82 Soal dengan Pembahasan, 250 Soal Latihan

(1)

Nopember 2012

Galeri

Soal

Dirangkum Oleh:

Anang Wibowo, S.Pd

Email : matikzone@gmail.com Blog : www.matikzone.wordpress.com HP : 085 233 897 897 © Hak Cipta Dilindungi Undang-undang. Dilarang mengkutip sebagian atau seluruh isi galeri ini tanpa mendo’akan kebaikan untuk kami dan umat islam seluruhnya. Dan jangan lupa mencantumkan sumbernya ya…

(2)

Lingkaran www.matikzone.wordpress.com

Soal-soal Lingkaran dan Penyelesaiannya

1. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di P(0,0) dengan jari-jari r = 5. Jawab:

Persamaan lingkaran dengan pusat P(0,0) dan jari- jari r adalah 2 2 2

r y

x + = ,

(Bentuk Baku)

maka persamaan lingkaran yang berpusat di P(0,0) dengan jari-jari r = 5 adalah:

25 5 2 2

2 2 2

= + ⇒

= +

y x

r y x

2. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di P(3,5) dengan jari-jari r = 9. Jawab:

Persamaan lingkaran dengan pusat P(a, b) dan jari- jari r adalah

(

) (

2

)

2 2

r b y a

x− + − = ,

(Bentuk Baku)

maka persamaan lingkaran yang berpusat di P(3,5) dengan jari-jari r = 9 adalah:

(

) (

)

(

) (

)

(

3

) (

5

)

81 9 5 3

2 2

2 2 2

= − + − ⇒

= − + −

y x

r b y a x

at au

(

) (

)

0 47 10 6

0 81 25 10 9

6

81 5 3

2 2

= − − − + ⇒

= − + − + + − ⇒

= − + − ⇒

y x y x

y y

x x

y x

(Bent uk Umum)

3. _{Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran} 2 ₊ 2 ₌₁₀

y x

Jawab:

( )

2 2

2

10 10⇒ + = =

+ y x y

x , sehingga P(0,0) dan r = 10

4. _{Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran}

(

₊₅

) (

2 ₊ ₋₄

)

2 ₌₄₉

y x

Jawab:

(

) (

2

)

2

(

( )

) (

2

)

2 2 7 4 5

49 4

5 + − = ⇒ − − + − =

+ y x y

x , sehingga P(– 5, 4) dan r =7

5. _{Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran} 2 ₊ 2 ₋₂ ₋₆ ₊₆₌₀

y x y x

(3)

Cara 1:

Persamaan lingkaran dalam bentuk umum 2 ₊ 2 ₊ ₊ ₊ ₌0

C By Ax y

x dapat diubah

dalam bentuk baku (dengan melengkapkan bentuk kuadrat) sebagai berikut:

C B A B y A

x  −

     +       =       + +     

 + 2 2 2 2

2 2

( )

( ) ( )

(

1

) (

3

)

4 4 9 6 1 2 3 1 6 3 6 1 2 0 6 6 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = − + − ⇒ = + − + + − ⇒ − + − + − = − + − + − + − ⇒ = + − − + y x y y x x y y x x y x y x

sehingga diperoleh P(1, 3) dan r =2

Cara 2:

Persamaan lingkaran dalam bentuk umum 2 + 2 + + + =0

C By Ax y

x mempunyai titik

pusat 

    ₋ ₋ B A P 2 1 , 2 1

dan jari-jari r = A2 + B2 −C

4 1 4

1

,

maka lingkaran 2 + 2 −2 −6 +6=0

y x y

x mempunyai

( )

6

( )

1,3 2 1 , 2 2 1 P

P =

  



₋ ₋ ₋ ₋

dan

( )

6 6 1 9 6 4 2 4

1 2 4

1 ₋ 2 ₊ ₋ 2 ₋ ₌ ₊ ₋ ₌ ₌

= r

6. _{Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran}₂ 2 +₂ 2 +₃ −₇ −₁=₀

y x y x Jawab: 8 33 4 7 4 3 8 33 4 7 2 7 4 3 2 3 4 7 4 3 2 1 4 7 2 7 4 3 2 3 0 2 1 2 7 2 3 0 1 7 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 =       − +       + ⇒ =      − + − +       + + ⇒      − +       + =      − + − +       + + ⇒ = − − + + ⇒ = − − + + y x y y x x y y x x y x y x y x y x

sehingga diperoleh 

    − 4 7 , 4 3

P dan

8 33

= r

7. _{Diketahui lingkaran dengan persamaan} 2 ₊ 2 ₊ ₊ ₊₁₉₌₀

by ax y

x melalui titik

(

−2,9

)

A dan B

( )

4,3 , maka nilai a+b= …. Jawab:

Titik A

(

−2,9

)

dan B

( )

4,3 dilalui ≡ 2 + 2 + + +19=0

by ax y x

L , maka

(

−2,9

)

A :

( )

₋22₊92₊

( )

₋2₊ .9₊19₌0_⇒4₊81₋2 ₊9 ₊19₌0_⇒₋2 ₊9 ₌₋104

b a b

a b

(4)

( )

4,3

B : 42+32+ .4+ .3+19=0⇒16+9+4 +3 +19=0 ⇒ 4 +3 =−44

b a b

a b

a …(2)

Dari persamaan (1) dan (2)

12 − = ⇒b

Subtitusi b=−12ke (2) diperoleh:

(

12

)

44 4 36 44 4 8 2 3

4a+ − =− ⇒ a− =− ⇒ a =− ⇒a=−

sehingga a+b=−2+

( )

−12 =−14

8. _{Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran} _≡ 2 ₊ 2 ₋₆ ₊ ₊₉₌₀

py x y x

L _{yang melalui}

titik T (5, 1). Jawab:

Lingkaran melalui T (5, 1) maka

5 0

9 30

1 25 0 9 1 . 5 . 6 1

52 + 2 − + + = ⇒ + − + + = ⇒ =−

p p

p

sehingga persamaan lingkaran menjadi ≡ 2 + 2 −6 −5 +9=0

y x y x

L _{, diperoleh}

( )



     =    



₋ ₋ ₋ ₋

2 5 , 3 5

2 1 , 6 2 1

P

P dan

( )

2 5 4 25 4

36 4 25 4 36 9

5 4 1 6 4

1 2 2

= =

− + = − − + − = r

Jadi, 

    

2 5 , 3

P dan

2 5

= r

9. Tentukan persamaan lingkaran yang melalui titik A(–5, 6) dan B(3, 2) dimana AB adalah diameter lingkaran tersebut.

Jawab: Cara 1:

Misalkan P adalah titik tengah garis AB dimana A

(

x₁, y₁

)

dan B

(

x₂, y₂

)

, maka

koordinat titik 

  



 + +

2 , 2

2 1 2

1 x y y

x P

Misalkan titik pusat lingkaran adalah P

(

x0,y0

)

maka:

(

)

(

5 3

)

1 2

1

0 = xA +xB = − + =−

x dan

(

)

(

6 2

)

4

2 1 2

1

0 = yA + yB = + =

y

Jadi P

(

−1, 4

)

1 2 44 3

4

104 9

2

x x b

a b a

− = +

− = + −

+ − =

− = +

− = + −

252 21

44 3

4

208 18

4

b b a

(5)

Jari-jari r = AP =

(

−5+1

) (

2 + 6−4

)

2 = 16+4= 20

Atau

(

) (

)

80 20

2 1 16 64 2 1 2 6 3 5 2 1 .

2

1 ₌ ₋ ₋ 2 ₊ ₋ 2 ₌ ₊ ₌ ₌

= AB

r

Persamaan lingkaran dengan pusat P

(

−1, 4

)

dan jari-jari r = 20 adalah:

(

) (

)

0 3 8 2

0 20 16 8 1

2 20

4 1

2 2

= − − + + ⇒

= − + − + + + ⇒ = − + +

y x y x

y y x x y

x

Cara 2:

Persamaan lingkaran melalui titik A

(

x₁, y₁

)

dan B

(

x₂, y₂

)

, dimana AB adalah diameter lingkaran adalah:

(

x−x₁

)(

x−x₂

) (

+ y−y₁

)(

y−y₂

)

=0

Jadi persamaan lingkaran melalui titik A(–5, 6) dan B(3, 2) dimana AB diameter lingkaran adalah:

(

)(

) (

)(

)

0 3 8 2

0 12 8 15

2 0

2 6 3

5

2 2

= − − + + ⇒

= + − + − + ⇒ = − − + − +

y x y x

y y x

x y

y x

x

10. Tentukan persamaan lingkaran yang melalui titik-titik A(2, - 4), B(5, -1) dan C(2, 2). Jawab:

Cara 1:

Misalkan persamaan lingkaran:

(

) (

2

)

2 2

r b y a

x− + − =

………...(1)

Titik A, B, C pada lingkaran sehingga memenuhi persamaan (1)

(

) (

2

)

2 2 4

2 : 4 ,

2 a b r

A − − + − − =

……… ...(2)

(

) (

2

)

2 2 1

5 : 1 ,

5 a b r

B − − + − − = _………

………...(3)

( ) (

) (

2

)

2 2 2

2 : 2 ,

2 a b r

C − + − = _………

………...(4) Dari (2) dan (4)

(

) (

)

(

) (

)

(

− −

) (

− −

)

= − = − + −

= − − + −

0 2

4

2 2

4 2

2 2

2 2 2

b b

r b a

(

)(

)

(

)

1 0 12 12

0 2 2 6

0 2

4 2

4

− = ⇔

= + ⇔

= − − − ⇔

= − + − − + − − − ⇔

b b b b b

b b

(6)

(

) (

)

2 0 12 6

0 9 10

25 4

4 2 2

= ⇔

= − ⇔

= + + − − + − ⇔

a a a a a

a

Subtitusi a = 2 dan b = – 1 ke persamaan (2)

(

) (

)

3 9 1

4 2

2 2 2 2 2

= ⇔

= ⇔ = + − + −

r r r

Jadi persamaan lingkaran yang melalui titik-titik A(2, - 4), B(5, -1) dan C(2, 2) adalah:

(

x−2

) (

2 + y+1

)

2 =9_{dengan P(2, -1) dan}r = 3

Cara 2:

Misalkan persamaan lingkaran: 2 ₊ 2 ₊ ₊ ₊ ₌0

C By Ax y x

……….(1)

Titik A, B, C pada lingkaran sehingga memenuhi persamaan (1)

(

2,₋4

)

:22 ₊

( )

₋4 2 ₊2 ₋4 ₊ ₌0_⇔ 2 ₋4 ₊ ₌₋20

C B A C

B A

A

……… ...(2)

(

5,−1

)

:52 +

( )

−1 2 +5A−B+C =0⇔5A−B+C =−26

B

…….………...(3)

( ) ( ) ( )

2,2 : 22 + 2 2 +2A+2B+C =0 ⇔2A+2B+C =−8

C _{……...….}

.………...(4) Dari (2) dan (4)

− − = −

− = + +

− = + −

12 6

8 2

2

20 4

2

B C B A

C B A

⇒ B=2

Subtitusi B=2 _{ke (2) dan (3) diperoleh:}

4 − = ⇒ A

Subtitusi A=−4dan B=2 ke persamaan (4)

( ) ( )

4 2 2 8 8 8 4 4 2 − + +C =− ⇔ C =− + − =−

Jadi persamaan lingkaran yang melalui titik-titik A(2, - 4), B(5, -1) dan C(2, 2) adalah:

0 4 2 4 2

2 ₊ ₋ ₊ ₋ ₌

y x y x

⇔

−

=

+

−

⇔

−

=

+

−

26

2

5

20

8

2

C

A

C

A

− = −

− = +

12 3

24 5

12 2

A C A

C A

(

) (

)

(

−

) (

+ − +

)

= ⇔ ⇔ = + − + −

2 2 2

1 1 5

1 4 2

r a

r

a

(

)

(

)

(

−

) (

− −

)

+ = − = + −

= + −

0 9 5

2

0 5

9 2

2 2

a a

r a

(7)

11. Tentukan persamaan lingkaran dengan pusat P(4, 2) dan menyinggung garis 4

2 + = ≡ x y

g .

Jawab:

Jarak titik T

(

x₁, y₁

)

terhadap garis ax+by+c=0_adalah

2 2

1 1

b a

c by ax d

+ + + =

Jarak titik P(4, 2) terhadap garis 2x+ y=4⇔ 2x+y−4=0adalah jari-jari lingkaran, sehingga:

5 6 1

2

4 2 . 1 4 . 2

2

2 ₊ =

− + =

r

Persamaan lingkaran adalah:

(

) (

)

(

) (

)

(

) (

)

0 64 20 40 5

5

36 4 4 5 16 8 5

5 36 4 4 16

8 5

6 2

4

2 2

2

= + − − + ⇒

= + − + + − ⇒

    = − + −

y x y

x

y y x

x

y y x

x y

x

12. Tentukan persamaan lingkaran dengan pusat P(4, 2) melalui titik T(3, -1). Jawab:

Jarak titik A

(

x₁, y₁

)

dan B

(

x₂, y₂

)

adalah

(

) (

1 2

)

2 2

2

1 x y y

x

d = − + −

Jari-jari lingkaran adalah jarak titik P(4, 2) dan T(3, -1), sehingga

(

4−3

) (

2 + 2+1

)

2 = 1+9= 10 =

r

Persamaan lingkaran dengan pusat P(4, 2) dan jari- jari r = 10_adalah:

(

x−4

) (

2 + y−2

)

2 =

( )

10 2 ⇒

(

x−4

) (

2 + y−2

)

2 =10

13. Tentukan persamaan lingkaran dengan pusat P(-5, 6) dan garis tangen sumbu X. Jawab:

Jari-jari lingkaran r = 6 Persamaan lingkaran:

(

₊5

) (

2 ₊ ₋6

)

2 ₌62 _⇒

(

₊5

) (

2 ₊ ₋6

)

2 ₌36

y x

X Y

(8)

14. Tentukan persamaan lingkaran dengan pusat P(3, -4) dan garis tangen sumbu Y. Jawab:

15. Tentukan persamaan lingkaran dengan pusat P(-2, 5) dan garis tangen x = 7. Jawab:

Lingkaran dengan pusat P(a, b) dan garis tangen x = p maka r = a− p

Lingkaran dengan pusat P(a, b) dan garis tangen y = p maka r = b− p

16. Sisi-sisi persegi mempunyai persamaan sebagai berikut:

Tent ukan persamaan:

a. Lingkaran dalam b. Lingkaran luar A x – y = 1 B

x + y = 1 x + y = 2

C x – y = 0 D

Jari-jari lingkaran r = |– 2 – 7| = 9 Persamaan lingkaran:

(

x+2

) (

2 + y−5

)

2 =92 ⇒

(

x+2

) (

2 + y−5

)

2 =81

X Y

P(-2,5) r 7

P(a, b) P(a, b) P(a, b)

b

y = p

P(a, b) P(a, b) P(a, b)

a x = p

Jari-jari lingkaran r = 3 Persamaan lingkaran:

(

₋3

) (

2 ₊ ₊4

)

2 ₌32 _⇒

(

₋3

) (

2 ₊ ₊4

)

2 ₌9

y x

X Y

(9)

Jawab:

) 4 ( ... ... 2

:

) 3 ( ... ... 1

:

) 2 ( ... ... 0

:

) 1 ( ... ... 1

:

= +

= −

y x BD

y x AC

y x CD

y x AB

Dari (1) dan (3) Dari (1) dan (4) Dari (2) dan (4)

( )

+

= = = = +

= −

0 , 1

0 1 2 2

1 1

A y

x x y x

y x

+

     

= =

= = +

= −

2 1 , 2 3

2 1 2 3 3 2

2 1

B y

x x y x

y x

( )

+

= = = = +

= −

1 , 1

1 1

2 2

2 0

D y

x x y x

y x

a). Lingkaran dalam

Persamaan lingkaran:

(

)

(

)

8 1 2 1 1

8 1 2

1 1

2 2

2 ₌

      − + − ⇒     =       − +

− y x y

x

A x – y = 1 B

x + y = 1 x + y = 2

C x – y = 0 D

Titik pusat adalah titik tengah garis AD, 

     =    



 + +

2 1 , 1 2

1 0 , 2

1 1

P P

Jari-jari

8 1 4 1 4 1 2 1 0

2 1 1

2 3 2 1 2

1 2 2 ₌ ₊ ₌

   

  − +       − =

= AB

r

(10)

b). Lingkaran Luar

Persamaan lingkaran:

(

)

(

)

4 1 2 1 1

2 1 2

1 1

2 2

2 ₌

      − + − ⇒       =       − +

− y x y

x

17. Tentukan persamaan lingkaran yang melalui titik T (-3, 4) dan sepusat dengan lingkaran x2 +y2 +8x−4y−1=0.

Jawab:

Lingkaran 2 + 2 +8 −4 −1=0

y x y

x _{mempunyai pusat}

( ) ( )

4

(

4, 2

)

2 1 , 8 2

1 ₌ ₋

   



₋ ₋ ₋ _P

P .

Jarak titik T (-3, 4) dan P (-4, 2) adalah r =

(

−3+4

) (

2 + 4−2

)

2 = 1+4 = 5 Persamaan lingkaran dengan P (-4, 2) dan r= 5 adalah:

(

x+4

) (

2 + y−2

)

2 =

( )

5 2 ⇒

(

x+4

) (

2 + y−2

)

2 =5

18. Tentukan persamaan lingkaran yang menyinggung sumbu X dan sumbu Y, jika pusatnya terletak pada garis 5x−4y=3.

Jawab:

a b

X Y

P(a, b)

a b

X Y

P(a, b)

a b

X Y

P(a, b)

A B

C D

Titik pusat adalah titik tengah garis AD,

      =    



 + +

2 1 , 1 2

1 0 , 2

1 1

P P

Jari-jari

( ) ( )

2 1 1 0 2 1 0 1 1 1 2 1 2

1 ₌ ₋ 2 ₊ ₋ 2 ₌ ₊ ₌

= AD

r

(11)

Lingkaran dengan pusat P(a, b) menyinggung sumbu X, maka jari- jari r =b

Lingkaran dengan pusat P(a, b) menyinggung sumbu Y, maka jari-jari r= a

Lingkaran dengan pusat P(a, b) menyinggung sumbu X dan sumbu Y, maka jari-jari

a b

r = =

19. Selidikilah apakah persamaan-persamaan berikut merupakan persamaan lingkaran atau bukan, jika bukan sebutkan alasannya.

a).

(

x−1

) (

2 + y−7

)

2 −36=0 b). 2 + 2 −4 −8 +25=0

y x y x

Jawab:

a).

(

x−1

) (

2 + y−7

)

2 −36=0

(

1

) (

7

)

36 0

(

1

) (

7

)

36 2 2

2

2 ₊ ₋ ₋ ₌ _⇒ ₋ ₊ ₋ ₌

− y x y

x

Adalah persamaan lingkaran dengan P(1, 7) dan r = 6 b). 2 ₊ 2 ₋4 ₋8 ₊25₌0

y x y x

(

) (

)

5 4

2

16 4 25 16 8 4

4 0

25 8 4

2 2

− = − + − ⇒

+ + − = + − + + − ⇒ = + − − +

y x

y y x

x y

x y x

Bukan persamaan lingkaran, karena tidak mungkin 2 =−5

r

20. _{Tentukan batas nilai}_p_{agar persamaan} _x2 + _y2 + _px+₂_y+₂₆= ₀

menunjukkan sebuah lingkaran.

Jawab:

Persamaan _x2 + _y2 + _Ax+_By+_C =0

menunjukkan lingkaran jika 0

4 4

2 2

> −

+ B C

A

Persamaan lingkaran dengan P (3, 3) dan jari-jari r = 3 adalah:

(

x−3

) (

2+ y−3

)

2 =9

X Y

r r

3 4

5x− y = Misalkan lingkaran menyinggung sumbu Y di

titik (0, b) dan menyinggung sumbu X di titik (a, 0). Titik pusat lingkaran adalah P (a, b). Karena lingkaran menyinggung kedua sumbu koordinat, maka a = b = r

Titik P (r, r) pada 5x−4y=3_maka:

( )

) 3 , 3 (

3 3

4 5 : ,

P r r

r r r

⇒ = ⇒ =

(12)

Untuk persamaan _x2 +_y2 + _px+2_y+26=0

(

10

)(

10

)

0 0

100 0

25 4 0 26 4 2 4

2 2

> + −

⇒ > − ⇒ > − ⇒ > −

+ p p p p

p

Pembuat nol:

(

p−10

)(

p+10

)

=0 ⇒ p=10 atau p=−10

Cek nilai p yang memenuhi:

Jika p = - 11 maka (- 11 - 10)(- 11 + 10) = - 21 (-1) = 21 > 0 (memenuhi) Jika p = 0 maka (0 - 10)(0 + 10) = - 10 (10) = - 100 < 0 (tidak memenuhi) Jika p = 11 maka (11 - 10)(11 + 10) = 1 (21) = 21 > 0 (memenuhi)

Nilai p yang memenuhi adalah p < – 10 atau p > 10 Sehingga _x2 + _y2 + _px+2_y+26= 0

merupakan persamaan lingkaran jika p < – 10 atau p > 10.

21. Diketahui lingkaran 2 2 6 10 18 0

1 ≡ x +y + x− y+ =

L . Akan dibuat lingkaran baru

2

L _{dengan titik pusat adalah titik pusat lingkaran} L₁_{dicerminkan terhadap sumbu}X

dan jari-jarinya diperbesar menjadi 2 kali jari- jari L₁. Tentukan persamaan lingkaran tersebut!

Jawab:

0 18 10 6 2 2

1 ≡ x + y + x− y+ =

L _{mempunyai pusat}

( ) ( )

10

(

3,5

)

2 1 , 6 2 1

1

1 = −

  



₋ ₋ ₋ _P

P

Jari-jari

( )

16 4

4 64 4

72 4 100 4

36 18

10 4 1 6 4

1 2 2

1= + − − = + − = = =

r

(

3,5

)

1 −

P dicerminkan terhadap sumbu X, diperoleh P₂

(

−3,−5

)

. 8

4 . 2 2

4 ₂ ₁

1 = ⇒r = r = =

r

Persamaan lingkaran dengan P (-3, -5) dan jari-jari r = 8 adalah:

(

x+3

) (

2+ y+5

)

2 =64

++++ --- ++++

(13)

22. Diketahui koordinat titik A(3, -1) dan B(6, 2) jika didefinisikan kedudukan titik P(x,

y) sedemikian sehingga PA = 2PB . Tentukanlah tempat kedudukan titik P. Jawab:

P(x, y), A(3, -1) dan B(6, 2)

(

) (

2

)

2

1 3 + +

−

= x y

PA

(

) (

2

)

2

2 6 + −

−

= x y

PB

Diperoleh:

(

) (

)

(

) (

)

(

) (

)

(

)

(

)

0 50 6 14

0 150 18

42 3

3

160 16

48 4

4 10 2 6

2 4 6 4 1 3

2 6

2 1 3

2

2 2

2 2 2

2

2 2

= + − − +

+ − − + = + + − +

− + − = + + −

− + − =

+ + −

=

y x y

x

y x y

x

y x y

x y

x y x

y x

PB PA

Tempat kedudukan titik P adalah lingkaran dengan persamaan 0

50 6 14 2

2+ − − + =

y x y

x .

Series 1

-1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

-2 -1 1 2 3 4 5 6

x y

(-3, 5) Y

X

(-3, -5)

P(x, y)

(7, 3)

B

(14)

Series 1

-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4

x y

23. Diketahui koordinat titik A(3, -4) dan B(-1, 2). P(x, y) sedemikian sehingga besar sudut APB 900. tentukan tempat kedudukan titik P.

Jawab:

P di siku siku APB

APB − ∆

=

∠ 0

90

Dalil Phytagoras:

(

) (

)

[

]

[

(

) (

)

]

(

) (

)

0 11 2 2

0 22 4 4 2 2

36 16 4 4 1

2 16

8 9

6

4 2 3 1 2

1 4

3

2 2

2

= − + − +

+ = + − + + + + + + + + −

+ + − − = − + + + + + −

= +

y x y x

y y x x y

y x

x

y x

AB BP

AP

Tempat kedudukan titik P adalah lingkaran dengan persamaan 0

11 2 2 2

2 + − + − =

y x y

x .

24. Tentukan kedudukan titik-titik berikut terhadap lingkaran yang diberikan. a). T(1, 3) terhadap lingkaran 2 ₊ 2 ₌15

y x

b). T(3, 5) terhadap lingkaran

(

x+3

) (

2+ y−5

)

2 =36

c). T(4, 2) terhadap lingkaran x2 +y2 +6x−10y−2=0

B

P A

B(-1, 2)

P

(15)

Jawab:

Kedudukan titik T

(

x₁, y₁

)

terhadap lingkaran 2 2 2

r y

x + = adalah:

(

x1, y1

)

T di dalam lingkaran jika 12 2 2

1 y r

x + <

(

x1, y1

)

T pada lingkaran jika 12 2 2

1 y r

x + =

(

x1, y1

)

T di luar lingkaran jika 2 2 1 2

1 y r

x + >

Kedudukan titik T

(

x₁, y₁

)

terhadap lingkaran

(

) (

2

)

2 2

r b y a

x− + − = adalah:

(

x1, y1

)

T di dalam lingkaran jika

(

) (

)

2 2 1

2

1 a y b r

x − + − <

(

x1, y1

)

T pada lingkaran jika

(

) (

)

2 2

1 2

1 a y b r

x − + − =

(

x1, y1

)

T di luar lingkaran jika

(

) (

1

)

2 2 2

1 a y b r

x − + − >

Kedudukan titik T

(

x₁, y₁

)

terhadap lingkaran 2 + 2 + + + =0

C By Ax y

x adalah:

(

x1, y1

)

T di dalam lingkaran jika 1 1 0

2 1 2

1 +y + Ax +By +C <

x

(

x1, y1

)

T pada lingkaran jika 1 1 0

2 1 2

1 + y + Ax +By +C =

x

(

x1, y1

)

T di luar lingkaran jika 1 1 0

2 1 2

1 + y + Ax +By +C >

x

Sehingga:

T(1, 3) : 12 ₊32 ₌1₊9₌10_<15

T(1, 3) terletak di dalam lingkaran 2 + 2 =15

y x

T(3, 5) :

(

3+3

) (

2+ 5−5

)

2 =62+0=36

T(3, 5) terletak pada lingkaran

(

x+3

) (

2+ y−5

)

2 =36

T(4, 2) : 42 ₊22 ₊6.4₋10.2₋2₌16₊4₊24₋20₋2₌22_>0 T(4, 2) terletak di luar lingkaran 2 + 2 +6 −10 −2=0

y x y x

25. Titik T(p, 5) terletak pada lingkaran 2 2 +2 2 =82

y

x , maka nilai p adalah…. Jawab:

41 82

2

2x2 + y2 = ⇒ x2 + y2 =

T(p, 5) terletak pada lingkaran, maka:

( )

,5 : 2 ₊52 ₌41_⇒ 2 ₌41₋25_⇒ 2 ₌16_⇒ ₌_±4

p p

p T

26. Lingkaran x2 +y2 −4x+2y+c =0 mempunyai jari-jari 3, maka nilai c adalah … Jawab:

Jari-jari 2 + 2 −4 +2 + =0

c y x y

(16)

( )

4 5 9

1 4 3

2 4 1 4 4

1 2 2

− =

− + =

− +

− =

c

c c

c r

27. Tentukan kedudukan garis −6x+2y+4=0 terhadap lingkaran 0

2 2 4 2

2 + − + + =

y x y

x _.

Jawab: Cara 1:

Kedudukan garis y=mx+cterhadap lingkaran L adalah:

a). Memotong Lingkaran di 2 titik jika D > 0

b). Menyinggung Lingkaran jika D = 0 (memotong L di 1 titik) c). Tidak memotong Lingkaran jika D < 0

Garis −6x+2y+4=0⇒ y=3x−2

Subtitusi y =3x−2 ke lingkaran 2 + 2 −4 +2 +2=0

y x y

x _.

(

)

(

)

0 2 10 10

0 2 4 6 4 4 12 9

0 2 2 3 2 4 2 3

2 2

2

= + − ⇒

= + − + − + − + ⇒ = + − + − − +

x x

x x x

x x

x

( )

0 20

80 100

2 . 10 . 4 10

4 2

2

> =

− =

− − = − =b ac D

Jadi garis y=3x−2 memotong lingkaran 2+ 2−4 +2 +2=0

y x y

x di 2 titik.

(17)

Pusat lingkaran 2 + 2 −4 +2 +2=0

y x y

x adalah P(2, -1) dan jari-jarinya r_{= 3}

Jarak P ke garis −6x+2y+4=0⇒−3x+y+2=0 adalah:

( )

2 10 3

1 10 5 10

2 1 6

1 3

2 1 . 1 2 . 3

2

2 = = <

+ − − = +

−

+ − + − =

d

Jadi garis y=3x−2 memotong lingkaran 2₊ 2₋4 ₊2 ₊2₌0

y x y

x di 2 titik.

28. Tentukan nilai c agar garis y=−2x+c menyinggung lingkaran 0

3 4

2

2 ₊ ₋ ₋ ₊ ₌

y x y

x .

Jawab:

Subtitusi y =−2x+c ke lingkaran 2 + 2 −4 − +3=0

y x y

x _.

(

)

(

)

(

4 2

)

(

3

)

0 5

0 3 2

4 4

4 0

3 2

4 2

2 2

2

= + − + − − + ⇒

= + − + − + − + ⇒ = + + − − − + − +

c c x c x

c x x c cx x

x c

x x

c x x

Garis menyinggung lingkaran jika D = 0

(

)

(

)

(

7

)(

2

)

0

14 9 0

56 6 3 4 0

60 20 20

4 16 16

0

3 .

5 . 4 2 4 4

2 2

2

− − =

+ − =

− + − =

− + −

+ + =

+ − −

− − = − =

c c

c c c

ac b

D

Jadi, c = 7 atau c = 2

29. Lingkaran yang persamaannya 2 + 2 − −10 +4=0

y Ax y

x _{menyinggung sumbu}X.

Nilai A yang memenuhi adalah…. Jawab:

Persamaannya lingkaran 2 + 2 − −10 +4=0

y Ax y

x _{menyinggung sumbu}X berarti

L

ax + by + c = 0 P

Q

r

Misalkan pusat L adalah P

(

x₁, y₁

)

_maka

2 2

1 1

b a

c by ax d PQ

+ + + = =

a). Garis memotong lingkaran jika d < r

b). Garis menyinggung lingkaran jika d = r

(18)

melalui titik (x, 0), maka:

( )

0 4

0 4 0 . 10 0

0 4 10 0

,

2 2 2 2

2

= + − ⇒

= + − − + ⇒ = + − − + ⇒

Ax x Ax x

y Ax y x x

Lingkaran menyinggung sumbu X berarti:

( )

4 16 0 16

0 4 . 1 . 4

0 4

0

2 2 2

2

± = ⇒

= ⇒

= − ⇒

= −

− ⇒

= − ⇒

=

A A A A

ac b

D

30. _{Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran} 2 ₊ 2 ₌₁₃

y

x di titik T(2, -3). Jawab:

Persamaan garis singgung di titik T

(

x₁, y₁

)

pada lingkaran 2 2 2

r y

x + = adalah 2

1

1x y y r

x + =

Persamaan garis singgung di titik (2, -3) pada lingkaran 2 + 2 =13

y

x adalah:

0 13 3 2 13 ) 3 (

2x+ − y= ⇒ x− y− =

Jadi persamaan garis singgungnya 2x−3y−13=0

31. _{Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran}

(

₋₁

) (

2 ₊ ₋₃

)

2 ₌₂₅

y

x di titik

T(1, -2). Jawab:

(

x₁, y₁

)

pada lingkaran

(

) (

2

)

2 2

r b y a

x− + − =

adalah

(

)(

) (

)(

)

2

1

1 a x a y b y b r

x − − + − − =

Titik (1, -2) pada lingkaran

(

x−1

) (

2 + y−3

)

2 =25 karena

( ) (

1−1 2 + −2−3

)

2 =0+25=25

Persamaan garis singgung di titik (1, -2) pada lingkaran

(

x−1

) (

2 + y−3

)

2 =25 adalah:

(19)

( )(

) (

)(

)

2 25 15 5

25 3 3 2 1 1 1

− = = + −

= − − − + − −

y y y x

Jadi persamaan garis singgungnya y=−2

32. Tentukan persamaan garis singgung di titik (4, -1) pada lingkaran 0

45 4 6 2

2 + + − − =

y x y

x _.

Jawab:

(

x₁, y₁

)

pada lingkaran 0

2

2 ₊ ₊ ₊ ₊ ₌

C By Ax y

x adalah

(

)

(

)

0

2

2 1 1

1

1 + + + + y + y +C=

B x x A y y x x

Titik (4, -1) pada lingkaran 2 + 2 +6 −4 −45=0

y x y

x _karena

( )

1 6.4 4

( )

1 45 16 1 24 4 45 45 45 0 42 ₊ ₋ 2 ₊ ₋ ₋ ₋ ₌ ₊ ₊ ₊ ₋ ₌ ₋ ₌

Persamaan garis singgung di titik (4, -1) pada lingkaran 2 ₊ 2 ₊6 ₋4 ₋45₌0

y x y x

adalah:

( )

(

)

(

)

0 31 3 7

0 45 2 2 3 12 4

0 45 1

2 4 4

2 6 1 4

= − −

= − − + + + −

= − + + − − + + + − +

y x

Jadi persamaan garis singgungnya 7x−3y−31=0

33. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran 2 ₊ 2 ₊4 ₋6 ₋7₌0

y x y

x di titik yang

berabsis 2. Jawab:

Titik singgung berabsis 2 maka x = 2, subtitusi ke 2 + 2 +4 −6 −7=0

y x y x

(

)(

)

1 5

0 1 5

0 5 6 0

7 6 2 . 4

22 2 2

= =

⇒

= − − ⇒

= + − ⇒ = − − + +

y atau y

y y

y y y

y

Terdapat 2 titik singgung yaitu T₁

( )

2,1 dan T₂

( )

2,5 Untuk T₁

( )

2,1 _{persamaan garis singgung:}

(

) (

)

0 6 2 4

0 7 3 3 2 4 2

0 7 1

2 6 2

2 4 2

= − − ⇒

= − − − + + + ⇒ = − + − + + +

y x

y x y

x y

x

(20)

(

) (

)

0 18 2 4 0 7 3 15 2 4 5 2 0 7 5 2 6 2 2 4 5 2 = − + ⇒ = − − − + + + ⇒ = − + − + + + y x y x y x y x y x

34. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran

(

x+4

) (

2 + y−1

)

2 =34 di titik yang berordinat 4.

Jawab:

Titik singgung berordinat 4 maka y = 4, subtitusi ke

(

x+4

) (

2 + y−1

)

2 =34

(

) (

)

(

)(

)

1 9 0 1 9 0 9 8 0 34 9 16 8 34 1 4 4 2 2 2 2 = − = ⇒ = − + ⇒ = − + ⇒ = − + + + ⇒ = − + + x atau x x x x x x x x

Terdapat 2 titik singgung yaitu T₁

(

−9,4

)

dan T₂

( )

1,4 Untuk T₁

(

−9,4

)

_{persamaan garis singgung:}

(

)(

) (

)(

)

0 57 3 5 0 34 3 3 20 5 34 1 1 4 4 4 9 = − + − ⇒ = − − + − − ⇒ = − − + + + − y x y x y x

Untuk T₂

( )

1,4 _{persamaan garis singgung:}

(

)(

) (

)(

)

0 17 3 5 0 34 3 3 20 5 34 1 1 4 4 4 1 = − + ⇒ = − − + + ⇒ = − − + + + y x y x y x

35. Lingkaran 2 ₊ 2 ₋2 ₊ ₌0

q px y

x _{berjari-jari 2 menyinggung garis}x – y = 0. Tentukan nilai p.

Jawab:

Jari-jari lingkaran 2 ₊ 2 ₋2 ₊ ₌0

q px y

x adalah:

(

)

4 4 2 4 4 4 0 4 2 2 2 2 2 2 2 2 − = − = − = − = − = − + − = p q q p q p q p q p q p r

Lingkaran menyinggung garis x – y = 0 atau y = x. Subtitusi y = x dan = 2−4

p

q ke

(21)

(

)

(

)

(

)

8 8 0 32 4

0 32 8

4

0 4 2

. 4 2

0

0 4 2

2 0

2

2 2 2 2

2 2

± = ⇒

= ⇒

= + − ⇒

= − −

− ⇒ =

= − + − ⇒

= + − +

p p p p p

p p

D

p px x

q px x

x

36. _{Tentukan persamaan garis singgung lingkaran} 2 + 2 =₂₅

y

x _{dengan gradient 2.}

Jawab:

Persamaan garis singgung lingkaran 2 2 2

r y

x + = _{dengan gradien}m adalah: 2

1 m

r mx

y= ± +

Persamaan garis singgung lingkaran x2 +y2 =25_{dengan gradien}m = 2 adalah:

5 5 2

2 1 5

2 2

± =

+ ± =

x x y

Diperoleh 2 persamaan garis singgung, yaitu: y=2x+5 5_dany=2x−5 5 37. Tentukan persamaan garis singgung yang tegak lurus garis x+2y−4=0 pada

lingkaran

(

x−4

) (

2 + y−2

)

2 =5. Jawab:

Persamaan garis singgung lingkaran

(

) (

2

)

2 2

r b y a

x− + − = _{dengan gradien} m

adalah:

(

)

2

1 m

r a x m b

y− = − ± +

Cara 1:

Misalkan gradient garis singgung adalah m₁dan gradient garis x+2y−4=0_adalah 2

m . Garis

2 1 4

2 1 0

4

2 − = ⇒ = − + ⇒ 2 =−

+ y y x m

x

g1

(22)

Garis dengan gradient m₁_{dan tegak lurus dengan} x+2y−4=0_mempunyai hubungan:

m1 . m2 = – 1 1

m . 2 1

− = – 1 m₁ = 2

Jadi persamaan garis singgung:

(

)

(

)

5 6 2

5 5 8 2 2

2 1 5 4 2 2

1 2 2

± − = ⇒

± − = − ⇒

+ ±

− = − ⇒ + ± − = −

x y

m r a x m b y

Diperoleh 2 persamaan garis singgung, yaitu: y=2x−1_dany=2x−11 Cara 2:

Lingkaran

(

x−4

) (

2 + y−2

)

2 =5_{mempunyai pusat P(4, 2) dan jari-jari}r = 5 Seperti cara pertama, diperoleh gradient garis singgung m₁ = 2.

Persamaan garis dengan m₁ = 2 adalah y=2x+c⇒ 2x− y+c=0 Jarak garis singgung ke pusat P(4, 2) adalah r = 5

( )

5 6 6 5 5

5 6 5

5 6 5 1

2 2 . 1 4 . 2

2 2

± − = ⇒

+ = ±

⇒

+ = ± ⇒

+ = ⇒

− +

+ − =

c

c c c c

d

Jadi persamaan garis singgung yang bergradien 2 adalah y =2x+c⇒ y=2x−6±5 yaitu: y=2x−1_dan y=2x−11

38. _{Tentukan persamaan garis singgung lingkaran} 2 ₊ 2 ₊₄ ₊₁₀ ₊₂₁₌₀

y x y

x _yang

sejajar dengan garis −6x+2y−17=0. Jawab:

Persamaan garis singgung lingkaran 2 + 2 + + + =0

C By Ax y

x _{dengan gradien}m

adalah:

2 1 2

1 2

1

m r A x m B

y ± +

  

  + =

(23)

2 2

2

1 4

4 2

1 2

1

m C

B A A

x m B

y ± + − ⋅ +

  

  + =

+

Misalkan gradient garis singgung adalah m₁dan gradient garis −6x+2y−17=0 adalah m₂.

Garis 3

2 17 3 0

17 2

6 + − = ⇒ = + ⇒ 2 =

− x y y x m

Garis dengan gradient m₁_{dan sejajar dengan}−6x+2y−17=0_mempunyai hubungan:

m1 = m2 = 3

Jadi persamaan garis singgung:

(

)

5 4 1 3

10 8 6 3 5

3 1 21 25 4 2 3 5 1

4 4 2

1 2

1 2 2

2 2

± + = ⇒

⋅ ± + + − = ⇒

+ − + ± + = + ⇒ + ⋅ − + ±

   

  + = +

x y

m C

B A A x m B y

Diperoleh persamaan garis singgung y=3x+1±4 5

39. Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran 2 + 2 +2 +4 −4=0

y x y

x _yang

membentuk sudut 60 derajat dengan sumbu X positif. Jawab:

Garis singgung membentuk sudut 60 derajat dengan sumbu X positif, maka 3

60 tan 0 = =

mgs

Lingkaran berpusat di P(-1, -2) dengan r =

( ) ( )

−1 2 + −2 2 +4 = 9 =3 Persamaan garis singgung:

(

)

(

)

(

3 2

)

6 3

3 1 3 1 3 2

1 2

± − + = ⇒

+ ± + =

+ ⇒ + ± − = −

x y

m r a x m b y

Jadi persamaan garis singgung: y = 3x+ 3−8 dan y = 3x+ 3+4

40. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 −4x+2y−15=0 yang sejajar garis singgung lingkaran x2 + y2 =5 di titik (2, 1).

Jawab:

Persamaan garis singgung lingkaran 2 + 2 =5

y

x di titik (2, 1) adalah: 5

2 5

2 2

1

1x+ y y=r ⇒ x+y= ⇒y =− x+

x mempunyai gradien m = –2

Garis singgung lingkaran 2 ₊ 2 ₋4 ₊2 ₋15₌0

y x y

x sejajar dengan y=−2x+5

(24)

Lingkaran berpusat di P(2, -1) dengan r =

( ) ( )

2 2 + −12 +15 = 20 Persamaan garis singgung:

(

)

(

)

10 3 2

100 3

2

4 1 20 2

2 1

1 2

± + − = ⇒

+ ±

− − = + ⇒ + ± − = −

x y

m r a x m b y

Diperoleh 2 persamaan garis singgung, yaitu: y=−2x+13_dany=−2x−7 41. _{Tentukan persamaan garis singgung lingkaran} 2 + 2 =₄

y

x yang melalui titik T(3, 2).

Jawab:

Cara 1:

Persamaan garis polar yang melalui titik T

(

x₁, y₁

)

_{di luar lingkaran adalah:}

Lingkaran Persamaan Garis Polar

2 2 2

r y

x + = x₁x+ y₁y=r2

(

) (

2

)

2 2

r b y a

x− + − =

(

x1−a

)(

x−a

) (

+ y1−b

)(

y−b

)

=r2 0

2

2 + + + + =

C By Ax y

x

(

)

(

)

0 2

2 1 1

1

1 + + + + y + y +C=

B x x A y y x x

Persamaan garis polar lingkaran 2 ₊ 2 ₌4

y

x yang melalui titik T(3, 2) adalah 2

2 3 4

2

3x+ y= ⇒y =− x+

Subtitusi ke persamaan llingkaran

(

x1, y1

)

T

Garis polar/ kut ub g1

g2

A dan B adalah t it ik singgung, juga t it ik pot ong garis polar dengan lingkaran.

A

(25)

13 24 0

0 6 4 13

0 6 4

13

0 4 4 6 4 9 4

2 2 3

2 2

2

= =

⇒

=    



 ₋

⇒

= − ⇒

= − + − + ⇒ =    



₋ ₊ +

x atau x

x x

x x x x x x

x

Subtitusi nilai x yang diperoleh ke persamaan garis (bukan ke persamaan lingkaran):

Untuk .0 2 2

( )

0, 2

2 3

0 y T1

x = ⇒ =− + = ⇒

Untuk _

  



 ₋

⇒ −

= + − = + −

= ⇒ =

13 10 , 13 24 13

10 13

26 13 36 2

13 24 . 2 3 13

24

2

T y

x

Titik-titik tersebut adalah titik singgung lingkaran, gunakan persamaan garis singgung lingkaran melalui titik PADA lingkaran.

PGS 1:

2 4 2 4 2 0

= ⇒

= ⇒ = +

y y y

x

PGS 2:

0 26 5 12

52 10 24 4

13 10 13 24

= − − ⇒

= − ⇒

= −

y x

y x y

x

Jadi persamaan garis singgungnya y=2_dan12x−5y−26=0

Cara 2:

Persamaan garis singgung lingkaran 2 2 2

r y

x + = _{dengan gradien}m adalah 2

1 m

r mx

y= ± +

Persamaan garis dengan gradien m melalui T(3, 2) adalah y – 2 = m (x – 3) atau y =

(26)

(

)

(

)

(

)

5 12 0

0 12 5

4 4 4 12 9

1 4 4 12 9

1 2 2 3

1 2 2

3

1 2

3

2

2 2

2 2 2

= =

= −

+ = + −

+ ± = + −

m atau m

m m

m

m m

m

m m

m mx

m r mx x

m

Subtitusi m yang diperoleh ke persamaan garis y = m (x – 3) + 2 (bukan ke 2

1 m

r mx

y= ± + ):

Untuk m=0⇒ y=0

(

x−3

)

+2=0+2=2 ⇒ y =2

Untuk

( )

12 5 26 0

5 26 5 12 2

3 5 12 5

12_⇒ ₌ ₋ ₊ _⇒ ₌ ₋ _⇒ ₋ ₋ ₌

= y x y x x y

m

Jadi persamaan garis singgungnya y=2_dan12x−5y−26=0 Cara 3:

Misalkan persamaan garis singgung lingkaran 2 2 2

r y

x + = _{dengan gradien}m adalah 2

1 m

r mx

y= ± +

Garis singgung lingkaran 2 + 2 =4

y

x melalui titik T(3, 2) maka:

(

)

5 12 0

0 12 5

4 4 9 12 4

1 2 3

2

1 2 3 2 1

2

2 2

2 2 2

= =

⇒

= − ⇒

+ = + − ⇒

+ ± = − ⇒

+ ± = ⇒

+ ± =

m atau m

m m

m

m m

m r mx y

Persamaan garis dengan gradien m melalui T(3, 2) adalah

y – 2 = m (x – 3) atau y = m (x – 3) + 2 Subtitusi m yang diperoleh ke persamaan y

Untuk m=0⇒ y=0

(

x−3

)

+2=0+2=2 ⇒ y =2

Untuk

(

)

12 5 26 0

5 26 5 12 2

3 5 12 5

12_⇒ ₌ ₋ ₊ _⇒ ₌ ₋ _⇒ ₋ ₋ ₌

= y x y x x y

m

(27)

Cara 4:

Persamaan garis singgung lingkaran dengan pusat (a, b), jari-jari r dan melalui titik (x1, y1) adalah

y – y1 = m (x – x1), dengan:

(

)(

)

(

) (

)

(

)

2 2 1 2 2 1 2 1 1 1 r a x r a x b y r a x b y m − − − − + − ± − − =

Lingkaran 2 + 2 =4

y

x mempunyai pusat P(0, 0) dan berjari-jari 2 melalui titik T(3, 2) mempunyai PGSL y – 2 = m (x – 3), dengan:

(

)(

)

(

) (

)

(

)

5

6 6 4 9 9 2 6 2 0 3 2 0 3 0 2 2 0 3 0 2 2 2 2 2 2 ± = − ± = − − − − + − ± − − = m

Jadi persamaan garis singgungnya

(

3

)

5

6 6

2= ± −

− x

y , yaitu

(

3

)

2 .

0

2= − ⇒ =

− x y

y _dan

(

3

)

12 5 26 0

5 12

2= − ⇒ − − =

− x x y

y

Cara 5:

Misalkan persamaan garis singgung yang melalui T(3, 2) adalah

(

3

)

2

(

3

)

2= − ⇒ = + −

− m x y m x

y

Subtitusi y ke dalam persamaan lingkaran 2 + 2 =4

y x

(

)

(

)

(

)

(

)

(

1

) (

4 6

) (

12 9

)

0

0 4 9 6 12 4 4 0 4 9 6 3 4 4 4 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = + − + − + + ⇒ = − + − + − + + ⇒ = − + − + − + + ⇒ = − + + m m x m m x m m x m x m m mx x x x m x m x x m x

Syarat menyinggung adalah D = 0

(

) (

)(

)

(

)

5 12 0 0 12 5 0 12 5 0 48 20 0 36 48 36 48 36 48 16 0 9 12 1 4 6 4 0 2 2 4 3 2 4 3 2 2 2 2 2 = = ⇒ = + − ⇒ = + − ⇒ = + − ⇒ = − + − + + − ⇒ = + − + − − ⇒ = m atau m m m m m m m m m m m m m m m m m m m D

(28)

Untuk

(

3

)

12 5 26 0

5 12 2 2

12

= − − ⇒ −

+ = ⇒

= y x x y

m

Jadi persamaan garis singgungnya y=2_dan12x−5y−26=0

Cara 6:

Lingkaran 2 + 2 =4

y

x _{berpusat di P(0, 0) dan berjari- jari}r = 2

Persamaan garis singgung yang melalui titik T(3, 2) dan bergradien m adalah:

(

)

(

)

(

2 3

)

0

3 2

1 1

= − + − ⇒

− + = ⇒

− = − ⇒

− = −

m y

mx

m mx

y x m y

x x m y y

Jari-jari r adalah jarak P(0, 0) dengan garis mx− y+

(

2−3m

)

=0

(

)

( )

(

)

5 12 0

0 12 5

9 12 4 4 4

1 9 12 4 4

1 3 2 2 1

3 2 0 . 1 0 .

2

2 2

2

2 2

= =

⇒

= − ⇒

+ − = + ⇒

+ + − = ⇒

+ − = ⇒

− +

− + − =

m atau m

m m

m m m

m

m m m

m m

r

Diperoleh

PGS 1: 0.x−y+

(

2−3.0

)

=0⇒−y+2=0 ⇒ y =2

PGS 2: 0 12 5 26 0

5 26 .

5 12 0 5 12 . 3 2 .

5

12 ₌ _⇒ ₋ ₋ ₌

     − + − ⇒

=    

  − +

−y x y x y

x

Catatan: cara 1 adalah yang paling “aman”, karena cara 2, 3, 4, 5 dan 6 kadang akan menemui masalah di tengah jalan. Silakan untuk mencoba soal berikut: Tentukan persamaan garis singgung lingkaran

(

x−1

) (

2 + y−2

)

2 =16_{yang melalui} titik T(5, 4). (diambil dari beberapa referensi)

42. _Diketahui 2 2 ₂ ₆ ₂₆ ₀

1 ≡ x + y + x+ y− =

L dan 2 2 4 12 0

2 ≡x + y − x− =

L . Tentukan

(29)

Jawab:

Persamaan tali busur sekutu AB adalah: L1 – L2 = 0

Persamaan lingkaran yang melalui titik A dan titik B adalah:

L3: L1 + pL2 = 0 atau L3: L1 + p (L1 – L2) = 0 dimana p adalah parameter.

− = − +

= − −

+ ≡

= − + + + ≡

0 14 6 6

0 12 4

0 26 6 2 2 2 2

2 2 1

y x x y x L

y x y x L

_⇒₃_x₊₃_y₋₇₌₀

Sehingga persamaan tali busur sekutu AB adalah 3x+3y−7=0

(

)

0 2 2 2 6 26

(

3 3 7

)

0 2

1 1

3 ≡ L + p L −L = ⇒x + y + x+ y− + p x+ y− =

L

3

L melalui (0, 0)

7 26 0

) 7 (

26+ − = ⇒ =−

−

⇒ p p

Jadi persamaan L₃ adalah:

(

)

0 66 64 7

7

0 7 3 3 7 26 26 6 2

2 2 3

= − − + ≡

= − + −

− + + + ≡

y x y

x L

y x y

x y x L

43. Persamaan garis singgung pada lingkaran x2 +y2 =100 di titik (8, -6) menyinggung lingkaran dengan pusat (4, -8) dan jari- jari r. Nilai r = …

Jawab:

Titik (8, -6) terletak pada lingkaran 2 + 2 =100

y

x . Persamaan garis g yang menyinggung lingkaran 2 + 2 =100

y

x _{di titik (8, -6) adalah:}

0 50 3 4 100 6

8x− y= ⇒ x− y− =

Tali busur sekutu

P1

P2

L1

A L2

(30)

Panjang jari- jari lingkaran yang menyinggung garis g sama dengan jarak pusat lingkaran (4, -8) ke garis 4x−3y−50=0, yaitu:

( )

5 2

10 25

10 9

16 50 24 16 3

4

50 8 3 4 . 4

2

2 = =

− = +

− + = −

+ − − − =

r

44. Garis singgung yang ditarik dari titik T(1, -2) menyinggung lingkaran 0

4 3 2

2 ₊ ₊ ₋ ₌

y x y

x _{di titik A. Panjang garis AT adalah…}

Jawab:

Lingkaran 2 + 2 +3 −4 =0

y x y x

Panjang garis AT adalah

( )

4 16

8 3 2

12 2

= =

+ + − + =

AT

(

) (

)

(

) (

)

2 2

1 2 1 2

2 2

r b y a x AT maka r

b y a x L

Untuk ≡ − + − = = − + − −

45. Garis singgung lingkaran 2 2 2 4 4 0

1 ≡x +y − x− y− =

L _{di titik T(6, 2)}

menyinggung lingkaran L1 di titik A dan B. Persamaan lingkaran L2 yang berpusat di T dan melalui titik A dan B adalah…

Jawab:

Lingkaran 2 2 2 4 4 0

1 ≡x +y − x− y− =

L

Mempunyai titik pusat P(1, 2) dan jari-jari r = 12+22 +4= 1+4+4 = 9 =3 Titik T(6, 2) di luar lingkaran L1.

Garis singgung dari titik T menyinggung L1 di titik A dan B. Lingkaran L2 berpusat di T dan berjari-jari

r

2 = AT = BT Jarak kedua titik pusat:

(

−

) (

2+ −

)

2 =

(

1−6

) (

2+ 2−2

)

2 = 25+0 =5 = xp xT yp yT

PT

Jari-jari L2: r₂ = PT2−r₁2 = 52−32 = 25−9= 16 =4

(

x1, y1

)

T

g1

g2

A

Panjang garis singgung AT adalah:

C By Ax y

x

AT = ₁2 + ₁2 + ₁+ ₁+ r

(31)

Persamaan lingkaran L2:

(

) (

)

(

) (

)

(

6

) (

2

)

16 4 2 6

2 2

2 2 2

2 2 2 2

= − + − ⇒

= − + − ⇒ = −

+ −

y x

r y