TEKNIK PENGINTEGRALAN
B. Menghitung Integral dengan Aturan Substitusi
Terkadang penyelesaian integral
f(x)dx memerlukan teknik-teknik tertentu. Salah satu diantara teknik itu adalah dengan integral substitusi. Integral substitusi merupakan proses balikan (invers) dari turuna pangkat.Seperti diketahui jika y = aUn, maka y’ = na.Un1.U '
Sehingga jika y = (4x5)3 maka y’ = 3(4x5)31.(4) = 12(4x5)2 Dengan demikian, haruslah
12(4x5)2 dx = (4x5)3 + CNamun demikian, proses selengkapnya harus menggunakan aturan substitusi, yakni sebagai berikut :
Misalkan u = 4x – 5 , maka
dx du
= 4. sehingga dx =
4 du
Jadi :
12(4x5)2 dx =
4 . 12u2 du
=
3u 2 du = 2 13 3
u + C
= u3 + C = (4x5)3 + C
Untuk pemahaman lebih lanjut, pelajarilah contoh-contoh soal berikut ini : 01. Tentukanlah hasil dari :
(a)
4(2x3)5dx (b)
30x2(2x36)4dxJawab
(a)
4(2x3)5dx = …..? Misalkan u = 2x – 3 , makadx du
= 2. sehingga dx =
2 du
Sehingga :
4(2x3)5 dx =
2 . 4u5 du
=
2u 5du = 5 16
2
= 6 3 1
u + C
= (2 3)6 3
1
x + C
(b)
30x2(2x36)4dx = …..? Misalkan u = 2x3 6 , makadx du
= 6x2. sehingga dx = 2 6x
du
Sehingga :
30x2(2x36)4dx =
2 4 2 6 . 30x du u x =
5u 4 du = 4 15
5
u + C
= u5 + C
= (2x36)5 + C 02. Tentukanlah hasil dari
(a)
dx
) 5 x 8 2 x 2 (
) 4 x 2 (
3
(b)
dx x
) 3 x 2 (
2 4 1
Jawab
(a)
dx
) 5 x 8 2 x 2 (
) 4 x 2 (
3 = …..?
Misalkan u = 2x2 8x5 , maka
dx du
= 4x8. sehingga dx =
8 4x
du
Sehingga :
dx
) 5 x 8 2 x 2 (
) 4 x 2 (
3 =
8 4 . 3
) 4 2 (
x du
u
x=
) 2 ( 4 . ) 2 ( 2
3 x
du u
x
=
) 2 ( 4 . ) 2 ( 2
3 x
du u
x
=
4 . 23 du u
=
u .du 21 3
=
2 2 1 . 2 1
= 2 4 1
u + C
= (2 2 8 5) 2 4
1
x x + C
=
2 2
) 5 8 2 ( 4
1
x x
+ C
(b)
dx x
) 3 x 2 (
2 4 1
= …..?
Misalkan u = 2x15 , maka
dx du
= 2x2. sehingga dx = 2 2 x
du
Sehingga :
dx x
) 3 x 2 (
2 4 1
=
2
4 2
2 .
.
x du u
x
=
u du 21 4
=
5
5 1 . 2 1
u + C
= 5
10 1
u
+ C
= (2 1 3)5 10
1
x + C
03. Tentukanlah hasil dari
(a)
sinx.cos4x.dx (b)
cos3x[6sin23x4sin3x3]dx Jawab(a)
sinx.cos4x.dx = …..? Misalkan u = cos x , makadx du
= –sin x. sehingga dx =
x du sin
Sehingga :
sinx.cos4x.dx =
x
du x
u
sin . . sin 4
=
u
4. du= . 5 5 1
u
+ C
= .cos5 x
5 1
+ C
(b)
cos3x[6sin23x4sin3x3]dx = …..? Misalkan u = sin 3x , makadx du
= 3.cos 3x. sehingga dx =
x du
3 cos 3
cos3x[6sin23x4sin3x3]dx =
3cos3x du 3] 4u 6
[ 3 cos x u2
=
[6 4u3]du 31 2
u
=
u u 3u
2 4 . 3 6 3
1 3 2 + C
=
2.u 2u 3u
31 3 2
+ C
=
u
3 u2u3 2 . 3 2
+ C
= x sin x sinx 3
2 sin 3
2 3 2
+ C
04. Tentukanlah hasil dari
sin3x.dx Jawab
sin3x.dx =
sin2 x. sinx.dx =
(1cos2 x). sinx.dx Misalkan u = cos x , makadx du
= –sin x. sehingga dx =
x du sin
Sehingga :
sin3x.dx =
(1cos2 x). sinx.dx =
x du x
u
sin . sin
). 2
1
(
=
(
1
u
2).du=
. 3
3 1
u
u + C
= .u3u 3
1
+ C
= .sin x sinx 3
1 3 + C
05. Tentukanlah hasil dari
12x.cos(3x24).sin4(3x2 4).dx JawabMisalkan u = sin(3x2 4) , maka
dx du
= 6x.cos(3x2 4).
sehingga dx =
) 4 3 cos( .
6x x2
du
12x.cos(3x2 4).sin4(3x2 4).dx =
) 4 6x.cos(3x
du ).
4 3 cos( . 12
2
4 2
u x
x
=
2.u
4du = . 55 2
u + C
= .sin (3 4) 5
2 5 2
x + C
Bentuk lain dari pengintegralan substitusi trigonometri adalah pengintegralan yang memuat bentuk-bentuk : a2x2 , a2 x2 dan x2a2
Pengintegralan bentuk-bentuk diatas menggunakan teknik-teknik substitusi yang sedikit berbeda dengan teknik substitusi sebelumnya, yakni
Bentuk a2 x2 disubstitusikan dengan t = a.sin x Bentuk a2 x2 disubstitusikan dengan t = a.tan x Bentuk x2a2 disubstitusikan dengan t = a.sec x
Untuk lebih jelasnya, akan diuraikan dalam contoh soal berikut ini : 06. Tentukanlah hasil dari
(a)
16x2 dx (b)4
0
dx x 16 2
Jawab
(a)
16x2 dx = …..?Misalkan x = 4.sin t maka
dt dx
= 4.cos t Jadi dx = 4.cos t dt
sehingga
16x2 dx= 16 (4.sin ) 4.cos t dt 2
t=
1616.sin2t 4.cos t dt =
16(1sin2t) 16.cos t dt =
4 cos2t 4.cos t dt =
4.cost .4.cos t dt = 16
cos2tdt= 16 (1 cos2 )dt 2
1
t= (t sin 2t) C
2 1
= 8(t (2.sint.cost) C
2 1
= 8(t sint.cost) C
Karena x = 4.sin t
maka sin t =
4 x
sehingga t = arc sin
4 x
dan cos t = 4 16x2
Jadi
16x2 dx =4 16 4 x 4 x sin
(arc ) C
8
2
x
= 16
2 x 4 x sin
8arc x2 C
Jika dinyatakan dalam bentuk umum, dan dengan mengikuti langkah-langkah pada soal di atas maka dapat diperoleh bentuk khusus dari pengintegralan
a2 x2 dx , yaitua x C 2
x a x arcsin 2 a dx x
a 2 2
2 2
2
(b)
4
0
dx x 16 2
= 162 x 4 x sin
8arc x2
= 16 0
2 0 4 0 sin 8arc 4
16 2 4 4 4 sin
8arc 2 2
= [8arcsin1 2(0)] [8arcsin0 (0) 16]
= ) 0
8(0) 0
28.(
= 4
07. Tentukanlah hasil dari
94x2 dx Jawabdx x 4
9 2
= 4x dx4
4(9) 2
= x dx
4 9 .
4 2
= 4 . 3 x2 dx
2
2
16x
t
x 4
0
= (3/2) x C 2 x 3/2 x arcsin 2
(3/2)2 2 2
= x C
4 9 2 x 3/2 x arcsin 2 9/4 2
= C
4 4x 4 9 2 x 3 2x arcsin 8 9 2
= C
2 2 4x 9 . 2 x 3 2x arcsin 8 9
= . C
4 x 3 2x arcsin 8 9 2 4x 9
08. Tentukanlah hasil dari
2 x 9 2 x dx
JawabMisalkan x = 3.sin t maka
dt dx
= 3.cos t Jadi dx = 3.cos t dt
sehingga 2 x 9 2 x dx
= t t dt t
(3sin )2 9(3sin )2. cos 3 = t t dt t
9sin2 . 99sin2. cos 3 = t t dt t
) sin 1 ( 9 . sin 9 . cos 3 2 2 = t t dt t
2 2cos . 3 . sin 9 . cos 3 = t t dt t
9sin3.cos.3..cos2
=
t dt
9sin2 = csc dt9
1 2
t= .cot t C
9 1
Karena x = 3.sin t maka sin t =
3 x
sehingga cot t = x
x2 9
2
9x
t
x
Jadi 2 x 9 2 dx
x= .cot C
9 1 t = x x2 9 . 9 1
+ C
= x x 9 3 2 9
+ C
09 Tentukanlah hasil dari
2 x 4 2 x dx
JawabMisalkan x = 2tan maka dx = 2.sec2 d
Sehingga 2 x 4 2 x dx
= 2 ) tan 2 ( 4 2 ) tan 2 ( d 2 2sec
= 2 ) tan 2 ( 4 2 ) tan 2 ( d 2 2sec
= 2 tan 4 4 2 tan 4 d 2 2sec
= ) 2 tan 4(1 2 tan 4 d 2 2sec
= 2 4sec 2 tan 4 d 2 2sec
= sec 2 . 2 tan 4 d 2 2sec
= d
2 tan sec 4 1
= d
2 cos sin cos 1 4 1
= d
2 sin cos 4 1
Misal u = sin maka
d du
= cos sehingga d =
cos du Jadi 2 x 4 2 x dx
= cos du 2 u cos 4 1
= u C 4
1 1
= C
u 4
1
= C
sin 4
1
Misalkan x = 2tan maka : tan =
2 x sin =
2 x 4
x
Jadi :
2 x 4 2 x
dx
= Csin 4
1
=
2 x 4
x 4
1
+ C
=
x 4
2 x 4
+ C
2
x 4
2