BAB V
TRANSFORMASI LAPLACE 5.1 Transformasi Laplace
Definisi
Misalkan F(t) suatu fungsi t dan t > 0, maka transformasi Laplace dari F(t) dinotasikan
dengan L{F(t)} yang didefinisikan oleh:
L {F(t)} =
`
0
) (t dt F e st
= f(s)
Karena L{F(t)} adalah integral tidak wajar dengan batas atas di tak hingga (
) makaL{F(t)} =
`
0
) (t dt F e st
=
p st
p e F t dt
Lim 0
) (
Transformasi Laplace dari F(t) dikatakan ada, jika integralnya konvergen untuk beberapa
nilai s, bila tidak demikian maka transformasi Laplace tidak ada.
Selanjutnya bila suatu fungsi dari t dinyatakan dengan huruf besar, misalnya W(t), G(t),
Y(t) dan seterusnya, maka transformasi Laplace dinyatakan dengan huruf kecil yang
bersangkutan sehingga L{W(t)} = w(s), L{G(t)} = g(s), L{Y(t)} = y(s) dan seterusnya.
Teorema
Jika F(t) adalah fungsi yang kontinu secara sebagian-sebagian dalam setiap interval 0t
N dan eksponensial berorde untuk t > N, maka transformasi Laplace f(s) ada untuk
setiap s >
Nomor F(t) L{F(t)} = f(s)
1. 1 1,
s s > 0
2. T 1 ,
2
s s > 0
3. t2
3 2
s , s > 0
4. tn
n = 0,1,2,3,…. 1
!
n s
n
, s > 0
5. eat
, 1
a
s s > 0
6. sin at
, 2
2 a
s a
s > 0
7. cos at
, 2
2 a
s s
s > 0
8. sinh at ,
2
2 a
s a
s > a
9. cosh at ,
2
2 a
s s
s > a
Untuk memahamkan bagi pembaca, berikut ini diberikan beberapa contoh transformasi
Laplace suatu fungsi.
Tentukan transformasi Laplace fungsi berikut:
1. F(t) = 1
L {F(t)} = L{1}
=
0
) 1
( dt
e st
=
p st
p e dt
Lim 0
=
p st
p se
0
1 lim
=
0
1 1 lim
se se
5.2 Syarat cukup Transformasi Laplace ada
Jika F(t) adalah kontinu secara sebagian-sebagian dalam setiap selang berhingga 0
N t
dan eksponensial berorde untuk t > N, maka transformasi Laplacenya f(s)
ada untuk semua s > .
Perlu ditekankan bahwa persyaratan-persyaratan yang dinyatakan adalah CUKUP
untuk menjamin bahwa transformasi Laplace-nya ada. Akan tetapi transformasi
Laplace dapat ada atau tidak walaupun persyaratan ini tidak dipenuhi.
5.3 Sifat-sifat Transformasi Laplace
Transformasi Laplace suatu fungsi mempunyai beberapa sifat, diantaranya adalah
a) Sifat linear
Jika c1 dan c2adalah sebarang konstanta, sedangkan F1(t) dan F2(t) adalah
fungsi-fungsi dengan transformasi-transformasi Laplace masing-masing f1(s) dan
) ( 2 s
f , maka:
L{c1F1(t)+cF2(t)} = c1 f1(s) + c2 f (s)
Bukti:
L{c1F1(t)+cF2(t)} =
0
2 2 1
1 ( ) ( )}
{c F t c F t dt
e st
=
0
2 1 0
1
1F(t)dt e c F (t)dt
c
e st st
=
0
2 0
2 1
1 e F(t)dt c e F (t)dt
c st
p st
= c1f1(s)c2f2(s)
Contoh
= 5 L{t} – 3 L{1}
= 5
s s
1 3 1
2
=
s s
3 5
2
2. L{6 sin 2t – 5 cos 2t} = L{6 sin 2t} – L{5 cos 2t}
= 6 L{sin 2t} – 5 L{cos 2t}
= 6
4 5 4 2
2 2
s
s s
=
4 5 12
2
s
s
L{(t21)2} = L{t4
2
t
2
}1
= L{
t
4}
L
2{
t
2}
L
{
}1
= L{t4
}
+ 2 L{t
2}
+ L{1}=
s s
s
1 ! 2 2 ! 4
1 2 1
4
=
s s s
1 4 24
3
5
3. L{4e5t
6
t
2
3
sin
4
t
2
cos
2
t
}
= L{4e5t
}
L
6{
t
2}
L
3{
sin
4
t
}
L
{
2
cos
2
t
}
= 4L{e5t
}
{6
t
2}
3
L
{sin
4
t
}
2
L
{cos
2
t
}
= 4
4 2 4 4 3 2 6 5 1
2 2
3
s
s s
s
=
4 2 16 12 12 5 4
2 2
3
s
s s
s
s
Dengan menggunakan sifat linear, tentukan transformasi Laplace fungsí berikut.
1. F(t) = 2t2+ et
2. F(t) = 6sin 2t – cos 2t
3. F(t) = (sin t – cos t)2
4. F(t) = cosh 3t – ½ sinh t
5. F(t) = (2t + 2)3
6. F(t) = (sin t – 3)3
b) Sifat translasi atau pergeseran pertama
Jika L{F(t)} = f(s) maka L{eat
F
(
t
)}
= f(s-a)Bukti
Karena L{F(t)} = e stF t dt
0
)
( = f(s), maka
L{eat
F
(
t
)}
=
0
) (t dt F e e st at
=
p
t a
s F t dt
e 0
)
( ( )
= f(s-a)
Contoh:
1. Tentukan L{ e-3tF(t)}, jika L{F(t)} = f(s)
Menurut sifat 2 di atas, L{eat
F
(
t
)}
= f(s-a)= f(s+3)
2. Tentukan L { e2tF(t)}, jika L{F(t)} = f(s/a)
Menurut sifat 2 di atas, L{eat
F
(
t
)}
= f(s-a)Maka L{e2tF(t)} = f(s-2/a)
= f( 2)
a a s
3. Tentukan L{et
cos
2
t
}
.Karena L{cos 2t} =
4 2
s
s
= f(s), maka
L{et
cos
2
t
}
= f(s+1)=
4 ) 1 (
) 1 (
2
s
s
4. Tentukan L{e2t
3(
cos
6
t
5
sin
6
t
)}
Menurut sifat linear,
L{e2t
3(
cos
6
t
5
sin
6
t
)}
= L{e
2
t
6cos3(
{)}
eLt
2
t
t
)6sin5(
}= 3L{e2t
cos
6
t
}
5
L
{
e
2tsin
6
t
}
}Karena L{cos 6t} =
36 2
s
s
= f(s), dan L{sin 6t} =
36 6 2
s = f(s) maka menurut sifat
translasi
= 3 ( (2)22)36
s
s
, dan
5L{e2t
sin
6
t
}
= 5f(s+2)= 5 (s2)62 36, sehingga
L{e2t
3(
cos
6
t
5
sin
6
t
)}
= 3 ( (2)22)36
s
s
- 5 ( 26)2 36
s
=
40 4
24 3 2
s s
s
Soal
Tentukan transformasi Laplace fungsi
1) F(t) = etsin2t
2) F(t) = (1+tet)3
3) F(t) = et(3sinh2t 5cosh2t)
4) F(t) = (t+2)2et
5) F(t) = e2t(sinh2tcosh3t)
6) F(t) = e t(12t)
c. Sifat translasi atau pergeseran kedua
Jika L{F(t)} = f(s) dan G(t) =
a
t
a
t
a
t
F
,0
),
(
maka
L{G(t)} = eas f(s)
L{G(t)} = e stG t dt
Contoh
Carilah L{F(t)} jika F(t) =
Menurut definisi transformasi Laplace
=
1 2
3 / 2
s se s
d. Sifat pengubahan skala
Jika L{F(t)} = f(s), maka L{F(at)} =
a s f a
1
Karena L{F(t)} = e stF t dt
0
)
( maka
L{F(at)} =
0
)
(at dt
F e st
Misal u = at, du = a dt atau dt =
a du
Sehinga L{F(at)} =
0
)
(at dt
F e st
=
0
) (
a du u F
e a
s u
=
du u F e
a
a s u
) ( 1
=
a s f a
1
Contoh:
1. Jika L{F(t)} = ( 2)3
6
s = f(s)
maka L{F(3t)} = )
3 ( 3 1 s
f
= ( /3 2)3
6 3 1
s
= ( 6)3
9 . 6
Soal:
1. Carilah L{F(t)}, jika F(t) =
1
0,
0
1
,
)1
(
2t
t
t
2. Jika L{F(t)} =
) 1 ( ) 1 2 (
1
2 2
s s
s s
, carilah L{F(2t)}
3. Jika L{F(t)} = ,
/ 1 s e s
carilah L{et
F
3(
t
)}
e. Transformasi Laplace dari turunan-turunan
Jika L{F(t)} = f(s) maka L{F’(t)} = sf(s) – F(0)
Karena Karena L{F(t)} = e stF t dt
0
)
( = f(s), maka
L{F’(t)} = e stF t dt
0
) ( '
=
0
) (t dF e st
=
p st st
e d t F t F e
0 0
) ( ) ( )
(
= -F(0) + s
0
st
e F(t)dt
= sf(s) – F(0)
Jika L{F’(t)} = sf(s) – F(0) maka L{F’’(t)} = s2 f(s) sF(0) F'(s)
L{F”(t)} =
Dengan cara yang sama diperoleh
L{F’’’(t)} = e stF'''(t)dt
Akhirnya dengan menggunakan induksi matematika dapat ditunjukkan bahwa, jika
L{F(t)} = f(s)
L{F(n)
(
t
)}
= sn f(s) sn1F(0) sn2F'(0) ... sF(n2)(0) F(n1)(0)Contoh soal
Dengan menggunakan sifat transformasi Laplace dari turunan-turuan, tunjukkan bahwa
L{sin at} = s2 a2
a
= f(s)
Misal F(t) = sin at diperoleh F’(t) = a cos at, F’’(t) = -a2sinat
Sehingga L{sin at} = - 2 1
a L{F’’(t)}.
Dengan menggunakan sifat transformasi Laplace dari turunan-turunan diperoleh
L{sin at}= 2
1
a
( s2 ( ) (0) '(0)
F sF
s
f )
=
s a
a s
a s
a (0)
1
2 2 2 2
=
a
a s
as
a 2 2
2 2
1
=
2 2
3 2 2 2
1
a s
a as as a
= 2 2
a s
a
f. Tansformasi Laplace dari integral-integral
Jika L{F(t)} = f(s) maka L
s s f du u
F( ) ( )
1
0
Bukti:
Misal G(t) =
t
du u F 0
)
Dengan mentransformasikan Laplace pada kedua pihak, diperoleh:
1. Carilah L
Sehingga menurut sifat transformasi di atas L
2. Buktikan L
dan t F’(t) = sin t. Dengan mengambil transformasi Laplace kedua bagian
ds s
s
sf
1 1 )
( 2
sf(s)arctansC
Menurut teorema harga awal, Limssf(s)limt0F(t)F(0)0
Sehingga diperoleh c = 2
.
Jadi sf(s) =
s s
1 arctan 1
3. Buktikan L
t
du u
u
cos
=
s s
2 ) 1 ln( 2
Bukti:
Misal F(t) = du
u u
t
cos
maka F’(t) =
t t
cos
atau tF’(t) = - cos t
L{tF'(t)}L{-cos t}
(-1) (sf(s) F(0))
ds d
=
1 2
s s
atau
ds d
sf(s) =
1 2
s
s
sf(s) = ln(s 1)c
2 1 2
Menurut teorema harga akhir, lims0sf(s)limt0F(t)0, sehingga c = 0.
Jadi sf(s) = ln( 1) 2
1 s2
atau f(s) =
s s
2 ) 1 ln( 2
g. Perkalian dengan tn
Jika L{F(t)} = f(s) maka L{tn
F
(
t
)}
= (-1) f(s)ds d
n n
Karena f(s) = e stF t dt
0
)
( maka menurut aturan Leibnitz untuk menurunkan
dibawah tanda integral, diperoleh:
ds df
= f’(s) =
ds d
dt t F e st
0
) (
= e F t dt s
st ( )
0
=
0
) (t dt F te st
= -
0
)} (
{tF t dt
e st
= -L{tF(t)}
Jadi L{tF(t)} = - f'(s)
ds df
Contoh
1. Tentukan L{t sin at}
Jawab
L{sin at} = s2 a2
a
, maka menurut sifat perkalian dari pangkat t
n diperoleh
L{t F(t)} = (-1)n n n
ds s f d ( )
, sehingga
L{ t sin at} = (-1)
2
2 a
s a ds
d
= ( 2 2)2
2
a s
as
2. Tentukan L{t2
cos
at
}
Menurut sifat di atas, L{t2
cos
at
}
= (-1)2
2
2 2 2
a s
s ds
=
2 2 2
2 2
) (s a
s a ds
d
= 2 2 3 2 3
) (
6 2
a s
s a s
h. Sifat pembagian oleh t
Jika L{F(t)} = f(s) maka L
0
) ( )
(
du u f t
t F
Bukti:
Misal G(t) =
t t F( )
maka F(t) = t G(t).
Dengan menggunakan definis transformasi Laplace untuk kedua bagian, maka
diperoleh bentuk L{F(t)} = L{t G(t)} atau f(s) = - L{G(t)}
ds d
atau f(s) =
-ds dg
.
Selanjutnya dengan mengintegralkan diperleh
f(s) =
-ds dg
.
g(s) = -
s
du u f( )
=
s
du u f( )
Jadi L
t t F( )
s
du u f( )
i. Soal-soal
1) Tentukan transformasi Laplace untuk fungsi yang diberikan a. F(t) = t cos 2t
c. F(t) = t(3sin 2t-2 cos 5t)
d. F(t) = t2sint
e. F(t) = (t2 3t 2)sin3t
f. F(t) = t3cost
g. F(t) =
2) Jika F(t) =
1
,0
1
0,
2
t
t
t
Carilah L{F’’(t)}
3) Diketahui F(t) =
1
,
1
0,
2
tt
t
t
a. carilah L{F(t)}
b. carilah L{F’(t)}
c. apakah L{F’(t)} = sf(s) – F(0) berlaku untuk kasus ini
4) Tunjukkan bahwa
0 3
50 3 sintdt te t
5) Tunjukkan bahwa
L ( ) 1 {2 }
0
2 t
t
u L t t e
s du e u
u
6) Perlihatkan bahwa
a. L{
t e eat bt
} = ln ssab
b. L 2 2
2 2
ln 2 1 cos
cos
a s
b s t
bt at
a. L
du u
u u
1
0 1
= 1sln11s
b. Jika L{F(t)} = f(s) maka L
t tdu u F dt
0 0
1
1
)
( =
2
) (
s s f
10) Teorema harga awal 11) Teorema harga akhir
12) Perluasan dari teorema harga awal 13) Perluasan dari teorema harga akhir
3. Transformasi Laplace Invers
5.4 Definisi
5.5 Ketunggalan Transformasi Laplace Invers
5.6 Sifat-sifat transformasi Laplace Invers
6. Penggunaan Transformasi Laplace
6.2 Persamaan Differensial (PD)
6.3 PD Biasa dengan Koefisien Konstan
6.4 PD Biasa dengan Koefisien Variabel
6.5 PD Simultan
