3.1 Mendeskripsikan dan menentukan penyelesaian fungsi eksponensial dan fungsi logaritma menggunakan masalah kontekstual, serta keberkaitanannya - UKBM X 3.1 4.1 2A fungsi logaritma

UNIT KEGIATAN BELAJAR MANDIRI

FUNGSI LOGARITMA

1. Identitas

a.

Nama Mata Pelajaran : Matematika (Peminatan)

b.

Semester : 1 (Satu)

c.

Materi Pokok : Fungsi Logaritma

d.

Alokasi Waktu : 9 JP ( @ 45 menit )

e.

Kompetensi Dasar :

3.1 Mendeskripsikan dan menentukan penyelesaian fungsi eksponensial dan fungsi logaritma menggunakan masalah kontekstual, serta keberkaitanannya

4.1 Menyajikan dan menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan fungsi eksponensial dan fungsi logaritma

f.

Tujuan Pembelajaran:

Melalui pendekatan saintifik dengan menggunakan model pembelajaran Problem Based Learning dan metode diskusi, tanya jawab, penugasan dan presentasi, kalian dapat menjelaskan konsep logaritma berkaitan dengan konsep eksponen, merubah bentuk eksponen menjadi bentuk logaritma dan sebaliknya, menggunakan sifat-sifat logaritma untuk menyederhanakan bentuk-bentuk logaritma, menghitung nilai fungsi logaritma, menggambar grafik fungsi logaritma, menjelaskan karakteristik grafik fungsi logaritma, dan dapat menyajikan bentuk logaritma dalam beberapa variable berbeda, menganalisis syarat-syarat bentuk logaritma, menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan dengan fungsi logaritma dengan mengembangkan sikap religius, penuh tanggung jawab, bekerja keras, serta dapat mengembangkan kemampuan berpikir kritis, kreativitas, kolaborasi, komunikasi (4C)

g.

Materi Pembelajaran Buku Teks Pelajaran (BTP):

Yuana, Rosihan Ari dan Indriyastuti. 2016. Buku Siswa Perspektif Matematika 1. Solo: PT Tiga Serangkai Pustaka Mandiri. (halaman 107-123)

1.

Pastikan dan

fokuskan apa yang akan anda

pelajari hari ini

.

2.

Baca dan pahami Pendahuluan (Apersepsi) untuk

membantu anda memfokuskan permasalahan

yang akan dipelajari.

3.

Cari

referensi/buku-buku teks

yang terkait

dengan topik/permasalahan yang anda hadapi.

4.

Jangan lupa

browsing internet

untuk

menda-patkan pengetahuan yang up to date.

5.

Selalu

diskusikan

setiap persoalan yang ada

dengan teman-teman dan atau guru.

6.

Presentasikan

hasil pemahaman anda agar

bermanfaat bagi orang lain.

Jika tahapan-tahapan telah kalian lewati, kalian boleh meminta tes formatif

kepada Bp/Ibu guru sebagai prasyarat untuk melanjutkan ke UKBM berikutnya.

Oke.?!

h. Kegiatan Pembelajaran

a)

Pendahuluan

Sebelum belajar pada materi ini silahkan kalian membaca dan memahami di bawah ini.

Dari pengetahuan kalian sebelumnya dari UKBM MTKP-3.1/4.1/1, kalian bisa memperoleh persamaan eksponen sbb:

.. .

=

5. 000. 000

(

1

+

...

)

. . ... .

Kalian juga bisa mencoba mencari nilai x dengan menggunakan program excell sebagai berikut:

Petunjuk Umum

Definisi

Bisa kita lihat untuk menentukan berapa tahun kita memerlukan bantuan pengetahuan dan keterampilan pada materi logaritma yang akan kalian kuasai dari UKBM ini.

Mari kita lihat hubungan antara eksponen dan logaritma 2…

Konsep : Jika

a

x

=

b

_maka a

log

b

=

...

_{(dibaca logaritma dari b terhadap}

bilangan pokok a)

Bentuk a

log

b

berarti eksponen dari a yang menghasilkan b.

Perhatikan tabel berikut, isilah kolom yang kosong sesuai bentuknya, diskusikan dengan teman kelompokmu !

Dari tabel di bawah ini tulis dalam bentuk eksponen atau logaritma

Bentuk eksponen: Bentuk logaritma:

5

log 625

=

4

49

_log7

=

0,5

10

log 100.000

=

5

2

6

=

64

5

4

=

625

64

=

8

2

Setelah kalian memahami uraian singkat materi dan mengisi tabel di atas, maka kerjakan latihan 1 di bawah ini di buku kerja kalian:

Agar lebih memahami, ayo berlatih berikut.

Ayoo berlatih!

Latihan 1

1. Tulis dalam bentuk eksponen:

(a) 2

log 16

=

4

(b) 5

log 125

=

3

(c) 36

log6

=

0,5

(d)

10

_{log 10000}

=

4

(e) 3

log 243

=

5

(f) 9

log 243

=

2,5

(g) 5

log

(

0

,

04

)=−

2

(h) 5_log

(

251

)

=−2

(i) a

log

x

=

z

(j) p

log

a

=

2

(k) 3

log 7

=

x

(l) 10

log 5

=

y

(m) x

log8

=

y

(n) y

log 5

=

3

(o)

2

_{log 5}

=

a

_(p) 5

log

x

=

2

2. Tulis dalam bentuk logaritma:

(a)

2

5

=

32

(b)

5

3

=

125

(c)

36

=

6

2 (d)

4

3 2

=

8

(e)

5

−1

=

0,2

(f)

2

−2

=

0

,

25

(g)

10

3

=

1000

(h)

10

−1

=

0,1

(i)

a

x

=

p

(j)

y

z

=

b

(k)

3

x

=

y

(l)

x

4

=

y

(m)

5

m

=

2

_(n)

x

3

=

y

_(o)

y

=

5

x _(p)

7

=

5

x

Apabila kalian telah mampu menyelesaikan persoalan di atas, maka kalian bisa melanjutkan pada kegiatan belajar 2 berikut.

Kegiatan Belajar 2

Setelah kalian belajar tentang bagaimana hubungan antara eksponen dan logaritma, sekarang perhatikan sifat-sifat logaritma sebagai dasar-dasar pemahaman kalian tentang Logaritma!

Sifat-sifat LOGARITMA:

1. a

log 1

=

0

; a

log

a

=

1

5.

Setelah memahami contoh di atas, maka kerjakan soal-soal di Latihan 1 berikut di buku kerja kalian!

Ayo berlatih!!

(c) 3

log 45

+

2.

3

log 2

−

3

log 20

(h) x

log

(

x

3

)

+

y

log

(

y

2

)

−

z

log

(

z

4

)

(d) a

log

b

+

2.

a

log

(

ab

)−

3.

a

log

b

(i) x

log

(

x

3

)

+

y

log

(

y

2

)

−

z

log

(

z

4

)

(e)

x

_log

_a

4

3.

x

log

a

_(j)

x

_{log 48}

−

x

log3

x

_log2

Apabila kalian telah mampu menyelesaikan persoalan di atas maka kalian bisa melanjutkan pada kegiatan belajar pada pertemuan berikutnya.

Kegiatan Pembelajaran 2

Kegiatan Belajar 1

Ayo…sekarang perhatikan lagi contoh berikut ini dengan baik !

Contoh 1:

Jika a

log 2

=

p

dan a

log 3

=

q

, nyatakan pernyataan berikut dalam

p

dan

q

.

(a)

a

log 12

=

a

log

(

2

2

×

3

)=

a

log 2

2

+

a

log3

=

2.

a

log2

+

a

log3

=

2

p

+

q

(b)

a

_log

(

27

4

)

=

a

_log

(

3

2

23

)

=

a

_{log 2}

2

−

a

log 3

3

=

2 .

a

log2

−

3 .

a

log3

=

2

p

−

3

q

(c)

a

_log

(

0

,

2

)

=

log

(

2

9

)

=

log 2

−

log 9

=

log 2

−

log3

2

=

p

−

3

q

p

=

0,2

10

p

=

2,2

_–

−

9

p

=−

2

p

=

2

9

Dari contoh penyelesaian di atas, apakah ada hal yang belum kalian pahami? Jika kalian sudah paham kerjakanlah soal pada bagian Ayoo berlatih berikut!

Ayoo berlatih!!

Setelah memahami contoh di atas, maka kerjakan soal-soal di Latihan 1 berikut di buku kerja kalian!

Latihan 1

1. Jika a

log 2

=

p

dan a

log 3

=

q

, nyatakan pernyataan berikut dalam

p

_dan

q

_.

(a) a

log 12

(b) a

log 36

(c) a

log 96

(d) a

log

(

9

a

4

)

(e) a

log

(

16

a

2

)

(f) alog

(

23

)

_(g) a

log

(

0,6

)

Definisi

Misalkan a, b, c dan n bilangan real positif dan a, b, c, n

1, maka:

alog a = 1

alog 1 = 0

alog an = n

alog (b.c) = ...+ ...

alog (...) = alog b – alog c

alog bn = n...

alog b = =

alog b.blog c = alog c

Sifat-sifat logaritma

2. Jika 5

log 7

=

x

dan 5

log 2

=

y

, nyatakan pernyataan berikut dalam x _dan

y

_.

(a) 5

log 49

(b) 5

log 28

(c) 5

log1

,

75

(d) 5

log 50

(e) 5

log 490

(f) 5log

(

141

)

_(g) 5

log 700

_(h)

5

_{log 245}

Kerjakan bersama teman kalian di buku kerja masing-masing! jika ada kesulitan tanyakan kepada Guru, serta laporkan kepada Guru agar dapat diketahui penguasaan materi sebelum kalian diperbolehkan melanjutkan pada kegiatan belajar pada pertemuan berikutnya.

Kegiatan Pembelajaran 3

Sebelum belajar pada materi ini silahkan kalian membaca dan memahami cerita di bawah ini.

Kegiatan Belajar 1

Pada UKBM terdahulu kita telah membahas tentang fungsi eksponen, konsep dan sifat-sifat logaritma! Bagaimana? Masih tersimpan dimemori kalian...mudah-mudahan

Fungsi eksponen f dengan bilangan pokok a adalah fungsi yang

memetakan setiap bilangan real x ke ax _{dengan a > 0 dan a ≠ 1 dapat} ditulis sebagai:

Bentuk pemetaan f : x

→

ax_{, dengan a > 0 dan a}

_≠

_{1 atau bentuk f(x) = a}x dengan a > 0 dan a ≠ 1

Lengkapilah titik-titik di samping

Gempa bumi yang terjadi di NAD pada 26 Desember 2004 memiliki kekuatan 8,9 skala Richter. Adapun gempa bumi yang terjadi di Palu pada 24 Januari 2005 berkekuatan 6,2 skala Richter. Berapa kali lebih kuatkah intensitas gempa bumi di Aceh? (kekuatan gempa dirumuskan

M(I) = log

_I

I

0

, I : intensitas gempa yang diukur dan I0: intensitas

minimum)

Pertanyaan:

1. Bisakah Anda menghitung besarnya intensitas gempa di Aceh? 2. Berapakah besar intensitas gempa di Palu?

Misalkan a, b, c dan n bilangan real positif dan a, b, c, n

1, maka:

alog a = 1

alog 1 = 0

alog an = n

alog (b.c) = ...+ ...

alog (...) = alog b – alog c

alog bn = n...

alog b = =

alog b.blog c = alog c

Coba perhatikan hubungan antara eksponen dan logaritma berikut: a_{log p = n jika dan hanya jika a}n _{= p...*}

a disebut bilangan pokok(basis), dengan syarat a > 0 dan a

≠

1

p disebut numerus (bilangan yang dicari logaritmanya), dengan syarat p > 0

n disebut hasil logaritma, bisa positif, nol, ataupun negatif.

Dari uraian di atas kita dapat menulis pengerian fungsi logaritma sebagai berikut:

Pengertian fungsi logaritma

Fungsi logaritma merupakan invers dari fungsi eksponen. Sehingga fungsi eksponen y = ax_{inversnya adalah x = ...}

Jadi bentuk fungsi logaritma dapat ditulis menjadi f(x) = y = a_{log x,} dengan a, x > 0 dan a ≠ 1

invers

Ayoo berlatih!

Setelah kalian mengetahui fungsi logaritma , sekarang silahkan cari nilai fungsi berikut:

1. f(x) = 2x _{, untuk x}

_∈

_{{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3}} 2. f(x) = 2_{log x , untuk x}

_∈

_{

1

8

,

1

4

,

1

2

, 1, 2, 4, 8}

3. f(x) = 3_{log (x + 1), untuk x ∈{ -1, 0, 1, 2, 8}} 4. g(x) = log (x2 _{– 4), untuk x}

_∈

_{{-3, -2, -1, 1, 2, 3, 4)}

5. h(x) =

1

❑

x

log 3

, untuk x ∈{

1

9

,

1

3

, 3, 9, 27}

Jawab:

Horreee....aku sudah dapat menghitung nilai fungsi

logaritma!!!!

Kegiatan Belajar 2

Pada KB 2 ini tentunya Anda sudah lebih pintar dalam mencari nilai fungsi logaritma.

Terlebih dahulu siapkanlah satu lembar kertas grafik atau kertas kotak. Kemudian...

1. Tuliskan hasil yang diperoleh pada Ayoo berlatih! KB 1 no. 1 dan 2 pada tabel berikut:

No.1 f(x)= 2x

x f(x) titik

No. 2 f(x) = 2_log x

x f(x) titik

-3

1

8

(-3,

1

8

)

1

8

-3 (

1

8

, -3)

-2 ... ....

1

4

.... ....

-1 .... ....

1

2

.... ....

0 .... .... 1 .... ....

1 .... .... 2 .... ....

2 .... ... 4 .... ....

3 .... .... 8 .... ....

2. a. Hubungkan titik-titik yang Anda peroleh pada no.1 untuk

menggambar grafik f(x) = 2x _{pada kertas grafik yang sudah Anda} siapkan

b. Hubungkan titik-titik yang Anda peroleh pada no.2 untuk

menggambar grafik f(x) = 2_{log x pada sistem yang sama dengan no.2a} c. Gambar grafik f(x) = x pada sistem koordinat yang sama

dengan grafik f(x) = 2x _{dan f(x) =} 2_{log x}

3. Perhatikan grafik fungsi logaritma f(x) = 2_{log x saja dan jawab} pertanyaan-pertanyaan berikut ini:

a. Apakah grafik memotong sumbu X ?...jika iya dititik berapa?... b. Apakah grafik menyentuh dan memotong sumbu Y ?

c. Apakah fungsi f(x) = 2_{log x termasuk fungsi naik atau turun ?}

pencerminan. Bagaimanakah memperoleh grafik fungsi f(x) = 2_{log x jika} diketahui grafik f(x) = 2x _?

Ayoo berlatih!!

1. Menggambar grafik fungsi logaritma f(x) = a_{log x , untuk a > 1} a. Gambarlah grafik fungsi f(x) = 3_{log x}

b. Gambarlah grafik fungsi f(x) = 3_{log (x – 1)} c. Gambarlah grafik fungsi y = 1 + 3_{log x}

2. Menggambar grafik fungsi logaritma f(x) = a_{log x , untuk 0 < a < 1} a. Gambarlah grafik fungsi f(x) = 1/3_{log x}

b. Gambarlah grafik fungsi y = 1/3_{log (x + 1)} c. Gambarlah grafik fungsi y = -1 + 1/3_{log x} (Sebaiknya digambar pada kertas grafik)

Alhamdulillaahhh...Aku dan bisa menggambar grafik fungsi logaritma...?!

Naacchh....sekarang perhatikan kembali gambar grafik yang telah Anda gambar !

i) y = 3_{log x dan garfik y =} 1/3_{log x. Pikirkan tentang pencerminan.}

Bagaimana cara memperoleh grafik y = 1/3_{log x jika diketahui grafik y =} 3_{log x?}

... ...

ii) y = 3_{log x dan y =} 3_{log (x – 1). Pikirkan tentang pergeseran.}

Bagaimanakah cara memperoleh grafik y = 3_{log (x – 1) jika diketahui} grafik y = 3_{log x ?}

... ...

iii) y = 3_{log x dan y = 1 +} 3_{log x. Pikirkan tentang pergeseran. Bagaimanakah} cara memperoleh grafik y = 1 + 3_{log x jika diketahui grafik y =} 3_{log x ?} ... ...

Kegiatan di atas adalah kegiatan menggambar berbagai bentuk grafik fungsi logaritma beserta dengan karakteristik/sifat-sifatnya.

Tuliskanlah sifat-sifat grafik fungsi logaritma berdasarkan kegiatan di atas pada tabel di bawah ini.

Sifat-sifat fungsi logaritma

Kegiatan Belajar 3

Ayo…sekarang perhatikan uraian berikut ini dengan baik !

Ketika kita minum air jeruh rasanya agak asam. Sedangkan jika minum air mineral rasanya netral. Dibidang kimia pengukuran kadar keasaman suatu larutan menggunakan besaran yang disebut pH, yang didefinikan sebagai fungsi logaritma p(t) = -log(t), dengan t adalah konsentrasi ion hidrogen (H+_{) yang dinyatakan dalm mol per liter (mol/L). Kita biasanya} membulatkan nilai pH sampai satu desimal.

Misalnya, berapa pH suatu larutan dengan konsentrasi ion hidrogennya 2,5 x 10-5 _mol/L?

Disini diketahui t = 2,5 x 10-5 _{sehingga p(t) = - log (2,5x10}-5₎ = - (log 2,5 + log 10-5₎

= - (0,4 – 5) = 4,6

(bagaimana cara memperoleh nilai 0,4???)

Jadi, pH larutan tersebut adalah 4,6

Dari contoh penyelesaian di atas, apakah ada hal yang belum kalian pahami? Jika kalian sudah paham kerjakanlah soal pada bagian Ayoo berlatih berikut!

Ayoo berlatih!!

Intensitas bunyi diukur dengan satuan yang disebut desibel (disingkat dB). Satuan ini pertama-tama dengan menetapkan suatu intensitas I0 pada bunyi yang sangat lembut (yang disebut ambang bunyi). Sebagai acuan I0 ditetapkan 10-12_Wm-2_{. Bunyi yang kita ukur intensitasnya diberi lambang I} dan besaran yang diukur oleh alat ukur adalah taraf intensitas bunyi (TI),

yang dinyatakan oleh fungsi logaritma TI = 10.log

I

I

0

dB.

a. Tentukan taraf intensitas bunyi dengan intensitas sebesar 4000I0. (log 2 = 0,3010)

b. Jika suatu bunyi memiliki taraf intensitas 80 dB, berapa kalikah intensitas bunyi ini jika dibandingkan dengan intensitas ambang bunyi I0 ?

Penyelesaian:

3.

Penutup

Tabel Refleksi Diri Pemahaman Materi

No Pertanyaan Ya Tidak

1. Apakah kalian mampu menjelaskan konsep logaritma berkaitan dengan konsep eksponen?

2. Dapatkah kalian merubah bentuk eksponen menjadi bentuk logaritma dan sebaliknya?

3. Dapatkah kalian menyederhanakan bentuk logaritma dengan menggunakan sifat-sifat logaritma?

4. Dapatkah kalian menyajikan bentuk logaritma dalam beberapa variabel berbeda?

5. Dapatkah kalian menganalisis syarat-syarat bentuk logaritma?

6. Apakah kalian telah memahami fungsi logaritma? 7. Dapatkah kalian menghitung nilai dari fungsi kuadrat? 8. Dapatkah kalian menggambar grafik fungsi logaritma

dan menafsirkannya?

9. Dapatkah kalian menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan dengan fungsi logaritma?

Jika menjawab “TIDAK” pada salah satu pertanyaan di atas, maka pelajarilah kembali materi tersebut dalam Buku Teks Pelajaran (BTP) dan pelajari ulang UKBM ini dengan bimbingan Guru atau teman sejawat. Jangan putus asa untuk mengulang lagi!. Dan apabila kalian menjawab “YA” pada semua pertanyaan, maka kalian boleh sendiri atau mengajak teman lain yang sudah siap untuk mengikuti tes formatif agar kalian dapat belajar ke UKBM berikutnya... Oke.?