LAPORAN PRAKTIKUM KOMPUTASI PROSES BAB 2

(1)

LAPORAN PRAKTIKUM KOMPUTASI PROSES

BAB 2

INTEGRASI NUMERIS

Disusun oleh :

Nama : Lutfiana Rochmatuz Zam Zam

NIM : 13521178

Kelas : D

Asisten : 1. Heni Anggrowati

2. Andry Septian

3. Agus Kurniawan

4. Khuriyati A’malina

LABORATORIUM KOMPUTASI PROSES

JURUSAN TEKNIK KIMIA

FAKULTAS TEKNOLOGI INDUSTRI

UNIVERSITAS ISLAM INDONESIA

YOGYAKARTA

(2)

BAB I

Integral numerik juga dinamakan quadrature telah menjadi perhatian para ilmuwan sejak abad 18 hingga 19. Quadrature pada prinsipnya adalah konsep yang sangat mudah yaitu bagaimana mengevaluasi integral suatu fungsi :

I=

∫

a b

f(x)dx

(1.1) Persamaan diatas merupakan integral suatu fungsi f (x) terhadap variabel x dengan batas-batas integrasi adalah dari x = a sampai x = b. Dalam integral analitis, persamaan dapat

Gambar 1.1 Integral suatu fungsi

Integral numerik dilakukan apabila:

1) Integral tidak dapat (sukar) diselesaikan secara analisis

(3)

Metode integral numerik merupakan integral tertentu yang didasarkan pada hitungan perkiraan. Hitungan perkiraan tersebut dilakukan dengan fungsi polinomial yang diperoleh berdasar data. Bentuk paling sederhana adalah dua titik data yang dapat dibentuk fungsi polinomial order satu yang merupakan garis lurus (linier).

Metode Simpson adalah metode integral numerik yang menggunakan fungsi polinomial dengan orde lebih tinggi. Metode integrasi Simpson merupakan pengembangan metode integrasi trapezoida, hanya saja daerah pembaginya bukan berupa trapesium tetapi berupa dua buah trapesium dengan menggunakan pembobot berat di titik tengahnya. Atau dengan kata lain metode ini adalah metode rata-rata dengan pembobot kuadrat.

Metode Simpson 1/3 menggunakan tiga titik data (polinomial order dua) dan Simpson 3/8 menggunakan empat titik data (polinomial order tiga). Jarak antara titik data tersebut adalah sama. Misalnya, apabila terdapat satu titik tambahan di antara f (a) dan f (b), maka ketiga titik dapat dihubungkan dengan fungsi parabola (Gambar 1.2 a). Apabila terdapat dua titik tambahan dengan jarak yang sama antara f (a) dan f (b), maka keempat titik tersebut dapat dihubungkan dengan polinomial order tiga (Gambar 1.2 b). Rumus yang dihasilkan oleh integral di bawah polinomial tersebut dikenal dengan metode (aturan) Simpson.

Gambar 1.2 Aturan Simpson

1) Simpson 1/3

Metode Simpson 1/3 menggunakan tiga titik data (polinomial order dua).Di dalam aturan Simpson 1/3 digunakan polinomial order dua (persamaan parabola) yang melalui titik f (xi – 1), f (xi) dan f (xi + 1) untuk mendekati fungsi. Rumus Simpson dapat

diturunkan berdasarkan deret Taylor. Untuk itu, dipandang bentuk integral berikut ini.

I(x) =

∫

a x

f(x)dx

Apabila bentuk tersebut didiferensialkan terhadap x, akan menjadi:

I '(x)=dI(x)

(4)

I(x_i₊₁)=I(x_i+Δx) =I(x_i)+Δx f(x_i) +Δx

Gambar 1.3 Penurunan Metode Simpson

Nilai I (xi+ 1) adalah luasan dibawah fungsi f (x) antara batas a dan xi+ 1. Sedangkan nilai

Maka dari hasil perhitungan, persamaan dibawah ini didapatkan dan dikenal dengan metode Simpson 1/3.

A_i= Δx

3 (fi−1+4fi+fi+1) +O(Δx5)

Diberi tambahan nama 1/3 karena x dibagi dengan 3. Pada pemakaian satu pias,

Δx=b−a

2 _{, sehingga persamaandapat ditulis dalam bentuk:}

A_i= b−a

6

[

f(a) +4f(c) +f(b)

]

dengan titik c adalah titik tengah antara a dan b.

Kesalahan pemotongan yang terjadi dari metode Simpson 1/3 untuk satu pias adalah:

(5)

2) Simpson 1/3 dengan banyak pias

Seperti dalam metode trapesium, metode Simpson dapat diperbaiki dengan membagiluasan dalam sejumlah pias dengan panjang interval yang sama.

Δx=b−a

n _dengan_n_{adalah jumlah pias.}

Gambar 1.4 Metode Simpson dengan banyak pias

Luas total diperoleh dengan menjumlahkan semua pias;

∫

a b

f(x)dx=A₁+A₃+. ..+A_n₋₁

Dalam metode Simpson ini jumlah interval adalah genap.

∫

adalah genap. Jika interval tidak begitu besar dan fungsi tidak berubah tajam, maka integrasi seperti gambar di atas dapat di dekati dengan rumus simpson sebagai berikut:

y_o

Kalau interval cukup besar dan atau fungsi berfariasi sangat besar, maka kesalahan akan besar.

Interval xo sampai xn dibagi menjadi N bagian yang sama besar ( N genap ) dan

masing masing interval besarnya ∆ x . masing masing batas interval di beri indeks : 1,2,3,... N ; sehingga :

(6)

Rumus simson dikenakan pada tiap 2 interval berrurutan : Yo dan Yn koefisien = 1

Y nomor ganjil koefisien = 4 Y nomor genap koefisien = 2

Perkiraan kesalahan yang terjadi pada aturan Simpson untuk banyak pias adalah:

ε_a= −(b−a)

5

180n4 f''''

dengan

f

''''

adalah rerata dari turunan keempat untuk setiap interval.

3) Metode Simpson 3/8

Metode Simpson 3/8 diturunkan dengan menggunakan persamaan polinomial order tiga yang melalui empat titik.

I=

∫

Dengan cara yang sama pada penurunan aturan Simpson 1/3, diperoleh:

I=3Δx

8

[

f(x0)+3f (x1)+3f(x2)+f(x3)

]

dengan:

Δx=b−a 3

Metode Simpson 3/8 dapat juga ditulis dalam bentuk:

I= (b−a)

[

f(x0) +3f(x1) +3f(x2) +f(x3)

]

8

Metode Simpson 3/8 mempunyai kesalahan pemotongan sebesar:

(7)

trapesium. Tetapi metode ini tidak begitu baik karena adanya kesalahan yang cukup besar. Untuk itu kedua metode dapat digabung, yaitu sejumlah genap pias digunakan metode Simpson 1/3 sedang 3 pias sisanya digunakan metode Simpson 3/8.

Alogaritma Penentuan Integrasi dengan cara Simpson

1. Mendefinisikan y = f(x)

2. Menentukan batas atas dan batas bawah (x0 dan x1)

3. Menentukan nilai i 4. Menghitung x=xi−xo

i 5. Menghitung

y

(¿¿o+4y1+2y2+4y3+2y2+…+2yN−2+4yN−1+yN)

ydx=¿∆ x 3 ¿

∫

Xo

Xi

¿

∑

¿

ydx=¿∆ x 3 ¿

∫

Xo

Xi

¿

Dengan syarat :

Yo dan YN → koefisien = 1

(8)

Flowchart

∑

¿

ydx=¿∆ x

3 ¿

Hitung

∫

Xo

Xi

¿

Definisikan f(x) Mulai

Selesai

Definisikan f(x) dan menentukan batas atas dan batas bawah(x0

dan x1)

Tentukan nilai i

Hitung

(9)

BAB II

PERSOALAN DAN PENYELESAIAN

A.LATIHAN

LATIHAN 1 xo 1

xi 2

i 10

∆x 0,1

i x f(x) y

0 1 2,3452 2,3452 1 1,1 2,4830 9,9322 2 1,2 2,6199 5,2398 3 1,3 2,7565 11,0262 4 1,4 2,8934 5,7869 5 1,5 3,0311 12,1244 6 1,6 3,1699 6,3397 7 1,7 3,3101 13,2402 8 1,8 3,4520 6,9039 9 1,9 3,5958 14,3830 10 2 3,7417 3,7417

SUM 91,0632 ∫dx 3,0354

Jadi hasil dari persamaan integral diatas dengan batas bawah 1 dan batas atas 2 adalah 3,0354

LATIHAN 2 xo 2

xi 4 y=

∫

2 4

(

x2

2+3

√

x−

3

(10)

i 20 ∆x 0,1

i x f(x) y

0 2 4,9827 4,9827 1 2,1 5,2718 21,0873 2 2,2 5,5691 11,1383 3 2,3 5,8747 23,4989 4 2,4 6,1887 12,3774 5 2,5 6,5112 26,0448 6 2,6 6,8423 13,6846 7 2,7 7,1820 28,7281 8 2,8 7,5305 15,0610 9 2,9 7,8878 31,5511 10 3 8,2539 16,5078 11 3,1 8,6289 34,5158 12 3,2 9,0130 18,0259 13 3,3 9,4060 37,6239 14 3,4 9,8080 19,6161 15 3,5 10,2192 40,8768 16 3,6 10,6395 21,2790 17 3,7 11,0689 44,2757 18 3,8 11,5076 23,0152 19 3,9 11,9555 47,8219 20 4 12,4126 12,4126 SUM 504,1247

∫dx 16,8042

(11)

i x f(x) y 0 1 56,9142 56,9142 1 1,05 51,6746 206,6984 2 1,1 46,9412 93,8825 3 1,15 42,6650 170,6599 4 1,2 38,8016 77,6032 5 1,25 35,3113 141,2451 6 1,3 32,1581 64,3162 7 1,35 29,3096 117,2385 8 1,4 26,7366 53,4732 9 1,45 24,4126 97,6504 10 1,5 22,3138 44,6276 11 1,55 20,4186 81,6744 12 1,6 18,7075 37,4151 13 1,65 17,1630 68,6521 14 1,7 15,7691 31,5383 15 1,75 14,5115 58,0458 16 1,8 13,3770 26,7540 17 1,85 12,3540 49,4161 18 1,9 11,4319 22,8637 19 1,95 10,6009 42,4035 20 2 9,8524 9,8524

SUM 1552,9246 ∫dx 25,8821

B. TUGAS

TUGAS 1 x0 2

(12)

i 20 ∆x 0,1

i x f(x) y

0 2 2,5845 2,5845 1 2,1 2,3344 9,3377 2 2,2 2,1295 4,2590 3 2,3 1,9584 7,8335 4 2,4 1,8133 3,6265 5 2,5 1,6886 6,7542 6 2,6 1,5802 3,1604 7 2,7 1,4851 5,9405 8 2,8 1,4010 2,8020 9 2,9 1,3260 5,3039 10 3 1,2587 2,5173 11 3,1 1,1979 4,7915 12 3,2 1,1427 2,2854 13 3,3 1,0924 4,3694 14 3,4 1,0463 2,0925 15 3,5 1,0038 4,0154 16 3,6 0,9647 1,9294 17 3,7 0,9284 3,7138 18 3,8 0,8948 1,7895 19 3,9 0,8634 3,4535 20 4 0,8341 0,8341 SUM 83,3941

∫dx 2,7798

(13)

i x f(x) y 0 2 9,1365 9,1365 1 2,1 10,0484 40,1935 2 2,2 11,0166 22,0332 3 2,3 12,0417 48,1669 4 2,4 13,1243 26,2487 5 2,5 14,2650 57,0599 6 2,6 15,4642 30,9284 7 2,7 16,7225 66,8900 8 2,8 18,0404 36,0808 9 2,9 19,4185 77,6739 10 3 20,8572 20,8572

SUM 435,2689 ∫dx 14,5090

BAB III PENUTUP

A. KESIMPULAN Kualitatif

1. Tujuan praktikum ini adalah agar mahasiswa dapat menyelesaikan bentuk integral dengan menggunakan penyelesaian numerik dengan cara simpson

2. Metode Simpson merupakan metode integral numerik yang menggunakan fungsi polinomial dengan orde lebih tinggi

3. Dengan menggunakan program excel, dapat mempermudah dalam perhitungan dan penyelesaian bentuk integrasi

(14)

Kuantitatif penulisan saran maupun laporan ini kurang berkenan. Penulis mengucapkan banyak terima kasih kepada semua pihak yang telah membantu penulis dalam praktikum komputasi. Bagi penulis, niat atau komitmen adalah segalanya, jika sudah mempunyai niat atau komitmen dalam melakukan sesuatu harus dikerjakan dengan tuntas. Dengan demikian, saran yang dapat diberikan oleh penulis antara lain :

(15)

2. Tidak melakukan copy paste hasil pekerjaan lain karena akan merugikan orang lain dan diri sendiri

3. Memperhatikan saat asisten sedang menjelaskan dan tidak bergurau saat di dalam laboratorium komputasi

4. Lebih mendalami Ms. Excel supaya mampu mengimplementasikan apa yang sudah didapat di kelas saat kuliah

5. Untuk menentukan nilai y perlu diperhatikan agar tidak salah dalam memasukkan nilai koeffisien nya

DAFTAR PUSTAKA

https://id.wikipedia.org/wiki/Metode_integrasi_numerik (diakses pada hari jumat tanggal 23 Oktober 2015 pukul 15.00 wib)

https://www.academia.edu/7340332/INTEGRASI_NUMERIK (diakses pada hari jumat tanggal 23 Oktober 2015 pukul 15.02 wib)

https://www.academia.edu/9088219/Laporan_Komputasi_Integrasi_Numerik (diakses pada hari jumat tanggal 23 Oktober 2015 pukul 15.04 wib)

http://irohmunawaroh.blogspot.co.id/2012/11/integrasi-numerik-makalah-diajukan.html (diakses pada hari jumat tanggal 23 Oktober 2015 pukul 15.06 wib)

(16)