi dan median dari 𝐶 ke 𝐴𝐵. Panjang 𝐻𝑀

adalah ….

8. Ahmad mempunyai persegi panjang yang luas persegi panjangnya tidak berubah jika

panjangnya ditambah 6 dan lebarnya dikurangi 2, atau panjangnya dikurangi 12 dan lebarnya

ditambah 6. Ahmad akan membuat satu lingkaran pada persegi panjang tersebut, berapa luas

maksimum dari lingkaran yang akan dibuat Ahmad?

9. Jarak titik berat dan titik pusat lingkaran luar segitiga 𝐴𝐵𝐶 jika diketahui panjang sisi 𝐴𝐵,

𝐴𝐶, dan 𝐵𝐶 berturut-turut adalah 20, 48, dan 52 adalah .…

10. Jika 𝑎, 𝑏, 𝑐 adalah bilangan asli, maka banyaknya solusi dari persamaan 𝑎 + 2𝑏 + 3𝑐 = 2013

adalah ….

11. Diberikan suatu fungsi 𝑛 dimana 𝑓 (𝑛) = 𝑛

2

_{− 𝑛 + 1. Nilai dari 𝑓 (2012) −𝑓 (2011) +𝑓}

(2010) − ⋯ − 𝑓 (1) adalah ….

12. 𝑃 adalah titik yang berada di dalam lingkaran yang berpusat di 𝑌 dan titik 𝑄 berada di

dalam bola yang berpusat di 𝑍. Jika 𝐴 menyatakan peluang jarak titik 𝑃 ke lingkaran lebih

pendek daripada jarak titik 𝑃 ke titik 𝑌 dan 𝐵 menyatakan peluang jarak titik 𝑄 ke bola lebih

panjang daripada jarak titik 𝑄 ke titik 𝑍, berapa nilai dari (𝐴+𝐵)

3

_?

13. Berapa perbandingan luas daerah arsiran yang lebih gelap dengan luas jajar genjang?

x

x

y

14. Terdapat 6 bola merah, 1 bola biru, 2 bola kuning, dan 3 bola hijau dalam sebuah kotak.

Seorang anak mengambil sebuah bola dari kotak tersebut dan mencatat warnanya. Bola yang

telah ia ambil tidak dikembalikan lagi ke dalam kotak. Peluang bahwa bola biru di dalam kotak

habis lebih dahulu dibandingkan bola berwarna lain adalah ….

15. Berapa banyak faktor dari 15! yang merupakan bilangan kuadrat sempurna?

URAIAN

1. Anto memiliki sebuah

grid berukuran 2013 × 2012. Selain itu, Anto juga mempunyai cat

berwarna merah, biru, dan hijau. Pada suatu hari, Anto akan mewarnai setiap segmen dari grid

dengan satu dari 3 warna cat yang dia punya sedemikian sehingga setiap 1 unit persegi

memiliki 2 sisi dari satu cat pertama dan 2 sisi dari cat kedua. Berapa banyak pewarnaan yang

mungkin? (catatan: cat pertama dan cat kedua tidak boleh berwarna sama)

2. Pada suatu hari Andi diberi ayahnya 12 koin dan sebuah neraca timbangan. Ayahnya

memberi tahu kepada Andi bahwa dari antara 12 koin tersebut terdapat satu koin yang

memiliki berat yang berbeda dari ke 11 koin lainnya. Sang ayah tidak memberi tahu apakah

koin tersebut lebih berat atau ringan. Andi diberi tantangan oleh ayahnya untuk menebak koin

mana yang memiliki berat yang berbeda dan apakah koin tersebut lebih berat atau lebih

ringan dari 11 koin lainnya dengan melakukan 3 kali penimbangan. Apakah mungkin Andi

memenuhi tantangan ayahnya? Jika mungkin tunjukkan caranya, jika tidak mungkin berikan

alasan.

3. Sebuah segitiga ABC yang siku-siku di 𝐴 dengan panjang 𝐴𝐵 = 8 cm dan 𝐴𝐶 = 12 cm. Titik 𝑃

1

adalah titik tengah 𝐵𝐶, 𝑃

2

adalah titik tengah 𝑃

1

𝐶, 𝑃

3

adalah titik tengah 𝑃

2

𝐶, dan seterusnya.

Selain itu, titik 𝑄

𝑛

adalah titik pada 𝐴𝐶 sehingga 𝑃

𝑛

𝑄

𝑛

tegak lurus dengan 𝐴𝐶. Hitung jumlah

tidak berhingga luas 𝐴𝑃

1

𝑄

1

+ luas 𝑄

1

𝑃

2

𝑄

2

+ luas 𝑄

2

𝑃

3

𝑄

3

+ luas 𝑄

3

𝑃

4

𝑄

4

+ ....

4. Jika diketahui

𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 6

𝑥

2

_{+ 𝑦}

2

_{+ 𝑧}

2

_{= 25}

Tentukan nilai maksimal dari 𝑥

3

_{+ 𝑦}

3

_{+ 𝑧}

3

_.

(𝑥,𝑦 𝑑𝑎𝑛 𝑧 merupakan bilangan riil non negatif)

5. Tentukan semua solusi 𝑎, 𝑏, 𝑐 𝜖 ℤ

+

_{sehingga memenuhi persamaan berikut :}

𝑎

3

_{+ 𝑏}

3

_{+ 𝑐}

3

_{= 2012}