bab vii transformasi laplace6

BAB V

TRANSFORMASI LAPLACE 5.1 Transformasi Laplace

Definisi

Misalkan F(t) suatu fungsi t dan t > 0, maka transformasi Laplace dari F(t) dinotasikan

dengan L{F(t)} yang didefinisikan oleh:

L {F(t)} =

_

  `

0

) (t dt F e st

= f(s)

Karena L{F(t)} adalah integral tidak wajar dengan batas atas di tak hingga (



) maka

L{F(t)} =

_

  `

0

) (t dt F e st

=

_



 

p st

p e F t dt

Lim 0

) (

Transformasi Laplace dari F(t) dikatakan ada, jika integralnya konvergen untuk beberapa

nilai s, bila tidak demikian maka transformasi Laplace tidak ada.

Selanjutnya bila suatu fungsi dari t dinyatakan dengan huruf besar, misalnya W(t), G(t),

Y(t) dan seterusnya, maka transformasi Laplace dinyatakan dengan huruf kecil yang

bersangkutan sehingga L{W(t)} = w(s), L{G(t)} = g(s), L{Y(t)} = y(s) dan seterusnya.

Teorema

Jika F(t) adalah fungsi yang kontinu secara sebagian-sebagian dalam setiap interval 0t

N dan eksponensial berorde  untuk t > N, maka transformasi Laplace f(s) ada untuk

setiap s > 

Nomor F(t) L{F(t)} = f(s)

1. 1 1_,

s s > 0

2. T 1 _,

2

s s > 0

3. t2

3 2

s , s > 0

4. tn

n = 0,1,2,3,…. 1

! 

n s

n

, s > 0

5. eat

, 1

a

s s > 0

6. sin at

, 2

2 _a

s a

 s > 0

7. cos at

, 2

2 _a

s s

 s > 0

8. sinh at _,

2

2 _a

s a

 s > a

9. cosh at _,

2

2 _a

s s

 s > a

Untuk memahamkan bagi pembaca, berikut ini diberikan beberapa contoh transformasi

Laplace suatu fungsi.

Tentukan transformasi Laplace fungsi berikut:

1. F(t) = 1

L {F(t)} = L{1}

=

_

 

0

) 1

( dt

e st

=

_

  

p st

p e dt

Lim 0

=

p st

p se

0

1 lim _

  

 _   

= _ _  _



 0

1 1 lim

se se

5.2 Syarat cukup Transformasi Laplace ada

Jika F(t) adalah kontinu secara sebagian-sebagian dalam setiap selang berhingga 0

N t

 dan eksponensial berorde untuk t > N, maka transformasi Laplacenya f(s)

ada untuk semua s > .

Perlu ditekankan bahwa persyaratan-persyaratan yang dinyatakan adalah CUKUP

untuk menjamin bahwa transformasi Laplace-nya ada. Akan tetapi transformasi

Laplace dapat ada atau tidak walaupun persyaratan ini tidak dipenuhi.

5.3 Sifat-sifat Transformasi Laplace

Transformasi Laplace suatu fungsi mempunyai beberapa sifat, diantaranya adalah

a) Sifat linear

Jika c1 dan c2adalah sebarang konstanta, sedangkan F1(t) dan F2(t) adalah

fungsi-fungsi dengan transformasi-transformasi Laplace masing-masing f₁(s) dan

) ( 2 s

f , maka:

L{c1F1(t)+cF2(t)} = c1 f1(s) + c2 f (s)

Bukti:

L{c₁F₁(t)+cF₂(t)} =

_



 _

0

2 2 1

1 ( ) ( )}

{c F t c F t dt

e st

=

_

_

  

 _

0

2 1 0

1

1F(t)dt e c F (t)dt

c

e st st

=

_

_

 

 _

0

2 0

2 1

1 e F(t)dt c e F (t)dt

c st

p st

= c1f1(s)c2f2(s)

Contoh

= 5 L{t} – 3 L{1}

= 5

s s

1 3 1

2 

=

s s

3 5

2 

2. L{6 sin 2t – 5 cos 2t} = L{6 sin 2t} – L{5 cos 2t}

= 6 L{sin 2t} – 5 L{cos 2t}

= 6

4 5 4 2

2 2

 

 s

s s

=

4 5 12

2

  s

s

L{(t2_1)2_{} = L{t}4



2

t

2



}1

= L{

t

4

}



L

2{

t

2

}



L

{

}1

= L{t4

}

+ 2 L{

t

2

}

+ L{1}

=

s s

s

1 ! 2 2 ! 4

1 2 1

4 

    

 _



=

s s s

1 4 24

3

5  

3. L{4e5t



6

t

2



3

sin

4

t



2

cos

2

t

}

= L{4e5t

}



L

6{

t

2

}



L

3{

sin

4

t

}



L

{

2

cos

2

t

}

= 4L{e5t

}



{6

t

2

}



3

L

{sin

4

t

}



2

L

{cos

2

t

}

= 4

4 2 4 4 3 2 6 5 1

2 2

3

    

 s

s s

s

=

4 2 16 12 12 5 4

2 2

3  _  _



 s

s s

s

s

Dengan menggunakan sifat linear, tentukan transformasi Laplace fungsí berikut.

1. F(t) = 2t2_{+ e}t

2. F(t) = 6sin 2t – cos 2t

3. F(t) = (sin t – cos t)2

4. F(t) = cosh 3t – ½ sinh t

5. F(t) = (2t + 2)3

6. F(t) = (sin t – 3)3

b) Sifat translasi atau pergeseran pertama

Jika L{F(t)} = f(s) maka L{eat

F

(

t

)}

= f(s-a)

Bukti

Karena L{F(t)} = e stF t dt



 

0

)

( _{= f(s), maka}

L{eat

F

(

t

)}

=

_

 

0

) (t dt F e e st at

=

_

 

p

t a

s _{F t dt}

e 0

)

( _{( )}

= f(s-a)

Contoh:

1. Tentukan L{ e-3t_{F(t)}, jika L{F(t)} = f(s)}

Menurut sifat 2 di atas, L{eat

F

(

t

)}

= f(s-a)

= f(s+3)

2. Tentukan L { e2t_{F(t)}, jika L{F(t)} = f(s/a)}

Menurut sifat 2 di atas, L{eat

F

(

t

)}

= f(s-a)

Maka L{e2t_{F(t)} = f(s-2/a)}

= f( 2)

a a s



3. Tentukan L{et

cos

2

t

}

.

Karena L{cos 2t} =

4 2

 s

s

= f(s), maka

L{et

cos

2

t

}

= f(s+1)

=

4 ) 1 (

) 1 (

2_

  s

s

4. Tentukan L{e2t

3(

cos

6

t



5

sin

6

t

)}

Menurut sifat linear,

L{e2t

3(

cos

6

t



5

sin

6

t

)}

= L{e



2

t

6cos3(



{)}

eLt



2

t

t

)6sin5(

}

= 3L{e2t

cos

6

t

}



5

L

{

e

2t

sin

6

t

}

}

Karena L{cos 6t} =

36 2

 s

s

= f(s), dan L{sin 6t} =

36 6 2



s = f(s) maka menurut sifat

translasi

= 3 ₍ (₂₎22)₃₆

 

 s

s

, dan

5L{e2t

sin

6

t

}

= 5f(s+2)

= 5 _(s2)62 _36, sehingga

L{e2t

3(

cos

6

t



5

sin

6

t

)}

= 3 ₍ (₂₎22)₃₆

 

 s

s

- 5 _{( 2}6₎2 ₃₆

 

s

=

40 4

24 3 2

 

 s s

s

Soal

Tentukan transformasi Laplace fungsi

1) F(t) = et_sin2t

2) F(t) = (1+tet₎3

3) F(t) = et(3sinh2t_ 5cosh2t)

4) F(t) = (t+2)2_et

5) F(t) = e2t(sinh2_tcosh3_t)

6) F(t) = e t(1_2t)

c. Sifat translasi atau pergeseran kedua

Jika L{F(t)} = f(s) dan G(t) =













a

t

a

t

a

t

F

,0

),

(

maka

L{G(t)} = eas f(s)

L{G(t)} = e stG t dt

Contoh

Carilah L{F(t)} jika F(t) =

Menurut definisi transformasi Laplace

=

1 2

3 / 2





s se s

d. Sifat pengubahan skala

Jika L{F(t)} = f(s), maka L{F(at)} = 

    

a s f a

1

Karena L{F(t)} = e stF t dt







0

)

( _maka

L{F(at)} =

_

 

0

)

(at dt

F e st

Misal u = at, du = a dt atau dt =

a du

Sehinga L{F(at)} =

_

 

0

)

(at dt

F e st

=

_

       

0

) (

a du u F

e a

s u

=

_

     

du u F e

a

a s u

) ( 1

=      

a s f a

1

Contoh:

1. Jika L{F(t)} = _{( 2)}3

6



s = f(s)

maka L{F(3t)} = )

3 ( 3 1 s

f

= _{( /3 2)}3

6 3 1



s

= _{( 6)}3

9 . 6



Soal:

1. Carilah L{F(t)}, jika F(t) =















1

0,

0

1

,

)1

(

2

t

t

t

2. Jika L{F(t)} =

) 1 ( ) 1 2 (

1

2 2

 

 

s s

s s

, carilah L{F(2t)}

3. Jika L{F(t)} = ,

/ 1 s e s

carilah L{et

F

3(

t

)}

e. Transformasi Laplace dari turunan-turunan

Jika L{F(t)} = f(s) maka L{F’(t)} = sf(s) – F(0)

Karena Karena L{F(t)} = e stF t dt







0

)

( _{= f(s), maka}

L{F’(t)} = e stF t dt



 

0

) ( '

=







0

) (t dF e st

=

p st st

e d t F t F e

0 0

) ( ) ( )

( _

  

  



_



 

= -F(0) + s

_

 

0

st

e _F(t)dt

= sf(s) – F(0)

Jika L{F’(t)} = sf(s) – F(0) maka L{F’’(t)} = s2 _f(_s)_{ sF}(0)_{ F}'(_s)

L{F”(t)} =



Dengan cara yang sama diperoleh

L{F’’’(t)} = e stF_'''(t₎dt

Akhirnya dengan menggunakan induksi matematika dapat ditunjukkan bahwa, jika

L{F(t)} = f(s)

L{F(n)

(

t

)}

= sn _f(_s)_{ s}n1_F(0)_{ s}n2_F'(0)_ ..._{ sF}(n2)(0)_{ F}(n1)(0)

Contoh soal

Dengan menggunakan sifat transformasi Laplace dari turunan-turuan, tunjukkan bahwa

L{sin at} = _s2 _a2

a

 = f(s)

Misal F(t) = sin at diperoleh F’(t) = a cos at, F’’(t) = -a2sinat

Sehingga L{sin at} = - 2 1

a L{F’’(t)}.

Dengan menggunakan sifat transformasi Laplace dari turunan-turunan diperoleh

L{sin at}= 2

1

a

 ( s2 ( ) (0) '(0)

F sF

s

f   )

= 

  



 _{ }



 s a

a s

a s

a (0)

1

2 2 2 2

= _

  

 

 

 a

a s

as

a 2 2

2 2

1

= _

  

 

  

 _{2 2}

3 2 2 2

1

a s

a as as a

= _{2 2}

a s

a 

f. Tansformasi Laplace dari integral-integral

Jika L{F(t)} = f(s) maka L

s s f du u

F( ) ( )

1

0

   

  



Bukti:

Misal G(t) =

_

t

du u F 0

)

Dengan mentransformasikan Laplace pada kedua pihak, diperoleh:

1. Carilah L



Sehingga menurut sifat transformasi di atas L



2. Buktikan L



dan t F’(t) = sin t. Dengan mengambil transformasi Laplace kedua bagian

ds s

s

sf

_

   

1 1 )

( ₂

 sf(s)arctansC

Menurut teorema harga awal, Lim_ssf(s)lim_t0F(t)F(0)0

Sehingga diperoleh c = 2 

.

Jadi sf(s) =

s s

1 arctan 1

3. Buktikan L

   

 





t

du u

u

cos

=

s s

2 ) 1 ln( 2 _

Bukti:

Misal F(t) = du

u u

t





cos

maka F’(t) =

t t

cos

 _{atau tF’(t) = - cos t}

L{tF'(t)}_{L{-cos t}}

(-1) (sf(s) F(0))

ds d

 ₌

1 2

 

s s

atau

ds d

sf(s) =

1 2

 s

s

sf(s) = ln(s 1)c

2 1 2

Menurut teorema harga akhir, lims0sf(s)limt0F(t)0, sehingga c = 0.

Jadi sf(s) = ln( 1) 2

1 _s2_

atau f(s) =

s s

2 ) 1 ln( 2_

g. Perkalian dengan tn

Jika L{F(t)} = f(s) maka L{tn

F

(

t

)}

= (-1) f(s)

ds d

n n

Karena f(s) = e stF t dt







0

)

( _{maka menurut aturan Leibnitz untuk menurunkan}

dibawah tanda integral, diperoleh:

ds df

= f’(s) =

ds d

dt t F e st



 

0

) (

= e F t dt s

st _{( )}

0

 



_

=

_

  

0

) (t dt F te st

= -

_

 

0

)} (

{tF t dt

e st

= -L{tF(t)}

Jadi L{tF(t)} = - f'(s)

ds df

 

Contoh

1. Tentukan L{t sin at}

Jawab

L{sin at} = _s2 _a2

a

 , maka menurut sifat perkalian dari pangkat t

n _diperoleh

L{t F(t)} = (-1)n n n

ds s f d ( )

, sehingga

L{ t sin at} = (-1) 

  

 

 2

2 _a

s a ds

d

= ₍ 2 2₎2

2

a s

as



2. Tentukan L{t2

cos

at

}

Menurut sifat di atas, L{t2

cos

at

}

= (-1)2 _

  

 

 2

2 2 2

a s

s ds

= _

  

 

 

2 2 2

2 2

) (s a

s a ds

d

= 2 2 3 2 3

) (

6 2

a s

s a s

 

h. Sifat pembagian oleh t

Jika L{F(t)} = f(s) maka L

_



      

0

) ( )

(

du u f t

t F

Bukti:

Misal G(t) =

t t F( )

maka F(t) = t G(t).

Dengan menggunakan definis transformasi Laplace untuk kedua bagian, maka

diperoleh bentuk L{F(t)} = L{t G(t)} atau f(s) = - L{G(t)}

ds d

atau f(s) =

-ds dg

.

Selanjutnya dengan mengintegralkan diperleh



f(s) =

_

-ds dg

.

g(s) = -

_

 s

du u f( )

=

_

 s

du u f( )

Jadi L 

     

t t F( )





s

du u f( )

i. Soal-soal

1) Tentukan transformasi Laplace untuk fungsi yang diberikan a. F(t) = t cos 2t

c. F(t) = t(3sin 2t-2 cos 5t)

d. F(t) = t2sint

e. F(t) = (t2 3t 2)sin3t

 

f. F(t) = t3cost

g. F(t) =

2) Jika F(t) =













1

,0

1

0,

2

t

t

t

Carilah L{F’’(t)}

3) Diketahui F(t) =













1

,

1

0,

2

tt

t

t

a. carilah L{F(t)}

b. carilah L{F’(t)}

c. apakah L{F’(t)} = sf(s) – F(0) berlaku untuk kasus ini

4) Tunjukkan bahwa

_



 _

0 3

50 3 sintdt te t

5) Tunjukkan bahwa

L ( ) 1 {2 }

0

2 t

t

u _{L t t e}

s du e u

u  

  

    

  

 



6) Perlihatkan bahwa

a. L{

t e eat _ bt

} = ln _ss__ab

b. L 2 2

2 2

ln 2 1 cos

cos

a s

b s t

bt at

  

   



 

a. L _   

 

 





du u

u u

1

0 1

= 1_sln11_s

b. Jika L{F(t)} = f(s) maka L

   

   

 

t t

du u F dt

0 0

1

1

)

( =

2

) (

s s f

10) Teorema harga awal 11) Teorema harga akhir

12) Perluasan dari teorema harga awal 13) Perluasan dari teorema harga akhir

3. Transformasi Laplace Invers

5.4 Definisi

5.5 Ketunggalan Transformasi Laplace Invers

5.6 Sifat-sifat transformasi Laplace Invers

6. Penggunaan Transformasi Laplace

6.2 Persamaan Differensial (PD)

6.3 PD Biasa dengan Koefisien Konstan

6.4 PD Biasa dengan Koefisien Variabel

6.5 PD Simultan