ANALISA VEKTOR. Skalar dan Vektor

A+B A

B

ANALISA VEKTOR

Skalar dan Vektor

Skalar merupakan besaran yang dapat dinyatakan dengan sebuah bilangan nyata.

Contoh dari besaran skalar antara lain massa, kerapatan, tekanan, dan volume. Sedangkan besaran vektor merupakan besaran yang memiliki nilai dan arah dalam ruang. Contohnya adalah gaya, kecepatan, dan percepatan. Kemudian, dalam besaran skalar dan besaran vektor terdapat medan skalar dan medan vektor. Sebuah medan (skalar atau vektor) dapat didefinisikan secara matematis sebagai fungsi dari vektor yang menghubungkan titik asal dengan titik sembarang dalam ruang.Contoh medan skalar adalah temperatur dalam semangkuk sup. Sedangan contoh dari medan vektor adalah medan gravitasi dan medan magnetik bumi. Nilai besaran medan pada umumnya berubah terhadap waktu dan kedudukan dalam ruang.

Aljabar Vektor

Di dalam vektor, terdapat beberapa aturan aljabar vektor dimana beberapa aturannya akan serupa dengan arturan skalar dan ada juga yang sedikit berlainan juga ada yang baru atau asing untuk dipelajari. Sebagai contoh, penjumlahan vektor mengikiuti aturan jajaran genjang. Penjumlahan vektor juga mengikuti hukum komutatif A+B = B+A dan hukum sosiatif A+(B+C) = (A+B)+C.

Selain penjumlahan, terdapat pula aturan pengurangan vektor dimana A – B = A + (-B) , tanda dan arah vektor kedua dibalik, kemudian kedua vektor ini dijumlahkan. Selain itu, vektor juga dapat dikalikan dengan besaran skalar dimana besar vektor akan berubah, arahnya tetap jika besaran skalar yang dikalikan positif dan arahnya akan terbalik jika besaran skalar yang dikalikan negatif. Perkalian vektor dan skalar mengkuti hukum asosiatif dan distributif dengan aljabar sebagai berikut :

(r+s) (A+B) = r (A+B) + s (A+B) = rA + rB + sA + sB

Pembagian sebuah vektor dengan skalar sama dengan perkalian vektor tersebut dengan

kebalikan dari skalar. Dua vektor disebut sama jika selisihnya nol atau A = B jika A-B = 0.

x

y z

Sistem Koordinat Kartesian

Dalam koordinat kartesian, menggunakan tiga sumbu koordinat yang saling tegak lurus dan disebut sumbu x, y, dan z. Sebuah titik ditentukan letaknya dengan memberikan koordinat x, y, dan z dari titik tersebut. Besaran tersebut menyatakan jarak dari titik asal ke perpotongan dari garis lurus yang ditarik dari titik tersebut tegak lurus pada sumbu x, kemudian y dan z.

Komponen Vektor dan Vektor Satuan

Vektor komponen mempunyai besar yang ditentukan oleh vektor yang diberikan misal vektor r dan masing – masing memiliki arah tetap yang diketahui. Dalam hal ini, vektor satuan yang besarnya satu satuan dapat dipakai dimana arahnya sejajar dengan arah sumbu koordinat pada arah bertambahnya harga koordinat. Komponen merupakan besaran yang mempunyai tanda sesuai dengan vektor komponen atau dengan kata lain F = F

x

a

z

+ F

y

a

y

+ F

z

a

z

.

Tiap vektor B dapat dituliskan sebagai B = B

_x

a

_z

+ B

_y

a

_y

+ B

_z

a

_z

. Besar B atau | B | adalah :

|B| = 𝐵𝑥

²

+ 𝐵𝑦

²

+ 𝐵𝑧

²

Dari ketiga sistem koordinat yang ada, ketiga vektor tersebut saling tegak lurus yang dipakai untuk menguraikan tiap vektor menjadi vektor komponennya. Terkadang, perlu mencari vektor satuan dalam arah tertentu. Vektor satuan dalam arah r ialah

r/ 𝐵𝑥

²

+ 𝐵𝑦

²

+ 𝐵𝑧

²

. Dan untuk vektor satuan dalam arah B adalah : a

_𝑩

=

^𝐵

𝐵𝑥²+𝐵𝑦²+𝐵𝑧²

=

^𝑩

|𝑩|

. Medan Vektor

Medan vektor sebagai fungsi vektor dari vektor kedudukan. Di dalam ruang, besar dan

arah fungsinya akan berubah kedudukan titiknya dan nilai fungsi vektor harus ditentukan dari

nilai koordinat dari titik yang bersangkutan.

Perkalian Titik

Ada beberapa aturan perkalian titik dalam vektor antar lain adalah sebagai berikut.

1. Perkalian titik didefinisikan sebagai perkalian dari besar A dan besar B dikalikan kosinus sudut diantara kedua vektor tersebut yaitu A . B = |A| |B| cos ϴ

AB

2. Perkalian titik atau perkalian skalar juga merupakan perkalian skalar dan mengikuti hukum komutatif, yaitu A . B = B . A

3. Tiga sudut yang mengandung perkalian titik vektor satuan dengan dirinya sendiri yang hasilnya adalah satuan dapat ditulis sebagai berikut : A . B = A

x

B

y

+ A

y

B

y

+ A

z

B

z

dimana rumusan ini tidak mengandung sudut.

4. Perkalian titik antara vektor dengan dirinya sendiri menghasilkan kuadrat dari besar vektor A . A = A

²

= |A|

² _.

Dari tiap vektor satuan dikalikan dengan dirimya menghasilkan satuan a

_{A .}

a

_A

= 1

5. Untuk mencari komponen sebuah vektor dalam arah tertentu misalnya mencari komponen dari B pada arah vektor satuan a dapat menggunakan rumus B . a = |B| |a|

cos ϴ

Ba

= |B| cos ϴ

Ba

. Perkalian Silang Vektor

Ada beberapa aturan perkalian silang dalam vektor, antara lain

1. Perkalian silang A x B merupakan sebuah vektor dan besar A x B sama dengan besar A dikalikan dengan besar B dan dikalikan dengan sinus sudut terkecil antara A dan B, arah A dan B saling tegak lurus pada bidang datar tempat A dan B terletak dan arahnya sesuai dengan arah maju sekrup putar kanan yang diputar dari arah A ke B.

Dapat dirumusukan sebagai berikut : A x B = a

N

|A| |B| sin ϴ

AB

dengan pernyataan tambahan yang diperlukan untuk menyatakan arah vektor satuan a

N

dimana subscrip

“N” menyatakan “normal”. Jika urutan vektor A dan B dibalik maka akan menghasilkan vektor satuan yang arahnya berlawanan dengan arah semula dimana B x A = - (A x B ).

2. Sebelumnya telah dijelaskan bahwa a

_x

x a

_y

= a

_z

, a

_y

x a

_z

= a

_x,

dan a

_z

x a

_x

= a

_y

didapatkan bahwa a

_y

x a

_x

= -a

_z

, a

_z

x a

_y

= -a

_x

, dan a

_x

x a

_z

= -a

_y

dan ketiga suku lainnya sama dengan nol mala sudut diantaranya nol. Sehingga A x B = (A

y

B

z

– A

z

B

y

)a

x

+ (A

z

B

x

- A

x

B

z

) a

y

+ (A

x

B

y

– A

y

B

x

) a

z

.

3. Dalam bentuk determinan adalah A x B =

a

_𝑥

a

_𝑦

a

_𝑧

𝐴

_𝑥

𝐴

_𝑦

𝐴

_𝑧

𝐵

_𝑥

𝐵

_𝑦

𝐵

_𝑧

z

y P (ρ,φ,Z)

z

y P (X,Y,Z)

φ ρ

Sistem Koordinat Tabung

Dalam koordinat tabung, ada beberapa komponen yang dibutuhkan seperti ρ, φ , dan z.

Koordinat tabung memiliki vektor satuan a

ρ

, a

φ

, dan a

z

. Ketiga vektor satuan tersebut saling tegak lurus karena masing – masing vektor arahnya normal pada salah satu dari tiga bidang yang saling tegak lurus, dan dapat didefinisikan sistem koordinaat tabung putar kanan melalui sifat perkalian vektor dari vektor satuannya a

ρ

x a

φ

= a

z

.

y

x y

z

x

x

z

x

x = ρ cos φ y = ρ sin φ z = z

ρ = (x

²

+ y

²

)

^½

φ = a tan (y/x) z = z

KOORDINAT TABUNG Segmentasi Panjang :

1. dρ 2. ρ dφ 3. dz

KOORDINAT TABUNG Segmentasi Luas :

1. dA

_z

= ρ dρ dφ 2. dA

r

= ρ dρ dz 3. dA

φ

= dρ dz

KOORDINAT TABUNG

Segmentasi Volume :

dV = ρ dρ dφ dz

Tabel Transformasi Koordinat Tabung

Sistem Koordinat Bola

Dalam sistem koordinat bola, ada bebeurapa komponen yang dibutuhkan anatara lain r,ϴ, dan φ. r adalah jarak dari titik asal ke titik yang ditinjau,sudut ϴ antara sumbu z dan garis yang ditarik dari titik asal ke titik yang ditinjau, dan φ merupakan sudut yang definisinya tepat sama dengan φ untuk koordinat tabung dimana sudut tersebut merupakan sudut antara sumbu x dengan garis proyeksi dari garis yang menghubungkann titik asal dengan titik yang ditinjau pada bidang z = 0.

Dalam sistem kordinat bola, vektor satuannya dapat didefinisikan disetiap titik yaitu antara lain a

_r

, a

ϴ

, dan a

φ

. Ketiga satuan vektor ini saling tegak lurus dan dalam sistem koordinat putar kanan berlaku a

r

x a

ϴ =

a

φ

. Untuk Transformasi dari kartesian ke bola begiti juga sebaliknya adalah :

â

ρ

â

φ

â

z

â

x

. ^{cos φ -sin φ 0}

â

_y

. ^{sinφ Cos φ 0}

â

z

. ^{0 0 1}

z

y

P (X,Y,Z) P (r,φ,ϴ)

ϴ

φ ρ

z

Tabel Transformasi Koordinat Bola

â

_r

â

φ

â

ϴ

â

_x

. Sin ϴ.cos φ -sin φ Cos φ.cos ϴ â

y

. Sin ϴ.sinφ Cos φ Cos ϴ.sin φ

â

z

. ^{Cos ϴ 0 -sin ϴ}

x

z

y x

y

x y

x

Kartesian Bola

x = r cos φ sin ϴ y = r sin φ sin ϴ z = r cos ϴ

r = (x

²

+ y

²

+ z

²

)

^1/2

φ = a tan (y/x) ϴ = a cos (z/r)

KOORDINAT BOLA Segmentasi Panjang :

1. dr

2. r dφ sin ϴ 3. r dϴ

KOORDINAT BOLA Segmentasi Luas :

1. dA

φ

= r dr dϴ

2. dA

ρ

= r

²

dϴ dφ sin ϴ 3. dA

ϴ

= r dr dφ sin ϴ

KOORDINAT BOLA

Segentasi Volume :

dV = r

²

dr dφ dϴ sin ϴ